2.4　等腰三角形的判定定理 同步练 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从概念辨析到综合证明，适配新授课知识巩固与推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等腰/等边三角形判定概念|直接辨析选项，如第1-3题考查判定条件| |进阶层|判定定理综合应用|结合图形拼接（第5题）、航海情境（第6题），培养几何直观| |提升层|复杂证明与分类讨论|通过开放证明（第13题）、动态等腰三角形（第10题），发展推理能力|

2.4　等腰三角形的判定定理 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.下列说法正确的是( ) A.∠A=40°，∠B=70°，△ABC是等腰三角形 B.a=3，b=7，两条线段a和一条线段b首尾相接组成等腰三角形 C.∠A=30°，∠B=60°，△ABC是等腰三角形 D.AB=2，周长是6，△ABC是等腰三角形 2.下列三角形中，不能判定为等边三角形的是( ) A.有一个内角是60°的锐角三角形 B.有一个内角是60°的等腰三角形 C.顶角和底角相等的等腰三角形 D.腰和底边相等的等腰三角形 3.已知在△ABC中，AH为边BC上的高线，再添加下列条件中的一个后，仍不能判定△ABC是等腰三角形的是( ) A.BH=HC B.∠BAH=∠CAH C.∠B=∠HAC D.S△ABH=S△AHC 4.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分线。若∠A=36°，AD=2，则BC的长为 。  5.(3分)将两个全等的各有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是 。  6.(3分)如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达B处。从A，B处分别望向灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则从B处到灯塔C的距离为 海里。  7.(8分)在学习三角形时，小舟和小海讨论一个证明题：“如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD。求证：BD=DC。”你觉得谁说的对？请写出正确的证明过程。 小海 我准备连结AD来证明，下面是我的证明过程： 证明：如图，连结AD。 在△ABD和△ACD中， ∵ ∴△ABD≌△ACD， ∴BD=DC。　　　　 小舟 你这个方法不正确，应当连结BC证明。 8.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC。分别根据以下条件，说明△OBC是等腰三角形。 (1)(2分)BD，CE分别是两腰上的高线。 (2)(3分)BD，CE分别是两腰上的中线。 (3)(3分)BD，CE分别是两底角的平分线。 9.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为( ) A.18 B.9 C.9 D.6 10.(3分)如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=90°。在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为 。  11.(3分)有下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③所有外角都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高线的等腰三角形。其中是等边三角形的有 (填序号)。  12.(8分)如图，BD是等边三角形ABC的中线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连结DE。求证：CD=CE。 13.(8分)如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形，并予以证明(写出一种即可)。 等式：①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE。 已知： (填序号)。  求证：△AED是等腰三角形。 证明： 14.(10分)[推理能力]如图，O为等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α。以OC为一边作等边三角形OCD，连结AD。 (1)(5分)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由。 (2)(5分)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4　等腰三角形的判定定理 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.下列说法正确的是(　A　) A.∠A=40°，∠B=70°，△ABC是等腰三角形 B.a=3，b=7，两条线段a和一条线段b首尾相接组成等腰三角形 C.∠A=30°，∠B=60°，△ABC是等腰三角形 D.AB=2，周长是6，△ABC是等腰三角形 2.下列三角形中，不能判定为等边三角形的是(　A　) A.有一个内角是60°的锐角三角形 B.有一个内角是60°的等腰三角形 C.顶角和底角相等的等腰三角形 D.腰和底边相等的等腰三角形 3.已知在△ABC中，AH为边BC上的高线，再添加下列条件中的一个后，仍不能判定△ABC是等腰三角形的是(　C　) A.BH=HC B.∠BAH=∠CAH C.∠B=∠HAC D.S△ABH=S△AHC 4.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分线。若∠A=36°，AD=2，则BC的长为　2　。  5.(3分)将两个全等的各有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是　3　。  6.(3分)如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达B处。从A，B处分别望向灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则从B处到灯塔C的距离为　30　海里。  【解析】 ∵∠ACB=∠NBC－∠NAC=42°=∠CAB， ∴BC=BA=2×15=30(海里)。 7.(8分)在学习三角形时，小舟和小海讨论一个证明题：“如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD。求证：BD=DC。”你觉得谁说的对？请写出正确的证明过程。 小海 我准备连结AD来证明，下面是我的证明过程： 证明：如图，连结AD。 在△ABD和△ACD中， ∵ ∴△ABD≌△ACD， ∴BD=DC。　　　　 小舟 你这个方法不正确，应当连结BC证明。 解：小舟说的对。正确的证明过程如下： 如答图，连结BC。 第7题答图 ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。 又∵∠ABD=∠ACD， ∴∠ABD－∠ABC=∠ACD－∠ACB， ∴∠DBC=∠DCB， ∴BD=DC。 8.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC。分别根据以下条件，说明△OBC是等腰三角形。 (1)(2分)BD，CE分别是两腰上的高线。 (2)(3分)BD，CE分别是两腰上的中线。 (3)(3分)BD，CE分别是两底角的平分线。 解：∵在△ABC中，AB=AC， ∴∠ABC=∠BCA。 (1)∵BD，CE分别是腰AC，AB上的高线， ∴∠BEC=∠CDB=90°， ∴∠OBC=90°－∠ACB=90°－∠ABC=∠OCB， ∴OB=OC， ∴△OBC为等腰三角形。 (2)∵BD，CE分别是腰AC，AB上的中线， ∴BE=AB=AC=CD。 在△BEC和△CDB中， ∵ ∴△BEC≌△CDB(SAS)， ∴∠OCB=∠OBC， ∴△OBC为等腰三角形。 (3)∵BD，CE分别平分∠ABC，∠BCA， ∴∠OBC=∠OCB， ∴△OBC为等腰三角形。 9.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为(　C　) A.18 B.9 C.9 D.6 【解析】 如答图，连结AD。 第9题答图 ∵∠BAC=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点， ∴AD⊥BC，BD=CD，∠BAD=∠CAD， ∴∠B=∠C=∠BAD=45°， ∴AD=BD=CD。 在△ADE和△CDF中， ∵ ∴△ADE≌△CDF(SAS)， ∴S△ADE=S△CDF， ∴四边形AEDF的面积=S△ADC=S△ABC=×6×6=9。 10.(3分)如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=90°。在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　70°或40°或20°　。  【解析】 ∵∠B=50°，∠BCA=90°， ∴∠BAC=40°。 如答图，分三种情况讨论： 第10题答图 ①当AC=AD时，∠ACD=(180°－∠BAC)=70°； ②当CD'=AD'时，∠ACD'=∠BAC=40°； ③当AC=AD″时，∠ACD″=∠BAC=20°。 综上所述，∠ACD的度数为70°或40°或20°。 11.(3分)有下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③所有外角都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高线的等腰三角形。其中是等边三角形的有　①②③④　(填序号)。  12.(8分)如图，BD是等边三角形ABC的中线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连结DE。求证：CD=CE。 证明：∵BD是等边三角形ABC的中线， ∴∠ACB=∠ABC=60°， ∴∠DBC=∠ABC=30°。 由作图知BD=DE， ∴∠E=∠DBC=30°。 又∵∠CDE＋∠E=∠ACB=60°， ∴∠CDE=30°=∠E， ∴CD=CE。 13.(8分)如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形，并予以证明(写出一种即可)。 等式：①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE。 已知：　①③(或①④，②③，②④)　(填序号)。  求证：△AED是等腰三角形。 证明： 证明：在△ABE和△DCE中， ∵ ∴△ABE≌△DCE(AAS)， ∴AE=DE， ∴△AED是等腰三角形。 14.(10分)[推理能力]如图，O为等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α。以OC为一边作等边三角形OCD，连结AD。 (1)(5分)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由。 (2)(5分)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 解：(1)△AOD是直角三角形。理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴OC=DC，∠ODC=∠OCD=60°。 ∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACB=60°， ∴∠BCO=∠ACD=60°－∠ACO。 在△BOC和△ADC中， ∵ ∴△BOC≌△ADC(SAS)， ∴∠BOC=∠ADC。 ∵∠BOC=α=150°， ∴∠ADC=150°， ∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°， ∴△AOD是直角三角形。 (2)在△AOD中，易知∠AOD=360°－110°－α－60°=190°－α，∠ADO=α－60°， ∴∠OAD=180°－(190°－α)－(α－60°)=50°。 分三种情况讨论： ①当AO=AD时，∠AOD=∠ADO， 即190°－α=α－60°，∴α=125°； ②当OA=OD时，∠OAD=∠ADO， 即50°=α－60°，∴α=110°； ③当OD=AD时，∠AOD=∠OAD， 即190°－α=50°，∴α=140°。 综上所述，当α为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $