专题09中心对称(知识梳理+题型精析+强化巩固专练) 2026年暑假人教版八升九数学预习讲义

专题09中心对称暑假预习讲义 ·概念理解：掌握中心对称、对称中心、对称点定义，明白中心对称本质是旋转 180°，分清 “两个图形成中心对称” 与 “一个中心对称图形”。 ·性质运用：熟记中心对称核心性质，能借助性质找对称点、求线段与角度。 ·作图技能：掌握尺规作图步骤，能画出图形关于定点中心对称的图形。 ·坐标规律：熟记坐标系内点关于原点对称的坐标变化规律，快速写出对称点坐标。 ·辨别判断：能准确判断常见几何图形、生活图案是否为中心对称图形。 ·能力提升：会用中心对称性质完成基础几何计算与证明，体会图形旋转转化思想。 ·分层要求 基础：熟记定义、坐标规律，会区分易混概念； 提高：规范完成作图，简单几何求值； 拓展：坐标系与四边形、三角形综合题型解题。 预习必备 知识梳理 1中心对称. 2.中心对称的性质 3.中心对称作图 4.中心对称图形 5.坐标系中的中心对称 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.成中心对称 2.画已知图形关于某点对称图形 3.画两个图形的对称中心 4.由中心对称的性质求解 5.中心对称图形的识别 6.判断中心对称图形的对称中心 7.方格纸中补画中心对称图形 8.中心对称图形规律问题 9.求关于原点对称点的坐标 10.由两点关于原点对称求参数 11.判断两点是否关于原点对称 强化题型 解答题7题 知识点01:中心对称（两个图形的位置关系） 1. 定义 把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。 这个定点叫做对称中心； 旋转后互相重合的点叫做关于对称中心的对称点。 2. 核心判定（两个条件缺一不可） ① 绕某定点旋转180； ② 旋转后两图形完全重合。 知识点03:中心对称的性质 1.关于中心对称的两个图形全等。 2.对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 3.对应线段平行（或共线）且相等。 已知△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则： 1.△ABC≅△A′B′C′ 2.OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，A、O、A′，B、O、B′，C、O、C′ 分别共线 3.对应线段平行（或共线）且相等 知识点03:中心对称作图 “标准四步法”（规范不丢分） 场景 1：已知图形和对称中心，画中心对称图形 连：连接图形的关键点与对称中心。 延：延长这条线段，使延长部分与原线段长度相等。 定：得到关键点的对应点。 连：顺次连接所有对应点，得到中心对称图形。 场景 2：已知两个成中心对称的图形，找对称中心 方法：连接任意一组对应点，这条线段的中点就是对称中心。 进阶：连接两组对应点，两条线段的交点就是对称中心。 知识点04:中心对称图形（单个图形自身特征） 1. 定义 把一个图形绕自身某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的对称中心。 2. 高频常见中心对称图形 基础图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆； 正多边形规律：边数为偶数的正多边形（正四边形、正六边形等）是中心对称图形；奇数边正多边形（正三角形、正五边形）不是。 3. 易混概念对比（必考区分点） 对比项 中心对称 中心对称图形 图形个数 两个独立图形的位置关系 一个图形自身具备的性质 核心判定 旋转 180° 后与另一个图形重合 旋转 180° 后与自身原图重合 联系 把成中心对称的两个图形看成整体，就是中心对称图形；把中心对称图形沿对称中心分成两部分，两部分成中心对称 知识点05:坐标系中的中心对称（最核心考点） 知识点06:中心对称与旋转的从属关系 中心对称是特殊的旋转，旋转角度固定为180； 普通旋转（90°、60° 等）不一定是中心对称；只有旋转 180° 才满足中心对称定义； 通用性质通用：旋转全等、对应点到中心距离相等在中心对称中全部适用。 知识点07:高频易错点 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 概念混淆 分不清中心对称、中心对称图形 两个图→中心对称；一个图自身→中心对称图形 做题先看题干描述是 1 个还是 2 个图形 对称点作图 延长线段时截取长度不相等 对称中心平分对称点连线，两段长度必须相等 作图后测量核对AO=OA' 坐标写错 原点对称只变一个坐标符号 横、纵坐标同时取相反数 牢记口诀：原点对称全变号 图形判断 认为正三角形、五角星是中心对称图形 奇数边正多边形旋转 180° 无法与自身重合 偶数正多边形才是中心对称图形 性质误用 忽略 “对应线段共线” 特殊情况 中心对称对应线段平行或共线 证明题两种情况都要考虑 题型1.成中心对称 【典例】下列图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有_______． 【答案】B，D 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的定义逐个判断即可得到答案；解题的关键是熟练掌握中心对称的定义：将一个图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形． 【详解】解：由题意可得， A选项左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意， B选项左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意， C选项左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意， D选项左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意． 故答案为：B，D． 【跟踪专练1】下列图形中，与成中心对称的是（   ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A中与不成中心对称，不符合题意； 选项B中与成中心对称，符合题意； 选项C中与不成中心对称，不符合题意； 选项D中与不成中心对称，不符合题意， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，是等腰三角形的底边中线，与关于点中心对称，连接，则的长是（　　）    A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据与关于点中心对称，可得，再根据勾股定理可得的长． 【详解】解：∵是等腰三角形的底边中线， ∴， ∴， ∵与关于点中心对称， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键． 【跟踪专练3】如图，矩形和矩形关于点成中心对称，已知，，则阴影部分的周长和是____． 【答案】48 【分析】本题考查中心对称，矩形的性质．勾股定理等知识，解题的关键是掌握中心对称的性质，属于中考常考题型． 利用勾股定理求出，可得使得周长为12，再利用中心对称的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， ∵矩形和矩形关于点成中心对称， ∴阴影部分中的四个直角三角形全等， ∴阴影部分的周长， 故答案为：48． 题型2.画已知图形关于某点对称图形 【典例】在中，，，．若与关于点C成中心对称，则点A的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，解题的关键是掌握中心对称图形的性质． 根据，，可在平面直角坐标系中画出，再根据中心对称图形的定义可画出，结合图形即可直接读出的坐标． 【详解】解：如图，点的对应点的坐标为 故答案为： 【跟踪专练1】下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．  B．  C．  D．     【答案】C 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 【跟踪专练2】在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称作图，正确作出点B关于对称的点是解题的关键． 【详解】根据题目要求作出点B关于对称的点如图所示， 由图可知，的坐标为， 故答案为：． 题型3.画两个图形的对称中心 【典例】如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于点对称的图形的特点，关于一个点对称的两个图形的对应点连线交于一点，据此求解即可． 【详解】解：∵关于某点对称的两个图形的对应点连线交于一点， ∴若与关于某个点对称，则这个点是点， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称；坐标与图形性质；连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点，在坐标系内确定出其坐标． 【详解】解：连接、，则交点就是对称中心点．    观察图形知，． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 题型4.由中心对称的性质求解 【典例】小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，如果小明家距离学校，那么他们两家相距_________． 【答案】/米 【分析】本题考查了中线对称的性质，掌握中线对称的性质是解题的关键． 根据中心对称得到小强家距离学校也是，由两点之间的距离的计算即可求解． 【详解】解：∵小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，小明家距离学校， ∴小强家距离学校也是， ∴他们两家相距， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，与关于O成中心对称，不一定成立的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质，解题的关键是掌握中心对称的性质，即对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分．据此解答即可． 【详解】解：∵和关于点O成中心对称， ∴． 根据中心对称的性质得不出， ∴D不一定成立． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则，由中心对称，得到，，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵于点． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴， ∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点， ∴，，图形①与图形②面积相等， ∴． 【跟踪专练3】如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，关键中心对称性质的应用． 根据中心对称的性质及，由勾股定理即可求得的长． 【详解】∵与关于点成中心对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 故选：D． 题型5.中心对称图形的识别 【典例】下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是_______． （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（4） 【分析】根据中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形）依次对各个图形进行判断即可． 【详解】解：（1）该图形不是中心对称图形， （2）该图形不是中心对称图形， （3）该图形不是中心对称图形， （4）该图形是中心对称图形， ∴这些汽车标识中，是中心对称图形的是（4）． 【跟踪专练1】中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 【跟踪专练2】在下列图形中：①菱形；②等边三角形；③矩形；④平行四边形；⑤线段；既是中心对称图形又是轴对称图形的是________．（填写序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义、特殊四边形的定义、等边三角形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：①菱形既是中心对称图形又是轴对称图形； ②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形； ③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形； ④平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； ⑤线段既是中心对称图形又是轴对称图形； 故答案为：①③⑤． 【跟踪专练3】微信是人们日常生活中使用频率极高的社交软件之一，其功能图标的设计简约明了，充满了数学美．小文将以下微信功能的图标打印在同样的张纸上，将白纸背面朝上，然后从中随机抽取一张，则她抽到的纸上的功能图标是轴对称图形但不是中心对称图形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率公式求概率，轴对称图形与中心对称图形的识别，根据轴对称图形与中心对称图形的定义得出第1个和第3个图形是轴对称图形但不是中心对称图形，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解：共有5张纸，其中第1个和第3个图形是轴对称图形但不是中心对称图形，共2种， ∴抽到的纸上的功能图标是轴对称图形但不是中心对称图形的概率是． 故选：B． 题型6.判断中心对称图形的对称中心 【典例】如图，与成中心对称，则对称中心是____． 【答案】中点（或中点） 【分析】本题考查的是对称中心的性质，根据对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【详解】解：∵与成中心对称， ∴的中点为对称中心，（的中点为对称中心） 故答案为：中点（或中点）． 【跟踪专练1】如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形与矩形关于某点对称， ∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C, ∴对称中心为线段的中点． 故选D． 【跟踪专练2】如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段中点或线段中点，进而得出答案，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：∵此图形是中心对称图形， ∴对称中心是线段的中点． 故选：． 题型7.方格纸中补画中心对称图形 【典例】如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了利用中心对称设计图案，正确把握中心对称图形的定义是解题关键．直接利用中心称图形的定义画出图形即可． 【详解】解：如图所示： 可供选择的白色小正方形的个数为3个． 故答案为：3． 【跟踪专练1】如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形，理解其定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义解题即可． 【详解】解：由图可知，选取方格为时，整个阴影部分如图，为中心对称图形． 故选：A ． 【跟踪专练2】在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可得出结果． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可得，该小正方形的序号是②． 题型8.中心对称图形规律问题 【典例】在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点的横坐标、纵坐标规律．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【详解】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， …， ，，，，…， 的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是， 故答案为 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，一段抛物线记为，它与x轴的交点为O，，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为，…，如此进行下去，直至得到．当n为偶数时，抛物线的表达式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象及其性质，中心对称的性质，先求出抛物线与x轴的交点的坐标及两交点的距离，再根据轴对称和中心对称找顶点坐标的规律，得到抛物线与x轴的交点的坐标及开口方向，即可得到答案； 【详解】解：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向下，且抛物线与x轴两交点的距离为：； ∵将绕点旋转得，将绕点旋转得， ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向上； ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向下； 同理：当n为偶数时，抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向上； ∴抛物线的表达式为： 故答案为：． 题型9.求关于原点对称点的坐标 【典例】点关于原点的对称点坐标是_______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，即可得到答案． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标特点，可知两个点关于原点对称时，横纵坐标符号相反， 因此点关于原点的对称点的坐标为． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于轴对称的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的特征、轴对称，根据轴对称写出对称后点的坐标是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征，求出a和b的值，得到点A的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求解． 【详解】∵点关于原点对称的点的坐标是， ∴，，解得 ，， ∴点A的坐标为， ∵点A关于x轴对称， ∴对称点的坐标为， 故选：C． 【跟踪专练2】点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的性质求出点的坐标，再结合点在第三象限列出关于m的不等式，即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点为点， ∵点在第三象限，且， ∴， 解得． 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线交于原点，将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，旋转的性质，首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2026次旋转结束时，点在第二象限，和点的坐标一致，即可求解． 【详解】解：将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，， 旋转4次后回到原来的位置， ， 第2026次旋转结束时，点在第二象限，和点的坐标一致， ∵，菱形的对角线交于原点O， ∴ 故第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：B． 题型10.由两点关于原点对称求参数 【典例】已知点关于原点对称的点为，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均互为相反数，求出a和b的值，再计算，最后根据有理数的乘方运算求解，即可作答． 【详解】解：∵点关于原点对称的点为， ∴， ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】已知点和关于原点对称，则的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，利用关于原点对称的点坐标关系，即对应坐标互为相反数，列方程求a和b，再计算的值即可． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴且， 解得：，， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】已知点和点关于原点对称，则___________． 【答案】/ 【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ， ． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向上平移6个单位长度后，与轴交于点，若点与关于原点对称，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据y轴上点的坐标特征求得A、的坐标，由题意可知，解得． 【详解】解：∵直线（为常数）与y轴交于点A， 当时，， ∴， 将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，得到， ∵将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，与y轴交于点， ∴， ∵点与A关于原点O对称， ∴， 解得， 故选：A． 题型11.判断两点是否关于原点对称 【典例】和点关于______对称． 【答案】原点 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解题的关键是掌握两个点关于原点对称，则横纵坐标均互为相反数． 根据和点横纵坐标均互为相反数，即可确定和点关于原点对称． 【详解】解：∵和点横纵坐标均互为相反数， ∴和点关于原点对称， 故答案为：原点． 【跟踪专练1】下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：关于原点对称的两点坐标满足：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 选项A中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项B中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数，符合关于原点对称的坐标特征，该项符合要求． 选项C中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项D中，与的横坐标相同，不互为相反数，该项不符合要求． 【跟踪专练2】直线经过点和，则直线（    ） A．平行于轴 B．平行于轴 C．经过原点 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据两坐标点的特征，得出两点的横纵坐标都互为相反数，得出两点关于原点对称，故直线经过原点． 【详解】解：直线上的点和的横纵坐标都互为相反数， 这两点关于原点对称， 则直线经过原点， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质的知识，观察两点得出两点关于原点对称，是解答本题的关键． 解答题 1．如图，和是平行四边形外的两个等边三角形，用旋转的知识说明，和成中心对称． 【答案】证明见解析 【分析】连接、，设交点为点O，连接、，利用平行四边形的性质得到，，，，证明得到，再由等边三角形的性质推出，，，进而推出，证明，得到，，紧接着证明，得到，由，从而得出点三点共线，点E绕点O旋转能与点F重合，即绕点O旋转能与重合，最终证得结论． 【详解】证明：如图，连接、，设交点为点O，连接、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点绕点O旋转能分别与点重合， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，和是等边三角形， ∴，，， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴点三点共线，点E绕点O旋转能与点F重合， ∴绕点O旋转能与重合， 即和成中心对称． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，将绕点顺时针旋转得到，点、对应点分别是、． (1)请在图中画出； (2)画出，使与关于原点成中心对称； 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 【分析】（1）根据旋转的性质画出图形即可． （2）根据中心对称的性质画出图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 3．如图所示，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为______； (2)作关于点的中心对称图形． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查中心对称图形的对称中心、画中心对称图形等，解答本题的关键是熟练掌握中心对称的性质． （1）根据对应点连线的交点即为对称中心，根据坐标系即可求出坐标； （2）分别找到各点的对应点，顺次连接即为所求图形． 【详解】（1）解：如图，分别连接两点和两点，相交于点， 由图可知，点的坐标为； （2）如图，为所求作． 4．按照要求画图： (1)如图甲，在平面直角坐标系中，将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点为点．画出旋转后的； (2)如图乙，网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，找出点A、B、C的对应点即可； （2）根据中心对称图形的性质进行画图即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 5．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点O对称的； (2)写出，，三个点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，，． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化． （1）根据关于原点对称的特征找到A、B、C对应点，，的位置，然后顺次连接，，即可； （2）根据（1）所求写出对应点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由（1）得，，，． 6．已知点，． (1)若A，B两点关于原点对称，求，的值； (2)若A，B两点关于轴对称，求，的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标，理解题意是解决本题的关键． （1）关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标均互为相反数，据此即可作答； （2）关于x轴对称的两点的纵坐标互为相反数，横坐标相等，据此即可作答． 【详解】（1）解：两点关于原点对称， ， ； （2）解：两点关于轴对称， ， ． 7．如图，与关于点成中心对称． (1)连接，证明四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握以上知识的运用是关键． （1）根据中心对称的特点得到，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证； （2）由勾股定理，平行四边形的性质得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09中心对称暑假预习讲义 ·概念理解：掌握中心对称、对称中心、对称点定义，明白中心对称本质是旋转 180°，分清 “两个图形成中心对称” 与 “一个中心对称图形”。 ·性质运用：熟记中心对称核心性质，能借助性质找对称点、求线段与角度。 ·作图技能：掌握尺规作图步骤，能画出图形关于定点中心对称的图形。 ·坐标规律：熟记坐标系内点关于原点对称的坐标变化规律，快速写出对称点坐标。 ·辨别判断：能准确判断常见几何图形、生活图案是否为中心对称图形。 ·能力提升：会用中心对称性质完成基础几何计算与证明，体会图形旋转转化思想。 ·分层要求 基础：熟记定义、坐标规律，会区分易混概念； 提高：规范完成作图，简单几何求值； 拓展：坐标系与四边形、三角形综合题型解题。 预习必备 知识梳理 1中心对称. 2.中心对称的性质 3.中心对称作图 4.中心对称图形 5.坐标系中的中心对称 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.成中心对称 2.画已知图形关于某点对称图形 3.画两个图形的对称中心 4.由中心对称的性质求解 5.中心对称图形的识别 6.判断中心对称图形的对称中心 7.方格纸中补画中心对称图形 8.中心对称图形规律问题 9.求关于原点对称点的坐标 10.由两点关于原点对称求参数 11.判断两点是否关于原点对称 强化题型 解答题7题 知识点01:中心对称（两个图形的位置关系） 1. 定义 把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。 这个定点叫做对称中心； 旋转后互相重合的点叫做关于对称中心的对称点。 2. 核心判定（两个条件缺一不可） ① 绕某定点旋转180； ② 旋转后两图形完全重合。 知识点03:中心对称的性质 1.关于中心对称的两个图形全等。 2.对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 3.对应线段平行（或共线）且相等。 已知△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则： 1.△ABC≅△A′B′C′ 2.OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，A、O、A′，B、O、B′，C、O、C′ 分别共线 3.对应线段平行（或共线）且相等 知识点03:中心对称作图 “标准四步法”（规范不丢分） 场景 1：已知图形和对称中心，画中心对称图形 连：连接图形的关键点与对称中心。 延：延长这条线段，使延长部分与原线段长度相等。 定：得到关键点的对应点。 连：顺次连接所有对应点，得到中心对称图形。 场景 2：已知两个成中心对称的图形，找对称中心 方法：连接任意一组对应点，这条线段的中点就是对称中心。 进阶：连接两组对应点，两条线段的交点就是对称中心。 知识点04:中心对称图形（单个图形自身特征） 1. 定义 把一个图形绕自身某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的对称中心。 2. 高频常见中心对称图形 基础图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆； 正多边形规律：边数为偶数的正多边形（正四边形、正六边形等）是中心对称图形；奇数边正多边形（正三角形、正五边形）不是。 3. 易混概念对比（必考区分点） 对比项 中心对称 中心对称图形 图形个数 两个独立图形的位置关系 一个图形自身具备的性质 核心判定 旋转 180° 后与另一个图形重合 旋转 180° 后与自身原图重合 联系 把成中心对称的两个图形看成整体，就是中心对称图形；把中心对称图形沿对称中心分成两部分，两部分成中心对称 知识点05:坐标系中的中心对称（最核心考点） 知识点06:中心对称与旋转的从属关系 中心对称是特殊的旋转，旋转角度固定为180； 普通旋转（90°、60° 等）不一定是中心对称；只有旋转 180° 才满足中心对称定义； 通用性质通用：旋转全等、对应点到中心距离相等在中心对称中全部适用。 知识点07:高频易错点 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 概念混淆 分不清中心对称、中心对称图形 两个图→中心对称；一个图自身→中心对称图形 做题先看题干描述是 1 个还是 2 个图形 对称点作图 延长线段时截取长度不相等 对称中心平分对称点连线，两段长度必须相等 作图后测量核对AO=OA' 坐标写错 原点对称只变一个坐标符号 横、纵坐标同时取相反数 牢记口诀：原点对称全变号 图形判断 认为正三角形、五角星是中心对称图形 奇数边正多边形旋转 180° 无法与自身重合 偶数正多边形才是中心对称图形 性质误用 忽略 “对应线段共线” 特殊情况 中心对称对应线段平行或共线 证明题两种情况都要考虑 题型1.成中心对称 【典例】下列图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有_______． 【跟踪专练1】下列图形中，与成中心对称的是（   ） A．B． C．D． 【跟踪专练2】如图，是等腰三角形的底边中线，与关于点中心对称，连接，则的长是（　　）    A．4 B． C． D． 【跟踪专练3】如图，矩形和矩形关于点成中心对称，已知，，则阴影部分的周长和是____． 题型2.画已知图形关于某点对称图形 【典例】在中，，，．若与关于点C成中心对称，则点A的对应点的坐标为________． 【跟踪专练1】下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．  B．  C．  D．     【跟踪专练2】在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 题型3.画两个图形的对称中心 【典例】如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 题型4.由中心对称的性质求解 【典例】小明、王强两家所在的位置关于学校成中心对称，如果小明家距离学校，那么他们两家相距_________． 【跟踪专练1】如图，与关于O成中心对称，不一定成立的结论是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____． 【跟踪专练3】如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 题型5.中心对称图形的识别 【典例】下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是_______． （1）；（2）；（3）；（4） 【跟踪专练1】中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在下列图形中：①菱形；②等边三角形；③矩形；④平行四边形；⑤线段；既是中心对称图形又是轴对称图形的是________．（填写序号） 【跟踪专练3】微信是人们日常生活中使用频率极高的社交软件之一，其功能图标的设计简约明了，充满了数学美．小文将以下微信功能的图标打印在同样的张纸上，将白纸背面朝上，然后从中随机抽取一张，则她抽到的纸上的功能图标是轴对称图形但不是中心对称图形的概率是（   ） A． B． C． D． 题型6.判断中心对称图形的对称中心 【典例】如图，与成中心对称，则对称中心是____． 【跟踪专练1】如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【跟踪专练2】如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 题型7.方格纸中补画中心对称图形 【典例】如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为______． 【跟踪专练1】如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 题型8.中心对称图形规律问题 【典例】在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，一段抛物线记为，它与x轴的交点为O，，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为，…，如此进行下去，直至得到．当n为偶数时，抛物线的表达式为______． 题型9.求关于原点对称点的坐标 【典例】点关于原点的对称点坐标是_______． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于轴对称的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线交于原点，将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型10.由两点关于原点对称求参数 【典例】已知点关于原点对称的点为，则的值为________． 【跟踪专练1】已知点和关于原点对称，则的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【跟踪专练2】已知点和点关于原点对称，则___________． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向上平移6个单位长度后，与轴交于点，若点与关于原点对称，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 题型11.判断两点是否关于原点对称 【典例】和点关于______对称． 【跟踪专练1】下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【跟踪专练2】直线经过点和，则直线（    ） A．平行于轴 B．平行于轴 C．经过原点 D．无法确定 解答题 1．如图，和是平行四边形外的两个等边三角形，用旋转的知识说明，和成中心对称． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，将绕点顺时针旋转得到，点、对应点分别是、． (1)请在图中画出； (2)画出，使与关于原点成中心对称； 3．如图所示，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为______； (2)作关于点的中心对称图形． 4．按照要求画图： (1)如图甲，在平面直角坐标系中，将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点为点．画出旋转后的； (2)如图乙，网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）． 5．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点O对称的； (2)写出，，三个点的坐标． 6．已知点，． (1)若A，B两点关于原点对称，求，的值； (2)若A，B两点关于轴对称，求，的值． 7．如图，与关于点成中心对称． (1)连接，证明四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $