四川绵阳市2025-2026学年高一下学期期末教学质量测试数学（A）

【考试时间：2026年7月9日10：00一l2:00】 高中2025级第一学年末教学质量测试 数学（A) 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页：答题卡共6页。满分150分， 考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同 时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内。 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦 干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出 答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.考试结束后将答题卡收回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1,下列命题正确的是 A.abl,alb,则a=b B.0没有方向 C.若allb,blc,则alc D.若a=b,则alb 2.已知复数z=i(2+),则z的虚部为 A.1 B.2 C.i D.2i 3.在口ABCD中，M为CD的中点，则BM= A.AD-AB B.4B-1AD C.AD-14B D.AD+4B 4.已知平面a,B,直线lca,则“aB”是“B”的 A,充分不必要条件 B,必要不充分条件 C,充分必要条件 D,既不充分也不必要条件 5.若两个球的体积之比为1：27，则它们的表面积之比为 A.1:3 B.1:9 C.1:27 D.1:81 高一数学试题第1页（共4页） 6.已知圆推的底面积为π，且侧面展开图是一个半圆，侧此例维的母线长为 A.2月 B.6 C.1 D.2 7.已知非零向量a,b鸿足(a+2b少b=0,则向量a在向量b上的投能向录为 A. C.-2b D.2h 8.三棱柱ABC-A1B1C的所有棱长均相等，且∠AMC=120°，D,E,F分别为A1C1,A1B1, BC的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为 A9 B.5 c.4 D.. 2团 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知非零向量a,b,下列说法正确的是 A.若a⊥b,则ab-0 B.(a+b)2-(a-b)2=2ab C.若a与b的夹角为钝角，则ab<0 D.若a-(√5，sin,b-(I,2cos0,则a与b可能垂直 10.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度h(单位：cm) 由关系式h=2sint+)确定.则 A.小球在开始振动（即0）时，h=2 B.小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2 h>0 -h=0 C.经过2xs往复运动一次 h<0 D。每秒钟小球能往复振动】次 2元 11,某正四棱台的下底面边长为4，上底面边长为2，侧棱长为0，下列说法正确的是 A,该四棱台的高为3 B。该四核台的体积为6巨 3 C.该四棱台的表而积为56 D.该正四棱台内可放置最大的球的体积为8互 高一数学试逝第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。将答案填写在答题卡的横线上， 12. 已知1是虚数单位， 13.已知△MBC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=7,b-8,若△MBC的面 积为65，且C为锐角，则c= 14.在平面内，e1,e2均为单位向量，向量a满足ce1=-1,are2=5.则当a取最小值时， la-ell= 四、解答题：共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在平面直角坐标中，已知A(1,1),B(4,3),C(1,,设AB=a,BC=b,CA=c. (1)若c=ma+b,求实数m,n的值： (2)若M为线段BC靠近点C的三等分点，求点M的坐标， 16.(15分) 在△MBC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足asinB=,√5 bcosA,2sinB-3sinC. (1)求A: (2)求sinB. 17. (15分) 如图，正四棱柱ABCD-A1B1CD1内接于圆柱，3AB=2AA1, 圆柱的侧面积为54W2π，点E是棱CC上的点，点F是棱CD上 的点，且CE=3,CF2. CG (1)若直线CD,与平面41BE的交点为C,求C8 的值。 并证明：AFP平面ABE: (2)求三枚锥D-A1BE的体积， 高一数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 在△4BC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,点D是AC的中点，∠ABD+∠C=90°， 且AC=8. (1)求证：C或A+C= (2)若△4BC为直角三角形，求△ABC面积的最大值： (3)若AB≠BC,点E在△MBC所在的平面内，点A和点E在BC的异侧，且△BCE 为等腰直角三角形，∠BCE=90°，求DE的最大值. 19.(17分) 如图，在平面四边形PBCD中，点A为线段PD上一点，AB⊥PD于点A,且PD5, AD=2CD=2,∠ADC=60°，将△PAB沿AB折起，得到四棱锥P-ABCD. (1)若平面PAB⊥平面ABCD,求证：CD⊥CP: (2)若二面角P-AB-D的大小为120°，∠APB=30°. (i)求PC与平面4B所成角的正弦值： ()求侧面PB与侧面PCD所成二面角的正切值. 高一数学试题第4页（共4页） 高中2025级第一学年未教学质量测试 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.D2.B3.C4.A5.B6.D7.C8.D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。 9.AC 10.BCD11.BCD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12.1 13.3； 14.6 四、解答题：共刀分。 15.解：(）由已知得a=AB=(3,2),b=BC=(-3,3),c=C=(0,-5),…3分 由c=ma+nb,得(0，-5=m(3,2+(-3,3=(3m-3,2+3n),…4分 [3m-3n=0 于是 2m+3n=-5' …5分 解得m=-l,n=-;…6分 (2)因为线段BC的三等分点为M(点M靠近点C), 48m=2BC=(-2,2),…8分 设Mx,y以，即(x-4,y-3)=(-2,2),…10分 x-4=-2 得到 y-3=2,解得r=2,y=5, …12分 ÷M点的坐标为(2,5). 13分 16.解：(1)由正弦定理可得， 由asinB=√5 bcosA,得sinAsinB=√5 sinBcosA, 4分 SinB0…5分 an4=5,则4=号 …7分 (2)由2sinB-3sinC及Aeg 3等。…”””……9分 2s如8=3(8+学，血= -cos B. 2 13分 又sin2B+c0s2B=1, 14分 sin B=321 ,15分 14 高一数学参考答案第1页（共4项） n.0证明：设44，则M=0,圆柱底面半径为。， 由已知可得：2n×2。x3 2x a=542m,可得a=6,…1分 2 3 心4B=6，A=20=9…7 2分 点G为CD与平面ABE上的交点， ·点G在平面ABE上，且平面ABEm平面CDD1C1=EG,…3分 又：平面ABBM1/平面CDD1CL,平面ABE平面ABBM=BA, GEAB.............................. 4分 易知GEIICD,则GElICD/MAB, CG_CE_3_1 GDCC93' 5分 由EGIlCD/∥AB, ·AGc平面ABE, 6分 CFCG且CF=CG, FGIIDD IAA,且FG=DD=AA, ·四边形AFGA是平行四边形，AFAG, …7分 又：AF文平面ABE, 六AF∥平面ABE;… 8分 2)解：连接BD,设BD∩AF=K, 欲-6-名号则0-k, 44.4.4.14404444…449分 设点K到平面ABE的距离为d,则点D到平面4BE的距离为d, …10分 由(I)AF∥平面ABE, :点A到平面ABE的距离为d, 11分 5 …13分 1。 11 :V-4w-亏5a4aBC=写×x6x9x6=54, …14分 32 '。.6V68=9015分 3 方法2：连接BD,设BD∩AC=O,连接EO,AO, BD⊥AC且BD⊥AA,则BDL平面AOE,…9分 h-w-am+m=5m80+写.m00=写8mr…8D…10分 .Vx62-x3/2x6-x3/2x9-x6/2x3)x6/ 2…14分 公4=90.…15分 高一数学参考答案第2页（共4页） 18.解：(1)∠ABD+∠C=90°，∠CBD+∠A=90°， 在△MBD中， BD AD ;…1分 sin∠BAD sin∠ABD 在△CBD中， BD CD …2分 sin∠BCD sin∠CBD 又AD=CD,则sin∠BCD=sin∠CBD …3分 sin∠BAD sin∠ABD 即sin∠BCD_cos∠BAD sin∠BAD cos.∠BCD sin2∠BAD=sin2∠BCD,…4分 2∠BAD,2∠BCD∈(0,2n), ·2∠BAD=2∠BCD,或2∠BAD+2∠BCD=n, …5分 5C或A+C= …6分 包)：△MBC为直角三角形，由0知8=号，4C-8为斜边， .e ……7分 由勾股定理可知a2+c2=64,… …8分 面积S=cs02+c)=×64=16, …9分 当且仅当a=c=4反（即AC)时取等号， ·△4BC面积的最大值为16；… 10分 (B)法-：△4BC中AB￥BC, ÷∠ABC 2 …11分 令∠ACB=B,则CB=8cosB. CE=8C0s8.… 12分 在△DCE中，∠DCE=B+ 由余弦定理，DE2=DC2+CE2-2DC-CEcos(6+, ÷DE2=42+(8cos82-2.48cos8cos(8+),…13分 DE2=64cos2B+32sin28+16,则DE2=32(sin28+cos28)+48,…14分 ·DE2=32(sin28+cos2)+48, DE2=322sin(29t)+48…l5分 当sin(28+牙=1时，DE2的最大值为325+48，…16分 DE的最大值为4√2+4.… …17分 高一数学参考答案第3页（共4页） 19.证明：PA⊥AB,且平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB, ·PA⊥平面ABCD, 六PA1CD, …1分 在△ACD中，AC2=AD2+CD2-2AD.CDcos60°=4+1-2=3， 可得AC2+CD2=3+1=4=AD2, AC1CD,…2分 又：PA∩AC=A,则CDI平面PAC, PC1CD;…3分 (2)①AB=PA-tan30°=√5，由(1)可得∠BAC=90°-∠CAD=60°， AB⊥PA,AB⊥AD, ÷∠PAD=I20° :AB⊥PA,AB⊥AD, ·AB⊥平面PAD, :.平面PAD⊥平面ABCD 过点P作PE垂直于DA延长线于点E, PE1平面ABCD,且PE=PA:in60°=3 …5分 2 可得ePE分5x5x当5-号 B 228 设点C到平面PAB的距离为d, 由acm一号可得：4号，解得4小39 …7分 37 连接CE,在△CDE中，DE=AD+AE=2+ 22 BC'-DB2+CD'-2DE.CDcos60°.49+1-2x7x1×5.39 7 4 2 在△PcE中c-Bc+E-2+. 设PC与平面PAB所成角为8，则sin9= d3v22 PC 44 廁PC与平面PB所成角的正弦值为322；…9分 44 ②设Q为BA与DC的交点，连接PO,平面PAB∩平面PCD=PQ. 由翻折前，PA⊥AB,AD⊥AB,翻折后不变，则BA⊥平面PAD, .平面PAB1平面PAD,即平面PAQ1平面PAD,…10分 过点D作DH垂直于PA的延长线于点H,则DH⊥平面PAQ, 过点H作HK垂直于PQ点K,连接DK, DH1平面PA2,DH1P2,…12分 PO1平面DHK,P2⊥DK, :∠DKH为平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角， …13分 在Rt△ADQ中，AQ=AD-tan60'=25, 在R△PA0中，PQ=√P+AQ2=9+12=V2, …14分 由nePe-版-PHA0,得KPHe.25.号 …15分 PO 21万 在Rt△AHD中，DH=ADsin60=√5， atan∠DKH=DH.5-V2i 16分 HK 8/7 8 即侧面PAB与侧面PCD的正切值为团 …17分 高一数学参考答案第4页（共4页）