2.1 等式性质与不等式性质专项训练（六大题型）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1 等式性质与不等式性质 题型一 用不等式表示不等关系 1．某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 【答案】A 【分析】根据题意可得不等式，代入解不等式即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以要使该厂不亏本，至少日生产文具盒5000套. 故选：A. 2．（多选）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“” B．小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“” C．某变量至少为可表示为“” D．某变量不超过可表示为“” 【答案】BCD 【分析】根据实际问题中的不等关系的不等式表达判断可得. 【详解】某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“”，故A错误； 小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“”，故B正确； 某变量至少为可表示为“”，故C正确； 某变量不超过可表示为“”，故D正确. 故选：BCD 3．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是 ． 【答案】 【分析】根据已知及矩形面积公式列不等式组即可. 【详解】因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18 m，所以， 这时菜园的另一条边长为，因此菜园的面积， 依题意有，即，故不等关系表示为. 故答案为： 4．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】(1)答案见详解 (2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少. 【详解】（1）设安排两种货厢分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元. 题型二 作差法比较代数式的大小 5．已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，计算化简，即可得答案. 【详解】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 6．若，那么下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据不等式的性质，逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则，所以A错误； 对于B，若，则，所以B正确； 对于C，若，则，所以，所以C正确； 对于D，若，则，因为，所以，即.所以D正确. 故选：BCD. 7．设，，则与的大小关系是 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】，， 则， 则. 故答案为： 8．（1）已知，，试比较与的大小. （2）已知a，b，m，n均为正实数，求证: . 【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解 【分析】（1）根据题意利用作差法比较大小，注意分和两种情况讨论； （2）根据题意利用作差法先证，即可得结果. 【详解】（1）因为， 且，，则， 若，则，可得，所以； 若，则，可得，所以； 因此可得时，；时，. （2）因为a，b，m，n均为正实数，则，，，均为正数， 又因为， 当且仅当时，等号成立， 可得，所以. 题型三 作商法比较代数式的大小 9．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 10．对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，，故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确． 故选：ABD． 11．如果，，那么，，从小到大的顺序是 【答案】 【分析】三个式子很明显都是负数，所以可通过作商和1比较判断大小。 【详解】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以； 同理，所以。 综上： 故答案为： 【点睛】此题考查比较大小，一般可以考虑作差，作商等方法进行比较，属于简单题目。 12．比较下列两式大小. (1)与； (2)时，与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差比较两式大小； （2）利用作商比较两式大小 【详解】（1）因为，所以 （2）当时，因为，所以 题型四 由已知条件判断所给不等式是否正确 13．设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】由不等式的性质结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】， ，若，则，所以不成立； 当时，，当时，，所以不成立． 因此，“”是“”的既不充分又不必要条件． 故选：D． 14．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】AC 【分析】利用不等式的性质依次判断选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，令，则，故B不正确； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，令，则，故D不正确； 故选：AC 15．若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有 个. 【答案】3 【分析】根据不等式的性质依次判断即可①②，利用作差法结合不等式性质判定③④. 【详解】因为，所以，则，即，故①正确； 因为，则，所以，故，所以；则②不正确； 由于，而，，所以，，则，故③正确； 由于.而，，所以，，所以，故④正确； 故答案为：3 16．对于四个正数、、、，若满足，则称有序数对是的“上位序列”． (1)对于2、3、7、11，有序数对是的“上位序列”吗？请简单说明理由； (2)设、、、均为正数，且是的“上位序列”，试判断、、之间的大小关系； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“上位序列”，且是的“上位序列”，求正整数的最小值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）直接根据“上位序列”的定义判断即可； （2）由条件可得，然后利用作差比较大小即可； （3）根据“上位序列”的定义列不等式组，利用不等式组求出的范围，然后将恒成立问题转化最值问题，即可求出正整数的最小值. 【详解】（1）由，故是的"上位序列"； （2）由是的“上位序列”，故， 又，，，均为正数， 故，故， ，故， 综上所述：； （3）由已知得， 因为为整数， 故， 则有， 即可得， 该式对集合内的每个正整数都成立， ， 所以正整数的最小值为. 题型五 由不等式的性质比较数（式）大小 17．已知，，那么，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解. 【详解】， ， . 即. 故选：C. 18．下列命题是真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】举例说明判断A；利用不等式性质推理判断BCD. 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，而，则，因此，D正确. 故选：BCD 19．已知，，，则A，B，C的大小关系（按照从小到大的顺序用不等式表示）是 . 【答案】 【分析】根据分子有理化计算判断大小关系. 【详解】因为， ， 所以A，B，C的大小关系（按照从小到大的顺序用不等式表示）为． 故答案为：. 20．（1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）. 【分析】（1）根据不等式性质判断即可得证； （2）根据作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果. （3）求出，再利用不等式的性质得解. 【详解】（1）因为，， 所以，即，所以， 因为，所以； （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时． 综上可得：当时，； 当时，； 当时，； （3）设， 所以， 所以. 由， 由， 所以，即． 题型六 由不等式的性质证明不等式 21．已知是正实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为是正实数，所以. 若，则，两边同除以得，即，故由能推出，即充分性成立； 若，两边同乘以得，所以，即，故由能推出，即必要性成立； 所以是的充要条件. 故选：B 22．已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 【答案】ABC 【分析】对于ABC，举反例即可说明，对于D由作商法即可判断. 【详解】对于A，由，可知A不成立，故A符合题意； 对于B，由，可知B不成立，故B符合题意； 对于C，若，，可知C不成立，故C符合题意； 对于D，若，，可知D成立，故D不符合题意. 故选：ABC. 23．已知实数，，满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由完全平方和公式知，再由所给等式即可将所求等式放缩为关于z的多项式，从而求得最小值. 【详解】，， 又， 的最小值为. 故答案为： 24．（1）已知x，y，m，n都是正数，且，，求证：； （2）证明：是一元二次方程的一个根的充要条件是. 【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析 【分析】（1）先得到，从而得到，作差法得到，证明出结论； （2）先证明充分性，再证明必要性，从而得到结论. 【详解】（1）因为，m，n都是正数，不等式两边同乘以得， 又x，y都是正数且，所以，， 故， 所以； （2）充分性：，故， 一元二次方程变形为， 即，， ，故方程的一个根为，充分性成立； 必要性：将代入一元二次方程得，必要性成立； 所以是一元二次方程的一个根的充要条件是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质与不等式性质 题型一 用不等式表示不等关系 1．某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 2．（多选）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“” B．小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“” C．某变量至少为可表示为“” D．某变量不超过可表示为“” 3．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是 ． 4．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 题型二 作差法比较代数式的大小 5．已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 6．若，那么下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 7．设，，则与的大小关系是 8．（1）已知，，试比较与的大小. （2）已知a，b，m，n均为正实数，求证: . 题型三 作商法比较代数式的大小 9．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 10．对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 11．如果，，那么，，从小到大的顺序是 12．比较下列两式大小. (1)与； (2)时，与. 题型四 由已知条件判断所给不等式是否正确 13．设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 14．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 15．若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有 个. 16．对于四个正数、、、，若满足，则称有序数对是的“上位序列”． (1)对于2、3、7、11，有序数对是的“上位序列”吗？请简单说明理由； (2)设、、、均为正数，且是的“上位序列”，试判断、、之间的大小关系； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“上位序列”，且是的“上位序列”，求正整数的最小值． 题型五 由不等式的性质比较数（式）大小 17．已知，，那么，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 18．下列命题是真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 19．已知，，，则A，B，C的大小关系（按照从小到大的顺序用不等式表示）是 . 20．（1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 题型六 由不等式的性质证明不等式 21．已知是正实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 22．已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 23．已知实数，，满足，则的最小值为 . 24．（1）已知x，y，m，n都是正数，且，，求证：； （2）证明：是一元二次方程的一个根的充要条件是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $