专题07 概率（4大考点期末真题汇编，吉林内蒙古专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦概率四大高频考点，精选吉林内蒙古多校期末试题，涵盖选择、填空、解答等题型，注重基础概念辨析与实际情境应用结合。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|18道|事件互斥对立判断、古典概型计算|结合投壶游戏、哥德巴赫猜想等文化与科学情境| |多选|6道|事件独立性判断、互斥关系分析|通过射击、摸球模型考查逻辑推理| |填空|10道|概率基本运算、数据统计|融入商场排队、数独游戏等生活场景| |解答|8道|独立事件综合计算、实际问题建模|设计租车费用、网络安全竞赛等复杂情境，体现数学建模与应用|

专题07 概率 4大高频考点概览 考点01事件之间的关系与运算 考点02古典概型 考点03事件独立性的判断 考点04事件独立性的计算 地 城 考点01 事件之间的关系与运算 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.7 2．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)下列结论正确的是（    ） A．若事件A与事件B互斥，则 B．若事件A与事件B互斥，则 C．若事件A与事件B对立，则 D．若事件A与事件B对立，则 3．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个红球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是黑球 C．至少有一个黑球与至少有1个红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球 4．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（   ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多2个红球 5．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 6．(24-25高一下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1、2；红球有两个，编号为3，4．从盒中不放回的依次取出两个球，表示事件“第一次取出的是红球”，表示事件“取出的两球同色”，表示事件“取出的两球不同色”，则下列说法正确的是（   ） A．与互斥 B．与互斥 C． D． 二、多选题 7．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)（多选）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（    ） A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球” C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球” 三、填空题 8．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则：至多2人排队的概率为___________． 9．(24-25高一下·吉林长春十一高中·期末)已知一组均为正整数的数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是13，8，26，8，11，8，若这组数据的平均数、中位数、众数满足，现从已知的6个数据中任意抽一个记为y，则的概率为_____________． 地 城 考点02 古典概型 一、单选题 1．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)掷一颗骰子，出现点数是2或4的概率是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于8的概率为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)从2，4，8，16中任取两个数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（ ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（    ）． A． B． C． D． 5．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·吉林吉林第十二中学·期末)某中学为了解学生课外阅读的情况，随机抽取了该校部分学生，对他们每周的课外阅读时间（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 阅读时间 [8,10] 学生人数 6 9 15 12 8 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周的课外阅读时间少于4小时的概率为（    ） A．0.3 B．0.2 C．0.4 D．0.5 7．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)甲､乙､丙､丁四人排队，则甲不排在第一位且丙，丁两人相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 9．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为__________. 9 7 4 5 10．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______. 三、解答题 11．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件：“电路是通路”，并求出． 地 城 考点03 事件独立性的判断 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（    ）． A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 2．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 二、多选题 3．(24-25高一下·内蒙古部分学校·期末)（多选）从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（   ） A．甲和乙为互斥而不对立事件 B．丙和丁为互斥而不对立事件 C． D．甲和丁为独立事件 4．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)（多选）射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为，.记事件A为“两人都击中”，事件B为“至少1人击中”，事件C为“无人击中”，事件D为“至多1人击中”则下列说法正确的是（   ） A．事件A与C是互斥事件 B．事件B与D是对立事件 C．事件C与D相互独立 D． 5．(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟·期末)（多选）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是8”为事件，则（   ） A． 与B相互独立 B． 与互斥 C． D． 6．(24-25高一下·吉林长春长春吉大附中实验学校·期末)（多选）如图是一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件B与C互斥 B． C．事件与相互独立 D． 地 城 考点04 事件独立性的计算 一、单选题 1．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为，，，且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则的概率是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.6，则4人都没中靶的概率为（   ） A．0.256 B．0.016 C．0.0256 D．0.036 3．(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟·期末)“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高一下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)（多选）从甲袋中摸出一个红球的概率为，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球.下列结论正确的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 三、填空题 5．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________. 6．(24-25高一下·吉林吉林第十二中学·期末)已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________. 7．(24-25高一下·吉林长春十一高中·)设是两个相互独立事件，且，，则________. 8．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为___________. 9．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)某集团军举行登岛演习，演习要求该集团军的导弹旅捣毁岛上的目标，导弹旅的每辆登陆艇每次发射一枚导弹，由于受到天气以及“敌方”反导弹的拦截，命中率是，至少要有一枚导弹击中目标，才能说明目标被捣毁，因此采用多辆登陆艇同时发射导弹的方法去捣毁目标．至少需要______辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于的把握保证目标被捣毁．（参考数据：） 10．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜它通过各扇门的机会相等，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是__________. 四、解答题 11．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率． 12．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛. 小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. (1)求小明在第一轮得40分的概率； (2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 13．(24-25高一下·内蒙古部分学校·期末)某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． (1)求甲得10分的概率； (2)求甲得3分的概率； (3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 14．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. (1)求甲队总得分为1分的概率； (2)求两队积分相同的概率. 15．(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟·期末)某校组织“语文课外阅读知识竞赛”活动，在预赛阶段，共设置“古代文学､文化常识”和“国外文学名著鉴赏”两轮比赛，两轮比赛均通过才能进入决赛.已知甲､乙两名同学通过第一轮的概率分别为，通过第二轮的概率分别为，每次是否通过互不影响，且两轮比赛均必须参加. (1)若，求甲没有进入决赛的概率； (2)若，求甲､乙均只通过一轮的概率； (3)设甲､乙两人中至少有一人进入决赛的概率为，两人均进入决赛的概率为，若，求的值. 16．(24-25高一下·吉林长春十一高中·期末)某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立. (1)设. ①求甲答对一道题的概率； ②求甲、乙一共答对三道题的概率. (2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 概率 地 城 考点01 事件之间的关系与运算 一、单选题 1．D． 2．C. 3．D. 4．C. 5．D. 6．D 二、多选题 7．AB 三、填空题 8．. 9．或  ． 地 城 考点02 古典概型 一、单选题 1．B. 2．B. 3．B 4．C 5．A 6．A. 7．C 二、填空题 8．/0.3 9． 10． 三、解答题 11．【详解】（1）分别用，和表示元件，和的可能状态， 则这个电路的工作状态可用表示． 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态， 则样本空间. （2）“电路是通路”等价于，，且，至少有一个是1， 所以. 所以. 地 城 考点03 事件独立性的判断 一、单选题 1．B. 2．D 二、多选题 3．AD 4．AD 5．ABC 6．BD 地 城 考点04 事件独立性的计算 一、单选题 1．C 2．C 3．D 二、多选题 4．ACD 三、填空题 5．0.38/ 6．0.18． 7．. 8． 9．4 10． 四、解答题 11．【详解】（1）甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为，， 甲、乙两人所付租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况． 租车费都为0元的概率为，租车费都为2元的概率为，租车费都为4元的概率为. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为. （2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为，则“”表示“两人的租车费用之和为4元”， 其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元． 所以可得， 即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为. 12．【详解】（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答， 则有共种， 设小明只能答对4个问题的编号为：， 则小明在第一轮得40分，有共种， 则小明在第一轮得40分的概率为：； （2）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为， 则小明在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分 当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ； ； 当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳晋级复赛的概率分别为： ； 小芳晋级复赛的概率为：； 小明晋级复赛的概率为：； ， 小明更容易晋级复赛. 13．【详解】（1）由题意得每道题目能否答对都是相互独立的事件， 由独立事件概率公式得甲得10分的概率为． （2）甲得3分有两种情况：甲答对第1题和第2题，甲答对第3题．且两种情况互斥， 故甲得3分的概率为． （3）若甲恰好答对2道题目答辩成功，则甲必定答对第3题和第4题． 甲答辩成功的概率为． 若甲恰好答对3道题目答辩成功，则甲答对第2题、第3题、第4题， 或者答对第1题、第3题、第4题，或者答对第1题、第2题、第4题． 甲答辩成功的概率为． 由（1）可知甲得10分的概率为，所以甲答辩成功的概率为． 14．【详解】（1）记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误， 所以； （2）由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为， 乙队积0分，1分，2分的概率分别为， 记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件， 因为两队得分相互独立，互不影响， 则， 所以两队积分相同的概率为. 15．【详解】（1）因为每次是否通过互不影响，甲同学通过第一轮的概率分别为， 通过第二轮的概率为，甲进入决赛的概率， 所以甲没有进入决赛的概率； （2）已知甲､乙两名同学通过第一轮的概率分别为，通过第二轮的概率分别为， 甲只通过一轮的概率为：； 乙只通过一轮的概率为：， 因为甲、乙的比赛情况相互独立，所以甲､乙均只通过一轮的概率； （3）设甲､乙两人中至少有一人进入决赛的概率为，两人均进入决赛的概率为， 甲进入决赛的概率为；乙进入决赛的概率为， 两人都不进入决赛的概率为， 甲､乙两人中至少有一人进入决赛的概率为， 两人均进入决赛的概率为， 若，所以， 即. 16．【详解】（1）①设“甲答对一道题”为事件，则， 则甲答对一道题的概率为； ②设“甲答对两道题”为事件，“乙答对一道题”为事件， “乙答对两道题”为事件，“甲、乙一共答对三道题”为事件， 则， ， ， ， 故甲、乙一共答对三道题的概率为； （2）由题知，， 设“甲、乙一共答对三道题”为事件， 则 ， 当时，甲、乙一共答对三道题的概率最小，且最小值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 概率 4大高频考点概览 考点01事件之间的关系与运算 考点02古典概型 考点03事件独立性的判断 考点04事件独立性的计算 地 城 考点01 事件之间的关系与运算 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.7 【答案】D 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则， 又由随机事件和互斥可知， 所以. 故选：D． 2．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)下列结论正确的是（    ） A．若事件A与事件B互斥，则 B．若事件A与事件B互斥，则 C．若事件A与事件B对立，则 D．若事件A与事件B对立，则 【答案】C 【分析】举例法可判断A；利用互斥与对立事件的关系可判断BCD. 【详解】对于A，若抛掷一枚质地均匀的色骰子出现1点记为事件A，出现2点记为事件B， 则互斥，但，故A错误； 对于B，事件A与事件B互斥，则，故B错误； 对于C，若事件A与事件B对立，则，故B正确； 对于D，若事件A与事件B对立，则，故D错误. 故选：C. 3．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个红球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是黑球 C．至少有一个黑球与至少有1个红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球 【答案】D 【分析】根据互斥事件以及对立事件的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，可能为：1红1黑、2红、2黑， 对于A：至少有一个红球包括1红1黑、2红，与都是黑球是对立事件，不符合题意，故选项A不正确； 对于B：至少有一个黑球包括1红1黑、2黑，与都是黑球不是互斥事件，不符合题意，故选项B不正确； 对于C：至少有一个黑球包括1红1黑、2黑，至少有1个红球包括1红1黑、2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意，故选项C不正确； 对于D：恰有1个黑球与恰有2个黑球是互斥事件而不是对立事件，符合题意，故选项D正确； 故选：D. 4．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（   ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多2个红球 【答案】C 【分析】根据对立事件的定义判断即可. 【详解】从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，只有三红、两红一黄、一红两黄、三黄这四种情况，则“至少有1个红球”的对立事件是“都是黄球”. 故选：C. 5．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【分析】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可. 【详解】由和对立，，可得，解得， 又由随机事件和互斥可知， 由， 将代入计算可得. 故选：D. 6．(24-25高一下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1、2；红球有两个，编号为3，4．从盒中不放回的依次取出两个球，表示事件“第一次取出的是红球”，表示事件“取出的两球同色”，表示事件“取出的两球不同色”，则下列说法正确的是（   ） A．与互斥 B．与互斥 C． D． 【答案】D 【分析】由题意列举出事件A，事件B，事件C，及总事件包含的情况，进而求解判断各选项即可. 【详解】由题意，事件A包含， 事件B包含， 事件C包含， 显然， 与不互斥，与不互斥，故AB错误， 总事件的情况为， ，共12种情况， 其中包含，共8种情况， 故，故C错误， 事件包含，共6种情况， 则包含事件，共4种情况， 故，故D正确. 故选：D. 二、多选题 7．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)（多选）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（    ） A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球” C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球” 【答案】AB 【分析】由对立事件，互斥事件的定义结合题意逐一判断即可. 【详解】从口袋内一次取出2个球，这个试验的样本空间 (白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)，包含6个基本事件， 当事件“两球都为白球”发生时，事件“两球都不是白球”和事件“两球恰有一白球”不可能发生，满足互斥事件的定义， 且“两球都为白球”不发生时，事件“两球都不是白球”不一定发生，事件“两球恰有一白球”不一定发生，故非对立事件，故A、B正确； “两球都为白球”发生时，事件“两球至少有一个白球”可以发生，故不是互斥事件，故C错误； 事件“两球不都是白球”意思是“两球至少有一个不是白球”与事件“两球都是白球”是对立事件， 故D错误. 故选：AB 三、填空题 8．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则：至多2人排队的概率为___________． 【答案】 【详解】试题分析：记“没有人排队”为事件，“人排队”为事件，“人排队”为事件，彼此互斥．记“至多人排队”为事件，则 ，故答案为. 9．(24-25高一下·吉林长春十一高中·期末)已知一组均为正整数的数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是13，8，26，8，11，8，若这组数据的平均数、中位数、众数满足，现从已知的6个数据中任意抽一个记为y，则的概率为_____________． 【答案】或  ． 【详解】设丢失的数据为x，则七个数据的平均数，众数．若，则中位数为8，此时，解得（舍去）；若，则中位数为x，此时，解得；若，则中位数为11，此时，解得．故丢失的数据或．当时，，此时的概率为；当时，，此时的概率为 地 城 考点02 古典概型 一、单选题 1．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)掷一颗骰子，出现点数是2或4的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等可能性结合题意可得. 【详解】由等可能性可知，出现点数是2和4的概率各为，所以出现点数是2或4的概率是. 故选：B. 2．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于8的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率. 【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次共有个基本事件， 点数和大于8的事件有，共10个， 所以出现向上的点数之和大于8的概率为. 故选：B. 3．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)从2，4，8，16中任取两个数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由古典概型的概率公式进行求解. 【详解】由题的有序数对有， 分别为，，，，，， ，，，，，；共组， 使为整数的有序数对有，，，，共4组， 故概率. 故答案选：B. 4．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式计算. 【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，随机选取两个不同的数共有28种情况， 其中和等于30的有，这两种情况， 所以所求概率为． 故选：C. 5．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有3组，根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：共3组， 故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A. 6．(24-25高一下·吉林吉林第十二中学·期末)某中学为了解学生课外阅读的情况，随机抽取了该校部分学生，对他们每周的课外阅读时间（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 阅读时间 [8,10] 学生人数 6 9 15 12 8 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周的课外阅读时间少于4小时的概率为（    ） A．0.3 B．0.2 C．0.4 D．0.5 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式求解． 【详解】由统计表可知，共抽取了50名学生，阅读时间少于4小时有人， 所以随机抽取1名学生，估计阅读时间少于4小时的概率为. 故选：A. 7．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)甲､乙､丙､丁四人排队，则甲不排在第一位且丙，丁两人相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法可得答案. 【详解】甲､乙､丙，丁四人排队，有 （甲､乙､丙､丁），（甲､乙､丁､丙），（甲､丙､乙､丁），（甲､丙､丁､乙），（甲､丁､乙､丙）， （甲､丁､丙､乙），（乙､甲､丙､丁），（乙､甲､丁､丙），（乙､丙､甲､丁），（乙､丙､丁､甲）， （乙､丁､甲､丙），（乙､丁､丙､甲），（丙､甲､乙､丁），（丙､甲､丁､乙），（丙､乙､甲､丁）， （丙､乙､丁､甲），（丙､丁､甲､乙），（丙､丁､乙､甲），（丁､甲､乙､丙），（丁､甲､丙､乙）， （丁､乙､甲､丙），（丁､乙､丙､甲），（丁､丙､甲､乙），（丁､丙､乙､甲），共24种基本事件， 甲不排在第一位且丙，丁两人相邻有（乙､甲､丙､丁），（乙､甲､丁､丙），（乙､丙､丁､甲）， （乙､丁､丙､甲），（丙､丁､甲､乙），（丙､丁､乙､甲），（丁､丙､甲､乙），（丁､丙､乙､甲）， 共8种基本事件，所以甲不排在第一位且丙，丁两人相邻的概率. 故选：C. 二、填空题 8．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 【答案】/0.3 【分析】根据古典概型计算即可 【详解】设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名， 有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法； 其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率. 故答案为：. 9．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为__________. 9 7 4 5 【答案】 【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可； 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中的结果有8种， 所以的概率为. 故答案为：. 10．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______. 【答案】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：从2，3，4，5四个数中任取两个数，所有可能结果有、、、、、共个结果； 满足两个数相差为2的有、共个结果； 所以两个数相差为2的概率； 故答案为： 三、解答题 11．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件：“电路是通路”，并求出． 【答案】(1)答案见解析 (2)， 【分析】（1）分别用，和表示元件，和的可能状态，这个电路的工作状态可用表示，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，列出所有情况得解； （2）“电路是通路”即，且，至少有一个是1，由古典概率的公式计算. 【详解】（1）分别用，和表示元件，和的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示． 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态， 则样本空间. （2）“电路是通路”等价于，，且，至少有一个是1， 所以. 所以. 地 城 考点03 事件独立性的判断 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（    ）． A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【分析】对立事件是指两个事件不能同时发生且必有一个发生；互斥事件是指两个事件不能同时发生；相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生没有影响，即. 【详解】对于A，，所以与不为对立事件． 对于B，，，，相互独立． 对于C，，，，不相互独立． 对于D，事件为，所以与不为互斥事件． 故选：B. 2．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由已知得出样本空间包含的样本点的个数为36个，求出相关事件的概率，逐一利用相互独立事件的概率乘法公式检验即得. 【详解】由题意得：事件“”的情况有：共12种， 所以． 事件“为奇数”的情况有： 共18种， 所以； 事件“”的情况有： 共10种， 所以； 事件“”的情况有：共6种， 所以. 对于A，因，则与不独立，故A错误； 对于B，因，则与不独立，故B错误； 对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误； 对于D， ，则与相互独立，故D正确. 故选：D. 二、多选题 3．(24-25高一下·内蒙古部分学校·期末)（多选）从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（   ） A．甲和乙为互斥而不对立事件 B．丙和丁为互斥而不对立事件 C． D．甲和丁为独立事件 【答案】AD 【分析】根据题意，列出试验的样本空间，利用互斥、对立事件的定义即可判断A，B两项；通过枚举法计算出相应事件的概率，利用独立事件的乘法公式判断即可. 【详解】因在一次取球中，甲事件与乙事件不可能同时发生，除了这两个基本事件外，还有事件“恰有2个红球”， 故甲和乙为互斥而不对立事件，即A正确； 而在一次取球中，丙事件与丁事件可以同时发生，如同时取到了编号为1和3的小球，则两事件都发生了， 即丙和丁不是互斥事件，即B错误； 因为从袋子中随机地取出2个球，共有等6种情况， 且，，， 所以甲和丁为独立事件，故C错误，D正确． 故选：AD. 4．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)（多选）射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为，.记事件A为“两人都击中”，事件B为“至少1人击中”，事件C为“无人击中”，事件D为“至多1人击中”则下列说法正确的是（   ） A．事件A与C是互斥事件 B．事件B与D是对立事件 C．事件C与D相互独立 D． 【答案】AD 【分析】根据事件之间的关系，以及互斥事件，对立事件的概念，相互独立事件的概率公式逐一判断即得. 【详解】依题意， ， 对于A：因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件A与C是互斥事件，故A正确； 对于B:因为事件B,D中都包含1人击中，故B错误； 对于C：因为事件C,D中都包含0人击中，故C错误； 对于D：因为，所以，故D正确； 故选：AD 5．(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟·期末)（多选）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是8”为事件，则（   ） A． 与B相互独立 B． 与互斥 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用古典概型公式求出，， ，进一步结合独立事件的概率公式和互斥事件的定理逐个选项判断即可. 【详解】由题意得共有个基本事件， 第一次向上的点数是1有，共6种情况， 由古典概型概率公式得， 第二次向上的点数是偶数有 ，共种情况， 由古典概型概率公式得， 两次向上的点数之和是8有，共5种情况， 由古典概型概率公式得， 而事件表示第一次向上的点数是且第二次向上的点数是偶数， 符合条件的有，共3种，则， 下面，我们开始分析各个选项， 对于A，由已知得，， 满足，则与相互独立，故A正确， 对于B，事件表示第一次向上的点数是1和两次向上的点数之和是8至少有1个发生， 符合条件的有， ，共11个，故， 满足，可得与互斥，故B正确， 对于C，由概率加法公式得 ，即C正确， 对于D， 题意得共有个基本事件， 则表示第二次向上的点数是偶数且两次且向上点数之和是8， 符合条件的有，共3种，则，故D错误. 故选：ABC 6．(24-25高一下·吉林长春长春吉大附中实验学校·期末)（多选）如图是一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件B与C互斥 B． C．事件与相互独立 D． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件的概念以及相关公式和古典概型与事件独立的乘法公式进行计算与判断即可. 【详解】由题意得，事件的样本点为，事件的样本点为，事件的样本点为， 事件与共有样本点，所以不互斥，故错误； 事件的样本点为，所以，故正确； ，的样本点为，所以，所以事件与不相互独立，故错误； 事件的样本点为，所以，，故正确； 故选：. 地 城 考点04 事件独立性的计算 一、单选题 1．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为，，，且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的加法公式、独立事件的乘法公式即可求解. 【详解】设甲、乙、丙三人各投篮一次，甲、乙、丙投篮命中分别为事件， ，则为事件， 所以 . 故选：C. 2．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.6，则4人都没中靶的概率为（   ） A．0.256 B．0.016 C．0.0256 D．0.036 【答案】C 【分析】根据对立事件和相互独立事件的概率公式即可求解. 【详解】每人中靶的概率都是0.6， 由对立事件的概率公式得：每人不中靶的概率都是， 故由相互独立事件的概率公式可得：4人都没中靶的概率为. 故选：C. 3．(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟·期末)“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定基本事件，再应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率即可. 【详解】第4次仍然由甲投掷分为四类： 第一类，前三次均为甲中，概率为； 第二类，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率为； 第三类，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率为； 第四类，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率为． 所以第4次仍然由甲投掷的概率为． 故选：D 二、多选题 4．(24-25高一下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)（多选）从甲袋中摸出一个红球的概率为，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球.下列结论正确的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为 【答案】ACD 【分析】设从甲袋中摸出一个红球为事件，从乙袋中摸出一个红球为事件，分别根据相互独立事件的概率公式计算即可． 【详解】解：设从甲袋中摸出一个红球为事件，从乙袋中摸出一个红球为事件，则，， 则2个球都是红球的概率为，故正确， 2个球不都是红球的概率为，故不正确． 至少有1个红球的概率为，故正确， 2个球中恰有1个红球的概率为，故正确， 故选：． 三、填空题 5．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________. 【答案】0.38/ 【分析】利用相互独立事件及对立事件的概率公式求得结果. 【详解】解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为， 所以 . 故答案为：0.38. 6．(24-25高一下·吉林吉林第十二中学·期末)已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________. 【答案】0.18/ 【分析】根据对立事件的概率公式求出，根据独立事件的概率公式求出． 【详解】因为与对立，所以， 又与相互独立，所以 ． 故答案为：0.18． 7．(24-25高一下·吉林长春十一高中·)设是两个相互独立事件，且，，则________. 【答案】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式与和事件的概率公式计算即得. 【详解】因是两个相互独立事件，则也相互独立，即， 因，则， 则 . 故答案为：. 8．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为___________. 【答案】/ 【分析】根据题意先求出两人都没有击中靶心的概率，再利用对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】设甲击中靶心为事件，乙击中靶心为事件，则，， 所以两人都没有击中靶心的概率为， 所以甲、乙至少有一人击中靶心的概率为. 故答案为： 9．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)某集团军举行登岛演习，演习要求该集团军的导弹旅捣毁岛上的目标，导弹旅的每辆登陆艇每次发射一枚导弹，由于受到天气以及“敌方”反导弹的拦截，命中率是，至少要有一枚导弹击中目标，才能说明目标被捣毁，因此采用多辆登陆艇同时发射导弹的方法去捣毁目标．至少需要______辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于的把握保证目标被捣毁．（参考数据：） 【答案】4 【分析】根据对立事件的概率之间的关系列式，再利用对数的运算性质求解. 【详解】设至少需要辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于的把握保证目标被捣毁． 则 . 所以至少需要4辆登陆艇同时发射导弹. 故答案为：4 10．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜它通过各扇门的机会相等，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是__________. 【答案】 【分析】求得小鼠逃生路线有六种情况：利用独立事件的概率公式求得每种情况的概率，再利用互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】小鼠逃生路线有以下六种情况： ； . 概率分别为 所以小老鼠逃生概率为 故答案为：. 四、解答题 11．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求出甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率，分析租车费用相同的三种情况，分别求出每种情况的概率再相加； （2）分析两人所付的租车费用之和为4元的三种情况，分别求出每种情况的概率再相加. 【详解】（1）甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为，， 甲、乙两人所付租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况． 租车费都为0元的概率为，租车费都为2元的概率为，租车费都为4元的概率为. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为. （2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为，则“”表示“两人的租车费用之和为4元”， 其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元． 所以可得， 即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为. 12．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛. 小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. (1)求小明在第一轮得40分的概率； (2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 【答案】(1)； (2)小明更容易晋级复赛. 【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率； （2）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论. 【详解】（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答， 则有共种， 设小明只能答对4个问题的编号为：， 则小明在第一轮得40分，有共种， 则小明在第一轮得40分的概率为：； （2）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为， 则小明在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分 当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ； ； 当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳晋级复赛的概率分别为： ； 小芳晋级复赛的概率为：； 小明晋级复赛的概率为：； ， 小明更容易晋级复赛. 13．(24-25高一下·内蒙古部分学校·期末)某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． (1)求甲得10分的概率； (2)求甲得3分的概率； (3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的概率公式求解即可. （2）将甲得3分分为两种情况，再结合互斥事件的概率公式求解即可. （3）将甲答辩成功这个事件合理拆分，再结合互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意得每道题目能否答对都是相互独立的事件， 由独立事件概率公式得甲得10分的概率为． （2）甲得3分有两种情况：甲答对第1题和第2题，甲答对第3题．且两种情况互斥， 故甲得3分的概率为． （3）若甲恰好答对2道题目答辩成功，则甲必定答对第3题和第4题． 甲答辩成功的概率为． 若甲恰好答对3道题目答辩成功，则甲答对第2题、第3题、第4题， 或者答对第1题、第3题、第4题，或者答对第1题、第2题、第4题． 甲答辩成功的概率为． 由（1）可知甲得10分的概率为，所以甲答辩成功的概率为． 14．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. (1)求甲队总得分为1分的概率； (2)求两队积分相同的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误， 所以； （2）由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为， 乙队积0分，1分，2分的概率分别为， 记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件， 因为两队得分相互独立，互不影响， 则， 所以两队积分相同的概率为. 15．(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟·期末)某校组织“语文课外阅读知识竞赛”活动，在预赛阶段，共设置“古代文学､文化常识”和“国外文学名著鉴赏”两轮比赛，两轮比赛均通过才能进入决赛.已知甲､乙两名同学通过第一轮的概率分别为，通过第二轮的概率分别为，每次是否通过互不影响，且两轮比赛均必须参加. (1)若，求甲没有进入决赛的概率； (2)若，求甲､乙均只通过一轮的概率； (3)设甲､乙两人中至少有一人进入决赛的概率为，两人均进入决赛的概率为，若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)题意结合独立事件的概率公式求出甲进入决赛的概率，再求甲没有进入决赛的概率； (2)先求出甲只通过一轮的概率和乙只通过一轮的概率，再根据独立事件的概率公式求解； (3)根据独立事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）因为每次是否通过互不影响，甲同学通过第一轮的概率分别为， 通过第二轮的概率为，甲进入决赛的概率， 所以甲没有进入决赛的概率； （2）已知甲､乙两名同学通过第一轮的概率分别为，通过第二轮的概率分别为， 甲只通过一轮的概率为：； 乙只通过一轮的概率为：， 因为甲、乙的比赛情况相互独立，所以甲､乙均只通过一轮的概率； （3）设甲､乙两人中至少有一人进入决赛的概率为，两人均进入决赛的概率为， 甲进入决赛的概率为；乙进入决赛的概率为， 两人都不进入决赛的概率为， 甲､乙两人中至少有一人进入决赛的概率为， 两人均进入决赛的概率为， 若，所以， 即. 16．(24-25高一下·吉林长春十一高中·期末)某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立. (1)设. ①求甲答对一道题的概率； ②求甲、乙一共答对三道题的概率. (2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值. 【答案】(1)①② (2) 【分析】（1）设出事件，①根据独立事件概率乘法公式运算求解； ②分析可知，结合独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率求法运算求解； （2）由已知，整理得，即可得当时，概率最小，求解可得. 【详解】（1）①设“甲答对一道题”为事件，则， 则甲答对一道题的概率为； ②设“甲答对两道题”为事件，“乙答对一道题”为事件， “乙答对两道题”为事件，“甲、乙一共答对三道题”为事件， 则， ， ， ， 故甲、乙一共答对三道题的概率为； （2）由题知，， 设“甲、乙一共答对三道题”为事件， 则 ， 当时，甲、乙一共答对三道题的概率最小，且最小值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $