1.1认识三角形2026-2027学年浙教版数学八年级上册暑期自学同步练（浙江地区适用）

**基本信息** 2026-2027学年浙教版数学八年级上册预习导学同步练，围绕“认识三角形”5个知识点，以“基础巩固-能力提升-实践拓展”分层设计，构建“概念理解-运算应用-综合探究”路径，适配暑假预习，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点直接应用|选择填空为主，如三角形分类判断、三边关系选择| |能力提升|跨知识点综合应用|解答证明题，如角平分线与内角和推理、中线分面积计算| |实践拓展|生活情境与动手操作|结合塔吊边长判断、悬挂法确定重心实践题|

2026-2027学年浙教版数学八年级上册预习导学系列 第一章第1节认识三角形 配套综合练习 一、选择题 1.观察下列图形，其中是三角形的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形是由三条线段首位顺次连接形成的封闭图形，即可解答。 【详解】解：A、C、D不是三角形，不符合题意； B是三角形，符合题意； 故选：B。 2.图中，以DE为边的三角形有（     ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据三角形的边得出三角形即可。 【详解】解：以DE为边的三角形有△DEC，△AED，△DEF，△BED， 故选：C。 3.现有长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形有（     ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据构成三角形的条件进行求解即可。 【详解】解：从长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形能构成三角形的情况有：；， ∴可以组成的三角形有2个， 故选B。 4.如图，把纸片沿折叠，则（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质得，，再根据三角形内角和即可得到。 【详解】解：由折叠的性质得，， ∴， ∵， ∴， 故选：B。 5.在中，、分别是的高，且，，则（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积计算，属于基础知识的考查，难度不大，利用三角形中的不同的底与其上高的乘积都等于三角形的面积是解答的关键。 根据的面积等于底乘高除以2，分别以为底，为高和以为底，为高两种方式计算，面积相等，列出等式，再将已知数据代入，解出即可。 【详解】解：∵在中，、分别是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A。 6.如图所示，是的平分线，是的平分线，与交于点G．若，则的度数是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．根据三角形内角和定理求出，，所以，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形内角和定理即可求出答案。 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， 在中，， 故选：C。 7.在中，，则为（     ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 【答案】B 【分析】根据分别设出三个角的度数，再根据三角形的内角和为180°列出一个方程，解此方程即可得出答案。 【详解】∵， ∴可设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x， 根据三角形的内角和可得：x+2x+3x=180°， 解得：x=30°， ∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°， 因此△ABC是直角三角形， 故答案选择B。 8.如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（     ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度，从而可得答案。 【详解】解： 是的中线， ， 的面积等于的面积， 故正确； ，是的高， ∴ ，， 是的角平分线， ∴ ， ， 又 ， ， 故正确；   ， ， ， 故正确； ∵， ， 故错误； 故选：C。 9.在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（     ）。 A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键。 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答。 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16， 故选A。 10.如图，的面积为1．第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到．第二次操作：分别延长至点；使，，，顺次连接，得到，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过，最少经过（     ）次操作。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据等底同高的两个三角形的面积相等，求出、的面积，进而得出答案。 【详解】解：如图， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，，， ∴， 同理可得，第二次操作后， 第三次操作后的面积为， 第四次操作后的面积为， 故按此规律，要使到的三角形的面积超过，至少要经过4次操作； 故选：C。 二、填空题 11.如图，把一张直角△ABC纸片沿DE折叠，已知∠1＝68°，则∠2的度数为_______。 【答案】46° 【分析】由题意得∠C′＝90°，由折叠得∠CDE＝∠C′DE，那么∠CDE＝180°﹣∠1＝112°，故∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°，进而推断出∠C′DA＝112°﹣68°＝44°，从而求得∠2。 【详解】解：由题意得：∠C′＝90°， 由折叠得∠CDE＝∠C′DE， ∵∠1＝68°， ∴∠CDE＝180°﹣∠1＝112°， ∴∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°， ∴∠C′DA＝112°﹣68°＝44°， ∴∠2＝180°﹣∠C′﹣∠C′DA＝46°， 故答案为：46°。 12.在中，，则的度数为_____。 【答案】/60度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度，结合，进行列式计算，即可求解。 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：。 13.如图，在 中，， 分别是 ， 的中点， 的面积为 ，则的面积为_________。 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：是的面积的2倍，的面积是的面积的2倍，依此即可求解。 【详解】解：， 分别是 ， 的中点， ，， ∴S△BDE= 1/4 S△ABC =1/4×6=， 故答案为：。 14.如图，在中，平分交于点，于点，若，，则的度数是 ________。 【答案】 【分析】本题考查了角的相关运算，涉及角的平分线、三角形内角和与垂直的性质，先利用直角得到的度数，再依次得到、的度数，再根据角平分线得到的度数，最后利用三角形内角和求得结果。 【详解】解：，，， ， ， ； 平分， ， ，故答案为：。 15.已知一个三角形的三边长分别为5、x、8，则化简的结果为______。 【答案】11 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质。 由三角形三边关系定理得到，推出，，据此化简，即可得到答案。 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ， ，， =11，故答案为：11。 16.如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是_______。 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，利用三角形的面积公式列出等式是解题关键。 根据三角形的面积公式即可得。 【详解】由题意得： ， 解得， 故答案为：。 三、解答题 17.如图，过五个点中任意三点画三角形。 （1）以为一边画出一个三角形，其中以为一边可以画出__________个三角形； （2）以为顶点画出一个三角形，其中以为顶点可以画出__________个三角形。 【答案】(1)3 (2)6 【分析】本题考查了三角形的定义； （1）根据三角形定义，再选择一个点，然后顺次连接即可画出图形； （2）根据三角形的定义，再、、、中任意选择两个点，然后顺次连接即可画出图形. 【详解】（1）解：其中以为一边可以画出3个三角形为： 故答案为：； （2）其中以为顶点可以画出6个三角形为：， 故答案为：。 18.如图，在中，E是中线的中点，的面积是1，求的面积。 【答案】 【分析】本题考查三角形的中线。根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可。 【详解】解：作于点H， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴同理可得。 19.某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表所示。某校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经选好了两根长度分别为和的钢管（钢管不可截断使用），还需要再选一根。 规格/dm 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 10 15 20 25 30 35 （1）有哪几种规格的钢管可供选择？ （2）若要求做成的三角形支架的周长为偶数，求做成三角形支架一共需要花多少钱购买钢管？ 【答案】(1)长度为、、的钢管可供选择 (2)做成三角形支架一共需要花75元购买钢管 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用： （1）根据三角形三边关系“三角形的两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边”即可求解； （2）根据题意求出第三边长，进而可求解。 【详解】（1）解：设第三根钢管的长度为， 则，即：， ∴长度为、、的钢管可供选择； （2）解：∵三角形支架的周长为偶数， ∴三边长分别为、、， 则花的钱数为：15+30×2=75（元）， 答：做成三角形支架一共需要花75元购买钢管。 20.如图，在中，是中线，， （1）求与的周长差； （2）点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长。 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形中线的相关计算，理解图示，掌握周长的计算是关键。 （1）根据中线得到，由周长的计算公式及周长的计算得到周长差为，代入计算即可； （2）根据周长的计算，结合题意得到，根据，代入计算即可求解。 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∵的周长为， 的周长为，是中线， ∴ ； （2）解：的周长为， 四边形的周长为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴。 21.如图所示．、分别是的角平分线和高， （1）若，，求的度数； （2）试探究、、之间的数量关系，并说明理由。 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线和高的定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键。 （1）先利用三角形的内角和求得，再利用角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得，，进而求解即可； （2）利用三角形的内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得，，进而求解即可。 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵，分别是的角平分线和高， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，分别是的角平分线和高， ∴，， ∴， ∴ 。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙教版数学八年级上册预习导学系列 第一章第2节定义与命题 配套综合练习 一、选择题 1.下列语句是命题的是（    ）。 A．画一条线段 B．对顶角相等 C．过点P作直线l的垂线 D．今天天气好吗？ 2.用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”“的第一步应假设（    ）。 A． B． C． D． 3.下列属于定义的是（    ）。 A．两点确定一条直线 B．线段是直线上的两点和两点间的部分 C．同角或等角的补角相等 D．内错角相等，两直线平行 4.下列命题中，是真命题的是（    ）。 A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．同旁内角相等，两直线平行 C．相等的角是对顶角 D．内错角相等 5.下列命题中的假命题是（    ）。 A．同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．对顶角相等 D．同旁内角相等，两直线平行 6.下列选项中，能够说明“若是非零有理数，则”是假命题的是（    ）。 A． B． C． D． 7.下列说法中，不正确的是（    ）。 A．命题是判断一件事情的句子 B．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 C．公理的正确与否必须用推理的方法来证实 D．要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可 8.有下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③在三角形中，两边之和大于第三边；④一个平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。其中真命题有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9.下列语句中，假命题有（    ）。 （1）过一点有且只有一条直线平行于已知直线；（2）不相等的两个角一定不是对顶角；（3）直角的补角必是直角；（4）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（5）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（6）两角之和为，这两个角一定是邻补角；（7）若则。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10.下列说法中错误的个数是（    ）。 （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）三角形的三条中线交点必在三角形的内部； （4）“相等的角是对顶角”是一个真命题； （5）有一条公共边并且和为的两个角互为邻补角； （6）点到直线的垂线的长度叫做这点到直线的距离。 A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11.把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式 。 12.请举出一个关于角相等的定理： 。 13.在学完定义与命题后，小林在笔记本上记下了几个定义： ①如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都为1，那么这个方程就叫作二元一次方程；②不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接得到的图形是三角形；③正比例函数是特殊的一次函数．你认为其中正确的是________。（请填写序号） 14.能说明“如果，那么”是假命题的反例是：____，____． 15.下列命题中：①一个角的补角可能是锐角；②在平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是平行或相交；③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中真命题有______(填题号)。 16.能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______。 三、解答题 17.指出命题“全等三角形的面积相等”的条件和结论。 18.阅读下文，并从中摘出定义和命题： 在大气中，水蒸气、二氧化碳和其他一些气体的作用与玻璃窗类似。这些气体允许太阳光到达地面，但是阻止热量从地球表面逃逸，这种保持地球表面热能的作用，称为温室效应。如果没有温室效应，地球就会变冷，平均温度大约将下降。 19.判断下列命题是真命题，还是假命题；如果是假命题，举一个反例。 （1）若，则； （2）同位角相等，两直线平行； （3）一个角的余角小于这个角； （4）如果，那么点是的中点。 20.如图，有如下三个论断：①，②，③。请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题。 （1）你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______；（填序号） （2）请证明你选择的命题。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙教版数学八年级上册预习导学系列 第一章第1节 认识三角形 知识点一：三角形的分类 （1）锐角三角形：三角形的三个内角都是锐角。 （2）直角三角形：有一个内角是直角。 （3）钝角三角形：有一个内角是钝角。 （4）判断方法： ①判定一个三角形是锐角三角形时，只需满足最大角为锐角即可。 ②三角形三个内角的和等于180°。 ③如果一个三角形中，两个角的和等于第三个角，那么该三角形是直角三角形。 例题：在中，如果，那么是（    ）。 A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．斜三角形 知识点一 专项练习 1.在△ABC中，若∠A－∠B＝90°，则△ABC是（     ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 2.如图，点E，D分别在上，若，，则的度数为（     ）。 A． B． C． D． 3.若是锐角三角形，且，则可能的度数是（     ）。 A． B． C． D． 4.在△ABC中，∠A+∠B=90°，则△ABC是_______三角形。 5.如图，将沿方向平移得到，交于点M，若，则________。 知识点二：三角形的三边关系 （1）三角形任何两边的和大于第三边； 如图，△ABC的三边分别是a，b，c，则a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a。 （2）三角形任意两边之差小于第三边→任意三角形第三边的取值范围：两边之差（取绝对值）＜三角形的第三边＜两边之和。 例题：小李想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的细木条，需要将其中一根木条分为两段与另一根组成一个三角形．如果不考虑损耗和接头部分，那么小李应该选择把哪根木条分为两段？（    ）。 A．的木条 B．的木条 C．两根都可以 D．两根都不行 知识点二 专项练习 1.以下列各组长度的线段为边，能组成三角形的是（     ）。 A．1，1，2 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，3，9 2.已知线段，，首尾顺次相接组成三角形，若，，则的值不可能是（     ）。 A．3 B．4 C．5 D．6 3.下图是工地施工所用的塔吊，塔吊上端有两根钢丝绳，其两根钢丝绳与起重臂围成的三角形三边长可能是（     ）。 A．，， B．，， C．，， D．，， 4.一个三角形的两边长分别为3和5，若第三边的长为奇数，则这个三角形第三边的长不可能为（     ）。 A．7 B．5 C．3 D．1 5.已知三角形三边长分别为2，9，，若为偶数，则这样的三角形有___________个。 6.若三角形的两条边的长度分别是3和7，则第三条边的长度x的范围是_________。 7.已知、、为的三边，化简： ________。 8.如图，点D是的边上任意一点，求证：。 9.小刚准备用一段长米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的倍少米。 （1）请用含的式子表示第三条边长； （2）第一条边长能否为10米？为什么？ 知识点三：三角形的角平分线 （1）概念：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段就是三角形的角平分线。 三角形的角平分线是线段。 （2）三角形的角平分线的表达形式： 如图，AD是△ABC的一条角平分线，或∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC且点D在边BC上。 （3）三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且三条角平分线交于三角形内的一点。 例题：如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）。 A． B． C． D． 知识点三 专项练习 1.如图，、都是的角平分线，且，则（     ）。 A．45° B．50° C．65° D．70° 2.如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有__________个。 3.已知中，．在图1中的平分线交于点，则可计算得；在图2中，设的两条三等分角线分别对应交于，则_______。 4.如图，在中，，的平分线相交于点I．若，，则的度数是___________。 5.如图1，线段与相交于点O，连接，我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系。 （1）请通过观察、测量，猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作与的平分线交于点P，若，求的度数； （3）智慧小组在图1的基础上，分别作射线，使得，，两条射线交于点P，请直接写出之间的数量关系。 知识点四：三角形的中线 （1）概念：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中线的线段，叫三角形的中线。 （2）任何三角形都有三条中线，且都在三角形的内部，三条中线相交于一点。 （3）三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。 （4）三角形的一条中线所分成的两个三角形的面积相等。 （5）三角形的一条中线所分成的两个三角形的周长关系： 如图，∵△ABC的周长=AB+BD+AD,△ACD的周长=AC+CD+AD， ∴△ABD的周长-△ACD的周长=（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB-AC。 （6）三角形中线的做法：只需要连结顶点及其对边的中线即可。 例题：如图，在中，D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（    ）。 A．3 B．4 C．6 D．8 知识点四 专项练习 1.如图，在中，点是边中点，点是中线的中点．若的面积是，则的面积是（     ）。 A． B． C． D． 2.如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（     ）。 A． B． C． D． 3.如图，中，为边上的中线，若的面积为12，则的面积是___________。 4.如图，是的中线，是的中线。若，则的长为________。 5.悬挂法确定匀质薄板的重心的实践练习题： 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等。 【实践操作】 步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心。 【实践探索】 （1）根据实践操作步骤，画出题图2中不规则形状硬纸板的重心； （2）我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，如图3，在中，、、分别是的三条中线，点是的重心； ①若的面积是6，则的面积是____________； ②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍，请用你所学的数学知识进行证明。 知识点五：三角形的高线 （1）概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。 （2）三角形三条高线的位置： 三角形类型 高线位置 三条高线交点位置 图示 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三角形内部 直角三角形 有两条高线恰好是直角三角形的两直角边，另一条高线在三角形内部 三条高线的交点是直角顶点 钝角三角形 有两条高线落在三角形外部，另一条高线在三角形内部 三条高线所在直线交于三角形外一点 例题：如图，是的_________边上的高；在中，是_________上的高，还是_________的高；是_________的_________边上的高。 知识点五 专项练习 1.如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（    ）。 A． B． C． D． 2.直角三角形的三条高的交点在___________________。 3.在直角三角形中，，，， ，则点C到的距离为___________。 4.作三角形中边上的高。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年浙教版数学八年级上册预习导学系列 第一章第1节认识三角形配套综合练习 一、选择题 1.观察下列图形，其中是三角形的是()。 B 2.图中，以DE为边的三角形有()。 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.现有2cm,4cm,5cm,8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么 可以组成的三角形有()。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，则()。 试卷第1页，共3页 A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2 C.3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2) 5.在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高，且AD=3,CE=4,则AB:BC=( D A.3:4 B.4:3 C.1:2 D.2:1 6.如图所示，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于点 G.若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则LA的度数是()。 F G D 3 试卷第2页，共3页 A.70° B.75 C.80° D.85° 7在ABC中，A-8-C,则Hc为()三角形. A.锐角 B.直角 C.钝角 D.等腰 8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,BC=I0,AD是高，BE是中 线，CF是角平分线，CF交AD于点G,交BE于点H,给出以下结论：① S=S:②∠AFG=∠4GF；⑧4G=2∠1CF;④4D=24,以上说法正确 的个数是()。 A.1 B.2 C.3 D.4 9.在△ABC中，AB=AC,AB边上的中线CD把△ABC的周长分成24和12的两部分， 则AB的长是()。 A.16 B.8 C.16或8 D.8或4 10.如图，△ABC的面积为1.第一次操作：分别延长AB,BC,CA至点A,B, 试卷第3页，共3页 G使48=B,8C=8C,C4=C1,顺次连接4,8，C,得到△486.第 二次操作：分别延长AB,B,C,CA至点4，B,C2;使A,B=AB,B,C=BC, C4=C4,顺次连接4，，C,得到△1BC,…按此规律，要使得到的三角形 的面积超过2021，最少经过（)次操作。 B2 A2 B A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题 11.如图，把一张直角△ABC纸片沿DE折叠，已知∠1=68°，则∠2的度数为_ B 12.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠B的度数为一。 试卷第4页，共3页 13.如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AD的中点，△ABC的面积为 6m,则BD 的面积为 E B D 14.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,CE⊥AB于点E,若∠B=50°， ∠4CE=20°，则4DC 的度数是 A E 15.已知一个三角形的三边长分别为5、x、8,则化简K-2+x-1 的结果为 16.如图，在△ABC中，AB=8,BC=6,AB、BC边上的高CE、AD交于点H, 则AD与CE的比值是 试卷第5页，共3页 E H D 三、解答题 17如图，过A,B,C,D,E五个点中任意三点画三角形。 E B (I)以AB为一边画出一个三角形，其中以AB为一边可以画出 个三 角形： (2)以C为顶点画出一个三角形，其中以C为顶点可以画出. 个三角 形。 试卷第6页，共3页 18.如图，在△ABC中，E是中线AD的中点，△AEC的面积是1，求△ABC的面积。 E 19.某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表所示。某校要制作一 个三角形支架的宣传牌，已经选好了两根长度分别为2dm和5dm的钢管（钢管 不可截断使用)，还需要再选一根。 规格/dm 1 3 5 6 1 3 价格/（元/根） 15 25 35 0 0 0 (1)有哪几种规格的钢管可供选择？ (2)若要求做成的三角形支架的周长为偶数，求做成三角形支架一共需要花多 试卷第7页，共3页 少钱购买钢管？ 20.如图，在△ABC中，AD是中线，AB=10cm,AC=6cm, E B D (I)求△ABD与△ACD的周长差； (2)点E在边AB上，连接ED,若△BDE与四边形ACDE的周长相等，求线段 AE的长。 21.如图所示.AD、AE分别是△ABC的角平分线和高， 试卷第8页，共3页 B DEC (1)若∠B=50°，∠C=70°，求∠DAE的度数： (2)试探究∠DAE、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由。 试卷第9页，共3页 2026-2027学年浙教版数学八年级上册预习导学系列 第一章第2节定义与命题 配套综合练习 一、选择题 1.下列语句是命题的是（    ）。 A．画一条线段 B．对顶角相等 C．过点P作直线l的垂线 D．今天天气好吗？ 【答案】B 【分析】命题的定义为：判断一件事情的语句叫做命题。根据定义判断语句是否对一件事情作出判断即可得到结果。 【详解】解：选项A.画一条线段是作图操作，没有对任何事情作出判断，不是命题; 选项B.对顶角相等，对对顶角的大小关系作出了明确判断，符合命题的定义; 选项C.过点作直线的垂线是作图操作，没有对任何事情作出判断，不是命题; 选项D.今天天气好吗？是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题。 2.用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”“的第一步应假设（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反证法，是假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证，根据反证法的证明方法即可求解。 【详解】解：原命题的条件是“在中，对边是，若”，结论是“”， ∴根据反证法的证明方法，在原命题的条件下，假设结论不成立，即， 故选：。 3.下列属于定义的是（    ）。 A．两点确定一条直线 B．线段是直线上的两点和两点间的部分 C．同角或等角的补角相等 D．内错角相等，两直线平行 【答案】B 【分析】根据定义的属性进行判断即可。 【详解】解：A.两点确定一条直线为确定直线的条件，不是定义，故该选项不符合题意； B.线段是直线上的两点和两点间的部分，此为线段的定义，故该选项符合题意； C.同角或等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故该选项不符合题意； D.内错角相等，两直线平行是平行线的性质，不是定义，故该选项不符合题意； 故选：B。 4.下列命题中，是真命题的是（    ）。 A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．同旁内角相等，两直线平行 C．相等的角是对顶角 D．内错角相等 【答案】A 【详解】解：∵选项A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是几何基本性质，该命题是真命题； 选项B.平行线的判定定理为同旁内角互补，两直线平行，该命题是假命题； 选项C.相等的角不一定是对顶角，例如任意两个直角都相等但不一定是对顶角，该命题是假命题； 选项D.只有两直线平行时，内错角才相等，缺少前提条件，该命题是假命题。 5.下列命题中的假命题是（    ）。 A．同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．对顶角相等 D．同旁内角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】根据平行线的判定、平行公理、对顶角的性质逐一即可判断。 【详解】解：.同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，符合几何定理，是真命题，该选项不符合题意； .过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是平行公理内容，是真命题，该选项不符合题意； .对顶角相等，是对顶角的基本性质，是真命题，该选项不符合题意； .平行线的判定定理为同旁内角互补，两直线平行，同旁内角相等不能推出两直线平行，原命题是假命题，该选项符合题意。 6.下列选项中，能够说明“若是非零有理数，则”是假命题的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了举反例说明命题为假命题，要说明原命题是假命题，需找到满足题设（是非零有理数）但不满足结论的反例，根据绝对值的性质，正有理数的绝对值是其本身，此时，因此找正有理数即可。 【详解】解：∵当时，是有理数， 又∵， ∴， 即存在有理数，使得，故原命题是假命题； 对于A选项，时，，符合结论，不能说明原命题为假命题； 对于C选项，时，，符合结论，不能说明原命题为假命题； 对于D选项，是无理数，不满足题设“是有理数”，不能作为反例说明原命题为假命题； 故选：B 。 7.下列说法中，不正确的是（    ）。 A．命题是判断一件事情的句子 B．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 C．公理的正确与否必须用推理的方法来证实 D．要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可 【答案】C 【分析】本题可逐个分析各项，利用排除法得出答案。 【详解】解：A.正确，是命题的定义； B.正确，符合证明的定义； C.错误，是人们在长期实践中总结出来的基本数学知识并作为判定其它命题真假的根据，不需要由其他判断加以证明； D.正确，是我们证明假命题常用的方法； 故选C。 8.有下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③在三角形中，两边之和大于第三边；④一个平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。其中真命题有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题重点考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的判定与性质、三角形的三边关系。逐一分析判定，即可解答。 【详解】解：①对顶角相等，正确，故为真命题；②内错角相等，错误，是两直线平行，内错角相等；故为假命题；③在三角形中，两边之和大于第三边，正确，故为真命题；④在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行，正确，故为真命题； ∴真命题有3个； 故选：C。 9.下列语句中，假命题有（    ）。 （1）过一点有且只有一条直线平行于已知直线；（2）不相等的两个角一定不是对顶角；（3）直角的补角必是直角；（4）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（5）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（6）两角之和为，这两个角一定是邻补角；（7）若则。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查命题与定理，判断为真的命题就是真命题，判断为假的命题就是假命题。 根据平行线的基本事实，平行线的性质和判定等，逐项判断，即可求解。 【详解】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，原命题是假命题； （2）不相等的两个角一定不是对顶角，是真命题； （3）直角的补角必是直角，是真命题； （4）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题； （5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； （6）两角之和为，这两个角不一定是邻补角，原命题是假命题； （7）若则，是真命题； 假命题有4个， 故选：C。 10.下列说法中错误的个数是（    ）。 （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）三角形的三条中线交点必在三角形的内部； （4）“相等的角是对顶角”是一个真命题； （5）有一条公共边并且和为的两个角互为邻补角； （6）点到直线的垂线的长度叫做这点到直线的距离。 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题，根据平行公理，垂直定义，三角形中线，对等角，邻补角定义，点到直线的距离逐一排除即可，掌握相关知识的应用是解题的关键。 【详解】解：（）平行公理指出，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； （）同一平面内，过一点（无论是否在直线上）有且仅有一条直线与已知直线垂直，原说法正确； （）三角形的三条中线交点必在三角形的内部，原说法正确； （）“相等的角是对顶角”是一个假命题，原说法错误； （）邻补角需满足“一边公共，另一边互为反向延长线”，原说法错误； （）点到直线的距离是垂线段的长度，原说法错误； 综上，错误的命题为（）、（）、（）、（），共个， 故选：。 二、填空题 11.把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式 。 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【分析】本题考查命题的改写，找准命题中的题设与结论是解题的关键；将原命题分解为题设和结论，并用“如果”引导题设，“那么”引导结论。 【详解】解：把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式为“如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零”； 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零。 12.请举出一个关于角相等的定理： 。 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】任意写出一个角相等的定理即可。 【详解】解：关于角相等的定理：两直线平行，同位角相等 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）。 13.在学完定义与命题后，小林在笔记本上记下了几个定义： ①如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都为1，那么这个方程就叫作二元一次方程；②不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接得到的图形是三角形；③正比例函数是特殊的一次函数．你认为其中正确的是________。（请填写序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了二元一次方程、三角形和正比例函数的定义，熟练掌握三者的定义是解题的关键。 【详解】①如果一个整式方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都为1，那么这个方程就叫作二元一次方程，原说法错误，故①错误； ②由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接得到的图形是三角形，符合定义的要求，故②正确； ③正比例函数的定义：形如，且k是常数的函数，叫做正比例函数；“正比例函数是特殊的一次函数”描述的是正比例函数与一次函数的关系，不是正比例函数的定义，故③错误； 故答案为：②。 14.能说明“如果，那么”是假命题的反例是：____，____． 【答案】； ． 【分析】本题考查了举反例，举一组例子说明时有即可求解，掌握举反例的定义是解题的关键。 【详解】解：要说明“如果，那么”是假命题，只需要举一组例子说明时有就可以， 当，时，有，但， ∴，是假命题的反例， 故答案为：；。 15.下列命题中：①一个角的补角可能是锐角；②在平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是平行或相交；③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中真命题有______(填题号)。 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理。利用互补的定义、两直线的位置关系、垂直的定义及平行线的判定方法分别判断后即可确定正确的选项。 【详解】解：①一个角的补角可能是锐角，正确，是真命题，符合题意； ②在平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是平行或相交，正确，是真命题，符合题意； ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，符合题意； ④平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 故答案为：①②③。 16.能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______。 【答案】（答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键。 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答。 【详解】解：当，时，，但是， 故答案为：，1（答案不唯一）。 三、解答题 17.指出命题“全等三角形的面积相等”的条件和结论。 【答案】条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”。 【分析】本题考查了对命题的题设和结论的理解，根据“命题由条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的结论”求解即可。 【详解】解：条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”。 18.阅读下文，并从中摘出定义和命题： 在大气中，水蒸气、二氧化碳和其他一些气体的作用与玻璃窗类似。这些气体允许太阳光到达地面，但是阻止热量从地球表面逃逸，这种保持地球表面热能的作用，称为温室效应。如果没有温室效应，地球就会变冷，平均温度大约将下降。 【答案】见解析 【分析】根据定义和命题的概念，阅读文章，找出定义和命题即可。 【详解】文中的定义∶大气中一些气体保持地球表面热能的作用，叫做温室效应； 文中的命题∶大气中一些气体保持地球表面热能的作用，叫做温室效应；如果没有温室效应，地球会变冷。 19.判断下列命题是真命题，还是假命题；如果是假命题，举一个反例。 （1）若，则； （2）同位角相等，两直线平行； （3）一个角的余角小于这个角； （4）如果，那么点是的中点。 【答案】（1）假命题，见解析；（2）真命题；（3）假命题，见解析；（4）假命题，见解析。 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而进行判断；举反例时，满足题设，不满足结论即可。 【详解】解：（1）假命题．如：，但； （2）真命题； （3）假命题，如：30°角的余角是60°，而； （4）假命题，如：如图，等腰，但点不是的中点。 20.如图，有如下三个论断：①，②，③。请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题。 （1）你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______；（填序号） （2）请证明你选择的命题。 【答案】(1)①②，③或②③，①或①③，② (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。 （1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得。 【详解】（1）解：①选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ②选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ③选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； （2）解：①如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③如果，，那么； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙教版数学八年级上册预习导学系列 第一章第1节 认识三角形 知识点一：三角形的分类 （1）锐角三角形：三角形的三个内角都是锐角。 （2）直角三角形：有一个内角是直角。 （3）钝角三角形：有一个内角是钝角。 （4）判断方法： ①判定一个三角形是锐角三角形时，只需满足最大角为锐角即可。 ②三角形三个内角的和等于180°。 ③如果一个三角形中，两个角的和等于第三个角，那么该三角形是直角三角形。 例题：在中，如果，那么是（    ）。 A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．斜三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和是是解题的关键。 根据三角形内角和定理直接解答即可。 【详解】解：∵，， ∴， 故是直角三角形，故选：A。 知识点一 专项练习 1.在△ABC中，若∠A－∠B＝90°，则△ABC是（     ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由已知条件，结合三角形的分类即可解答。 【详解】解：在三角形ABC中，∠A－∠B＝90°， ∴△ABC是钝角三角形 故选：A。 2.如图，点E，D分别在上，若，，则的度数为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理进行求解即可。 【详解】解：∵， ∴， 故选A。 3.若是锐角三角形，且，则可能的度数是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，三角形内角和定理解答即可。 本题考查了锐角三角形，三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键。 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∵ 是锐角三角形， ∴， ∴， 故选：D。 4.在△ABC中，∠A+∠B=90°，则△ABC是_______三角形。 【答案】直角 【分析】根据∠A+∠B=90°，应用三角形的内角和定理，求出∠C的度数，即可判断出△ABC是什么三角形。 【详解】解：∵∠A+∠B=90°， ∴∠C=180°-90°=90°， ∴△ABC是直角三角形， 故答案为：直角。 5.如图，将沿方向平移得到，交于点M，若，则________。 【答案】/50度 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平移的性质，牢记“三角形内角和是”是解题的关键。利用平移的性质，可得出，在中，利用三角形内角和定理，可求出（即）的度数。 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， 在中，，， ∴， ∴，故答案为：。 知识点二：三角形的三边关系 （1）三角形任何两边的和大于第三边； 如图，△ABC的三边分别是a，b，c，则a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a。 （2）三角形任意两边之差小于第三边→任意三角形第三边的取值范围：两边之差（取绝对值）＜三角形的第三边＜两边之和。 例题：小李想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的细木条，需要将其中一根木条分为两段与另一根组成一个三角形．如果不考虑损耗和接头部分，那么小李应该选择把哪根木条分为两段？（    ）。 A．的木条 B．的木条 C．两根都可以 D．两根都不行 【答案】A 【分析】三角形两边之和大于第三边．依此即可求解。 【详解】∵三角形两边之和大于第三边， ∴两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，可以把的细木条分为两截， 故选：A。 知识点二 专项练习 1.以下列各组长度的线段为边，能组成三角形的是（     ）。 A．1，1，2 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，3，9 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断. 【详解】解：A.，不能构成三角形，故此选项不符合题意； B.，不能构成三角形，故此选项不符合题意； C.，能构成三角形，故此选项符合题意； D.，不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C。 2.已知线段，，首尾顺次相接组成三角形，若，，则的值不可能是（     ）。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据构成三角形的条件进行求解即可。 【详解】解：由题意得，，即， ∴， ∴四个选项中只有选项D符合题意， 故选D。 3.下图是工地施工所用的塔吊，塔吊上端有两根钢丝绳，其两根钢丝绳与起重臂围成的三角形三边长可能是（     ）。 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系应用．根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可。 【详解】解：A.，，，不能构成三角形，不合题意； B.，，，不能构成三角形，不合题意； C.，，，能构成三角形，符合题意； D.，，，不能构成三角形，不合题意； 故选：。 4.一个三角形的两边长分别为3和5，若第三边的长为奇数，则这个三角形第三边的长不可能为（     ）。 A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键。先利用三角形三边关系确定第三边长的取值范围，再利用第三边长为奇数，再进一步求解即可。 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为和， ∴第三边长， 即第三边长， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为，，， ∴不符合题意， 故选：D。 5.已知三角形三边长分别为2，9，，若为偶数，则这样的三角形有___________个。 【答案】2 【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再根据x为偶数，确定x的可能取值即可解答。 【详解】解：∵三角形三边长分别为2，9， ∴， ∵x为偶数， ∴x可能是8和10， 即这样的三角形有2个， 故答案为：2。 6.若三角形的两条边的长度分别是3和7，则第三条边的长度x的范围是_________。 【答案】 【分析】此题主要考查的是三角形的三边关系，已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和。据此求解即可。 【详解】解：根据三角形三边关系定理知：第三边x的取值范围是：，即， 故答案为：。 7.已知、、为的三边，化简： ________。 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，以及绝对值的意义。由三角形的三边关系以及绝对值的意义进行化简，即可得到答案。 【详解】解：∵a，b，c为的三边， ∴，， ∴，，， ∴ 故答案为：。 8.如图，点D是的边上任意一点，求证：。 【答案】见解析 【分析】分别在两个三角形中利用两边之和大于第三边的得到不等式，然后相加可得结论。 【详解】证明：在中，， 在中，， ∴， 即。 9.小刚准备用一段长米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的倍少米。 （1）请用含的式子表示第三条边长； （2）第一条边长能否为10米？为什么？ 【答案】(1)米 (2)第一条边长不能为米，理由见解析 【分析】本题主要考查了根据题意列代数式，三角形三边关系等知识； （1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长； （2）当时，三边长分别为，根据三角形三边关系即可作出判断。 【详解】（1）解：∵第一条边长为米, 第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米 ∴第二条边长为米， ∴米； ∴第三条边长为米； （2）解：不能， 因为当时，三边长分别为， 由于，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为米。 知识点三：三角形的角平分线 （1）概念：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段就是三角形的角平分线。 三角形的角平分线是线段。 （2）三角形的角平分线的表达形式： 如图，AD是△ABC的一条角平分线，或∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC且点D在边BC上。 （3）三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且三条角平分线交于三角形内的一点。 例题：如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出。 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A。 知识点三 专项练习 1.如图，、都是的角平分线，且，则（     ）。 A．45° B．50° C．65° D．70° 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理解得，再根据角平分线的性质解得，最后根据三角形内角和定理解答即可。 【详解】解：， ， 、都是的角平分线， ， ， ， 故选：B。 2.如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有__________个。 【答案】3/三 【分析】由角平分线的定义得，等量代换得，进而可得答案。 【详解】∵为两条角平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶3。 3.已知中，．在图1中的平分线交于点，则可计算得；在图2中，设的两条三等分角线分别对应交于，则_______。 【答案】 【分析】首先根据三角形内角和定理可得，再由三等分角线可得，由三角形内角和定理即可求得。【详解】解：∵， ∴， ∵的两条三等分角线分别对应交于， ∴， ∴， 故答案为：。 4.如图，在中，，的平分线相交于点I．若，，则的度数是___________。 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理。先利用角平分线的定义求出和的度数，再运用的内角和是，求解的度数。 【详解】解：∵，的平分线相交于点I，，， ∴，， ∴， 故答案为：。 5.如图1，线段与相交于点O，连接，我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系。 （1）请通过观察、测量，猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作与的平分线交于点P，若，求的度数； （3）智慧小组在图1的基础上，分别作射线，使得，，两条射线交于点P，请直接写出之间的数量关系。 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，对顶角相等，理解题意灵活运用题中得出的“字形”性质，是解答本题的关键。 （1）根据三角形内角和对顶角相等结合等式性质即可得出结论； （2）根据角平分线的定义得到，，再根据“8字形”得到，两等式相减得到，即，即可求解； （3）根据，可得，，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得，即可得出结论。 【详解】（1）解：， 证明：， ， 又， ； （2）解：平分，平分， ，， 由“8字形”得到， 两等式相减得到， 即， ， ； （3）解：， ，， ，， 由“8字形”得到， ，， ， 。 知识点四：三角形的中线 （1）概念：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中线的线段，叫三角形的中线。 （2）任何三角形都有三条中线，且都在三角形的内部，三条中线相交于一点。 （3）三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。 （4）三角形的一条中线所分成的两个三角形的面积相等。 （5）三角形的一条中线所分成的两个三角形的周长关系： 如图，∵△ABC的周长=AB+BD+AD,△ACD的周长=AC+CD+AD， ∴△ABD的周长-△ACD的周长=（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB-AC。 （6）三角形中线的做法：只需要连结顶点及其对边的中线即可。 例题：如图，在中，D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（    ）。 A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两份成为解题的关键。 根据D是的中点，得到，由点是的中点，得到，再由即可求解。 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故选：C。 知识点四 专项练习 1.如图，在中，点是边中点，点是中线的中点．若的面积是，则的面积是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的中线平分面积这个性质，先求出的面积，再求出的面积。 【详解】解：点是线段的中点， ， 的面积是， ， 点是边中点， ， 的面积是， 故选：B。 2.如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质，关键是相等线段的转化。 由中线可得与周长差等于边与的差，进而可以得到的周长。 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的周长为， 故答案选：A 。 3.如图，中，为边上的中线，若的面积为12，则的面积是___________。 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的中线，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可。 【详解】解：∵为边上的中线， ∴的面积， 故答案为：6。 4.如图，是的中线，是的中线。若，则的长为________。 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，由是的中线可得是的中点，得；由是的中线得。 【详解】解：∵是的中线， ∴是的中点， ∴， ∵, ∴； 又是的中线， ∴， 故答案为：2。 5.悬挂法确定匀质薄板的重心的实践练习题： 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等。 【实践操作】 步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心。 【实践探索】 （1）根据实践操作步骤，画出题图2中不规则形状硬纸板的重心； （2）我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，如图3，在中，、、分别是的三条中线，点是的重心； ①若的面积是6，则的面积是____________； ②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍，请用你所学的数学知识进行证明。 【答案】(1)如图所示，重心即为所求： (2)①2； ②证明： ∵、、是的中线， ∴、，， 、、 同理可证 被三条中线分成六个面积相等的小三角形； 令到的高为， ， ∴三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍。 【分析】本题考查了重心的概念、根据三角形中线求面积、三角形中位线定理、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键。 （1）延长交于点，则重心即为所求； （2）①根据三角形中线的性质推出，，得到，即可求解； ②根据、、是的中线，可证明、、，通过等面积法可得，再次利用等面积法进行证明即可。 【详解】（1）略 （2）①解：∵、、分别是的三条中线， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； 故答案为：2； ②略。 知识点五：三角形的高线 （1）概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。 （2）三角形三条高线的位置： 三角形类型 高线位置 三条高线交点位置 图示 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三角形内部 直角三角形 有两条高线恰好是直角三角形的两直角边，另一条高线在三角形内部 三条高线的交点是直角顶点 钝角三角形 有两条高线落在三角形外部，另一条高线在三角形内部 三条高线所在直线交于三角形外一点 例题：如图，是的_________边上的高；在中，是_________上的高，还是_________的高；是_________的_________边上的高。 【答案】/ / 或 / 【分析】根据三角形高的定义进行求解即可。 【详解】解：∵， ∴是的上的高； ∵， ∴是的上的高，是的上的高，是的上的高； ∵， ∴是的边上的高， 故答案为：；；或； ；。 知识点五 专项练习 1.如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键掌握三角形的面积公式。据此列式解答即可。 【详解】解：∵，分别是的边，的高线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为， 故选：A。 2.直角三角形的三条高的交点在___________________。 【答案】直角顶点 【难度】0.85 【详解】解：∵直角三角形有两条高与直角边重合， ∴它们的交点是直角顶点。 故答案为：直角顶点。 3.在直角三角形中，，，， ，则点C到的距离为___________。 【答案】 【分析】根据直角三角形面积的两种算法，即可解答。 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵，，， ， ∴三角形的面积， ∴， 即点C到的距离为， 故答案为：。 4.作三角形中边上的高。 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形高的概念，三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。 【详解】解：∵要作中边上的高， ∴根据三角形高的定义，需要从所对的顶点出发， 用三角板的一条直角边与边重合，边需要延长，另一条直角边过点， 然后沿着过点的直角边作直线，这条直线与边的延长线相交于一点，设为点； ∴线段就是中边上的高。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $