精品解析：吉林省吉林市桦甸市第四中学、磐石市第一中学校等2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，.若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，在上的投影为，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A. α∥β且∥α B. α⊥β且⊥β C. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于 7. 从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（ ） A. 恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B. 至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C. 至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D. 恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球 8. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组数据：0，1，5，6，7，11，12，则（ ） A. 这组数据的平均数为6 B. 这组数据的方差为16 C. 这组数据的极差为11 D. 这组数据的第70百分位数为7 10. 在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 如图，已知圆台的一个轴截面为为弧的中点，，圆台的体积为，则（ ） A. B. 异面直线与所成的角为 C. 过三点的平面与圆台下底面的交线长为 D. 二面角的正切值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是__________. 13. 在中，，若此三角形恰有两解，则BC边长度的取值范围为___________． 14. 已知，，为球的球面上的三个点，若，，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知向量． （1）求； （2）设向量的夹角为，求的值． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，，，，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME. （1）当时，证明：直线平面PAD； （2）当时，求三棱锥的体积. 17. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 18. 今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日．某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养．该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中x的值； （2）根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （3）已知学生成绩落在的平均数是77，方差是5；落在的平均数是84，方差是5．求这两组数据的总方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差． 19. 如图，在直三棱柱中，. （1）求证：； （2）求与平面所成的角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据共轭复数的定义即可求解． 【详解】， 所以复数的共轭复数为． 2. 已知向量，.若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两向量垂直的坐标关系运算得解. 【详解】由，得，解得. 故选：D. 3. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该圆锥的底面圆半径为，由弧长公式求出，即可求出圆锥的高，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】设该圆锥的底面圆半径为，所以，解得， 所以该圆锥的高， 所以该圆锥的体积． 故选：B． 4. 已知，在上的投影为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的几何意义，即可求解. 【详解】因为，在上的投影为，可得，所以. 故选：C. 5. 在中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由，根据正弦定理得， 设， 可得， 故选：B. 6. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A. α∥β且∥α B. α⊥β且⊥β C. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D． 考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论． 7. 从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（ ） A. 恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B. 至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C. 至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D. 恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案. 【详解】恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球是对立事件，故A错误； 至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故B错误； 至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故C错误； 恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D正确. 故选：D. 8. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断. 【详解】因为分别为与同向的单位向量， 因为，可知的角平分线与BC垂直，则， 又因为，即， 且，则，所以是等边三角形. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组数据：0，1，5，6，7，11，12，则（ ） A. 这组数据的平均数为6 B. 这组数据的方差为16 C. 这组数据的极差为11 D. 这组数据的第70百分位数为7 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知的这组数据，利用公式分别计算平均数、方差、极差、第70百分位数即可. 【详解】对A，这组数据的平均数为：，故A选项正确； 对B，这组数据的方差为：，故B选项错误； 对C，这组数据的极差为：，故C选项错误； 对D，由，则第70百分位数是第5个数7，故D选项正确. 故选：AD. 10. 在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，B使用三角形全等判定定理即可判断；对于选项C，利用正弦定理判断；对于D使用余弦定理计算即可判断. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，可得，，因，则，因，结合正弦函数的图象可知角B有两解，一个是锐角，另一个是钝角，故C错误； 对于D，由余弦定理得，，故仅有一解，即D正确． 11. 如图，已知圆台的一个轴截面为为弧的中点，，圆台的体积为，则（ ） A. B. 异面直线与所成的角为 C. 过三点的平面与圆台下底面的交线长为 D. 二面角的正切值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A选项，根据已知的上下底面边长，利用圆台体积公式求出高，再通过勾股定理求相关线段长. 对于B选项，连接相关线段，利用线线平行找出异面直线所成角，通过已知线段长用余弦定理求角. 对于C选项，延长线段找交点和相关点，根据已知线段长求角的余弦值，进而求相关线段长度判断对错. 对于D选项，作垂线，根据线面垂直性质找二面角，通过相关线段关系求角的三角函数值判断对错. 【详解】对于A选项，由，设圆台的高为， 有圆台的体积为，可得， 易求得，故A选项正确； 对于B选项，如图，连接点和圆台底面的圆心并延长，与圆交于另一点，连接，， 由，可得或其补角即是异面直线和所成的角． 又由， 有，可得，故B选项正确； 对于C选项，的延长线与的延长线相交于点F，与圆台的底面圆周的交点为， 由，有，可得， 可得，故C选项错误； 对于D选项，过作，连接NH，由平面，可得， 又由，可得平面，可得， 又由，可得为二面角的平面角， 有，有， 可得，故D选项错误． 故选：AB. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合古典概型，利用列举法找到所有基本事件，从而计算出概率. 【详解】从这4个数中一次随机抽取两个数的所有基本事件有，共6个， 所取2个数之和为9的基本事件有，共2个， 故所求概率. 故答案为：. 13. 在中，，若此三角形恰有两解，则BC边长度的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意得，由求解 【详解】若恰有两解，则，解得， 即边长度的取值范围为． 故答案为： 14. 已知，，为球的球面上的三个点，若，，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出球的半径，依题意可得的外接圆的半径为，即可求出点到平面的距离，设，由勾股定理可得，利用基本不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】设球的半径为，则，所以，因为， 所以的外接圆的半径为，所以点到平面的距离为， 设，则，所以，当且仅当时等号成立， 所以三棱锥的体积的最大值为． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知向量． （1）求； （2）设向量的夹角为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出，从而可求出的坐标，进而可求出模； （2）直接利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 由可得，， 即， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，，，，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME. （1）当时，证明：直线平面PAD； （2）当时，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）构造平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即可. （2）根据，求出三棱锥的高，然后利用体积公式即可. 【小问1详解】 取PD中点N，连接MN、AN， 是的中位线，MN//CD，且， 又AE//CD，且，四边形AEMN为平行四边形， ME//AN 又平面PAD，平面PAD，//平面PAD. 【小问2详解】 ，P到平面ABCD的距离为3，点M到平面ABCD的距离为1， . 17. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角； （2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理可得， 展开右侧三角式得， 消去同类项后化简为， 整理得， 由，得，解得. 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入、，得， 联立，解得. 18. 今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日．某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养．该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中x的值； （2）根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （3）已知学生成绩落在的平均数是77，方差是5；落在的平均数是84，方差是5．求这两组数据的总方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差． 【答案】（1）0.015 （2）76.25，75 （3）17 【解析】 【分析】(1)根据频率直方图的性质：概率之和为1求解即可，（2）利用频率直方图求解平均数求解即可，（3）利用分组方差的求法求解即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图，有， 解得； 【小问2详解】 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 由， 可得中位数为， 学生成绩的平均数为； 【小问3详解】 这两组数据的平均数为， 这两组数据的总方差为 ． 19. 如图，在直三棱柱中，. （1）求证：； （2）求与平面所成的角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直三棱柱的性质和各棱长可知，连接，利用线面垂直的判定定理可得平面，易知四边形为菱形，可得平面，由线面垂直的性质即可得； （2）取的中点，连接，可证明是与平面所成角的平面角，在中，易知，，即与平面所成的角的大小为. 【小问1详解】 连接与相交于点，如下图所示 在直棱柱中，平面平面， ， 又，平面， 所以，平面， 又平面， ，四边形为菱形，即 又，且平面， 平面，又平面， . 【小问2详解】 取的中点，连接.如下图所示； ， 又平面平面， 又，且平面， 平面， 是在面内的射影，是与平面所成角的平面角. 在中，易知， ， 即与平面所成的角的大小为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $