第二十五章 一元二次方程 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

答案与解析 知识点一一元二次方程的定义与一般形式 【例1】答案：C 解析： A:X+上=0分母含未知数，不是整式方程，排除 X B:x-2y=1含两个未知数，排除 C:x2-2X=3符合一元二次方程定义，正确 D:ax2+bx+c=0未注明a≠0，排除 【例2】答案：m=-2 解析：一元二次方程要求未知数最高次数为2且二次项系数不为0. m=2 m-2 0m22m=-2 【变式1】答案：D 解析：原方程化为一般形式2x2+4x-3=0,常数项为-3. 【变式2】答案：3x2-8x-10=0,二次项系数3，一次项系数-8，常数项-10 解析： 3xx-1)=5(x+2)3x2-3x=5x+103x2-3x-5x-10=03x2-8x-10=0 知识点二直接开平方法 【例3】答案： (1)x2-25=0→x2=25→x=±5，即x1=5,X2=-5 24x-1y=9=x-1=2x-1=号 4 X1±是即飞受光月 (3)(2x+32+16=0→(2x+3)2=-16<0,方程无实数根 【变式3】答案： 19-4=0-音X=号即x子X=号 第1页共14页 (2)(3x-1)2=64→3x-1=±8 台3x=1±8，即x1=3,X2=-3 (3)x+4=0→x=-4<0,方程无实数根 第2页共14页 知识点三配方法 【例4】答案： (1)x-6x+8=0 x2-6x=-8x2-6x+9=-8+9(x-32=1X-3=±1x1=4,x2=2 (2)2x2-4x-1=0 -2x-0父-2x号-2x*11x-12-号x-1=+9-1 6 2 即%1+6， 2,水=1-6 【例5】答案： x2-4x+5=x2-4x+4+1=(X-22+1 .‘(x-22≥0，.（x-2)+1≥1>0，故无论x取何实数，代数式x2-4x+5的值总是正 数 【变式4】答案： (1)x+8x-9=0 x2+8x=9x2+8x+16=9+16(x+42=25x+4=±5x1=1,2=-9 2)2-2x*1-0 x2-6x+3=0x2-6x=-3x2-6x+9=-3+9(x-32=6x-3=±9V6x=3±V6 即x1=3+V6,x2=3-6 【变式5】答案： 2x2-8x+7=2(x2-4x)+7=2(x2-4x+4-4)+7=2[(x-22-4]+7=2(x-22-8+7=2(x-2) .2(x-22≥0，∴.2(x-22-1≥-1，故代数式的最小值为-1. 知识点四公式法 【例6】答案： (1)x-4x-7=0,a=1,b=-4,c=-7 △=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=16+28=44>0 第3页共14页 X=-(-4±4-4±2亚-2±m 2×1 2 即x1=2+V11,x2=2-V11 (2)x2-2x+3=0,a=1,b=-2,c=3 △=(-2}2-4×1×3=4-12=-8<0 方程无实数根。 【变式6】答案： (1)3x2+5x-2=0,a=3,b=5,c=-2 4=52-4×3×(-2)=25+24=49>0 x=-5±49--5t7 2×3 6 即x专-2 2)号X2-2x+1=0,两边乘以2得X-4x+2=0 a=1,b=-4,c=2 △=(-42-4×1×2=16-8=8>0 X-4±6_4±22-212 2 2 即x1=2+V2,x2=2-V2 知识点五因式分解法 【例7】答案： (1)x2-3x=0→xx-3)=0→x1=0,x2=3 (2)x2-9=0→(x+3)(x-3)=0→x1=-3,x2=3 【例8】答案： (x-32=2(3-x 解法一：移项得(x-32+2(x-3)=0 (x-3)[(x-3)+2]=0 x-3)(x-1)=0→x1=3,x2=1 第4页共14页 解法二：展开得x2-6x+9=6-2x x2-4x+3=0→(x-1)(x-3)=0→x1=1,x2=3 【变式7】答案： (1)2x2-8x=0→2x(x-4)=0→x1=0,X2=4 (2)x2-16=0→(x+4)(x-4)=0→x1=-4,x2=4 (3)x+3x-10=0→(x+5)(x-2)=0→x1=-5,x2=2 【变式8】答案： (1)(2x-12=9,直接开平方： 2x-1=±3→2x=1±3→X1=2,X2=-1 (2)x-2x-15=0,因式分解： (x-5)(x+3)=0→x1=5,x2=-3 (3)2x2-5X+2=0,十字相乘法： (2x-1(x-2=0→x1=7x,=2 知识点六一元二次方程根的判别式 【例9】答案： (1)x+3x-5=0 △=32-4×1×(-5)=9+20=29>0 方程有两个不相等的实数根。 (2)4x2-4x+1=0 △=(-42-4×4×1=16-16=0 方程有两个相等的实数根. (3)2x2-3x+4=0 △=(-32-4×2×4=9-32=-23<0 方程无实数根. 【例10】答案： 第5页共14页 方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，则： 1k*0 →/kx0 k*0 △=(-62-4k9>0 36-36k>0 k<1 ∴.k<1且k≠0. 【变式9】答案： 方程2x2-3x-m=0有实数根，则： 4=(-3P-4×2×(-m)=9+8m≥0→m≥-9 【变式10】答案： 方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个相等的实数根，则： △=[-2(k-1)]2-4×1×k2=0 4(k-1)2-4k2=0 (k-12-k2=0 k2-2k+1-k2=0 -2k+1=0=k号 识点七根与系数的关系（韦达定理） 【例11】答案： 方程x2-5x+6=0,a=1,b=-5,c=6 (1)X+X=-为=-5=5，X1X-9=6=6 a 1 a 1 (2)x+x=(x1+x22-2x1x2=52-2×6=25-12=13 (3) 1+1=+=5 X1 X2 X1X2 6 【例12】答案： 方程x2+2x+m-1=0,a=1,b=2,c=m-1 由韦达定理：X1+X2=-2,X1X2=m-1 由x1+x2=10得： (x1+x22-2x1x2=10 (-22-2(m-1)=10 第6页共14页 4-2m+2=10 -2m=4→m=-2 检验：当m=-2时，△=2-4×1×(-3)=4+12=16>0， 符合题意.∴.m=-2. 【变式11】答案： 方程x2-3X-2=0,Q=1,b=-3,c=-2,X1+X2=3,X1X2=-2 (1)x+x2=(x1+x22-2x1x2=32-2×(-2)=9+4=13 (2)(x1-1(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-2-3+1=-4 【变式12】答案： 方程x2-4x+k=0的两个根互为倒数，则x1X2=1. 由韦达定理：X1X2=k, ∴.k=1. 检验：当k=1时，△=(-4)2-4×1×1=16-4=12>0，符合题意 .∴.k=1. 知识点八一元二次方程的实际应用 【例13】答案： 设今年南瓜亩产量的增长率为X,则种植面积的增长率为2x. 去年种植面积10亩，亩产量2000kg.今年种植面积=10(1+2x),亩产量=2000(1+x). 由题意： 10(1+2x)×2000(1+x)=60000 20000(1+2x)1+x)=60000 (1+2x)(1+x)=3 1+x+2x+2x2=3 2x2+3x-2=0 (2x-1)(x+2)=0 x域x=2（舍去) .∴.今年南瓜亩产量的增长率为50%. 【例14】答案： 第7页共14页 设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 第一轮后被传染人数为x,共1+x人患病.第二轮后新增(1+x)x人患病，共 (1+x)+(1+x)x=(1+x2人患病： 由题意： (1+x)2=144 1+x=±12 x=11或x=-13(舍去) .每轮传染中平均一个人传染了11个人. 【例15】答案： 设每件应降价X元 降价后售价=60-x元，单件利润=60-x)-40=20-x元，日销售量=100+10x件. 由题意： 20-x)(100+10x)=2240 2000+200x-100x-10x2=2240 -10x2+100x-240=0 x2-10x+24=0 (x-4)(x-6)=0 x=4或x=6 两个解均符合题意.∴.每件应降价4元或6元. 【变式13】答案： 设九年级有n个班级参赛单循环赛制，总场次nn-1=45. 2 nn-1)=90 n2-n-90=0 (n-10)(n+9)=0 n=10或n=-9(舍去) .九年级有10个班级参赛 【变式14】答案： 设每次降价的百分率为x.由题意： 100(1-x2=81 第8页共14页 (1-x2=0.81 1-x=±0.9 x=0.1或x=1.9(舍去） .∴.每次降价的百分率为10%. 【变式15】答案： 设道路的宽为x米将六块试验田平移拼成一个矩形，拼成的矩形长为32-2x)米，宽为 (20-x)米. 由题意： (32-2x)(20-x)=570 640-32X-40x+2x2=570 2x2-72x+70=0 x2-36x+35=0 （x-1)(x-35)=0 x=1或x=35(舍去，.·x<20) .∴.道路的宽为1米. 第9页共14页 综合测评 1.答案：D A分母含未知数，不是整式方程 B未注明a≠0 C化简后为2x=-1,是一次方程 D符合一元二次方程定义 2.答案：A (X+2)(x-2)=4x→x2-4=4x→x2-4x-4=0 3.答案：A x2-6x-7=0→(x-32=16 4.答案：C △=（-22-4×1×3=4-12=-8<0，没有实数根 5.答案：A △=(-2}2-4m=0→4-4m=0→m=1 6.答案：B X1+X2=3,X1X2=-5 7.答案：C 设另一根为x2,则2+X2=-k,2x2=-6→x2=-3,代入得k=1 8.答案：B 降价问题公式a(1-xP=b 9.答案：A 十位x,个位x+3,两位数为10x+(x+3),等于2x(x+3) 10.答案：D 2(x-12-1=0→2x2-4x+1=0,由同构定义对应系数成比例得a=-2,b=0 11.答案：X1=5,x2=-1 X-2=±3→X=5或x=-1 12.答案：6 设方程为3x2+bx+c=0,两根1,2，则1×2=S→c=6 3 第10页共14页 13.答案：-2 由flm=2 m-2≠0 →m=-2 14.答案：2026 m是x2-X-1=0的根→m2-m=1, .m2-m+2025=1+2025=2026 15.答案：-27 m,n是方程x2-5x-1=0的两根→m+n=5,mn=-1 n+m=m2+m2-(m+nP-2mm=25+2=-27 m n mn mn -1 16.答案：x(20-x)=96(或x2-20x+96=0) 长xcm,宽(20-x)cm 17.答案：k>2且k1 rk-1≠0 △=4+8(k-1)>0 → 8k-4>0 →k>k1 18.解方程： (1)2x2-7X+3=0(公式法) a=2,b=-7,c=3, △=(-72-4×2×3=49-24=25 x=2±5 4 1 .x1=3,X2=2 (2)x2-4X-1=0(配方法) x2-4x=1 x2-4x+4=1+4 (x-22=5 x-2=±V5 .x1=2+5,x2=2-9V5 (3)x2-5x+6=0 (x-2)(x-3=0, 第11页共14页 ∴.X1=2,X2=3 (4)(2x-3)2=5(2x-3) (2x-32-5(2x-3)=0 (2x-3)(2x-3-5)=0 (2x-3)(2x-8)=0 是4 19.答案： (1)方程x-2(m+1)x+m2=0有两个相等实数根→△=0 4=[-2(m+1)-4×1×m2=4(m+12-4m2=4(2m+1)=0→m=-号 (2)取m=0(满足2m+1>0即可)，则方程为x2-2x=0 xX-2)=0→x1=0,X2=2 20.答案： (1)方程x+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根→△≥0 △=(2k-12-4k2-1)=4k2-4k+1-4k2+4=-4k+5≥0 k房 (2)由韦达定理：X1+x2=1-2k,x1x2=K2-1 x7+x3=(1-2k)2-2(k2-1)=9 1-4k+4k2-2k2+2=9→2k2-4k-6=0 k2-2k-3=0→(k-3)(k+1)=0 k=3或k=-1 ①)知k≤异敌k=-1 21.答案： 设每千克应涨价x元.涨价后每千克利润=10+x元，日销售量=500-20x千克. 由题意： (10+x)(500-20x)=6000 5000-200x+500x-20x2=6000 第12页共14页 -20x2+300x-1000=0 x2-15x+50=0→(x-5)(x-10)=0→x=5或x=10 要顾客得到实惠，应取较小的涨价，即x=5.∴.每千克应涨价5元. 22.答案： 设x2-2x=y,则原方程化为： y2-2y-3=0→(y-3)(y+1)=0→y1=3,y2=-1 当y=3时：x2-2x=3→x2-2x-3=0→(x-3)(x+1)=0→X1=3,x2=-1 当y=-1时：x2-2x=-1→x2-2x+1=0→(x-12=0→x3=x4=1 .∴.原方程的解为X1=3,X2=-1,X3=1 23.答案： AP=t,PB=6-t,BQ=2t 1)5am×PB×B0×6-t×2t=t6-t 令t(6-t)=8→6t-t2=8→t2-6t+8=0→(t-2)(t-4)=0 t1=2,t2=4,均符合题意(0<t≤4). .∴.当t=2秒或t=4秒时，△PBQ的面积为8cm2. (2)令t(6-t)=10→t-6t+10=0 △=(-62-4×1×10=36-40=-4<0，方程无实数根. .∴.△PBQ的面积不能等于10cm2. 24.答案： 方程X-(2k+1)x+4(k-2=0,即X2-(2k+1)x+4k-2=0 (1)证明： △=[-(2k+1)]-4(4k-2)=4k2+4k+1-16k+8=4k2-12k+9=(2k-3)2≥0 无论k取何实数，方程总有实数根， (2)等腰△ABC中a=4,分两种情况： 情况一：a=4为腰，则b=4或c=4是方程的根. 将x=4代入： 16-42k+1)+4k-2=0→10-4k=0→k=5 第13页共14页 代入原方程：x2-6x+8=0→(x-2)(x-4)=0→x1=2,X2=4 三边为4,4,2，满足三角形三边关系，周长=4+4+2=10. 情况二：a=4为底，则b=c,方程有两个相等实数根. 4=(2k-32=0→k=3 代入原方程：x2-4x+4=0→(x-2)2=0→X1=x2=2 三边为4,2,2,2+2=4，不满足三角形三边关系，舍去. .∴.△ABC的周长为10. 第14页共14页 第二十五章 一元二次方程 八升九上暑假预习讲义 学习目标 1.理解一元二次方程的定义，能准确判断一个方程是否为一元二次方程，并化为一般形式； 2.掌握解一元二次方程的四种基本方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），能根据方程特点灵活选择解法； 3.理解一元二次方程根的判别式的意义，能利用判别式判断方程根的情况； 4.掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），并能进行相关计算与推理； 5.能建立一元二次方程模型解决实际问题（增长率、面积、利润、传播等），掌握“审—设—列—解—验—答”的完整流程. 知识点一、一元二次方程的定义与一般形式 1.一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 2.三个必备条件： （1）是整式方程（分母不含未知数、根号内不含未知数）； （2）只含一个未知数； （3）未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0. 3.一般形式：（）.其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项. 4.一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【例1】下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A.　　　　 B. C.　　　 　 D. 【例2】若关于的方程是一元二次方程，求的值. 【变式1】关于x的一元二次方程2x2+4x＝3的常数项是（　　） A．2 B．3 C．4 D．﹣3 【变式2】将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项. 知识点二、直接开平方法 1.适用形式：形如或的方程. 2.方法：利用平方根的定义直接开平方.  当时，，方程有两个不相等的实数根；  当时，，方程有两个相等的实数根；  当时，方程无实数根. 【例3】用直接开平方法解下列方程： （1）；　　　　（2）；　　　　（3）. 【变式3】解方程： （1）；　　　　（2）；　　　　（3）. 知识点三、配方法 1.核心思想：将方程左边配成完全平方式，右边配成非负常数，进而直接开平方求解. 2.步骤（一移、二除、三配、四开）： （1）移项：将常数项移到等号右边； （2）化1：方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1； （3）配方：两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）开方：化成的形式，若，直接开平方求解. 【例4】用配方法解下列方程： （1）；　　　　（2）. 【例5】用配方法说明：无论取何实数，代数式的值总是正数. 【变式4】用配方法解方程： （1）；　　　　 （2）. 【变式5】用配方法求代数式的最小值. 知识点四、公式法 1.求根公式：对于一元二次方程（），当时， 2.步骤： （1）将方程化为一般形式； （2）确定、、的值（注意符号）； （3）计算判别式； （4）若，代入求根公式求解；若，则方程无实数根. 【例6】用公式法解下列方程： （1）；　　　　 （2）. 【变式6】用公式法解方程： （1）；　　　　 （2）. 知识点五、因式分解法 1.原理：把方程化为的形式，则或，从而实现降次. 2.常用方法： 提公因式法：如； 平方差公式：如； 完全平方公式：如； 十字相乘法：如. 3.步骤：右化零→左分解→两因式→各求解. 【例7】用因式分解法解下列方程： （1）；　　　　 （2）. 【例8】用适当的方法解方程：. 【变式7】用因式分解法解方程： （1）；　　　　（2）；　　　　（3）. 【变式8】选择适当的方法解方程： （1）；　　　　（2）；　　　　（3）. 知识点六、一元二次方程根的判别式 1.判别式：叫做一元二次方程（）根的判别式. 2.根的情况： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程无实数根. 【例9】不解方程，判断下列方程根的情况： （1）；　　　　（2）；　　　　（3）. 【例10】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【变式9】若关于的方程有实数根，求的取值范围. 【变式10】已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值. 知识点七、根与系数的关系（韦达定理） 1.基本关系：若、是一元二次方程（）的两个根，则 2.常用变形：  ；  ；  ；  ；  ； . 【例11】已知、是方程的两个根，求： （1）和；　　　　（2）；　　　　（3）. 【例12】已知关于的方程的两个实数根为、，且，求的值. 【变式11】已知、是方程的两个根，求下列各式的值： （1）；　　　　（2）. 【变式12】若一元二次方程的两个根互为倒数，求的值. 知识点八、一元二次方程的实际应用 1.解题步骤：审题→设未知数→列方程→解方程→检验→作答. 2.常见类型： 增长率（降低率）问题：（为初始量，为终止量，为增长率或降低率，为增长或降低次数） 传播问题：（为初始感染人数，为每轮每人传染的人数，为传播轮数） 握手/比赛问题：单循环，双循环（为参与数量，为总场次） 利润问题：总利润=单件利润×销售量 面积问题：利用面积公式或图形关系列方程 数字问题：利用数位表示列方程 【例13】某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg.根据市场调查，今年南瓜的种植面积和亩产量都有所增长，且种植面积的增长率是亩产量增长率的2倍.今年南瓜的总产量为60000kg，求今年南瓜亩产量的增长率. 【例14】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【例15】某商场销售一种商品，每件进价为40元.当售价为每件60元时，每天可售出100件.经调查发现，每降价1元，每天可多售出10件.商场要想每天盈利2240元，每件应降价多少元？ 【变式13】某校九年级组织篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛.求九年级有多少个班级参赛. 【变式14】某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 【变式15】如图，在一块长32m、宽20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向、一条横向，且横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田总面积为570m²，求道路的宽为多少米. 综合测评 1.下列方程中，关于的一元二次方程是（　　） A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 2．把一元二次方程（x+2）（x﹣2）＝4x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2+4x﹣4＝0 D．x2+4x+4＝0 3.用配方法解方程，配方后所得的方程是（　　） A. B.　　　 C.　　　 D. 4.一元二次方程的根的情况是（　　） A.有两个不相等的实数根　　　 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根　　　 D.无法判断 5.若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（　　） A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 6.若、是方程的两个根，则和的值分别是（　　） A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 7.已知关于的方程的一个根为，则另一个根和的值分别是（　　） A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 8.某商品原价168元，连续两次降价后售价为128元，若设每次降价的百分率为，则可列方程为（　　） A.　　　 B. C.　　　 D. 9.一个两位数，个位数字比十位数字大3，且这个两位数等于个位数字与十位数字之积的2倍.设十位数字为，则可列方程为（　　） A.　　　 B. C.　　　 D. 10.我们将关于x的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如2（x﹣2）2﹣4＝0与3（x﹣2）2﹣4＝0就是“同构二次方程”．已知两个关于x的一元二次方程2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同构二次方程”，则a，b的值分别为（　　） A．1，﹣1 B．﹣1，2 C．﹣2，4 D．﹣2，0 11.方程的解为________. 12.若一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是1，2，则这个方程的常数项是　 　 ． 13.已知（m﹣2）x|m|+3x+2＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　 ． 14.若是方程的一个根，则________. 15.已知实数m、n满足m2﹣5m＝1，n2﹣5n＝1，则的值为　 　 ． 16.用一条长40cm的绳子围成一个面积为96cm²的矩形，求矩形的长和宽分别是多少.设矩形的长为cm，则可列方程为____________________. 17.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________. 18.解方程： （1）； （2）；（配方法） （3） （4）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）． 19.已知关于的方程. （1）当取何值时，方程有两个相等的实数根？ （2）选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根. 20.已知关于的一元二次方程有两个实数根、. （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值. 21.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 22.阅读下面材料，完成问题： 材料：解方程. 解：设，则原方程化为， 解得，. 当时，，解得； 当时，，解得. 所以原方程的解为，，，. 请参照上述方法，解方程：. 23.如图，中，，cm，cm.点从点出发沿向点以cm/s的速度移动，点从点出发沿向点以cm/s的速度移动.若、同时出发，设运动时间为秒（>0）. （1）当为何值时，的面积为cm²？ （2）的面积能否等于cm²？请说明理由. 24.已知关于的方程. （1）求证：无论取何实数，这个方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长. 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $