第二十六章 二次函数 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章 二次函数 八升九暑假预习讲义 学习目标 1.理解二次函数的概念，能识别二次函数，掌握二次函数的一般形式及各项系数的含义. 2.掌握二次函数、、、的图象与性质，理解二次函数图象的平移规律. 3.掌握二次函数的图象与性质，能将一般式化为顶点式，会用待定系数法求二次函数解析式. 4.理解二次函数与一元二次方程的关系，能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. 5.能运用二次函数解决实际问题（最大利润、面积最值、抛物线型问题等），培养模型观念与应用意识. 知识点一、二次函数的概念 一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数.其中是自变量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项. 注意： （1）等号右边必须是整式. （2）自变量的最高次数是2. （3）二次项系数，而、可以为0. （4）特殊形式： 当，时，（最简二次函数）； 当时，； 当时，. 【例1】判断下列函数是否为二次函数，并说明理由. （1）；　　　　 （2）； （3）；　　　　 （4）； （5）. 【例2】若函数是关于的二次函数，求的值. 【变式1】下列函数中，一定是关于的二次函数的是（　　） A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【变式2】已知函数是二次函数，求的取值范围. 知识点二、二次函数的图象与性质 二次函数（）的图象是一条关于轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线.轴是其对称轴，原点是其顶点. a的 符号 函数 图象 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 最值 a>0 向上 (0,0) y轴 x<0时，y随x增大而减小； x>0时，y随x增大而增大. 当x=0时， y最小值=0. a<0 向下 (0,0) y轴 x<0时y随x增大而增大； x>0时y随x增大而减小. 当x=0时， y最大值=0. 注意：越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. 【例3】已知抛物线经过点. （1）求的值，并写出抛物线的解析式； （2）判断点是否在该抛物线上； （3）当为何值时，随的增大而减小？ 【变式3】在同一坐标系中，作出、、的大致图象，并指出它们的共同特征与不同之处. 知识点三、二次函数与的图象与性质 1.二次函数（）的图象可由的图象沿轴平移得到： 当时，向上平移个单位； 当时，向下平移个单位. 对称轴为轴，顶点坐标为. 2.二次函数（）的图象可由的图象沿轴平移得到： 当时，向右平移个单位； 当时，向左平移个单位. 对称轴为直线，顶点坐标为. 【例4】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. （1）；　　　　（2）； （3）；　　　　（4）. 【例5】抛物线经过怎样的平移可以得到？ 【变式4】将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移2个单位，求平移后的抛物线解析式，并写出其顶点坐标和对称轴. 【变式5】对于抛物线，下列说法正确的是（　　） A.开口向上，顶点坐标为 B.开口向下，对称轴为直线 C.当时，随的增大而增大 D.当时，有最大值4 知识点四、二次函数的图象与性质 二次函数（）的图象是一条抛物线，可由的图象先沿轴平移个单位（左加右减），再沿轴平移个单位（上加下减）得到. a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 a>0 向上 (h,k) 直线x=h a<0 向下 (h,k) 直线x=h 增减性：当时，时随增大而减小，时随增大而增大；当时，时随增大而增大，时随增大而减小. 最值：当时，时；当时，时. 【例6】已知抛物线. （1）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）当取何值时，函数有最值？最值是多少？ （3）当取何值时，随的增大而增大？ 【例7】已知二次函数的图象顶点坐标为，且过点，求该二次函数的解析式. 【变式6】若点、、在抛物线上，则、、的大小关系是（　　） A.　　　　 B. C.　　　　 D. 【变式7】已知抛物线与的开口大小相同，方向相反，且顶点坐标为，求该抛物线的解析式. 知识点五、二次函数的图象与性质 将一般式通过配方法可化为顶点式： 其中，对称轴为直线，顶点坐标为. 【例8】将下列二次函数化为顶点式，并写出开口方向、对称轴和顶点坐标. （1）；　　　　（2）. 【例9】已知二次函数. （1）求该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）画出该函数的大致图象； （3）当取何值时，？？ 【变式8】抛物线的顶点在第几象限？并求出该抛物线与轴、轴的交点坐标. 【变式9】若点、、在抛物线上，比较、、的大小. 知识点六、二次函数中、、的符号与图象的关系 字母 符号 图象特征 a决定抛物线的开口 a>0 开口向上 a<0 开口向下 a，b共同决定对称轴的位置 （对称轴是直线） a、b同号， 对称轴在y轴左侧 a、b异号， 对称轴在y轴右侧 b=0 对称轴为y轴 c决定抛物线与y轴的交点位置 c>0 与y轴交于正半轴 c<0 与y轴交于负半轴 c=0 图象过原点 决定抛物线与x轴的交点个数 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 【例10】已知二次函数的图象如图所示， 试判断、、以及的符号. 【变式10】函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 知识点七、用待定系数法求二次函数解析式 1.一般式法：已知图象上任意三点的坐标，设（），代入三点坐标解方程组. 2.顶点式法：已知顶点坐标或对称轴，设（），再代入另一点求解. 3.交点式法：已知与轴的两个交点坐标、，设（），再代入另一点求解. 【例11】已知二次函数的图象经过点、、，求该二次函数的解析式. 【例12】已知抛物线的顶点为，且过点，求该抛物线的解析式. 【变式11】二次函数中，自变量与函数的部分对应值如下表： x … -1 0 1 2 3 … y … 4 3 0 -5 -12 … 求该二次函数的解析式. 【变式12】已知二次函数的图象经过点、，且其对称轴为直线，求该二次函数的解析式. 知识点八、二次函数图象的平移 平移规律：将抛物线平移得到，口诀为“左加右减，上加下减”. 左右平移（的变化）：，左加右减. 上下平移（的变化）：，上加下减. 【例13】将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求平移后的抛物线解析式. 【变式13】抛物线经过怎样的平移可以得到抛物线？ 【变式14】将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的顶点坐标为（　　） A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 知识点九、二次函数与方程、不等式的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系. 二次函数的图象与轴的交点个数，对应着一元二次方程的根的情况： 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程根的情况 2个交点 两个不相等的实数根 1个交点（顶点在x轴上） 两个相等的实数根 无交点 无实数根 2.二次函数与不等式的关系. 不等式的解集为抛物线在轴上方的部分对应的的取值范围； 不等式的解集为抛物线在轴下方的部分对应的的取值范围. 【例14】已知二次函数的图象如图所示，利用图象求： （1）方程的解； （2）不等式的解集. 【例15】已知二次函数的图象与轴有两个交点，求的取值范围. 【变式15】若二次函数的顶点在轴上，则的值为（　　） A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【变式16】已知二次函数的图象与轴 交于点、，则不等式 的解集为（　　） A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.或 知识点十、二次函数的实际应用 1.利润最值问题 解决利润最值问题的一般步骤： （1）确定售价、进价、销售量之间的函数关系； （2）写出利润关于售价的二次函数关系式； （3）利用二次函数的性质求最值，注意自变量的取值范围. 2.面积最值问题 利用二次函数求图形的最大面积，关键是建立面积与边长（或自变量）之间的二次函数关系式. 3.抛物线型实际问题 如拱桥、投篮、喷泉等，关键是建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求解. 【例16】某商品进价为每件40元，市场调查发现：售价为每件50元时，每月可卖出200件；售价每提高1元，月销量减少10件.设售价提高元，每月利润为元. （1）求与的函数关系式； （2）售价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？ 【例17】如图，用长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成一个矩形花圃ABCD.设垂直于墙的一边长为米，花圃的面积为平方米. （1）求与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当取何值时，花圃面积最大？最大面积是多少？ 【变式17】某商场销售一种商品，每件进价为30元，当售价为每件50元时，每天可销售100件.经调研发现：每降价1元，每天可多售出20件.求商场每天销售该商品的最大利润. 【变式18】一座抛物线形拱桥的示意图如图所示.以水平面为轴、拱桥顶点在水面上的投影为原点建立平面直角坐标系.已知拱桥顶点距离水面的高度为2米，拱桥的两个端点、之间的水平距离为4米. （1）求该拱桥（抛物线）的函数表达式； （2）一艘小船船身呈矩形，船顶距离水面 1.5 米，船宽2米.若该小船要安全通过桥洞（船顶不能碰到桥身），船的最高处是否允许通过？请说明理由； （3）若有一艘宽为1米的小船从桥洞正中通过，船上装载的货物最高处距离水面不得超过多少米？A B C 综合测评 1.下列函数中，是二次函数的是（　　） A.　　　　 B. C.　　　　 D. 2.抛物线的顶点坐标是（　　） A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 3.将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A.　　　　 B. C.　　　　 D. 4.若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（　　） A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 5.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a+b+c＞0 B．a＞0 C．b2﹣4ac＜0 D．c＜0 6.已知点、、在抛物线上，则、、的大小关系是（　　） A.　　　　 B. C.　　　　 D. 7.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝2，图象经过点（6，0），与x轴负半轴交于点A，则下列结论错误的是（　　） A．c＞0 B．4a+b＝0 C．点A的坐标为（﹣2，0） D．若（﹣1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，则y2＜y1 8．函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．1或2 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 3 … y … 3 4 3 0 ﹣12 … 下列说法错误的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线x＝﹣1 C．2a+c＝0 D．b2﹣4ac＞0 10．如图，正方形ABCD的边长为6cm，动点M从点B出发，以1cm/s的速度沿边BA向终点A运动，动点N从点B同时出发，以2cm/s的速度沿边BC，CD向终点D运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有以下结论： ①当t＝4s时，BM＝DN； ②当0＜t≤3时，△DMN的最大面积是16cm2； ③△DMN的面积可以是14cm2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 11.抛物线的对称轴为直线________. 12.若抛物线与轴的两个交点分别为、，则的长度为________. 13.已知二次函数y＝ax2﹣bx+3图象经过（﹣2，7），则6a+3b+2020＝　 　 ． 14.若二次函数y＝2x2+x﹣1与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝　 　 ． 15.已知二次函数，当时随的增大而增大，则的取值范围是________. 16.将抛物线绕顶点旋转，所得新抛物线的解析式为_______________. 17.如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y（cm）与水平距离x（cm）近似满足函数关系．若这只昆虫在点P（20，50），则这次射出的水流　 　 击中昆虫．（填“能”或“不能”） 图1 图2 18.如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1的图象为抛物线C，直线y＝a与抛物线C交于A，B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线l，过A，B分别作l的垂线，垂足为M，N．若四边形ABNM为正方形，则a＝　 　 ． 19.求抛物线的顶点坐标，并判断该抛物线与轴的交点个数. 20.若二次函数的图象经过点，且对称轴为直线，求、的值，并写出该函数的最小值. 21．一条抛物线的形状，开口方向与二次函数y＝x2的相同，对称轴及顶点与抛物线y＝3（x﹣2）2相同，求该抛物线的解析式． 22.已知抛物线. （1）求该抛物线的顶点坐标、对称轴，并画出大致图象； （2）求该抛物线与轴、轴的交点坐标； （3）当取何值时，随的增大而增大？ （4）求不等式的解集. 23.如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. （1）求、、三点的坐标及的面积； （2）点为抛物线上一点，且，求点的坐标. 24.某公司生产一种新型电子产品，每件产品的成本为20元.试销过程中发现：月销售量（万件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系：（，为正整数）. （1）求月销售利润（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ （3）公司为了扩大市场占有率，决定月销售利润不低于300万元，请直接写出销售单价的取值范围. 25．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线 x＝﹣2，点F在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点F，使∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案与解析 知识点一、二次函数的概念 例1 （1）是二次函数，符合的形式，且. （2）不是二次函数，分母中含，不是整式. （3）不是二次函数，化简后，为一次函数. （4）不是二次函数，含有项，最高次数为3. （5）不一定是二次函数，当时是一次函数，当时是二次函数. 例2 由题意得： 解得， 又，即 变式1　B 解析：A为一次函数；B为，是二次函数；C分母含，不是整式；D中可能为0. 变式2 由题意得，即 知识点二、二次函数的图象与性质 例3 （1）将代入，得 ，解析式为 （2）将代入，得 点在该抛物线上 （3），抛物线开口向下 当时，随的增大而减小 变式3 共同特征：三条抛物线都关于轴对称，顶点都在原点. 不同之处：开口向上，开口向下，开口向上但比的开口大. ，开口大小排序：和的开口最小，的开口最大. 知识点三、二次函数与的图象与性质 例4 （1）：开口向上，对称轴为轴（），顶点坐标为 （2）：开口向下，对称轴为轴（），顶点坐标为 （3）：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 （4）：开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 例5 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到 变式4 向下平移3个单位得，再向左平移2个单位得 平移后的解析式为 顶点坐标，对称轴为直线 变式5　B 解析：，，开口向下，对称轴为直线，顶点. 当时，随增大而减小；当时，有最大值4. 只有B正确. 知识点四、二次函数的图象与性质 例6 （1），，开口向上 顶点坐标为，对称轴为直线 （2），当时，函数有最小值，最小值为 （3）当时，随的增大而增大 例7 设二次函数解析式为 将点代入，得 解析式为 变式6　A 解析：，，对称轴为，开口向下. 抛物线上的点离对称轴越近，值越大. 到对称轴的距离为，的距离为，的距离为 ，且和关于对称轴对称 ，故A正确 变式7 开口大小相同、方向相反 顶点坐标为，， 解析式为 知识点五、二次函数的图象与性质 例8 （1） ，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 （2） ，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 例9 （1） ，开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线 （2）图象略（开口向上的抛物线，顶点，与轴交于和，与轴交于） （3）令，，解得， 当或时， 当时， 变式8 顶点坐标为，在第一象限 与轴交点：令，，， ，，交点坐标为和 与轴交点：令，，交点坐标为 变式9 ，对称轴为直线，开口向上 离对称轴越近，值越小 到对称轴距离 到对称轴距离 到对称轴距离 ， 知识点六、二次函数中、、的符号与图象的关系 例10 由图象可知：开口向下 对称轴在轴右侧，， 与轴交于正半轴 与轴有两个交点 变式10　C 解析：中，（与轴交于），中（也与轴交于），两图象在轴交于同一点. 逐一检验四个选项，C符合两函数图象的特征. 知识点七、用待定系数法求二次函数解析式 例11 设（） 代入三点： 代入得： 解得 解析式为 例12 设 代入： ， 解析式为 例13 设 代入： ， 解析式为 变式11 设（） 取三组值代入：，， 代入： 解得 解析式为 变式12 设（对称轴，设） 代入两点： 两式相减：， 代入得 解析式为 知识点八、二次函数图象的平移 例13 先向右平移2个单位： 再向上平移3个单位： 变式13 要得到，需先向左平移1个单位，再向上平移4个单位 变式14　C 解析：向左平移2个单位得，再向下平移1个单位得，顶点坐标为 知识点九、二次函数与方程、不等式的关系 例14 （1）由图象可知，抛物线与轴交于和 方程的解为， （2）不等式的解集为或 例15 与轴有两个交点 变式15　B 解析：顶点在轴上 ， ， 变式16　C 解析：不等式即 抛物线开口向下，与轴交于和 解集为 知识点十、二次函数的实际应用 1.利润最值问题 例16 （1）售价提高元，则售价为元，月销量为件 （2） 当时，有最大值2250 售价定为元时，每月利润最大，最大利润为2250元 2.面积最值问题 例17 （1）垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米 墙的最大可用长度为12米，，即 又且， （） （2） 对称轴，在时取得最大值 当米时，花圃面积最大，最大面积为72平方米 变式17 设每件降价元，则售价为元，每天销售件 利润 当时，有最大值3125 最大利润为3125元 变式18 （1）设抛物线解析式为 端点和，代入：， 函数表达式为 （2）船宽2米，从桥洞正中通过，范围为 当时，米 船顶距离水面1.5米，桥洞在处高1.5米 ，刚好能通过 （3）船宽1米，从桥洞正中通过，范围为 当时，米 船上装载的货物最高处距离水面不得超过1.875米 综合测评 1.D 解析：A为一次函数；B分母含，不是整式；C化简后，为一次函数；D符合二次函数定义. 2.B 解析：，顶点坐标为 3.B 解析：右移1个单位得，上移2个单位得 4.B 解析：， 5.A 解析：由图象知，当时，；开口向下；与轴有两个交点；与轴交于正半轴. 6.D 解析：，对称轴，开口向上 到对称轴距离 到对称轴距离 到对称轴距离 选D 7.D 解析：由图象知，A正确. 对称轴，，，B正确. 图象过，对称轴，另一交点为，C正确. 到对称轴距离，距离 开口向下，离对称轴越远值越小，，D错误. 8.D 解析： 与轴有1个或2个公共点 9.B 解析：从表中取三点，， 设，得 解得，，， 开口向下，A正确. 对称轴，B正确. ，C错误. ，D正确. 10.C 解析：①当时，在上，cm；在上，cm，cm，，①正确. ②当时，在上，，；在上， 当时，，故最大面积不是16，②错误. ③由②知，令， ，或 在范围内，的面积可以是14，③正确. 综上，正确结论的个数为2. 11. 解析：，对称轴 12.4 解析：令，， ，， 13.2026 解析：代入： ，， 14. 解析：由韦达定理， 15. 解析：，对称轴，开口向上 当时随增大而增大对称轴在左侧或重合 16. 解析：绕顶点旋转，开口方向相反，开口大小不变 新抛物线解析式为 17.不能 解析：时，当 水流在时高度为40，不能击中 18.5 解析： 顶点坐标为，为 、关于对称轴对称，设， 四边形为正方形， ，（、到的距离） ，即 又在抛物线上： ，，（舍）或 19. 顶点坐标为 抛物线与轴有2个交点 20. 对称轴，，， 代入： ， 当时，函数有最小值4 21. 的开口向上，形状相同 的顶点为 所求抛物线解析式为 22. （1） 顶点坐标为，对称轴为直线 ，开口向下，图象略 （2）与轴交点：令，， ，， 与轴交于和 与轴交点：令，，与轴交于 （3），开口向下，当时，随的增大而增大 （4），即 ， 23. （1） 令：， ，， ， 令：， （2）， ， 或 当时，，， 或，或 当时，，， 或 综上所述，点坐标为、、或 24. （1） （2） 当时，有最大值450 销售单价为50元时，月销售利润最大，最大利润为450万元 （3）令，即 又，为正整数 ，即销售单价在20元到60元之间 25. 解：（1）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2， ∴A（﹣6，0），C（0，6），B（2，0）． 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+6（a≠0），将A，B点的坐标代入得： 题意得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）存在一点F，使得∠BFC为直角；理由如下： ∵B（2，0），C（0，6）， ∴． 设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．如图1， 设点F（﹣2，t），则． 当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上， 此时，∠BFC为直角，，则， ∴t2﹣6t+18＝10， 化简得t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝2，t2＝4． ∴F的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）时，∠BFC为直角． （3）设点F（﹣2，t）． 则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t﹣2，t+4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t﹣8，t+2）， 当B1（t﹣2，t+4）在抛物线上时，， 化简得t2+2t﹣8＝0， 解得t1＝2，t2＝﹣4． ∴t1＝2时，F（﹣2，2），t2＝﹣4时，F（﹣2，﹣4）． 经检验，此时点C1不在抛物线上． 当C1（t﹣8，t+2）在抛物线上时，， 化简得t2﹣10t+24＝0， 解得t1＝4，t2＝6． ∴当t1＝4时，F（﹣2，4），当t2＝6时，F（﹣2，6）． 经检验，此时点B1不在抛物线上． 综上，满足题意的点F的坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣4），（﹣2，4），（﹣2，6）． 学科网（北京）股份有限公司 $