1.1 认识三角形（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦三角形的概念、分类、三边关系、稳定性、三线（高、中线、角平分线）、内角和及外角等核心知识点，从基础定义到性质应用层层递进，构建完整学习支架，帮助学生逐步掌握三角形的几何特征与运算规律。 资料通过“即学即练”即时巩固、16类题型系统训练，结合空调固定、斜拉索桥等生活实例培养几何直观，分层练习（基础、素养、创新）提升推理能力与应用意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识理解与运用。

第一章 认识三角形 1.1 认识三角形 课标要点 1. 掌握三角形定义及分类，能准确识别各类三角形，区分基本几何特征。 2. 理解三角形三边关系定理，熟练判断三条线段能否组成三角形。 3. 认识三角形高线、中线、角平分线，掌握三种线段的画法与性质。 4. 熟记三角形内角和定理并能证明，熟练运用定理求解三角形角度。 5. 掌握三角形外角性质，能结合内角和知识解决综合角度计算问题。 学习重难点 重点： 1. 掌握三角形三边关系及判定应用方法 2. 理解三角形三线定义与核心性质 3. 熟练运用内角和、外角性质计算角度 难点： 1. 钝角三角形高线的准确绘制与辨析 2. 三边关系的灵活综合运用与取值 3. 内外角结合的复杂角度综合计算 知识点一 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 即学即练 1．（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的内角的定义判断解得即可． 本题考查了三角形的内角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义，得以为角的三角形是，， 故选：A． 3．（24-25八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是__________．    【答案】/ 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形边角间的关系．利用三角形边、角间的关系可得答案． 【详解】解：在中，的对边是． 故答案为：． 知识点二 三角形的分类 三角形的分类 1）三角形按边分类：三角形 2）三角形按角分类：三角形 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 特别提醒 做题先看清分类标准，按角看最大内角判断类型；按边看边长是否相等，等边是特殊等腰。两类标准不可混用，遇取值范围结合三边关系验证。 即学即练 4．（25-26七年级下·河北张家口·期中）各个内角度数如图所示，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理列方程求出的值，再计算最大内角的度数即可判断三角形的形状； 【详解】解：三角形内角和等于， ， 解得：， 最大内角， 这个三角形是直角三角形． 5．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）中，的度数之比为，则是____________三角形（填直角、锐角或钝角） 【答案】锐角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形类型的判断方法是解决本题的关键． 根据三角形内角和定理，结合角度比计算各角具体度数，并判断三角形类型即可． 【详解】解：设， 由三角形内角和定理得 解得， ∴， ∵所有内角均小于， ∴是锐角三角形． 故答案为：锐角． 知识点三 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 特别提醒 判断三边能否构成三角形，只需验证两短边之和大于最长边；已知两边求第三边，两边之差＜第三边＜两边之和，取值勿忘取整数或范围限制。 即学即练 7．（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）已知一个三角形的两边长是4和7，且周长为偶数，则第三条边的长度可以是___（写一个） 【答案】5（或7或9，答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合周长为偶数的条件确定第三边的奇偶性，即可得到符合要求的第三边长． 【详解】解：设三角形第三条边的长度为， 根据三角形三边关系可得：， ∴， ∵三角形的周长，且三角形周长为偶数， ∴为奇数， ∴范围内的奇数为，，，任选一个即可． 8．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知三角形的三边长分别为3，，5，则化简的结果为________． 【答案】6 【分析】本题主要考查三角形三边关系及绝对值化简，根据三边关系确定a的取值范围是解题的关键． 根据三角形三边关系定理确定a的取值范围，再化简绝对值表达式． 【详解】解：由三角形三边关系定理，得，且， 解得， 因此当时， ， 故． 故答案为：6． 9．（24-25八年级上·青海海东·期末）已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 【答案】(1) (2)6或8 【分析】（1）根据第三边的取值范围是大于两边之差，而小于两边之和求解； （2）首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，再根据c为偶数解答即可． 此题考查了三角形的三边关系，注意第三边的条件． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得； （2）根据三角形三边关系可得， 因为第三边c的长为偶数， 所以c取6或8； 故答案为：6或8； 知识点四 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 即学即练 10．（25-26八年级上·北京·期中）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性即可进行解答． 【详解】根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性． 11．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．长方形的四个角都是直角 C．长方形是轴对称图形 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性，四边形不具有稳定性；根据四边形不具有稳定性，而三角形具有稳定性即可完成． 【详解】解：∵四边形不具有稳定性，而三角形具有稳定性， ∴用木条固定长方形门框，使其不变形， 故选：D． 12．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是_______． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，正确把握其性质是解题的关键，根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，及三角形的稳定性． 【详解】解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 知识点五 三角形相关的线段 类型 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 用途举例 1、线段垂直．2、角度相等． 1、线段相等．2、面积相等． 角度相等． 特别提醒 做题先分清高线、中线、角平分线三类线段各自性质。中线等分底边，平分三角形面积；角平分线分割出相等两角；高线与对应底边垂直。钝角三角形两条高在外部，作图计算易出错。遇到综合题，标注等线段、等角、直角，结合内角和、面积公式梳理等量关系解题。 即学即练 13．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，已知，，则和的周长差为________cm． 【答案】2 【分析】本题考查有关三角形中线的计算，根据是边上的中线，得到， 结合三角形周长计算即可得到答案； 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：2． 14．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，为的高，为的角平分线，若，则______． 【答案】/80度 【分析】根据角平分线的定义求出，再利用三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是利用外角表示出． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为6，则的面积为______． (2)当，时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、中线，熟记相关定义是解题关键； （1）的面积为； （2）由题意得，进而得即可求解； 【详解】（1）解：∵是的中线，且的面积为6， ∴的面积为． （2）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴． 知识点六 三角形的内角和 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 特别提醒 解题牢记三内角和为 180°，遇角平分线、折叠、平行线先转化等角。多个未知角可设未知数列方程，借助外角定理简化运算。复杂图形拆分单个三角形分析，标注已知角度，理清角之间等量代换关系，避免漏看隐藏平角、直角条件。 即学即练 的度数是____________． 【答案】25° 【分析】根据平行线的性质可得，即可得出，再根据三角形内角和即可得． 【详解】解：如图所示，CD交EA于点F， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟记平行线的性质． 17．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，在中，内角和外角的平分线交于点，则___________． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及角平分线定义、三角形外角性质等知识，现有角平分线定义得到，，设，，再由三角形外角性质得到①；②，由①即可得到答案，熟练掌握角平分线定义、三角形外角性质是解决问题的关键． 【详解】解：平分、平分， ，， 设，， ，即①； ，即②； 由①得， 与②比较可得， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·新疆阿克苏·期末）探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　． A．  90°  B．  315°  C．  135°  D. 270° (2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则　　度． (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是　　． (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是　　． 【答案】(1)D (2)240 (3) (4) 【分析】（1）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案 （2）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案 （3）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案 （4）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 故选：D． （2）解：，， ， 故答案为：240． （3）解：，， ， 故答案为：． （4）解：连接， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的外角，关键是掌握三角形的外角的性质． 知识点七 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 即学即练 19．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，．若为延长线上一点，则的度数为_______． 【答案】/140度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 利用三角形外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，直接计算的度数． 【详解】解：∵是的外角， ∴ ∵，， ∴ 故答案为： 20．（24-25七年级下·重庆·期中）折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．若，则当__________度时，． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角性质以及外角性质，平行线的性质，折叠的性质，先由，得出，再结合两直线平行，同位角相等得，根据折叠性质得，最后由三角形外角性质得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵折叠， ∴， 则， 故答案为： 21．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在中，，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识． （1）利用三角形的外角以及三角形的内角和定理计算即可． （2）利用三角形内角和定理构建方程求出即可解决问题． 【详解】（1）解：，，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ． 题型01 三角形的识别与有关概念 典｜例｜精｜析 1．（24-25七年级下·浙江·期中）图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了对三角形的认识，正确理解三角形的定义是解题的关键．观察图形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以为边的三角形有：、、，共个． 故选：C ． 变｜式｜巩｜固 2．（25-26八年级上·北京·单元测试）如图，下列说法错误的是（     ） A．，，是的内角 B． 是与相邻的角 C． D．的三条边分别是 ，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，熟知三角形的相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，，是的内角，原说法正确，不符合题意； B、 是与相邻的角，原说法正确，不符合题意； C、，但不一定等于，原说法错误，符合题意； D、的三条边分别是 ，，，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·贵州安顺·开学考试）如图，图中三角形的个数为______；以为外角的三角形是______；在中，边的对角是______；在中，的对边是______． 【答案】 6 /专项训练 【分析】本题考查了三角形的认识，涉及三角形的个数问题，三角形外角的定义及性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】图中三角形的个数为6个，分别是； 以为外角的三角形是； 在中，边的对角是； 在中，的对边是； 故答案为：6；；；． 4．（25-26七年级下·全国·专项训练）看图填空． （1）图中共有________个三角形，分别是____________________； （2）的三个顶点分别是________，三条边分别是________________，三个角分别是____________________； （3）中，顶点A所对的边是________，边所对的顶点是________； （4）是________的内角，是________的外角，的对边是________． 【答案】 4 B、G，E / E / 【分析】本题考查三角形相关概念： （1）写出图中的三角形即可； （2）根据顶点，边，角的定义，作答即可； （3）根据对边，对角的定义，作答即可； （4）根据内角，外角，对边的定义，作答即可． 【详解】解：（1）图中共有4个三角形，分别是：， 故答案为：4，； （2）的三个顶点分别是B、G，E，三条边分别是，三个角分别是； 故答案为：B、G，E；；； （3）中，顶点A所对的边是，边所对的顶点是； 故答案为：，； （4）是的内角，是的外角，的对边是； 故答案为：，，． 题型02 三角形的个数问题 典｜例｜精｜析 5．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键． 根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：由图可得，以为边的三角形有，，，，一共有4个． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】直角三角形计数问题，恰当分类且不重复是解题的关键． 分三种情况计数：点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角，据此求解． 【详解】根据题意，直角三角形中有1个直角，要使三角形成为一个直角三角形，则点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角即可； 点C与点A在同一列时，有3种选法； 点C与点B在同一列时，有3种选法； 是直角时，有1种选法； （种） 连接A、B、C三点使三角形成为一个直角三角形，则点C的位置有7种选法。 故答案为：C 7．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，共有_________个三角形． 【答案】6 【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数． 【详解】解：图中有：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC，共6个． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏． 8．（25-26九年级下·浙江绍兴·自主招生）定义：三边长度都是整数的三角形叫做整数边三角形．则最长边长为的整数边三角形的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；设三角形的另外两边分别为，(且，为整数)，然后根据三边关系来确定，的取值组合，从而得出整数边三角形的个数． 【详解】解：设三角形的另外两边分别为，(且，为整数)， 当时，根据三边关系需满足， 又因为， 所以， 则a可以为或或或或或或，此时有种情况满足题意； 同理可得：当时，，则a可以为或或 或或，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或 或或或，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或 或或，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或，此时有种情况满足题意； ，共有种情况满足题意， 故选：C． 题型03 三角形的分类 解题贴士 区分两种分类标准，按角看最大内角，按边看边长关系。等边三角形属于特殊等腰三角形，不可并列分类，做题看清题干分类要求，不要混淆判定条件。 典｜例｜精｜析 9．（25-26八年级上·山东德州·期中）在下列条件：①；②；③；④，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握三角形内角和为．利用三角形内角和定理，判断每个条件是否能使三角形有一个角为． 【详解】解：①，则，是直角三角形； ②：：：：，则，，由三角形内角和定理，得，解得，，于是有，是直角三角形； ③，则由三角形内角和定理，得，解得，，则，不是直角三角形； ④，不是直角三角形，是等边三角形， 能确定是直角三角形的条件有个， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 10．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）在中，当时，这个三角形是______（填“锐角”“直角”“钝角”）三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理，设，则，，列方程求解各角度数，再判断三角形类型，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，则，， 由题意可得：， 解得：， ∴，，， ∴这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 11．（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）在中，如果，且．那么如果按角分，这是一个______三角形；按边分，这是一个______三角形． 【答案】 直角 等腰 【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，利用三角形内角和定理计算，再结合已知即可求出各角的角度，进而可得答案． 【详解】解：的内角和为， 即， 又， ， 即， ， ，， 按角分，这是一个直角三角形；按边分，这是一个等腰三角形， 故答案为：直角，等腰． 12．（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）中，是的倍，且比大，试判断的形状并说明理由． 【答案】为钝角三角形． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类．先根据题意表示出，，根据三角形内角和是，列出方程，求出的度数，即可得出和的度数，根据有一个角是钝角的三角形是钝角三角形即可求解． 【详解】解：∵是的倍，比大， 故，， 即， ∵， 即， 解得：， 故， ， 所以为钝角三角形． 题型04 构成三角形的条件 解题贴士 判断三边只需短两边之和大于最长边；已知两边求第三边，取值介于两边差与和之间，取值范围不可忽略等号，线段长度均为正数。 典｜例｜精｜析 13．（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合三角形的三边关系：两边之和大于第三边，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，能构成三角形，故该选项不符合题意； B、，能构成三角形，故该选项不符合题意； C、，不能构成三角形，故该选项符合题意； D、，能构成三角形，故该选项不符合题意． 变｜式｜巩｜固 14．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比上面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； B选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； C选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形，符合题意； D选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意． 15．（25-26八年级上·浙江金华·开学考试）用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 _____个形状不同的三角形． 【答案】12 【分析】本题考查的是找规律，三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 可把三角形的周长看作24，再根据三角形的三边关系可得出结论． 【详解】解：三角形两边之和大于第三边， 只能有12种答案，即① 2、11、11；② 3、10、11；③ 4、9、11；④ 4、10、10；⑤ 5、8、11；⑥ 5、9、10；⑦ 6、7、11；⑧ 6、8、10；⑨ 6、9、9；⑩ 7、7、10；⑪ 7、8、9；⑫ 8、8、8． 故答案为：12． 16．有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？分别写出来． 【答案】可以组成3个三角形，见解析 【分析】根据三角形的三边关系，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴可以组成3个三角形， 分别为：（1）8 cm，10 cm，12 cm；（2）4 cm，10 cm，12 cm；（3）4 cm，8 cm，10 cm． 【点睛】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握利用两短边之和大于第三边即可组成三角形，是解题的关键． 题型05 确定第三边的取值范围及其应用 典｜例｜精｜析 17．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】设第三根木棒的长度为，根据三角形的三边关系求出，结合第三根木棒的长为奇数，即可得出结果． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为和， ∴， ∴， ∵第三根木棒的长为奇数， ∴符合条件的为3，5，7，9，共 4个， 因此满足条件的三角形个数为 4个． 变｜式｜巩｜固 18．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）已知三角形的两边，若第三边为整数，则的值为_____． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边取值范围，结合第三边长为整数即可解答． 【详解】解：根据题意可知， 即， ∵第三边的长为整数， ∴． 故答案为：7． 19．（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知的三边分别为a、b、c，且满足，那么第三边 c的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，构成三角形的条件，非负数的性质，根据完全平方公式可得，则由非负数的性质可得，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 20．（24-25七年级下·重庆·期中）仔细阅读下列解题过程： 若，求、的值。 解： ， ， 根据以上解题过程，试探究下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知、、是的三边，且满足，求中最长边的取值范围； (3)已知：，，求的值。 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解、完全平方公式、非负数的性质，对于项数较多的多项式因式分解，掌握分组分解法是解题的关键． （1）首先把第3项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得x和y，代入求得数值； （2）用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得a和b，进而根据三角形三边关系且为最长边，即可求解； （3）先把代入，得到关于和的式子，再仿照（1）（2）题求解得出，进而即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ，， ，， ， ； （2）解：， ， ， ，， ，； ∵、、是的三边， ∴即 又∵为最长边 ∴； （3）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 题型06 根据三角形中线求长度 解题贴士 中线平分底边，分底边两段相等；已知两边求中线多用倍长中线模型，注意线段等量转换，计算时看清线段对应关系，勿混淆底边与腰长。 典｜例｜精｜析 21．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角形中线求长度，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形中线的意义求得，，再利用三角形的周长求得，从而可求得与的周长之差． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴与的周长之差为 ， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 22．（2025·陕西咸阳·一模）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键．根据三角形中线的定义可得，结合题意可得，进而获得答案． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 23．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，是边上的中线，若和的周长之差为，且与的和为，则__________，__________． 【答案】 8 6 【分析】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键． 根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ， 的周长的周长， 即①， 又②， ①②得．， 解得， ②①得，， 解得， 故答案为：8；6 24．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为或 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 题型07 根据三角形中线求面积 解题贴士 三角形中线将三角形分成面积相等两部分，多条中线分割可等分面积。解题找准底边中点，等底同高面积相等，结合整体面积快速求小三角形面积。 典｜例｜精｜析 25．（25-26九年级下·上海宝山·阶段检测）如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用点、、分别为中点的条件，逐步推导的面积，进而求出阴影部分的面积 【详解】解：点为的中点， ， 点为的中点， ， ， ， 点为的中点， ， 即图中阴影部分的面积为． 变｜式｜巩｜固 26．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，D是中边AB的中点，连接，E是的中点，连接，．若，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了中线平分三角形面积，解题关键是理解三角形的中线平分三角形的面积．本题利用阴影面积等于整个大三角形面积的一半即可求解． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， 则， 故选： C． 27．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，的面积是12，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是________． 【答案】 【分析】依据是等底等高的三角形的面积相等即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ， ∵是的中点， ， 是的中点， ， 同理可得：，， ∴． 28．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知的面积是60，请完成下列问题： (1)如图1，若是的边上的中线，则的面积________的面积（填“”“”或“”）； (2)如图2，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：连结，由得：，同理：，设，则，由题意得：，可列方程组为：，解得________，通过解这个方程组可得四边形的面积为________； (3)如图3，，请你计算四边形的面积，并说明理由． 【答案】(1) (2)，20； (3)四边形的面积为，理由见解析 【分析】本题考查三角形的中线，解二元一次方程组，熟练掌握三角形的中线平分面积，是解题的关键： （1）根据三角形的中线平分面积作答即可； （2）加减消元法求出的值，再根据得四边形的面积为，进行计算即可； （3）连接，设，仿照（2），进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是的边上的中线， ∴的面积的面积； 故答案为：； （2）解，得：； 由图可知：四边形的面积为； 故答案为：，20； （3）四边形的面积为，理由如下： 连接，设， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，解得：； ∴四边形的面积为． 题型08 重心的概念 解题贴士 重心是三角形三条中线交点，仅中线交点才是重心。重心分中线比 2:1，分割出六个面积相等小三角形，区分重心、垂心、内心，不可混淆。 典｜例｜精｜析 29．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）一个三角形的重心是该三角形（    ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．以上都是 【答案】C 【分析】根据三角形三条中线的交点是三角形的重心解答即可．本题考查了三角形的重心，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据三角形三条中线的交点叫作三角形的重心， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 30．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）画出下图中的重心．    【答案】见解析 【分析】先作BC、AC的垂直平分线，找到其中点，再作出中线，两中线的交点即重心． 【详解】解：如解图所示，作三角形的两条中线交于点，点即为所求．    【点睛】此题主要考查重心的作图，解题的关键是熟知重心是三角形中线的交点． 31．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)画出关于对称的（点B的对应点是点D）； (2)画出的重心O； (3)直接写出四边形的面积______． 【答案】(1) 如图所示； (2) 的重心O如图所示； (3)24 【分析】本题考查了利用网格的特点作图． （1）根据轴对称的特点，作出图形即可； （2）利用长方形的特点找到边，的中点，两条中线的交点即可为重心； （3）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：四边形的面积为． 故答案为：24． 32．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_______（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，直接写出的值． 【答案】(1) (2)相等，理由见详解 (3) 【分析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握等底等高的三角形面积相等，中点的性质是解题的关键． （1）根据等底等高的三角形面积相等，直接可求即可得到答案； （2）设，根据题意可得，即可得到，三条中线分成的六个三角形面积相等； （3）由（2）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，则，由两个三角形高相等，则，即可得出． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∴与等底等高， ， 故答案为：； （2）解：三条中线分成的六个三角形面积相等， 理由如下： 设， ∵是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 即三条中线分成的六个三角形面积相等； （3）解：由（2）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，则每个小三角形的面积是大三角形面积的， ， ， ∴，即的值为． 题型09 画三角形的高 典｜例｜精｜析 33．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）中边上高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高线的定义即可解答． 【详解】解：A选项中，作的是边上的高，不符合题意； B选项中，没有经过顶点，不符合题意； C选项中，不垂直，不符合题意； D选项中，过点且垂直，符合题意． 变｜式｜巩｜固 34．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，的边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可解答． 【详解】解：在中，边为底边，从顶点C向所在直线作垂线，垂足为F，因此边上的高是线段． 35．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 【答案】 / / 【分析】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义作答即可． 【详解】解：（1）在中，边上的高为． 故答案为：； （2）在中，边上的高为． 故答案为：． 36．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，已知在直角三角形中，．   (1)作出的高和中线； (2)求的面积； (3)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 (3) 【分析】本题考查了三角形的中线和高，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据题意画出图形； （2）根据三角形面积公式即可解答； （3）利用面积法即可解答． 【详解】（1）解：如图，高和中线即为所求 （2）解：的面积为， 是的中线， 的面积为； （3）解：， ， ． 题型10 与三角形的高有关计算问题 解题贴士 三角形高与底边垂直，自带 90° 直角，可结合内角和计算角度。锐角三角形三条高均在内部，直角三角形两条高与直角边重合，钝角两条高在外部。计算面积牢记底高对应，勿错配底边与高，遇外部高别漏补延长线，结合直角三角形边角关系列式求解。 典｜例｜精｜析 37．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线，三角形内角和定理，解题的关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．先由三角形内角和定理求出，根据角平分线得到，再由三角形的高得到，再根据三角形内角和定理求出，最后由邻补角的定义即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 38．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知中，，点D沿自B向C移动点D不与B、C重合．作于点E，于点F，则的值为（   ） A．一直增大 B．一直减少 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 依据题意，由于E，于F，从而可得出，又一定，随着D的移动先减小再增大，则随着D的移动先增大后减小，即可得解． 【详解】解：于E，于F， 一定，随着D的移动先减小再增大， 随着D的移动先增大后减小． 故选：D． 39．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 40．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在与中，与相交于点E，交于点F． (1)中边上的高是___________；中边上的高是___________； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)； (2)8 【分析】本题考查了三角形高的意义和求三角形面积，解题的关键是掌握三角形高的意义和求三角形面积公式． （1）根据三角形某条边上高的定义可以得解； （2）根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴的边上的高是； ∵在中， ∴的边上的高是； 故答案为：，. （2）解：∵在中， ，，， 的面积为． 题型11 三角形的角平分线 解题贴士 角平分线平分三角形内角，分得两角相等。内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，计算角度常结合内角和，注意区分内外角平分线模型。 典｜例｜精｜析 41．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，，，分别是的中线、角平分线和高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线和高线，掌握相关定义及结论即可求解； 【详解】解：∵是的中线， ∴，不是，故A错误； ∵是的角平分线， ∴，故D正确； ∵是的高线， ∴，不是，故C错误； 无法推出，故B错误； 故选：D 变｜式｜巩｜固 42．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，平分交于D，作交于E，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，根据平分交于D，得，又因为，，进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分交于D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 43．（25-26七年级下·北京·期末）如图，中，分别是的高和角平分线，若，，则_____°． 【答案】 【分析】根据，分别是的高和角平分线，得，；根据三角形的外角，得，，即可． 【详解】∵，分别是的高和角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的知识，三角形的外角和定理，角平分线的定义，高线的定义，解题的关键是掌握三角形的外角和定理，三角形角平分线和高线的性质． 44．（2023·浙江金华·二模）如图，，点E是延长线上一点，．    (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据可得，根据可得，进而可得，等量代换可得； （2）根据平行线的性质，角平分线的性质和三角形内角和定理即可证明． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定和性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的判定定理和性质定理． 题型12 与平行线有关的三角形内角和问题 解题贴士 作平行线转移内角拼成平角，巧用同位角、内错角相等代换角度，计算时找准平行线截出的等角，结合 180° 平角列式求解。 典｜例｜精｜析 45．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 46．（25-26七年级下·上海嘉定·期末）如图，，，垂足为点，如果，那么______    【答案】 【分析】延长交于，由平行线的性质得到，求出，由邻补角的性质即可求解． 【详解】解：延长交于，   ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是由平行线的性质得到． 47．（25-26八年级下·全国·课堂例题）如图，，分别与，交于点A，F，若，，则______． 【答案】30 【分析】先根据平行线的性质可得，再根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 48．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，进而求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， 平分， ， ，        平分， ， ． 题型13 与角平分线有关的三角形内角和问题 解题贴士 遇角平分线先标相等两角，结合内角和列式，内外角平分线有固定角度结论，设元简化计算，区分两种平分线模型避免混淆。 典｜例｜精｜析 49．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，的度数为__________________． 【答案】或 【分析】分和两种情况，分别根据角平分线、三角形高线、以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：是的角平分线，， ， 当时，， ； 当时，， ，， ， 综上，的度数为或． 变｜式｜巩｜固 50．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，于点，的平分线交于点，，，则的度数是________． 【答案】/80度 【分析】先由垂线的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义可得，然后由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 51．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）完成填空，并补全证明过程： 如图，是的一个外角，，的平分线与的平分线交于点，求的度数． 解：因为的平分线与的平分线交于， 所以， ．（ ）（填推理依据） 因为是的外角，是的外角， 所以 ， ． （ ）（填推理依据） … 【答案】解：因为的平分线与平分线交于， 所以，（角平分线的定义）， 因为是的外角，是的外角， 所以，，（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）， 所以． 【分析】根据三角形外角的性质可得，，再利用角平分线的定义即可解答 【详解】略 52．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）结合图形，解决问题． (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_________． (2)已知：如图2，与分别是的两个外角，且．则_________． (3)如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数．（用含，的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，根据三角形内角和定理可求得 ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）先求解，再进一步利用内角和定理可得答案； （3）延长，交于点，同（2）可得，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可； 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； （3）解：延长，交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 题型14 三角形折叠中的角度问题 解题贴士 折叠前后对应角相等，利用内角和、平角建立等量关系。顶点分内部、外部两种情况，找准重叠等角，设未知数快速计算角度。 典｜例｜精｜析 53．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，是边上的一点，将沿翻折，使点B恰好落在边上的点E处，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据翻折的性质得到、，再结合平角定义求出，最后利用三角形外角定理求出，进而得到的度数． 【详解】解：由翻折可得，，， ， ， ． 变｜式｜巩｜固 54．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，点，分别是，上动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再由平角的定义求出的度数，最后根据折叠的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得． 55．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，长方形纸片中，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在点的位置，点落在点的位置（点在点右侧）．若，则__________． 【答案】/度 【分析】设，，用两种方法表示，求出的值，进而解题． 【详解】解：设，， 则，， ∵， ∴，， ∵， ， ∴， 化简得， ∴． 56．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． (2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 (4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （3）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （4）根据折叠的性质，平角的定义，以及（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分，平分外角， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 题型15 三角形内角和的应用 典｜例｜精｜析 57．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，可调整的大小，使，则图中应________（填“增加”或“减少”）________度．横线上的结果是（     ） A．增加，5 B．增加，10 C．减小，5 D．减小，10 【答案】B 【分析】延长，交于点，根据三角形的内角和求出，得到，再根据三角形的外角，求出，由图中，得到应增加，即可解答． 【详解】解：延长，交于点， ， 而图中 应增加． 变｜式｜巩｜固 58．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图是一辆变速自行车的实物图，图是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由邻补角定义求出，再由三角形内角和定理求出，最后由平行线性质求解即可． 【详解】解：， ， 在中，，，则， ， ． 59．（25-26七年级下·河南南阳·期末）七巧板是我国一款传统的益智玩具，由宋朝的“燕几图”演变而来，能够启迪智慧，陶冶情操．七巧板是由五块含角的直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的．某同学利用图1（外轮廓为正方形）中的部分图形拼成图2中的图形．若，则_____． 【答案】 【分析】根据图1可求出的度数，则可求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图2所示，由图1得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 60．（25-26七年级下·河南南阳·期末）在中，，点在直线上（点不与端点，重合）． (1)如图①，当点在线段上时，连接，作，交线段于点． ①若，则 °， °； ②当点在线段上运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，当点在的延长线上时，连接，作，交直线于点，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；② 理由：在中 ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ， ∴． (2)或 【分析】（1）根据三角形内角和为和平角为证得，再利用三角形内角和为求解即可； （2）利用三角形的外角等于不相邻的两内角和与三角形内角和为求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②见答案． （2）解：当点在线段的延长线上，如图1所示， , ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； 当点在线段的延长线上，如图2所示， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 题型16 三角形中压轴题 典｜例｜精｜析 61．（25-26七年级下·北京东城·期末）已知直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线，外一点，连接，．的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点M． (1)如图1，若，，则________； (2)如图2，当点P位于直线与直线之间，直线右侧时，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3．当点P在直线上方时，补全图形并写出与之间的数量关系． 【答案】(1)90 (2)；理由如下： 作，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴； (3)点P位于直线左侧时，； 或点P位于直线右侧时，， 【分析】（1）作，利用平行线的判定和性质求解即可； （2）作，设，，求得，再利用平行线的判定和性质结合三角形内角和定理求解即可； （3）分两种情况讨论，同（2）的方法求解即可． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：点P位于直线左侧时，作，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 点P位于直线右侧时，作，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 变｜式｜巩｜固 62．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知：，点E，M分别是直线，上的点，F为射线上一动点，连接、，过点F作交射线于点G，点H为射线上一点，且平分． (1)如图1，若为钝角， ①求证：平分； ②若，求的度数； (2)如图2，若为锐角，，探究与之间的数量关系． 【答案】(1)①证明：，，，平分，， ，，平分； ②； (2) 【分析】（1）①证明，，结合已知的角的平分线，证明即可； ②根据，得到，根据垂直，已知，进行代换计算求解即可； （2）根据已知，证明，利用三角形外角性质，结合已知得到，化简即可． 【详解】（1）①略； ②解：， ， ， ，， ， 解得； （2）解：与之间的数量关系为，理由如下：， ， ， ，， ， 解得； ， ， ， 平分， ， ， ； 63．（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图1，已知直线与直线平行，两个相同的直角三角尺和摆放在与之间，其中，，点E在直线上，边在直线上，点G，P，F，N在同一条直线上． (1)请猜想的度数，并说明理由． (2)将绕点E以每秒的速度逆时针旋转并记为，设运动时间为t秒（）． ①如图2，固定不动，当与的其中一边平行时，求t的值． ②如图3，点Q在边上，连结，使平分．在旋转的同时，也绕点M以每秒的速度顺时针旋转并记为．当与的其中一边平行时，请直接写出t的值． 【答案】(1)解：，理由如下： 过点F作，如图 ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)①t的值为或30或60；②t的值为20，30，50 【分析】（1）过点F作，先推导出，求出，再根据平行线的判定与性质进行求解即可； （2）①由题意，得到，分类讨论：第一种情况：当时，第二种情况：当时，第三种情况：当时，逐个分析求解即可； ②分类讨论：第一种情况：当时，第二种情况：当时，第三种情况：当时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①由题意，得 ， 第一种情况：当时，如图 ∴， 即， 解得； 第二种情况：当时，如图 此时点在直线上， ∴， 解得， 第三种情况：当时，如图 ∵， ∴，即此时点在直线上， ∴， 即 解得， 综上所述，当与的其中一边平行时，t的值为或30或60； ②第一种情况：当时，如图，延长交直线于点I，令与直线的交点为H， 由题意，得 ， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得； 第二种情况：当时，如图，延长交直线于点K， 同理可得， ∵， ∵，， ∴， ∴， 解得； 第三种情况：当时，如图，延长交直线于点L， 同理可得，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为20，30，50． 64．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）杭州风景如画，苏堤、白堤纵横交错，断桥、三潭印月相映成趣．在这些优美的景观布局中，蕴含着丰富的几何图形与位置关系．某数学实践小组在游览时发现，景观栈道、桥梁结构与观景路线中常常出现三角形与平行线的组合．请结合下列图形与情境，运用所学知识解决下列问题：如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连接，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在线段上有一点，连结，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查平行线性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键． （1）过点B作直线，结合平行线性质即可得出结论． （2）过点B作直线，结合平行线性质即可． （3）画出图形，结合三角形的内角和定理及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作直线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作直线， 由（1）得，， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）解：，理由如下： 如图3， 在中，， ， ， ， ， ， ． 基础通关 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一个三角形的三边长度分别为2，5和x，则x的值可以是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据定理确定第三边的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得， ∴，选项中只有满足该范围． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）在中，边上的高线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段， ∴中边上的高应过顶点且垂直于所在直线， 观察图形可知，，垂足为， ∴边上的高线为． 3．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，，， ， 故选：A． 4．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿着折叠，使点与点重合， ∴， ∴． 故选：A． 5．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，是的中线．若，则_____． 【答案】 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴． 6．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图，，，，则的度数为_____ ． 【答案】 【分析】先根据垂直的定义得，由三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 7．（18-19七年级下·上海奉贤·期末）将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一条直线上），那么图中_________． 【答案】75 【分析】利用两块三角板的已知角及三角形内角和即可求解． 【详解】解：如图，在中，，在中，， 在中，． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，是的中线，于点，于点，，则是的________倍． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形中线的定义、三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．根据三角形中线的性质可得，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴是的2倍． 故答案为：2． 9．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图在方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． (1)画出向上平移6格后的图形； (2)画出的高； (3)直接写出和的关系：_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行且相等 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据三角形的高的定义作图即可； （3）根据平移的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：画出如图所示： （2）解：画出的高如图所示； （3）解：由平移的性质可得：和的关系平行且相等． 10．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查平行线的判定与性质，关键是根据平行线的性质得出解答． （1）根据平行线的性质得出，进而利用角平分线的定义得出，进而利用平行线的判定解答即可； （2）根据平行线的性质得出，进而利用三角形内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 素养提升 11．（25-26七年级下·浙江金华·期末）已知一副三角板按如图方式摆放，其中，，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和三角形内角和定理，求出，，再利用平角求解即可． 【详解】解：， ， ，， ， ． 12．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在处．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得出 ，再根据平角的性质求出 ，利用角度的和差关系计算即可． 【详解】解：折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由为的中线，求出，根据为的中线可得，，进而即可求解． 【详解】解：∵为的中线，的面积为， ∴， ∵为的中线， ∴，， ∴， ∴． 14．（2026·安徽宿州·二模）如图，在中，，，且．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和求得，根据题意可得，再利用三角形内角和即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，， ∴， 在中，． 15．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 【答案】 【分析】根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26七年级下·浙江·期中）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，点在直线上，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】利用平行线的性质得到，即可得到，再利用三角形的内角和运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于__． 【答案】1 【分析】根据三角形中线的性质得，同理可得，同理，进而求出，最后根据三角形中线的性质得出答案． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴． ∵点E是的中点， ∴，同理， ∴． ∵点F是的中点， ∴． 18．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图1，直线，直角三角尺的锐角顶点A，C分别在直线，上，点在直线之间，． （1）当时，______； （2）如图2，在线段上取一点，过点作直线，若射线平分，且满足，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟知平行线的性质是解题关键． （1）易得，根据平行线的性质求得，则； （2）设，则，由角平分线的定义可得，由平行线的性质得，于是求得，在三角形中，利用三角形内角和定求解即可． 【详解】解：（1）由题意可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设，则， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 19．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，求与的周长之差； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)2cm (2)． 【分析】（1）结合是的中线，得到，根据三角形的周长公式求解即可； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，已知直线，，点是直线上的一个动点（不与点重合），，分别平分和． (1)当点在点左侧时，若，则=______°． (2)若点为点左侧运动时，求的度数是否会发生变化？若不变化，求出该度数；若变化，请说明理由． (3)与之间存在怎样的数量关系？写出结论并说明理由． 【答案】(1) (2)不变化，，理由如下： ，， ， ，分别平分和， ，， ， 即，不变化； (3)点在点左侧时，；点在点右侧时，，理由如下： 设， ①点在点左侧时， ，， 此时； ②点在点右侧时， ，， 此时，． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补和两直线平行，内错角相等，以及角平分线的定义作答即可； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，根据求出结果即可； （3）分两种情况进行讨论，点在点左侧时，点在点右侧时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 迁移创新 21．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，点，在上，点，在上，连接，，，且，交于点．若平分，，，当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设，结合平行线、角平分线得，再联立条件得，对选项逐一分析即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 已知平分，设，则： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 在中，将代入、，得， ， 解得， 已知，代入，得， ， 解得， 由，逐一验证选项： A．，变化，不符合题意； B．，变化，不符合题意； C．，变化，不符合题意； D．，恒为，值不变，符合题意． 22．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图，点B在线段上，分别以，为边作正方形，正方形，若要求三角形（阴影部分）的面积，只要知道下列哪条线段的长（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的面积公式、整式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，把阴影部分的面积表示出来． 由题意可得：阴影部分的面积，化简后即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，， ∴，， 阴影部分的面积 ， ∴要求三角形（阴影部分）的面积，只要知道正方形的边长，即的长． 故选：B． 23．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，将长方形纸片沿折叠（折线交，于，），点、分别对应点，，交于，再将四边形沿折叠，点、分别对应点、，交于．若，则的度数为________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得出，再由折叠的性质确定，利用平行线的性质得出，再由对顶角相等及折叠的性质确定，结合三角形内角和定理及邻补角求解即可． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵折叠， ， ， ． 24．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在四边形中，，与交于点E，，设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为． (1)求证： (2)若，，，都是整数，且四边形的面积是25，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）作交于点，证明出，得出，即可得证； （2）由题意可得，，从而得出，由于，且，，，都是整数，，，，均不符合题意，进而得出，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：作交于点， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵与等高， ∴， 同理可得， ∴， 由题意可得：， ∴， 由于，且，，，都是整数，，，，，均不符合题意， ∴， 当时，此时，，符合题意； 当时，没有满足题意的，，，故不符合题意； 当时，没有满足题意的，，，故不符合题意； 当时，此时，，符合题意； 综上所述，或． 25．（25-26七年级下·浙江·期中）“一带一路”让中国和世界的联系更紧密．“中欧班列”为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转的探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒1度，灯转动的速度是每秒2度．假定主道路是平行的，即，且．          (1)填空：________； (2)若灯射线先转动24秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时开始转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束相交于点，过点作，交于点，且，则在转动过程中，试探究与的数量关系． 【答案】(1)100 (2)转动秒或秒时，两灯的光束平行 (3) 【分析】（1）利用平角的定义计算即可求解； （2）分三种情况讨论，利用平行线的性质列式计算即可求解； （3）求得，再根据计算出结果，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设当灯转动秒时，两灯的光束互相平行． ①当秒时，如图1． ， ． 因为，所以， 即， 所以秒； ②当秒时，如图2． ， ． 因为，所以，即， 所以秒（舍去）； ③当秒，即灯回转时，如图3． ， ． 因为，所以，即， 解得：， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束平行； （3）解：，理由如下： 设两灯同时转动秒， 由（1）知，， 则，，， 所以 ， 所以 ， 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 认识三角形 1.1 认识三角形 课标要点 1. 掌握三角形定义及分类，能准确识别各类三角形，区分基本几何特征。 2. 理解三角形三边关系定理，熟练判断三条线段能否组成三角形。 3. 认识三角形高线、中线、角平分线，掌握三种线段的画法与性质。 4. 熟记三角形内角和定理并能证明，熟练运用定理求解三角形角度。 5. 掌握三角形外角性质，能结合内角和知识解决综合角度计算问题。 学习重难点 重点： 1. 掌握三角形三边关系及判定应用方法 2. 理解三角形三线定义与核心性质 3. 熟练运用内角和、外角性质计算角度 难点： 1. 钝角三角形高线的准确绘制与辨析 2. 三边关系的灵活综合运用与取值 3. 内外角结合的复杂角度综合计算 知识点一 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 即学即练 1．（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是__________．    知识点二 三角形的分类 三角形的分类 1）三角形按边分类：三角形 2）三角形按角分类：三角形 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 特别提醒 做题先看清分类标准，按角看最大内角判断类型；按边看边长是否相等，等边是特殊等腰。两类标准不可混用，遇取值范围结合三边关系验证。 即学即练 4．（25-26七年级下·河北张家口·期中）各个内角度数如图所示，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）中，的度数之比为，则是____________三角形（填直角、锐角或钝角） 知识点三 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 特别提醒 判断三边能否构成三角形，只需验证两短边之和大于最长边；已知两边求第三边，两边之差＜第三边＜两边之和，取值勿忘取整数或范围限制。 即学即练 7．（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）已知一个三角形的两边长是4和7，且周长为偶数，则第三条边的长度可以是___（写一个） 8．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知三角形的三边长分别为3，，5，则化简的结果为________． 9．（24-25八年级上·青海海东·期末）已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 知识点四 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 即学即练 10．（25-26八年级上·北京·期中）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 11．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．长方形的四个角都是直角 C．长方形是轴对称图形 D．三角形具有稳定性 12．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是_______． 知识点五 三角形相关的线段 类型 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 用途举例 1、线段垂直．2、角度相等． 1、线段相等．2、面积相等． 角度相等． 特别提醒 做题先分清高线、中线、角平分线三类线段各自性质。中线等分底边，平分三角形面积；角平分线分割出相等两角；高线与对应底边垂直。钝角三角形两条高在外部，作图计算易出错。遇到综合题，标注等线段、等角、直角，结合内角和、面积公式梳理等量关系解题。 即学即练 13．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，已知，，则和的周长差为________cm． 14．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，为的高，为的角平分线，若，则______． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为6，则的面积为______． (2)当，时，求的度数． 知识点六 三角形的内角和 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 特别提醒 解题牢记三内角和为 180°，遇角平分线、折叠、平行线先转化等角。多个未知角可设未知数列方程，借助外角定理简化运算。复杂图形拆分单个三角形分析，标注已知角度，理清角之间等量代换关系，避免漏看隐藏平角、直角条件。 即学即练 的度数是____________． 17．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，在中，内角和外角的平分线交于点，则___________． 18．（25-26八年级上·新疆阿克苏·期末）探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　． A．  90°  B．  315°  C．  135°  D. 270° (2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则　　度． (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是　　． (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是　　． 知识点七 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 即学即练 19．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，．若为延长线上一点，则的度数为_______． 20．（24-25七年级下·重庆·期中）折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．若，则当__________度时，． 21．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在中，，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 题型01 三角形的识别与有关概念 典｜例｜精｜析 1．（24-25七年级下·浙江·期中）图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 变｜式｜巩｜固 2．（25-26八年级上·北京·单元测试）如图，下列说法错误的是（     ） A．，，是的内角 B． 是与相邻的角 C． D．的三条边分别是 ，， 3．（24-25八年级上·贵州安顺·开学考试）如图，图中三角形的个数为______；以为外角的三角形是______；在中，边的对角是______；在中，的对边是______． 4．（25-26七年级下·全国·专项训练）看图填空． （1）图中共有________个三角形，分别是____________________； （2）的三个顶点分别是________，三条边分别是________________，三个角分别是____________________； （3）中，顶点A所对的边是________，边所对的顶点是________； （4）是________的内角，是________的外角，的对边是________． 题型02 三角形的个数问题 典｜例｜精｜析 5．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变｜式｜巩｜固 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 7．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，共有_________个三角形． 8．（25-26九年级下·浙江绍兴·自主招生）定义：三边长度都是整数的三角形叫做整数边三角形．则最长边长为的整数边三角形的个数是（　　） A． B． C． D． 题型03 三角形的分类 解题贴士 区分两种分类标准，按角看最大内角，按边看边长关系。等边三角形属于特殊等腰三角形，不可并列分类，做题看清题干分类要求，不要混淆判定条件。 典｜例｜精｜析 9．（25-26八年级上·山东德州·期中）在下列条件：①；②；③；④，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 变｜式｜巩｜固 10．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）在中，当时，这个三角形是______（填“锐角”“直角”“钝角”）三角形． 11．（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）在中，如果，且．那么如果按角分，这是一个______三角形；按边分，这是一个______三角形． 12．（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）中，是的倍，且比大，试判断的形状并说明理由． 题型04 构成三角形的条件 解题贴士 判断三边只需短两边之和大于最长边；已知两边求第三边，取值介于两边差与和之间，取值范围不可忽略等号，线段长度均为正数。 典｜例｜精｜析 13．（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 14．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·浙江金华·开学考试）用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 _____个形状不同的三角形． 16．有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？分别写出来． 题型05 确定第三边的取值范围及其应用 典｜例｜精｜析 17．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变｜式｜巩｜固 18．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）已知三角形的两边，若第三边为整数，则的值为_____． 19．（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知的三边分别为a、b、c，且满足，那么第三边 c的取值范围为_______． 20．（24-25七年级下·重庆·期中）仔细阅读下列解题过程： 若，求、的值。 解： ， ， 根据以上解题过程，试探究下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知、、是的三边，且满足，求中最长边的取值范围； (3)已知：，，求的值。 题型06 根据三角形中线求长度 解题贴士 中线平分底边，分底边两段相等；已知两边求中线多用倍长中线模型，注意线段等量转换，计算时看清线段对应关系，勿混淆底边与腰长。 典｜例｜精｜析 21．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 变｜式｜巩｜固 22．（2025·陕西咸阳·一模）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，是边上的中线，若和的周长之差为，且与的和为，则__________，__________． 24．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 题型07 根据三角形中线求面积 解题贴士 三角形中线将三角形分成面积相等两部分，多条中线分割可等分面积。解题找准底边中点，等底同高面积相等，结合整体面积快速求小三角形面积。 典｜例｜精｜析 25．（25-26九年级下·上海宝山·阶段检测）如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 变｜式｜巩｜固 26．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，D是中边AB的中点，连接，E是的中点，连接，．若，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 27．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，的面积是12，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是________． 28．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知的面积是60，请完成下列问题： (1)如图1，若是的边上的中线，则的面积________的面积（填“”“”或“”）； (2)如图2，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：连结，由得：，同理：，设，则，由题意得：，可列方程组为：，解得________，通过解这个方程组可得四边形的面积为________； (3)如图3，，请你计算四边形的面积，并说明理由． 题型08 重心的概念 解题贴士 重心是三角形三条中线交点，仅中线交点才是重心。重心分中线比 2:1，分割出六个面积相等小三角形，区分重心、垂心、内心，不可混淆。 典｜例｜精｜析 29．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）一个三角形的重心是该三角形（    ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．以上都是 变｜式｜巩｜固 30．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）画出下图中的重心．    31．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)画出关于对称的（点B的对应点是点D）； (2)画出的重心O； (3)直接写出四边形的面积______． 32．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_______（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，直接写出的值． 题型09 画三角形的高 典｜例｜精｜析 33．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）中边上高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 34．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，的边上的高是（     ） A． B． C． D． 35．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 36．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，已知在直角三角形中，．   (1)作出的高和中线； (2)求的面积； (3)求的长． 题型10 与三角形的高有关计算问题 解题贴士 三角形高与底边垂直，自带 90° 直角，可结合内角和计算角度。锐角三角形三条高均在内部，直角三角形两条高与直角边重合，钝角两条高在外部。计算面积牢记底高对应，勿错配底边与高，遇外部高别漏补延长线，结合直角三角形边角关系列式求解。 典｜例｜精｜析 37．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 38．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知中，，点D沿自B向C移动点D不与B、C重合．作于点E，于点F，则的值为（   ） A．一直增大 B．一直减少 C．先减小后增大 D．先增大后减小 39．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 40．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在与中，与相交于点E，交于点F． (1)中边上的高是___________；中边上的高是___________； (2)若，，，求的面积． 题型11 三角形的角平分线 解题贴士 角平分线平分三角形内角，分得两角相等。内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，计算角度常结合内角和，注意区分内外角平分线模型。 典｜例｜精｜析 41．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，，，分别是的中线、角平分线和高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 42．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，平分交于D，作交于E，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 43．（25-26七年级下·北京·期末）如图，中，分别是的高和角平分线，若，，则_____°． 44．（2023·浙江金华·二模）如图，，点E是延长线上一点，．    (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 题型12 与平行线有关的三角形内角和问题 解题贴士 作平行线转移内角拼成平角，巧用同位角、内错角相等代换角度，计算时找准平行线截出的等角，结合 180° 平角列式求解。 典｜例｜精｜析 45．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 46．（25-26七年级下·上海嘉定·期末）如图，，，垂足为点，如果，那么______    47．（25-26八年级下·全国·课堂例题）如图，，分别与，交于点A，F，若，，则______． 48．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 题型13 与角平分线有关的三角形内角和问题 解题贴士 遇角平分线先标相等两角，结合内角和列式，内外角平分线有固定角度结论，设元简化计算，区分两种平分线模型避免混淆。 典｜例｜精｜析 49．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，的度数为__________________． 变｜式｜巩｜固 50．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，于点，的平分线交于点，，，则的度数是________． 51．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）完成填空，并补全证明过程： 如图，是的一个外角，，的平分线与的平分线交于点，求的度数． 解：因为的平分线与的平分线交于， 所以， ．（ ）（填推理依据） 因为是的外角，是的外角， 所以 ， ． （ ）（填推理依据） … 52．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）结合图形，解决问题． (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_________． (2)已知：如图2，与分别是的两个外角，且．则_________． (3)如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数．（用含，的式子表示） 题型14 三角形折叠中的角度问题 解题贴士 折叠前后对应角相等，利用内角和、平角建立等量关系。顶点分内部、外部两种情况，找准重叠等角，设未知数快速计算角度。 典｜例｜精｜析 53．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，是边上的一点，将沿翻折，使点B恰好落在边上的点E处，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 54．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，点，分别是，上动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 55．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，长方形纸片中，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在点的位置，点落在点的位置（点在点右侧）．若，则__________． 56．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． (2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 (4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 题型15 三角形内角和的应用 典｜例｜精｜析 57．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，可调整的大小，使，则图中应________（填“增加”或“减少”）________度．横线上的结果是（     ） A．增加，5 B．增加，10 C．减小，5 D．减小，10 变｜式｜巩｜固 58．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图是一辆变速自行车的实物图，图是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 59．（25-26七年级下·河南南阳·期末）七巧板是我国一款传统的益智玩具，由宋朝的“燕几图”演变而来，能够启迪智慧，陶冶情操．七巧板是由五块含角的直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的．某同学利用图1（外轮廓为正方形）中的部分图形拼成图2中的图形．若，则_____． 60．（25-26七年级下·河南南阳·期末）在中，，点在直线上（点不与端点，重合）． (1)如图①，当点在线段上时，连接，作，交线段于点． ①若，则 °， °； ②当点在线段上运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，当点在的延长线上时，连接，作，交直线于点，若，请直接写出的度数． 题型16 三角形中压轴题 典｜例｜精｜析 61．（25-26七年级下·北京东城·期末）已知直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线，外一点，连接，．的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点M． (1)如图1，若，，则________； (2)如图2，当点P位于直线与直线之间，直线右侧时，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3．当点P在直线上方时，补全图形并写出与之间的数量关系． 变｜式｜巩｜固 62．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知：，点E，M分别是直线，上的点，F为射线上一动点，连接、，过点F作交射线于点G，点H为射线上一点，且平分． (1)如图1，若为钝角， ①求证：平分； ②若，求的度数； (2)如图2，若为锐角，，探究与之间的数量关系． 63．（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图1，已知直线与直线平行，两个相同的直角三角尺和摆放在与之间，其中，，点E在直线上，边在直线上，点G，P，F，N在同一条直线上． (1)请猜想的度数，并说明理由． (2)将绕点E以每秒的速度逆时针旋转并记为，设运动时间为t秒（）． ①如图2，固定不动，当与的其中一边平行时，求t的值． ②如图3，点Q在边上，连结，使平分．在旋转的同时，也绕点M以每秒的速度顺时针旋转并记为．当与的其中一边平行时，请直接写出t的值． 64．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）杭州风景如画，苏堤、白堤纵横交错，断桥、三潭印月相映成趣．在这些优美的景观布局中，蕴含着丰富的几何图形与位置关系．某数学实践小组在游览时发现，景观栈道、桥梁结构与观景路线中常常出现三角形与平行线的组合．请结合下列图形与情境，运用所学知识解决下列问题：如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连接，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在线段上有一点，连结，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 基础通关 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一个三角形的三边长度分别为2，5和x，则x的值可以是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）在中，边上的高线为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，是的中线．若，则_____． 6．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图，，，，则的度数为_____ ． 7．（18-19七年级下·上海奉贤·期末）将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一条直线上），那么图中_________． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，是的中线，于点，于点，，则是的________倍． 9．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图在方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． (1)画出向上平移6格后的图形； (2)画出的高； (3)直接写出和的关系：_____． 10．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 素养提升 11．（25-26七年级下·浙江金华·期末）已知一副三角板按如图方式摆放，其中，，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在处．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·安徽宿州·二模）如图，在中，，，且．则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 16．（25-26七年级下·浙江·期中）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，点在直线上，，则的度数为___________． 17．（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于__． 18．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图1，直线，直角三角尺的锐角顶点A，C分别在直线，上，点在直线之间，． （1）当时，______； （2）如图2，在线段上取一点，过点作直线，若射线平分，且满足，则_____． 19．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，求与的周长之差； (2)当，时，求的度数． 20．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，已知直线，，点是直线上的一个动点（不与点重合），，分别平分和． (1)当点在点左侧时，若，则=______°． (2)若点为点左侧运动时，求的度数是否会发生变化？若不变化，求出该度数；若变化，请说明理由． (3)与之间存在怎样的数量关系？写出结论并说明理由． 迁移创新 21．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，点，在上，点，在上，连接，，，且，交于点．若平分，，，当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图，点B在线段上，分别以，为边作正方形，正方形，若要求三角形（阴影部分）的面积，只要知道下列哪条线段的长（    ）． A． B． C． D． 23．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，将长方形纸片沿折叠（折线交，于，），点、分别对应点，，交于，再将四边形沿折叠，点、分别对应点、，交于．若，则的度数为________（用含的代数式表示）． 24．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在四边形中，，与交于点E，，设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为． (1)求证： (2)若，，，都是整数，且四边形的面积是25，求的值． 25．（25-26七年级下·浙江·期中）“一带一路”让中国和世界的联系更紧密．“中欧班列”为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转的探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒1度，灯转动的速度是每秒2度．假定主道路是平行的，即，且．          (1)填空：________； (2)若灯射线先转动24秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时开始转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束相交于点，过点作，交于点，且，则在转动过程中，试探究与的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $