暑假预习：一元二次方程的概念5种高频考点讲义-2026年八升九暑假数学（人教版）

暑假预习：一元二次方程的概念5种高频考点讲义 暑假预习：一元二次方程的概念5种高频考点讲义 考点目录 一元二次方程的定义 一元二次方程的解 化方程为一元二次方程的一般式 由一元二次方程的定义求参数 由一元二次方程的解求参数 考点一 一元二次方程的定义 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义：只含有一个未知数，未知数最高次数是2，且二次项系数不为 0的整式方程。 1. 三大必备条件（缺一不可） ① 整式方程：分母不含未知数、根号内不含未知数； ② 只含 1 个未知数； ③ 未知数最高次数为 2，二次项系数 。 1. 排除类：分式方程、根式方程、含两个未知数、最高次为 1/3 次都不是一元二次方程。 二、解题原理 逐条核对三个条件，全部满足才是一元二次方程；任意一条不满足直接排除。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·山东济南·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 例2．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）下列方程中，一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 考点二 一元二次方程的解 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（也叫根）。 1. 核心性质：若 是方程 的根，则把 代入，等式成立： 1. 拓展： · 已知一根可求参数； · 给出两根可构造方程； · 根可用于整体代换化简代数式。 二、解题原理 将根直接代入原方程，得到含参数的等式，通过等式变形计算求值。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）下表是某同学求代数式（为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A．0 B．1 C．2 D．3 例2．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A． B． C．或 D．或 变式2．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D． 考点三 化方程为一元二次方程的一般式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 一般形式： · ：二次项， 二次项系数； · ：一次项， 一次项系数； · ：常数项。 1. 化简步骤：去分母→去括号→移项（所有项移左边，右边为 0）→合并同类项； 1. 规范要求：二次项写最前，一次项居中，常数项最后；二次项系数化为正数。 二、解题原理 1. 去括号、去分母消除分式与括号； 1. 移项：含未知数项移左边，常数移右边，再统一移到左侧，右侧等于 0； 1. 合并同类项，按降幂排列； 1. 标注二次项、一次项、常数项及其系数。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）一元二次方程的二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 例2．（21-22九年级下·江苏宿迁·开学考试）将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程展开为一般形式后，一次项系数是（   ） A． B．1 C． D．2 变式2．（25-26九年级上·河南许昌·期末）将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 考点四 由一元二次方程的定义求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 两个限制条件同时成立： ① 未知数最高次数 = 2； ② 二次项系数 ≠ 0。 1. 常见题型：方程含参数，未知数次数为含参代数式，求参数取值。 二、解题原理 1. 根据最高次数为 2，列等式求出参数候选值； 1. 把候选值代入二次项系数，舍去使二次项系数=0 的解； 1. 剩余符合条件的值即为答案。 示例逻辑 如 是一元二次方程： 解得 。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·重庆·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·福建福州·月考）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·广东湛江·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 变式3．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则________． 考点五 由一元二次方程的解求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 已知方程一根，将根代入方程，得到只含参数的一元一次/一元二次等式； 1. 若给出两根，可分别代入联立方程求解参数； 1. 代入后可整体代换，不求未知数直接化简代数式。 二、解题原理 1. 把已知根替换方程中所有未知数 ； 1. 整理得到只含参数的方程； 1. 解方程求出参数； 1. 若题目同时要求方程是一元二次方程，额外检验二次项系数不为 0。 【例题分析】 例1．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 例2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 例3．（2026·福建福州·模拟预测）已知是方程的解，则________． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）已知一元二次方程的一个根为，则的值为（     ） A． B．4 C． D．6 变式2．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 变式3．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：一元二次方程的概念5种高频考点讲义 暑假预习：一元二次方程的概念5种高频考点讲义 考点目录 一元二次方程的定义 一元二次方程的解 化方程为一元二次方程的一般式 由一元二次方程的定义求参数 由一元二次方程的解求参数 考点一 一元二次方程的定义 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义：只含有一个未知数，未知数最高次数是2，且二次项系数不为 0的整式方程。 1. 三大必备条件（缺一不可） ① 整式方程：分母不含未知数、根号内不含未知数； ② 只含 1 个未知数； ③ 未知数最高次数为 2，二次项系数 。 1. 排除类：分式方程、根式方程、含两个未知数、最高次为 1/3 次都不是一元二次方程。 二、解题原理 逐条核对三个条件，全部满足才是一元二次方程；任意一条不满足直接排除。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·山东济南·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程． 选项A：，只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 选项B：含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义； 选项C：分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； 选项D：未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程的定义． 综上，故选A． 例2．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意. 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）下列方程中，一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 变式2．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】一元二次方程一般形式中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程为，对应一般形式可得， ∴一次项系数为． 考点二 一元二次方程的解 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（也叫根）。 1. 核心性质：若 是方程 的根，则把 代入，等式成立： 1. 拓展： · 已知一根可求参数； · 给出两根可构造方程； · 根可用于整体代换化简代数式。 二、解题原理 将根直接代入原方程，得到含参数的等式，通过等式变形计算求值。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）下表是某同学求代数式（为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的值与方程的解，理解表格信息，掌握方程与解的关系是解题的关键． 通过表格数据，分析当x取不同值时，的值，代入方程观察方程是否成立，即可求解． 【详解】解：根据表格可知， A、当时，，可得，故不是方程的根，选项A不符合题意， B、当时，，可得，故是方程的根，选项B符合题意， C、当时，，可得，故不是方程的根，选项C不符合题意， D、当时，，可得，故不是方程的根，选项D不符合题意． 故选：B． 例2．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 例3．（25-26九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和2时，， ∴方程的根是：或， 故选D． 变式2．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将题中的一元二次方程通过因式分解得到或，解得x的值，再对应选项中的值即可． 【详解】解：， 或， 解得：，． 故选：C． 变式3．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是根据表格直接得到解，能使成立的x的值即为所求． 【详解】解：由表格知，当或时，成立， 即该方程的根是． 故选：C． 考点三 化方程为一元二次方程的一般式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 一般形式： · ：二次项， 二次项系数； · ：一次项， 一次项系数； · ：常数项。 1. 化简步骤：去分母→去括号→移项（所有项移左边，右边为 0）→合并同类项； 1. 规范要求：二次项写最前，一次项居中，常数项最后；二次项系数化为正数。 二、解题原理 1. 去括号、去分母消除分式与括号； 1. 移项：含未知数项移左边，常数移右边，再统一移到左侧，右侧等于 0； 1. 合并同类项，按降幂排列； 1. 标注二次项、一次项、常数项及其系数。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）一元二次方程的二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式（），再根据定义确定一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为， 方程可整理为， 一次项系数、常数项分别是，， 故选：D． 例2．（21-22九年级下·江苏宿迁·开学考试）将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理得到符合要求的一般形式即可． 【详解】解：∵原方程为 先去括号，可得 将所有项移到等号左侧，移项变号得 合并同类项得． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程展开为一般形式后，一次项系数是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式和系数，其一般形式为．方程整理为一般形式，确定出一次项系数即可． 【详解】解：方程整理得：， 则方程的一次项系数是． 故选：A． 变式2．（25-26九年级上·河南许昌·期末）将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程化为（）的形式，从而确定二次项系数和一次项系数； 先展开方程左边的完全平方，再移项合并同类项，得到一般形式，进而确定二次项系数和一次项系数． 【详解】解： 二次项系数为2，一次项系数为，此选项B符合题意． 故选：B． 考点四 由一元二次方程的定义求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 两个限制条件同时成立： ① 未知数最高次数 = 2； ② 二次项系数 ≠ 0。 1. 常见题型：方程含参数，未知数次数为含参代数式，求参数取值。 二、解题原理 1. 根据最高次数为 2，列等式求出参数候选值； 1. 把候选值代入二次项系数，舍去使二次项系数=0 的解； 1. 剩余符合条件的值即为答案。 示例逻辑 如 是一元二次方程： 解得 。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·重庆·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 例2．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 例3．（25-26九年级上·福建福州·月考）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数且系数． 【详解】解：由方程是关于的一元二次方程，得的最高次数为2，即， 解得． 又因为二次项系数，即， 所以， 当时，方程为，满足一元二次方程的定义． 故答案为：． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·广东湛江·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程要求二次项系数不为零，由此计算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 变式2．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 变式3．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 考点五 由一元二次方程的解求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 已知方程一根，将根代入方程，得到只含参数的一元一次/一元二次等式； 1. 若给出两根，可分别代入联立方程求解参数； 1. 代入后可整体代换，不求未知数直接化简代数式。 二、解题原理 1. 把已知根替换方程中所有未知数 ； 1. 整理得到只含参数的方程； 1. 解方程求出参数； 1. 若题目同时要求方程是一元二次方程，额外检验二次项系数不为 0。 【例题分析】 例1．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 例2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 例3．（2026·福建福州·模拟预测）已知是方程的解，则________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的解可得，再变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 即， 则． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）已知一元二次方程的一个根为，则的值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴ ∴． 变式2．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 变式3．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 【答案】 【分析】把代入方程得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意，把代入方程得， ， 整理得，， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $