精品解析：湖南省长沙市长郡双语实验中学2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

八年级期末限时检测卷数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 若关于的函数是正比例函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 3. 某班级对五名“五星少年”候选人的投票进行统计：，，，，发现两位数“”的个位数字模糊不清，则下列统计量不受影响的是（    ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 4. 下列选项中，是的函数的是（ ） A. B. C. 是的平方根 D. 5. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法：①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高．其中错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 如图是小红自制的相框，她想检查相框是否为矩形，于是她用手中仅有的一根较长的绳子进行测量并比较，下列检查方法合理的是（ ） A. B. ， C. ，， D. 7. 如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 方程的解集是 B. 方程的解是 C. 关于的方程组的解是 D. 不等式的解集是 10. 如图，在中，，在上取点P，使，连接，过点P作交分别于点E，F．已知，当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载．甲、乙、丙、丁四个果篮中香水梨的平均质量与方差如表所示，若要挑选一个单果质量大且大小均匀的果篮，则应选__________． 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量（克） 450 500 450 500 方差 1.1 1.1 1.2 1.2 12. 学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则小明算出旗杆的高度为____米． 13. 与最简二次根式是同类二次根式，则_________． 14. 小峰骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小峰骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小峰离家的距离（单位：）与时间（单位：）的对应关系如图所示，则该十字路口与小峰家的距离为___________ ． 15. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，点在点的正西方120米处，点在点的正北方60米处（即）． （1）求证：； （2）请通过计算比较这两条路线中，哪一条更短？ 19. 已知一次函数的图象过点与． （1）求这个一次函数的解析式． （2）直接写出这个一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标． 20. 学校为探究辅助学习工具的反馈，从七、八年级各随机抽取20名学生进行使用满意度评分，随后将评分进行整理、描述和分析（评分为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生评分在B组的数据为：80，83，84，85，87，88，88，89 八年级20名学生的评分是：65，68，70，72，74，76，78，80，82，82，84，86，86，86，88，90，92，93，94，94 七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 78 b （1）上述图表中________，_______，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对辅助学习工具的满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级有600人，八年级有500人，请估计该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数． 21. 在直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线：与交于点E．若点E坐标为． （1）求直线的表达式； （2）点P在直线上，若，求点P的坐标． 22. 扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 23. 在中，，，，点D是的中点，过点A作，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交AC于点O，过点O作．垂足为F，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，点的“衍生点”的坐标定义如下：当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． （1）点的“衍生点”坐标为________，点的“衍生点”坐标为________． （2）已知点在一次函数的图象上，且点的“衍生点”为点D． ①若点的坐标为，求的值． ②设所有的点的“衍生点”组成的新图形记为图形． （i）请求出图形的函数表达式，并注明对应的自变量的取值范围； （ii）当满足什么条件时，一次函数的图象与图形有且仅有一个公共点，请直接写出答案． 25. 如图，已知正方形的边长为2，对角线、交于点，若为边上的一个点，与交于点，作，垂足为点，且交于点、交于点，连接． （1）如图1，若点为的中点，求的长． （2）如图2，若为的中点，连接，求证：平分． （3）如图3，若为边上的一个动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期末限时检测卷数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 若关于的函数是正比例函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的函数是正比例函数, ∴，， ∴， 故选：B． 2. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 3. 某班级对五名“五星少年”候选人的投票进行统计：，，，，发现两位数“”的个位数字模糊不清，则下列统计量不受影响的是（    ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义． 【详解】解：无论为何值，这组数据的中位数均为，不受影响， 当时，数列从小到大排列顺序为： ，，，， 中位数为； 当时，数列从小到大排列顺序为： ，，，， 中位数为． 故选： 4. 下列选项中，是的函数的是（ ） A. B. C. 是的平方根 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数． 根据函数的定义，自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，即可得出答案． 【详解】解：自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数， B满足取一个的值，有唯一确定的值和它对应，是的函数， 而A、D、C中，对一个的值，与之对应的有两个的值，故不是的函数， 故选：B． 5. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法：①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高．其中错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于①：∵箱体越窄，数据越集中，方差越小， ∴三个班级中，甲班分数的方差最小，故①正确； 对于②：∵乙的须线最长， ∴乙班的分数分布最广，波动最大，故②正确； 对于③：由图可知，丙班分数的中位数高于分， ∴丙班得分有一半以上的学生高于分， ∴丙班得分低于的学生人数少于得分高于的学生人数，故③错误； 对于④：个学生中的第名对应上四分位数， 由图可知，丙班分数的上四分位数最大， ∴三个班级的第名中，丙班的分数最高，故④正确·． 6. 如图是小红自制的相框，她想检查相框是否为矩形，于是她用手中仅有的一根较长的绳子进行测量并比较，下列检查方法合理的是（ ） A. B. ， C. ，， D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练利用矩形的判定方法是解题的关键． 根据对边分别相等得出四边形是平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可解答． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为矩形， 故检查方法合理的是测量，，， 故选：C． 7. 如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取点，，容易证明，则，由勾股定理可得，从而得到． 【详解】解：如图，取点，， 根据题意可知，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴． 9. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 方程的解集是 B. 方程的解是 C. 关于的方程组的解是 D. 不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象与轴交点判断的解集；根据两直线交点坐标判断方程的解及方程组的解；根据两直线上下位置关系判断不等式 的解集． 【详解】解：由图象可知，直线与轴交于点，且随的增大而减小，  当时，，即的解集是，故A错误；  直线与交于点，  方程的解是，故B错误；  两直线交点为，  方程组的解是，故C错误； 由图象可知，当时，直线的图象在直线的上方，  不等式 的解集是，故D正确． 10. 如图，在中，，在上取点P，使，连接，过点P作交分别于点E，F．已知，当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，再依次求出，，，由此想到在上取，连接，推出，进而可利用线段间的和差关系解决问题． 【详解】解：设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 如图，在上取，连接， ∵，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴x，y发生变化时，不变． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，能够发现是的2倍，从而作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 香水梨在甘肃白银境内种植历史悠久，明代就有记载．甲、乙、丙、丁四个果篮中香水梨的平均质量与方差如表所示，若要挑选一个单果质量大且大小均匀的果篮，则应选__________． 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量（克） 450 500 450 500 方差 1.1 1.1 1.2 1.2 【答案】 乙 【解析】 【分析】根据题意，需要挑选平均单果质量大且大小均匀的果篮，先比较四个果篮的平均质量，筛选出平均质量较大的果篮，再比较对应方差，方差越小数据波动越小，大小越均匀，即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴乙和丁的平均单果质量更大， 又∵， ∴乙的方差更小，单果大小更均匀，符合要求． 12. 学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则小明算出旗杆的高度为____米． 【答案】12 【解析】 【分析】设旗杆的高度为x米，根据题意，绳子长为米，根据勾股定理求解即可; 【详解】解：设旗杆的高度为x米，根据题意，绳子长为米， 根据勾股定理，得， 故， 整理，得， 解得（米）． 13. 与最简二次根式是同类二次根式，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】被开方式相同的最简二次根式是同类二次根式，据此进行列式计算即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， 又∵与是同类二次根式， ∴， 解得． 14. 小峰骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小峰骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小峰离家的距离（单位：）与时间（单位：）的对应关系如图所示，则该十字路口与小峰家的距离为___________ ． 【答案】720 【解析】 【分析】根据图像可知，小峰的学校与家之间的距离为，实际骑车的时间为，由此即可求出骑车的速度；再利用速度乘以时间即可得该十字路口与小峰家的距离． 【详解】解：根据题意，小峰骑车的速度为， 所以，该十字路口与小峰家的距离为． 15. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【答案】##340度 【解析】 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，当时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，联立与，求出点的坐标即可得到答案．解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， 由题意知点的坐标为， 设， 将代入得， ∴， ∴， ∴线段对应的函数表达式为：， 由题意可知，则， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， ∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度，为， 故答案为：15． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，点在点的正西方120米处，点在点的正北方60米处（即）． （1）求证：； （2）请通过计算比较这两条路线中，哪一条更短？ 【答案】（1）∵在中，，，， ∴ （）， （）， ∴， ∴是直角三角形，． （2）路线更短． 【解析】 【分析】（1）先明确已知的三边长度，因为要证明直角，所以用勾股定理的逆定理，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方即可． （2）先根据已知，判断是直角，因为要求的长度，所以在中用勾股定理计算．根据（1）的结论分别计算两条路线的总长度，再比较两个总长度的大小，即可得出哪条路线更短． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设路线的总长度为，路线的总长度为， ． ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴路线总长度：． ∵， ∴路线更短． 19. 已知一次函数的图象过点与． （1）求这个一次函数的解析式． （2）直接写出这个一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标． 【答案】（1）；（2）、． 【解析】 【分析】（1）设这个一次函数的解析式为．将点与代入，可得这个一次函数的解析式； （2）一次函数与x轴的交点，则y=0；与y轴的交点则x=0，就可以求出函数图象与两坐标轴交点坐标． 【详解】解：（1）设这个一次函数的解析式为． 因为的图象过点与，所以 解方程组得这个一次函数的解析式为， （2）一次函数与x轴的交点，令y=0，解得x=， 与y轴的交点，令x=0，解得y=-1； ∴函数图象与两坐标轴交点坐标分别为 、． 【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，注意掌握一次函数与坐标轴的交点的坐标的特点． 20. 学校为探究辅助学习工具的反馈，从七、八年级各随机抽取20名学生进行使用满意度评分，随后将评分进行整理、描述和分析（评分为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生评分在B组的数据为：80，83，84，85，87，88，88，89 八年级20名学生的评分是：65，68，70，72，74，76，78，80，82，82，84，86，86，86，88，90，92，93，94，94 七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 78 b （1）上述图表中________，_______，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对辅助学习工具的满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级有600人，八年级有500人，请估计该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数． 【答案】（1），， （2）八年级的学生对辅助学习工具的满意度更高，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算即可得出结果； （2）根据中位数和众数分析即可得出结果； （3）用乘以七年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的人数所占的比例，用乘以八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的人数所占的比例，再求和即可． 【小问1详解】 解：七年级20名学生评分在A组中的数据有（人），在D组中的数据有（人），在B组中的数据有8人，在C组中的数据有， 将七年级20名学生评分按照从小到大排列后的第10和11个数据是80，83，故； ∴，即； 八年级20名学生评分中出现次数最多的是86，故， 七年级20名学生评分在C组中的数据有， 【小问2详解】 解：八年级的学生对辅助学习工具的满意度更高，理由如下： 七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表可得，七、八年级的平均数相等，但八年级的中位数和众数均高于七年级的中位数和众数，故八年级的学生对辅助学习工具的满意度更高； 【小问3详解】 解：（人）， 故该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数人． 21. 在直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线：与交于点E．若点E坐标为． （1）求直线的表达式； （2）点P在直线上，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，一次函数的性质以及解含绝对值的方程等知识点． （1）用待定系数法即可求解； （2）设点P的横坐标为t，则，过点P作轴交直线于点M，由此可表示的长，根据三角形的面积公式可列出关于t的方程，求出t，即可得出P点的坐标． 【小问1详解】 解：当时，， ∴ 将点E的坐标代入得：， 解得： ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 由（1）知，直线：， 设点P的横坐标为t，则， 过点P作轴交直线于点M， 则， ∴， ∵直线：与x轴、y轴分别交于点A，点B． ∴， ∴， 即|， 解得或， ∴或． 22. 扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件 （2）第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元 【解析】 【分析】分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； 根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围， 确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时的值即可． 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件， 根据题意得：， 解得 答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件． 【小问2详解】 解：设第二次购进甲种布料m件，则乙种布料件，根据题意得： ， 随m的增大而增大， ， 当时，W有最大值， 此时件 答：第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元． 23. 在中，，，，点D是的中点，过点A作，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交AC于点O，过点O作．垂足为F，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，推出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线的性质得出，，即可求证平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出，则，推出，即可求解，根据勾股定理求出，用等面积法得出，即可求出，最后根据勾股定理即可得出． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，且D是中点， ∴，， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 可得：， 在中，， ∵， ∴， 即，则， 在中，． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有一组邻边相等的平行四边形是菱形；相似三角形对应边成比例． 24. 在平面直角坐标系中，点的“衍生点”的坐标定义如下：当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． （1）点的“衍生点”坐标为________，点的“衍生点”坐标为________． （2）已知点在一次函数的图象上，且点的“衍生点”为点D． ①若点的坐标为，求的值． ②设所有的点的“衍生点”组成的新图形记为图形． （i）请求出图形的函数表达式，并注明对应的自变量的取值范围； （ii）当满足什么条件时，一次函数的图象与图形有且仅有一个公共点，请直接写出答案． 【答案】（1）； （2）①； ②（i）当时，；当时，； （ii）且或或 【解析】 【分析】本题结合平面直角坐标系中新定义问题考查一次函数的图象与性质、分类讨论思想的应用．关键是理解“衍生点”的定义，分情况讨论点的坐标关系，结合一次函数的性质求解． （1）根据“衍生点”的定义，分别计算两点的的正负，代入对应公式求解即可； （2）①设点的坐标为，根据“衍生点”的定义分和两种情况，结合点纵坐标为列方程求解，舍去不符合条件的解； ②（i）设点的坐标为，分和两种情况，将衍生点的坐标用表示，消去参数得到函数表达式，并确定自变量的取值范围； （ii）先分析一次函数过定点，再分直线与图形的两段的交点情况，结合一次函数的平行、交点位置等条件，确定的取值范围． 【小问1详解】 解：对于点，， 其“衍生点”坐标为； 对于点，， 其“衍生点”坐标为； 故答案为：；． 【小问2详解】 ①设点的坐标为，分两种情况讨论： 情况1：当时，即，解得， 此时点的坐标为． ，解得(满足)， ； 情况2：当时，即， 此时点的坐标为． ，解得(不满足，舍去)； 综上，的值为； ②（i）设点的坐标为，分两种情况： 情况1：当时，即，此时点． 由得，代入得：， ，，即当时，； 情况2：当时，即，此时点． 将代入得：， ，，即当时，； 综上，图形的函数表达式为：； （ii）对于图形：， 当，，当时， 而一次函数，其图象过定点，分情况讨论： 情况1：如图，当直线与第二段的图象有一个交点，且与第一段的图象无交点时， 需要且， 或，即； 情况2：如图，当直线与第一段的图象有一个交点，且与第二段的图象无交点时， 需要，解得； 综上，的取值范围是且或或． 25. 如图，已知正方形的边长为2，对角线、交于点，若为边上的一个点，与交于点，作，垂足为点，且交于点、交于点，连接． （1）如图1，若点为的中点，求的长． （2）如图2，若为的中点，连接，求证：平分． （3）如图3，若为边上的一个动点，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明：如图，作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴平分． （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，结合可证明，则，由勾股定理可得； （2）作于点，根据题意容易得到，，由勾股定理可得，由面积法可得，从而得到．容易证明，则，进而可证明是等腰直角三角形，则，因此平分； （3）取的中点，连接、，容易计算得，由直角三角形的性质可得，由可得，当、、三点共线时，取得最小值． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴，当、、三点共线时，取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $