精品解析：四川省绵阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试卷

绵阳市高中2024级第一学年末教学质量测试 数学 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. -9 B. -4 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示，列出方程求解即可. 【详解】，，解得. 故选：B. 2. 在复平面内，i为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求解即得. 【详解】依题意，. 故选：C 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（ ） A. 向上平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向下平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数图象的平移变换判断即得. 【详解】要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点向右平移个单位. 故选：B 4. 若m，n为两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用面面垂直的性质、线面垂直的判定判断AC；利用面面平行性质判断B；利用线面平行的判定判断D. 【详解】对于A，令，在平面取点，在此平面内作， 而，，则，而，则， 而，因此，A正确； 对于B，由，，，得或是异面直线，B错误； 对于C，在长方体中，平面与平面分别为， 直线分别为，满足， 而平面，即，C错误； 对于D，由，，得或，D错误. 故选：A. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用差角的正切求解即得. 【详解】由，， 所以. 故选：D 6. 如图，在棱长为2的正四面体中，点D为边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，过作的平行直线，利用几何法求出异面直线夹角的余弦. 【详解】在正四面体中，取中点，连接， 由是的中点，得，则是异面直线与所成的角或其补角， ，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 7. “一座越王楼，半部中国文学史”，位于四川省绵阳市龟山之巅的越王楼始建于唐高宗显庆年间（公元656-661年），其规模宏大，富丽堂皇，历代诗人咏越王楼的诗篇多达150余篇，如“危楼高百尺，手可摘星辰．不敢高声语，恐惊天上人”等．今天我们所看到的越王楼是2011年重建而成的，共有15层，站在楼上观光，可俯视整个绵阳的风景．现采用三角高程测量法测量越王楼的高度．如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影，，满足，，在点C处测得点B的仰角为，与的高度差为30m，在点B处测得点A的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差约为（ ）（） A. 69m B. 72m C. 79m D. 82m 【答案】D 【解析】 【分析】过作于，过作于，由题意可得，在中，由正弦定理可得，进而计算可求得A，B两点到水平面的高度差. 【详解】过作于，过作于， 由题意可得，， 在中，，所以， 所以，在中，，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以 ， 因为在点B处测得点A的仰角为，所以. 所以A，B两点到水平面的高度差约为m. 故选：D. 8. 已知平面向量，满足，与的夹角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，根据给定条件，确定点的轨迹，进而求出模的最大值. 【详解】作向量，则， 作向量，则，由与的夹角为，得， 因此点的轨迹是以线段为弦，所含圆周角为的两段圆弧（不含端点）， 外接圆半径，该圆圆心到弦的距离， 而原点到弦的距离为，则点可以是外接圆圆心， 当点是外接圆圆心时，；当点不是外接圆圆心时，， 所以的最大值为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二倍角公式及和差角公式逐项计算判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 10. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使A，B，C三点重合于点，得到三棱锥，下列关于该三棱锥的说法正确的有（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 点G，H分别是，上的动点，则周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面垂直可证判断A；利用等体积法可求到平面的距离判断B；求得外接球的半径，进而求得体积判断C；展开到一个平面，如图1，即的长为最小值，可判断D. 【详解】因为，，平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确； 设点到平面的距离为，由， 得，解得，故B错误； 因为， 所以三棱锥的外接球即为以为同一顶点的长方体的外接球， 所以，所以， 所以三棱锥的外接球的体积为，故C正确； 将沿转动到与在同一平面内，图1所示： 则周长的最小值为，由勾股定理可得，故D正确. 故选：ACD. 11. 在菱形中，，，，，点M在线段上，且，若点N为线段上一个动点，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 向量在方向上的投影向量为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取平面向量的基底，利用共线向量定理的推论判断A；利用数量积的运算律计算判断BD；求出投影向量判断C. 【详解】在菱形中，，， 对于A，由，得，解得， 则， 而点M在线段上，于是，解得，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，，向量在方向上的投影向量 为，C错误； 对于D，由点N为线段上，设， ， ， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卷相应的横线上． 12. 已知，若复数是纯虚数，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用纯虚数的定义求出，进而求得答案. 【详解】由是纯虚数，得，解得，， 所以. 故答案为：3 13. 如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出时刻点M所在射线为终边的角，再利用正弦函数的定义求解. 【详解】依题意，以射线为终边的角， 时刻点M所在射线为终边的角为， 由三角函数定义得. 故答案为：. 14. 将球O完全放置于一个圆柱内，且该圆柱的上下底面与球O相切．设球O的表面积为，圆柱的表面积为．则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设球O的半径为，圆柱的底面半径为，，可求最小值. 【详解】设球O的半径为，圆柱的底面半径为，圆柱的高为， 所以圆柱的表面积， 球的表面积为，所以. 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，． （1）若，求的值； （2）设函数，求函数在R上的单调递增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算可得，进而利用二倍角的正切公式可求解； （2）利用向量的数量积的坐标运算求得的解析式，利用整体法，结合正弦函数的单调性可求在R上的单调递增区间． 【小问1详解】 因为，所以，又，， 所以，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 因为，， 所以 由，得， 所以函数在R上的单调递增区间为． 16. 如图，在棱长为2的正方体．中，点E，F，M分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）平面将此正方体分成两个几何体，体积分别为，（其中），求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点，连接，通过线面平行证得平面平面，进而利用面面平行的性质可证结论； （2）求得正方体的体积与，可求比值. 【小问1详解】 连接，取的中点，连接， 因为点E，F分别为，，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为点M为的中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以且， 又且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为N，F分别为，的中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面； 【小问2详解】 因为正方体的棱长为2，所以， 又因为， 所以，所以 所以，所以. 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，利用过点，可求得，利用过点，结合周期可求，可求解析式； （2）由已知要得，进而可求得，利用诱导公式与二倍角的余弦公式可求值. 【小问1详解】 由题意可得，又因为过点，所以， 所以，又，所以，所以， 又因为过点，所以， 所以，所以， 所以，又函数的最小正周期，所以， 所以，解得，又，所以，所以； 【小问2详解】 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到，所以， 又，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以 ， 所以 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，点D在上，平分内角A． （1）求的值； （2）若，，求的面积； （3）若，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，可求的值； （2）由内角平分线性质可求得，进而在，中，利用余弦定理可求得，进而可求的面积； （3）设，由，可求得，进而可求实数k的取值范围. 【小问1详解】 由，结合正弦定理可得， 所以，所以， 所以，由正弦定理可得，所以； 【小问2详解】 因为平分内角A，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 又， 所以，所以，所以，， 又， 所以是直角三角形，且， 所以，又， 所以； 【小问3详解】 设， 因为， 所以， 若，则， 又，即 所以， 又，所以， 所以. 所以实数k的取值范围为． 19. 如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面所成的二面角的正弦值． 【答案】（1） 由棱台性质知， 所以，则， 在中，由余弦定理可得：，， 连接，因为D为BC中点，所以， 所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以，， 又因为，，平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形求出，余弦定理求出，即可根据勾股定理证明，结合，可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，空间向量法求直线与平面所成角的正弦值. （3）求出平面ADE的法向量，设，由点M在侧面内，所以存在使得，再结合平面可推出，根据两点间距离公式及二次函数的性质可求出取最小值时m的取值，即可求出此时点M的坐标，利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以，则， 以A为坐标原点，AB、AD、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ，， ，， 设平面的一个法向量为， ，令，得，故， 设直线与平面所成角为， . 【小问3详解】 设为平面ADE的法向量， ， ，令得，， 设， 因为点M在侧面内，所以存在使得， ， ，，， 因为平面，所以，得， 将，，代入上式可得， 则，所以， 因为M在侧面内，所以， . 当时，取得最小值，此时， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， ，， ，令得，， 设平面与平面所成的二面角为， ，， 所以平面与平面所成的二面角得正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳市高中2024级第一学年末教学质量测试 数学 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. -9 B. -4 C. 4 D. 9 2. 在复平面内，i为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（ ） A. 向上平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向下平移个单位 D. 向左平移个单位 4. 若m，n为两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为2的正四面体中，点D为边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. “一座越王楼，半部中国文学史”，位于四川省绵阳市龟山之巅的越王楼始建于唐高宗显庆年间（公元656-661年），其规模宏大，富丽堂皇，历代诗人咏越王楼的诗篇多达150余篇，如“危楼高百尺，手可摘星辰．不敢高声语，恐惊天上人”等．今天我们所看到的越王楼是2011年重建而成的，共有15层，站在楼上观光，可俯视整个绵阳的风景．现采用三角高程测量法测量越王楼的高度．如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影，，满足，，在点C处测得点B的仰角为，与的高度差为30m，在点B处测得点A的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差约为（ ）（） A. 69m B. 72m C. 79m D. 82m 8. 已知平面向量，满足，与的夹角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使A，B，C三点重合于点，得到三棱锥，下列关于该三棱锥的说法正确的有（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 点G，H分别是，上的动点，则周长的最小值为 11. 在菱形中，，，，，点M在线段上，且，若点N为线段上一个动点，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 向量在方向上的投影向量为 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卷相应的横线上． 12. 已知，若复数是纯虚数，则________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________． 14. 将球O完全放置于一个圆柱内，且该圆柱的上下底面与球O相切．设球O的表面积为，圆柱的表面积为．则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，． （1）若，求的值； （2）设函数，求函数在R上的单调递增区间． 16. 如图，在棱长为2的正方体．中，点E，F，M分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）平面将此正方体分成两个几何体，体积分别为，（其中），求的值． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，若，且，求的值． 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，点D在上，平分内角A． （1）求的值； （2）若，，求的面积； （3）若，求实数k的取值范围． 19. 如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面所成的二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $