暑假结业测试卷（范围：前3章）（暑假预习举一反三学情自测·提高篇）新八年级数学上册新教材苏科版

**基本信息** 新教材苏科版初中数学暑假结业提高卷，精选多地区期中期末及中考真题，通过24题分层设计（单选10/40、填空6/30、解答8/80），覆盖实数、三角形、图形变换等前3章核心知识，突出几何直观与推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|算术平方根、三角形中点面积、全等判断|结合图形直观（如第6题数轴与正方形拼接）| |填空题|6/30|数轴化简、尺规作图、勾股定理应用|联系生活实际（如第13题木门变形检测）| |解答题|8/80|旋转探究、立方根估算、最短路径|综合推理与模型意识（如第24题展开与折叠建模）|

暑假结业测试卷（范围：前3章）（提高篇） 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点、、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点、、分别为、、的中点，得到，，，，推出，，根据阴影部分的面积为，得到，即可求解． 【详解】解：点、、分别为、、的中点， ，，，， ，， 阴影部分的面积为， ， ， ． 3．（2025·河北邯郸·一模）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则它们之间存在的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理，得，结合正方形的面积求解即可； 【详解】解：因为是的边上的高， 所以， 所以， 根据正方形的面积，得， 故． 故． 5．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，已知是等边三角形，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等边三角形性质先得到，可得到是等腰三角形，然后根据等腰三角形性质得到，再通过三角形外角的性质计算出的度数即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·北京·期中）图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．以数轴上表示的点为圆心，拼接的正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，如图2所示，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积由组成正方形的小正方形个数决定，计算即可得出拼接的正方形的边长；观察作图过程得出拼接的正方形的边长=点到的距离，再根据实数与数轴的关系即可求解． 【详解】解：∵由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形 ∴正方形的面积 ∴拼接的正方形的边长， 观察作图过程得出点到的距离， ∴点表示的数是． 7．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线结合平行可以得到等腰三角形即：，进而可求. 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴ ． 8．（25-26八年级下·宁夏固原·期中）如图，在中，，且分别是上的高，F，G分别是的中点．，则的长为() A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】连接，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再根据等腰三角形三线合一的性质得出及的长，最后利用勾股定理求解即可 【详解】解：如图，连接， 分别是上的高， ， 是的中点， 在中，， 在中，， ， 是的中点， ，， 在中，． 9．（25-26七年级下·天津南开·期中）若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，，记，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算分子的总和，再计算分母的值，进而求出，最后得到的值． 【详解】解：， ， ， 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个， 则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5， ， ， ∴， ， ． 10．（2026·安徽·中考真题）如图，点，分别为等腰直角与等腰直角的直角顶点，且点在边上．，垂足为．边的中点为，线段，分别交于点，，连接，．若，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于A，证明即可判断；对于C，根据角度关系，可得，得到；对于D，证明为等腰直角三角形即可得到；对于B，由为等腰直角三角形，可得，再结合即可判断． 【详解】解：对于A，由题可知， ， ， 在和中， ， ， ，又， ，即， ，故A正确，不符合题意； 对于B，， ，， ，， ， ，又， ， ， ， 边的中点为， ，则， ， ，故C正确，不符合题意； ， ， 垂直平分， ， ， ，即为等腰直角三角形， ，即，故D正确，不符合题意； 为等腰直角三角形， ，即， 又，且， ，即，故B错误，符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）如图，已知实数在数轴上的对应点，化简：的结果是 ___________． 【答案】/ 【分析】先由实数在数轴上的位置判断，得到，再由算术平方根、立方根定义化简后，再去绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，，则， ． 12．（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D．若，则__________． 【答案】15 【分析】由直角三角形两锐角互余求出，由作图可得平分，则，从而根据含角的直角三角形的性质求出，根据“等角对等边”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可得平分， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 【答案】已变形 【分析】利用勾股定理的逆定理，验证三角形是否为直角三角形，从而判断木门的角是否保持垂直，以此确定是否变形． 【详解】解：∵木门正常时，应为直角，根据勾股定理，应有： ∵，， ∴ 又测得， ∴ ∵，即， ∴不再是直角，木门已变形． 14．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，垂足为，垂足为．若，，则的面积为_____． 【答案】 【分析】过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过直角三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∵，垂足为F，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 【答案】 2 【分析】本题考查了全等三角形判定与动点问题，解题关键是分情况讨论时，同时验证点的运动边界条件． 【详解】解：设运动时间为秒，则：，，，且，． ， 与均为直角三角形，全等需两组直角边对应相等，分两种情况：   情况一：且， 解得， 此时，点超出边界，舍去． 情况二：且， 解得，． 此时，，符合运动范围，有效． 综上，唯一符合条件的解为． 故答案为：． 16．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在等边中，为上一点，以为边作等边， 为的中点，连接．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，取中点，连接，过点作于点，可证得，得到，，然后利用两次勾股定理即可求解出的长． 【详解】解：如图，连接，取中点，连接，过点作于点． ∵，是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ 为的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∴在中， ． 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（25-26七年级下·天津·期中）已知的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)如果的整数部分为，求的平方根与的小数部分的差． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质即可求解； （2）先估算出，可得，然后再求出小数部分，再代入求出平方根，最后求出差即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为2， ∴，， 解得，， （2）∵ ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴的小数部分为， 由（1）得，， ∴， ∴16的平方根为， ∴的平方根与的小数部分的差为 或． 18．（8分）（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若，试说明： 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 又∵， ∴； (2)由（1）可得，， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即． 【分析】（1）根据可得，再根据E为的中点可得，即可通过判定两个三角形全等； （2）由（1）可得，，，再根据可以得到，利用可以得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的有关判定方法． 19．（8分）（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，长方形沿对角线折叠，顶点落在点处，与交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）由折叠和平行线的性质得到，进而证明即可； （2）由折叠得，，，设，则，然后根据勾股定理求解． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， ， 由折叠得，， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由折叠得，，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得， ． 20．（10分）（25-26八年级下·四川成都·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明对等边三角形进行了数学探究活动，如图，他在等边三角形内取一个点D．使得，，然后他将绕点A逆时针旋转得到，正好B、D、E三点在一条线上，探究以下问题． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用旋转的性质和等边三角形的性质判断出是等边三角形即可； （2）先证明，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长度，即求出的长度，再用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）证明：将绕点逆时针旋转得到， ，， ， 为等边三角形， ； （2）解：由（1）得：为等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 21．（10分）（25-26八年级下·宁夏银川·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的解答过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)解：由旋转可知：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴； (2)解：， 理由：如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，，即， ∴． 【分析】（1）由旋转的性质易得是等边三角形，进而证明是直角三角形，利用勾股定理即可得解； （2）通过旋转易得等腰直角和直角，利用勾股定理即可说明． 【详解】（1）略 （2）略 22．（12分）（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【答案】(1)两 (2) (3)；； 【分析】本题考查立方根的估算，按照题干给出的方法，先根据的整数次幂的大小确定立方根的位数，再根据原数的个位数字确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，通过对比相邻整数的立方确定高位数字，即可求出结果． 【详解】（1）解：判断的位数：因为，，且，所以是两位数； （2）解：确定的个位数字：因为的个位数字是，且只有的个位数字为，所以的个位数字是； （3）解：确定的十位数字：划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是， 故； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为 的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去 的后三位，得到， 因为，，且 ， 所以的十位数字是，故 ． 23．（12分）已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 【答案】(1)①②见详解 (2) 【分析】（1）①通过证明，得，即可知道； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，先证明，然后得到是等边三角形，进行等边代换，即可得证； （2）先得到，过点G作交于点H，交于点M，通过“”证明，得，，然后连接，再通“”证明，进行角的等量代换以及角和和差关系，即可作答． 【详解】（1）解：因为是等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 则， 那么； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，如图所示： ， ∴，， 因为， 所以 故 即 因为，， 所以 则， 所以， 因为 所以 即是等边三角形， 所以 因为， 则； （2）解：过点E作， 因为， 所以 即 因为 所以， 则 过点作交于点，交于点，则， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 连接，如图， ∵ ∴ 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合，等边三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和，作辅助线（作垂线）以及一系列的辅助线，难度大，综合强，对学生具备较强的作辅助线能力有较高要求，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24．（12分）（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表了“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图①，在一个长、宽、高分别为，，的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙与后墙及地面的墙角处（即M点处），苍蝇正好在左面墙与房顶相交位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！ 【方案设计】 为了研究上面提出的“蚂蚁爬行”的最短路线问题，小明先进行了如下操作；如图②，是由个棱长为的小正方体所搭建的几何体，一只蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，沿什么路线爬行所走路程最短？ （1）观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线． ①填空：例如：图③是由上面与右面展开得到的平面图形；图④是由_______面与________面展开得到的平面图形（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）； ②画图：3种不同的爬行路线，小明已经画出了其中两种，请你在网格中补充出第三种展开得到的平面图，并画出相应的最短路线，即线段； （2）比较验证 ③比较，，三种爬行路线的长短后可得，线段，，中最短路线是________； 【问题回归】 定义：如图⑤，在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．数学语言表达：如图，如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可用进行相关计算．请你试着用从上面定义中学到的新知识解决你遇到的问题． （3）最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图①），若那只蚂蚁所走的路程用d表示，则最小值为_____． 【答案】（1）①上，后；②见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了长方体的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理； （1）①观察图形即可得到答案； ②补充由前面与右面展开得到的平面图形，即可求解； （2）比较大小，即可求解； （3）根据（1）的方法，画出三种不同的爬行路线，结合定义，分别计算，比较大小，即可求解． 【详解】解：（1）图④是由上面与后面展开得到的平面图形， 故答案为：上，后． ②如图所示，由前面与右面展开得到的平面图形 （2），，， ∵， ∴线段，，中最短路线是， 故答案为：． （3）如图，由左面与后面展开得到的平面图形 根据定义可得； 如图，由上面与后面展开得到的平面图形 根据定义可得； 如图，由上面与右面展开得到的平面图形 根据定义可得； ∵， ∴最小值为． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假结业测试卷（范围：前3章）（提高篇） 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点、、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北邯郸·一模）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则它们之间存在的关系是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，已知是等边三角形，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·北京·期中）图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．以数轴上表示的点为圆心，拼接的正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，如图2所示，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·宁夏固原·期中）如图，在中，，且分别是上的高，F，G分别是的中点．，则的长为() A．5 B．6 C．8 D．12 9．（25-26七年级下·天津南开·期中）若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，，记，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·安徽·中考真题）如图，点，分别为等腰直角与等腰直角的直角顶点，且点在边上．，垂足为．边的中点为，线段，分别交于点，，连接，．若，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）如图，已知实数在数轴上的对应点，化简：的结果是 ___________． 12．（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D．若，则__________． 13．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 14．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，垂足为，垂足为．若，，则的面积为_____． 15．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 16．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在等边中，为上一点，以为边作等边， 为的中点，连接．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（25-26七年级下·天津·期中）已知的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)如果的整数部分为，求的平方根与的小数部分的差． 18．（8分）（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若，试说明： 19．（8分）（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，长方形沿对角线折叠，顶点落在点处，与交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求线段的长． 20．（10分）（25-26八年级下·四川成都·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明对等边三角形进行了数学探究活动，如图，他在等边三角形内取一个点D．使得，，然后他将绕点A逆时针旋转得到，正好B、D、E三点在一条线上，探究以下问题． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（10分）（25-26八年级下·宁夏银川·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的解答过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由． 22．（12分）（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 23．（12分）已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 24．（12分）（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表了“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图①，在一个长、宽、高分别为，，的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙与后墙及地面的墙角处（即M点处），苍蝇正好在左面墙与房顶相交位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！ 【方案设计】 为了研究上面提出的“蚂蚁爬行”的最短路线问题，小明先进行了如下操作；如图②，是由个棱长为的小正方体所搭建的几何体，一只蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，沿什么路线爬行所走路程最短？ （1）观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线． ①填空：例如：图③是由上面与右面展开得到的平面图形；图④是由_______面与________面展开得到的平面图形（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）； ②画图：3种不同的爬行路线，小明已经画出了其中两种，请你在网格中补充出第三种展开得到的平面图，并画出相应的最短路线，即线段； （2）比较验证 ③比较，，三种爬行路线的长短后可得，线段，，中最短路线是________； 【问题回归】 定义：如图⑤，在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．数学语言表达：如图，如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可用进行相关计算．请你试着用从上面定义中学到的新知识解决你遇到的问题． （3）最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图①），若那只蚂蚁所走的路程用d表示，则最小值为_____． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $