13.3.2 三角形的外角（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦三角形外角这一核心知识点，系统梳理外角定义（一条边与另一条边延长线组成的角）及四条性质（等于不相邻两内角和、大于不相邻内角、与相邻内角互补、外角和360°），承接三角形内角和知识，为几何角度计算与证明搭建学习支架。 资料通过“定义-性质-易错-题型”分层设计，结合三角板叠放、翻折变换等真实情境问题，培养学生几何直观与推理意识。典例与变式巩固匹配不同难度，课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生通过即学即练和规律探究查漏补缺，提升用数学语言表达几何关系的能力。

第十三章 三角形 13.3.2 三角形的外角 课标要点 1.能准确说出三角形外角的定义，区分三角形内角与外角，正确识别图形中的外角。 2.熟记三角形外角四条核心性质，会用几何语言书写外角定理的推理过程。 3.灵活运用外角定理计算角度、比较角大小，解决基础几何计算类习题。 4.区分三角形内角和与外角和，理解外角和为360°的含义，规避基础概念误区。 学习重难点 重点： 1.掌握三角形外角定义，熟练运用外角等于不相邻两内角和这一核心定理进行计算。 2.牢记外角与相邻内角互补、三角形外角和为360°两条性质并用于解题。 难点： 1.区分外角相邻、不相邻内角，做题时避免误用相邻内角代入外角求和公式。 2.综合图形中挖掘隐藏外角，结合多条外角性质完成多步角度推导与证明。 知识点一 三角形外角定义 三角形的一条边与另一条边的成的角，叫做三角形的外角。 补充说明 1.一个三角形有6个外角，每个顶点处有2个对顶外角； 2.每个外角对应唯一相邻内角、两个不相邻内角。 知识点二 三角形外角的性质 性质1：三角形的一个外角等于与。 几何表达：若是外角，则不相邻两内角之和。 性质2：三角形的一个外角任意一个与它不相邻的内角。 用途：比较角的大小、证明角不等关系。 性质3：三角形的外角和它相邻的内角。 原理：二者组成平角。 性质4：三角形三个外角的和恒等于。 注意：指每个顶点只取1个外角相加。 易错提醒 外角和概念混淆 误区1：认为三角形外角和是（混淆内角和、外角和）； 误区2：把6个外角全部相加计算外角和； 正确：每个顶点只选一个外角，三个相加总和为。 即学即练 1．如图，在中，，，则的外角的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，将一副三角尺叠在一起，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型01 由三角形的外角性质求角的度数 典｜例｜精｜析 【例1】如图，将一个含角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【例2】如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，，求的度数． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，可调整的大小，使，则图中应________（填“增加”或“减少”）________度．横线上的结果是（     ） A．增加，5 B．增加，10 C．减小，5 D．减小，10 【变式1-2】如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为________； (2)若，是的高，求的度数． 【变式1-3】如图，在中，点、分别在边、上． (1)若，，且，求的度数； (2)若，，试说明：． 题型02 由三角形的外角性质比较角度的大小 解题贴士 1.三角形任意外角＞任意一个不相邻内角； 2.多层角度比较：出现多层嵌套三角形时，从外向内逐层利用外角不等式传递大小关系； 典｜例｜精｜析 【例3】请将图中的三个角、、按照大小关系排列________（用“<”连接） 【例4】如图，在中，是上一点，连接．则，，的大小关系是_____． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图①，试比较的大小；如图②，试比较的大小．    【变式2-2】如图，的大小关系为_____________． 【变式2-3】如图，点在射线上，比较，和的大小关系，并证明你的结论． 题型03 由三角形的外角性质解决平行线中的问题 典｜例｜精｜析 【例5】一副三角板按图所示方式叠放，且，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【例6】抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．小聪在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象成数学问题：如图，，，，则的度数为________． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，则的度数为________． 【变式3-2】如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在中，的平分线交边于点，点是边上一点，延长至点，连接交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型04 由三角形的外角性质解决翻折中的问题 典｜例｜精｜析 【例7】在中，，的平分线交于点E，将沿折叠，使点A落在边上的点D处，继续沿直线折叠，若折叠后点C落在上，则的度数为________． 【例8】小亮用一张长方形纸片折纸飞机，经过第一次折叠得到了如图①关于直线对称的图形，经过第二次折叠得到了如图②关于直线对称的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图，已知，点E，F分别在直线上，点P在之间且在的左侧．若将射线沿折叠，射线沿折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或或 【变式4-2】如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于点，再将沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，那么的度数是______． 【变式4-3】如图，已知长方形纸片、分别是、上一点，将纸片沿折叠，使得点落在上点处，然后将纸片沿折叠，使得点与重合，点落在处，交于点．若，求______． 题型05 由三角形的外角性质求三角板中角的度数. 典｜例｜精｜析 【例9】如图，直线，一副三角板放置在和之间，其中一个三角板的直角边在上，另一个直角三角板的直角顶点在上，两个三角板的斜边在同一直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【例10】如图，直线，一副三角板放置在，之间，含的直角三角板的斜边在上，且它较长的直角边与含的直角三角板的斜边在同一直线上．若含的直角三角板的直角顶点在上，则的度数是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】将一副三角板如图放置，使点落在上，三角板的顶点与三角板的直角顶点重合，若，与交于点，则的度数为_______． 【变式5-2】将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含角的直角三角板的斜边与含角的直角三角板的一直角边贴合，含角的直角三角板的另一条直角边过含角的直角三角板的直角顶点，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角板和两条平行线为背景开展数学活动．在三角板中，，，，，直线． (1)如图1，当三角板的顶点C在直线上，点A落在直线上时，若，求的度数； (2)如图2，当三角板的顶点C在直线上，点A在直线和之间时，求的度数； (3)如图3，当三角板的顶点C在直线上，点A在直线的上方时，若的延长线与的角平分线相交于点M，，求的度数． 题型06 三角形的外角性质与角平分线的综合 典｜例｜精｜析 【例11】如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，，则（   ） A． B． C． D． 【例12】探究一： （1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则______度． （2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则______度． 探究二： 如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线．请说明和之间的数量关系？并证明你的结论．    变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图1，在中，的角平分线与的外角平分线交于．当为时，________；图2，的角平分线与的角平分线交于的角平分线与的角平分线交于________． 【变式6-3】在中，的角平分线与（为延长线上一点）的角平分线交于，点E为延长线上一点，连接，与的角平分线交于点Q， (1)求与的数量关系． (2)求与的数量关系． 题型07 由三角形的外角性质确定角度之间的关系 典｜例｜精｜析 【例13】将一块直角三角板放置在上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，． (1)如图，当时，______度，______度． (2)如图，改变直角三角板的位置，使该三角板的两条直角边，仍然分别经过点，，那么的大小是否发生变化？若变化，请举例说明，若没有变化，请探究与的关系． 【例14】如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边，上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，则与的关系是 ． (2)如图（2），如果沿直线折叠后A落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，探究，和的关系，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】如图1，平分，平分，且、交于点． (1)求证：； (2)如图2，若、是两外角的平分线且交于点，则与的关系是_____． (3)如图3，若、是和的平分线且交于点，则与的关系是_____． 【变式7-2】（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则___________； （2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则___________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是___________； （4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 【变式7-3】（1）阅读并填空：如图1，分别是的内角的平分线，则：与之间的等量关系是__________． （2）探究，请直接写出结果，并任选一种情况说明理由： （i）如图2，分别是的两个外角的平分线，试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是__________． （ii）如图③，分别是的一个内角和一个外角的平分线，试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是__________． 题型08 与三角形的外角性质有关的规律探究 解题贴士 1.分步求值法：先代入前几组特殊角度算出结果，观察数值变化总结通用规律； 2.设参推导法：设基础角为参数，结合外角定理推导通用代数式，验证猜想； 3.多层迭代类探究题，找到外角循环变化规律，总结通用公式。 典｜例｜精｜析 【例15】如图，，点，，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，以此类推，若，则的边长为（    ） A．2026 B． C． D．2025 【例16】如图在第一个中，，，在边上任取一点，延长到，使，得到第二个，再在边上任取一点，延长到，使，得到第3个…，如此类推，可得到第个等腰三角形．则第个等腰三角形中，以为顶点的底角的度数为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为____． 【变式8-2】如图，，点……在射线上，点……在射线上，，……均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为______． 基础通关 1．小明在学习三角形的知识时，得到下面两个结论： 甲：如果的一个外角等于它的一个内角，那么是直角三角形； 乙：如果的任意两个内角的和都大于第三个内角，那么是锐角三角形． 关于这两个结论，以下判断正确的是（     ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 2．如图，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图1是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示．若，与相交于点，点在的延长线上，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 7．三角形的一个外角等于，与它不相邻的一个内角为，则另一个不相邻内角为_______°． 8．如图，在中，D，E分别是上的点，点F在的延长线上，，，则______度． 9．如图，在中，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，若，，则的度数是__________． 10．如图，在中，是的角平分线，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 11．如图，已知，． (1)求证：； (2)如图，点E是线段上一点，若，且，求的度数． 12．如图，点在边上，与交于点，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 素养提升 13．定义：经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．在中，，若存在过点的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则的度数不可能是（     ） A． B． C． D． 14．如图，，E是平面内一点， 连接，， 的平分线与的平分线交于点F． 若， 则的度数为_____________． 15．如图，在中，点E是边延长线上一点，且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，添加一个与线段有关的条件_____________________，使得为直角．（不需要证明）． 16．如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． (1)求证：； (2)若，，，请求出的度数． 17．如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； (3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 18．在中，，点在直线上（点不与端点，重合）． (1)如图①，当点在线段上时，连接，作，交线段于点． ①若，则 °， °； ②当点在线段上运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，当点在的延长线上时，连接，作，交直线于点，若，请直接写出的度数． 19．如图，在中，平分． (1)如图，交边于点，若，，求的度数； (2)如图，点在边的延长线上，交的平分线于点，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，若，的平分线交于点，若，请直接写出的度数（用字母表示）． 迁移创新 20．如图，点，分别在的边，上，连接，为上一点． (1)从①，②，③这三个信息中，选择两个作为条件、剩余的一个作为结论．组成一个真命题并说明理由； 你选择的条件是________、________，结论是________；（填写序号即可） (2)在（1）的题设下（选出任意两个条件），若平分，，°，求的度数． 21．一张直角三角形纸片，，其中，点，分别在边，上．将沿折叠，点的对应点为点．记为，记为，我们来探究和的数量关系． 先从特殊情况探究： (1)如图1，若，则_______，_______，由此可得：_______； 再探究一般情况： (2)如图2，若点落在直角三角形纸片内，请你猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，请直接写出与的数量关系． 22．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如：，，，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则______； (2)如图1，在中，，是的角平分线，过作，射线平分且与射线交于点，若与互为“黄金角”，求的度数； (3)如图2，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，．若和互为“黄金角”，求的度数； (4)如图3，将纸片沿折叠，使点落在四边形外部处，若和互为“黄金角”，求的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十三章 三角形 13.3.2三角形的外角 课时目标 1.能准确说出三角形外角的定义，区分三角形内角与外角，正确识别图形中的外角。 2熟记三角形外角四条核心性质，会用几何语言书写外角定理的推理过程。 课标要点 3灵活运用外角定理计算角度、比较角大小，解决基础几何计算类习题。 4区分三角形内角和与外角和，理解外角和为360°的含义，规避基础概念误区。 重点： 1.掌握三角形外角定义，熟练运用外角等于不相邻两内角和这一核心定理进行计算。 2.牢记外角与相邻内角互补、三角形外角和为360°两条性质并用于解题。 学习重难点 难点： 1区分外角相邻、不相邻内角，做题时避免误用相邻内角代入外角求和公式。 2综合图形中挖掘隐藏外角，结合多条外角性质完成多步角度推导与证明。 清主线 课时内容导图 三角形外角定义 构成：三角形一边+另一边延长线形成夹角 性质①（外角定理）：∠1=∠2+∠3，外角=不相邻两内角和 性质②：外角>任意一个不相邻内角 三角形外角四大性质 性质③：外角和相邻内角互补（和为180°） 三角形 性质④：三角形外角和=360°（每个顶点取1个外角） 的外角 由三角形的外角性质求角的度数 由三角形的外角性质比较角度的大小 由三角形的外角性质解决平行线中的问题 由三角形的外角性质解决翻折中的问题 常见题型 由三角形的外角性质求三角板中角的度数 三角形的外角性质与角平分线的综合 由三角形的外角性质确定角度之间的关系 与三角形的外角性质有关的规律探究 1/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理新知 教材全盘梳理 ◇知识点一 三角形外角定义 三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 补充说明 1.一个三角形有6个外角，每个顶点处有2个对顶外角： 2.每个外角对应唯一相邻内角、两个不相邻内角。 《◇知识点二三角形外角的性质 性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 几何表达：若∠1是△ABC外角，则∠1=不相邻两内角之和。 性质2：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 用途：比较角的大小、证明角不等关系。 性质3：三角形的外角和它相邻的内角互补。 原理：二者组成平角。 性质4：三角形三个外角的和恒等于360°。 注意：指每个顶点只取1个外角相加。 易错提醒 外角和概念混淆 误区1：认为三角形外角和是180°（混淆内角和、外角和）： 误区2：把6个外角全部相加计算外角和； 正确：每个顶点只选一个外角，三个相加总和为360°。 《。即学即练 1.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠ACB的外角的度数为() 2/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.110° B.120° C.130 D.140° 【答案】A 【详解】解：，在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°， .∠ACB的外角的度数为∠A+∠B=110°」 2.如图，将一副三角尺叠在一起，则2的度数是() 30> 45 A.30° B.45° C.75 D.85° 【答案】C 【详解】解：如图， 30 45 D ·两个三角尺的竖直直角边在同一直线上， .EF∥CD. ,∠EFC=30° :.∠EFC=∠FCD=30° ∴.∠a=∠FCD+∠CDE=30°+45°=75° 通题型 解题能力构建 ◆题型01由三角形的外角性质求角的度数 典例精1析 【例1】如图，将一个含30°角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若∠1=16°，则∠2的度数为() 3/58 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 A.74° B.66 C.64° D.76 【答案】D 【详解】解：∠2=∠1+60°=76° 【例2】如图，△ABC中，D为AC边上一点，过D作DE∥AB,交BC于E,F为AB边上一点，连接 DF并延长，交CB的延长线于G,且∠DFA=∠A. E (I)DE平分∠CDF吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若∠C=80°，∠ABC=60°，求∠G的度数. 【答案】(1)是， 证明：DE‖AB, .∠CDE=∠A,∠DFA=∠FDE, :∠DFA=∠A, .∠CDE=∠FDE, .DE平分∠CDF: (2)20° 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：，∠C=80°，∠ABC=60°， .∠A=180°-∠ABC-∠C=40°， ,∠BFG=∠DFA=∠A, .∠BFG=40° ,∠BFG+∠G=∠ABC .∠G=∠ABC-∠BFG=60°-40°=20°」 4/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1巩固 【变式1-1】如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C,且∠A,∠B,∠D保持不变. 为了舒适，可调整∠E的大小，使∠EFD=130°，则图中∠E应 (填“增加”或“减少”) 度.横线上的结果是() D 30% 20 460 XB A.增加，5 B.增加，10 C.减小，5 D.减小，10 【答案】B 【详解】解：延长DF,交CE于点G, D E 30 20° C 4600 ,∠ACB=180°-50°-60°=70° ∠ECD=∠ACB=70° ∴.∠DGE=∠DCE+∠D=70°+20°=90°， ·.'∠EFD=∠DGE+∠E=130° ∴∠E=40° 而图中∠E=30° ∴.∠E应增加10°. 【变式1-2】如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A,B重合），CD与BE交于 点0 D 5/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)若CD是中线，BC=4,AC=3,则△BCD与△ACD的周长差为 (②)若∠ABC=70°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数. 【答案】(I)1 (2)125° 【分析】 【详解】(I)解：：CD是中线， .AD BD :△BCD的周长为：BC+CD+BD,△ACD的周长为：AC+CD+AD, ·△BCD与△ACD的周长差为：(BC+CD+BD)-(AC+CD+AD)=BC-AC, .BC=4,AC=3, .BC-AC=4-3=1, .△BCD与△ACD的周长差为1： (2):CD是△ABC的高， .∠CDB=90°， :BE是角平分线，∠ABC=70°， 8Z0 BD-ABC=3型 :∠BOC是△OBD的外角， ∴.∠BOC=∠CDB+∠OBD. 即∠B0C=90°+35°=125° 【变式1-3】如图，在△ABC中，点D、P分别在边AC、BC上. (1)若∠BAC=50°，∠C=60°，且∠1=∠2，求∠APD的度数： (2)若LB=∠C,∠ADP=LAPD,试说明：∠I=2∠2， 【答案】(1)70° 6/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2):∠APC=∠1+∠B=∠APD+∠2， 且∠ADP=∠APD, ∴.∠I+∠B=∠2+∠ADP, ∠ADP=∠2+∠C, .∠1+∠B=∠2+∠C+∠2 .∠1+∠B=2∠2+∠C 又∠B=∠C, ∴.∠1=2∠2 【分析】 【详解】(1)解：，在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=60°， .∠B=180°-∠BAC-∠C=70°， ∠1=∠2， ∠APC=∠B+∠I=∠APD+∠2， ∠B=∠APD, ∴.∠APD=70° (2)略 ◆题型02由三角形的外角性质比较角度的大小 解题贴士 1.三角形任意外角>任意一个不相邻内角： 2多层角度比较：出现多层嵌套三角形时，从外向内逐层利用外角不等式传递大小关系： 典例精析 【例3】请将图中的三个角∠A、∠1、∠2按照大小关系排列 (用“<”连接) 【答案】∠A<∠1<∠2 【详解】解：如图， 7/58 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是 的外角， 2 D E:∠1△ABC .∠1>∠A, :∠2是△BCD的外角， .∠2>∠1， .∠A<∠1<∠2， 故答案为：∠A<∠1<2 【例4】如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD.则∠I,∠2，∠3的大小关系是一 D 【答案】∠2<∠1<∠3（或∠3>∠1>∠2） 【详解】解：在△BCD中，∠I是外角， .∠1=∠2+∠BCD, .∠1>∠2， 在△ADC中，∠3是外角， .∠3=∠1+∠ACD, .∠3>∠1， .∠2<∠1<∠3， 故答案为：∠2<∠1<∠3（或∠3>1>∠2）. 变式巩固 【变式2-1】如图①，试比较∠2、∠1的大小：如图②，试比较∠3、∠2∠1的大小 8/58 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A 2 B B 图① 图② 【答案】图①∠2>∠1，图②∠3>∠2>∠1 【详解】图①：解：，∠2=∠1+∠B, .∠2>∠1 图②：解：：∠2=∠1+∠B,∠3=∠2+∠D. .∠3>∠2>∠1 【变式2-2】如图，∠1∠2、∠3的大小关系为 C 【答案】∠1>∠2>∠3/∠3<∠2<∠1 【详解】解：由已知可得∠2=∠AB0+∠3， ∠2>∠3. ∠I=∠ABE+∠BAE,∠BAE>∠3， .∠1>∠3， :∠I=∠CAD+∠AOE=∠CAD+∠2， ∴.∠1>∠2， .∠1>∠2>∠3， 故答案为：∠1>∠2>∠3 【变式2-3】如图，点D,E在射线CF上，比较∠ACB,∠ADB和∠AEB的大小关系，并证明你的结论 9/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】∠ACB<∠ADB<∠AEB,证明见解析 【详解】解：∠ACB<∠ADB<∠AEB,理由如下： :∠ADE是△ACD的外角， :.∠ACE<∠ADE :∠AEF是△AED的外角， .∠ADE<∠AEF, :.∠ACE<∠ADE<∠AEF 同理：∠BCF<∠BDE<∠BEF :∠ACB=∠ACE+∠BCF,∠ADB=∠ADE+∠BDE,∠AEB=∠AEF+∠BEF, .∠ACB<∠ADB<∠AEB ◆题型03由三角形的外角性质解决平行线中的问题 典1例1精1析 【例5】一副三角板按图所示方式叠放，且AB∥DE,∠C=∠E=90°，∠A=60°，∠D=45°，则∠I的度 数是() A.60° B.65° C.70° D.75° 【答案】D 【详解】解：如图，设FD与AB交于点G, :AB∥DE .∠BGD=∠D=45° ∠C=90°，∠A=60°， .∠B=30°， .∠1=∠BGD+∠B=75° 10/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例6】抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”.小聪在观察抖空竹 时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象成数学问题：如图，AB∥CD,∠C=2∠A-60°，∠E=22°」 则∠A的度数为. 【答案】82°/82度 【详解】解：如图所示：延长DC交AE于点F, E D :AB∥CD, .∠A=∠EFC, ∠ECD=∠E+∠EFC,∠E=22°， .∠ECD=22°+∠A, .∠ECD=2∠A-60°， .22°+∠A=2∠A-60°， 解得：∠A=82 变式|巩1固 【变式3-1】如图是一架婴儿车的示意图，其中AB‖CD,∠1=105°，∠2=75°，则∠3的度数为 C 【答案】30°130度 【详解】解：：∠1=105°，∠2=75°， 11/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=∠1-∠2=30°， .AB II CD ∴.∠3=∠A=30° 【变式3-2】如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交 于点P,点F为焦点.若1=145°，∠2=30°，则∠3的度数为() A.70° B.65° C.60° D.55 【答案】B 【详解】解：如图： a 3 门 由题意得alb, .∠PF0=180°-∠1=35° .∠POF=∠2=30°， ∴.∠3=∠PF0+∠POF=65°. 【变式3-3】如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB边于点D,点F是AC边上一点，延长CD至点E, 连接EF交AB于点M,∠ADE=∠A+∠E M D B (I)求证：EF∥BC: (2)若∠AMF=∠ADE,∠A=60°，求∠B的度数. 【答案】(I)证明：：∠ADE=∠A+∠ACD,∠ADE=∠A+∠E, 12/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACD=∠E, :CD平分∠ACB, ∠ACD=∠BCD, ∠E=∠BCD, .EF∥BC: (2)80° 【分析】 【详解】(1)略： (2)解：：EF∥BC, .∠AMF=∠B, ,∠AMF=∠ADE, .∠ADE=∠B, 又：∠ADE=∠A+∠ACD=60°+∠ACB. :∠B=60+∠ACB ,在△ABC中，∠ACB+∠B+∠A=180°， 1 .∠ACB+60°+。∠ACB+60°=180° 2 .∠ACB=40° 2B=60+2×40°=80 ◆题型04由三角形的外角性质解决折中的问题 典例精」析 【例T】在△ABC中，AB=AC,∠ABC的平分线交AC于点E,将△ABC沿BE折叠，使点A落在BC边上 的点D处，继续沿直线DE折叠，若折叠后点C落在BE上，则∠ABC的度数为 【答案】40° 【详解】解：，由折叠的性质可知：∠A=∠BDE,∠DEC=∠BED, 13/58 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AC, .∠ABC=ACB, 设∠A=y°，∠ABC=(2x)°， 则∠BDE=°，∠ACB=(2x)°， :∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴2x+2x+y=180 :BE平分∠ABC, ABEAC .∠BEC=∠A+LABE=(x+y)° 又∠DEC=∠BDE-∠C,即∠DEC=(y-2x)°， 又，∠DEC=∠BED ∴.LBEC=2LDEC .x+y=2(y-2x), 2x+2x+y=180 联立方程组 x+y=2(y-2x) x=20 解得 y=100' ∴.∠ABC=40° 故答案为：40° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，以及三角形的内角和定理等知识，解题的关键是 熟练掌握这些性质。 【例8】小亮用一张长方形纸片折纸飞机，经过第一次折叠得到了如图①关于直线AD对称的图形，经过 第二次折叠得到了如图②关于直线AB对称的图形，则∠1的度数为() A B(C) 图① 图② 14/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.35 B.40° C.45° D.50° 【答案】C 【分析】 【详解】图①关于直线AD对称， ∴.∠ADB=90° 由第一次折叠，得∠DAB=45° 由第=次折叠，得∠BAE=2∠B1D=2.5°，∠AEB=∠AEC: 1 ,AD∥BP, ∴.∠AEC=∠BAE=22.5°， ∴.∠AEB=22.5°， .∠1=∠BAE+LAEB=45°， 故选：C 变|式|巩固 【变式4-1】如图，己知AB‖CD,点B,F分别在直线AB,CD上，点P在AB,CD之间且在EF的左侧. 若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则∠EPF的度数为() A B C 0 A.45° B.135° C.45°或135 D.45°或90°或135° 【答案】C 【详解】解：由题意知，分两种情况求解：①如图1， E B 图1 由题意知，∠AEP=∠MEP,∠CFP=∠MFP,∠BQP=∠CFP, 15/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EPF=∠BQP+∠AEP=∠MFP+∠MEP ,∠EPF+∠MEP+∠MFP+∠EMF=360°， ∴.2∠MEP+2∠MFP+90°=360°， 解得∠MEP+∠MFP=135°， .LEPF=135°： ②如图2， B F D 图2 同①可知，：∠EPF+∠MEP+∠MFP+(360°-∠EMF)=360°， .2∠MEP+2∠MFP+(360°-90)=360°， 解得∠MEP+∠MFP=45°， .∠EPF=45°： 综上，∠EPF为135°或45°， 故选：C 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，四边形内角和等知识.解题的关键 在于确定角度之间的数量关系. 【变式4-2】如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于点 F，再将△DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB,那么∠BFG的度数是一 E D 【答案】36°36度 【详解】解：由折叠可知，∠BDC=∠BDE,∠EDF=∠GDF, 16/58 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DG平分∠ADB, ∠BDG=∠GDF, ∴∠EDF=∠BDG, :.∠BDE=∠EDF+∠GDF+∠BDG=3∠GDF, .∠BDC=LBDE=3∠GDF,∠BDA=LGDF+∠BDG=2LGDF, :∠BDC+∠BDA=90°=3∠GDF+2∠GDF=5∠GDF, .∠GDF=18°， .∠ADB=2∠GDF=2×18°=36°， :AD∥BC, .∠ADB=∠DBC, ,∠DBC=∠DBE, ∴.∠ADB=∠DBE, ∴.∠AFB=2∠ADB=72°， .∠EFD=∠DFG=72°， ∴.∠BFG=180°-∠AFB-∠DFG=36°， 故答案为：36° 【变式4-3】如图，己知长方形纸片ABCD,E、F分别是BC、CD上一点，将纸片沿EF折叠，使得点C 落在AB上点C处，然后将纸片沿MN折叠，使得点F与C重合，点D落在D'处，DN交AB于点K. 若∠BKN-∠BC'E=107°，求∠MND=_ B KA D 【答案】73°173度 【详解】解：在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD, 根据折叠可知：∠EC'F=∠ECF=90°，∠CFE=∠C'FE,∠DFM=∠D'CM,∠D'=∠D=90°， ∠MC'F=∠MFC',∠MND=∠MND', 设∠CFE=∠C'FE=a,则∠MCF=∠MFC'=a,∠CFC'=2a,∠DFM=∠D'C'M=180°-a, :AB∥CD, 17/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AC'F=∠CFC'=2a, ∠BC'E=180°-90°-2a=90°-2a, ∴.∠D'C'K=∠D'C'M-∠MC'F-∠AC'F=180°-a-2a-a=180°-4a, ∠BKW=∠D'+∠D'C'K=90°+180°-4a=270°-4a, :∠BKN-∠BC'E=107°， .270°-4a-(90°-2a）=107°， 解得：a=36.5°， .∠C'KD'=∠AKN,∠D'=∠A=90°， .∠ANK=∠D'C'K=180°-4a=34°， ∴∠MND=∠MND'-080-∠ANK)=739 故答案为：73° >题型05由三角形的外角性质求三角板中角的度数， 典例1精1析 【例9】如图，直线，一副三角板放置在4和之间，其中一个三角板的直角边在上，另一个直角三 角板的直角项点在2上，两个三角板的斜边在同一直线上，则∠：的度数为() -12 A.80° B.78° C.75° D.65° 【答案】C 【详解】解：如图， 2r-12 :4l, ∴.∠1=∠2=30° 18/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠a=∠3+∠2=45°+30°=75° 【例10】如图，直线马/1，一副三角板放置在马，12之间，含30°的直角三角板的斜边在4上，且它较长 的直角边与含45°的直角三角板的斜边在同一直线上.若含45°的直角三角板的直角顶点在2上，则∠的 度数是() A.650 B.75° C.70° D.80° 【答案】B 【详解】解：如图， E B D :1∥12， ∴.∠ABD=∠EAB=30°， ∴.∠Q=∠ABD+∠BCD=30°+45°=75° 变式巩固 【变式5-1】将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，三角板ABC的顶点C与三角板CDE的直角顶点 C重合，若BC∥DE,AB与CE交于点F,则∠AFC的度数为 D 60 145° 【答案】75 【详解】解：BC∥DE, .∠BCE=∠E=30°. .∴.∠AFC=∠B+∠BCE=45°+30°=75° 【变式5-2】将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含60°角的直角三角板的斜边与含45°角的直角 19/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三角板的一直角边贴合，含45°角的直角三角板的另一条直角边过含60°角的直角三角板的直角顶点，那么 ∠1的度数是() A.145° B.150° C.155° D.165 【答案】D 【详解】解：如图所示，由题意可知∠EDG=45°，∠A=30° B F'∠EDG=∠DGA+∠A ·.∠DGA=45°-30°=15°， ∠1=180°-15°=165°， 故选：D 【变式5-3】在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角板和两条平行线为背景开展数学活动」 在三角板ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，∠ABC=30°，，直线EF∥GH. G 图1 图2 图3 ()如图1，当三角板ABC的顶点C在直线EF上，点A落在直线GH上时，若∠2=55°，求∠I的度数： (2)如图2，当三角板ABC的顶点C在直线EF上，点A在直线EF和GH之间时，求∠2-∠I的度数： (3)如图3，当三角板ABC的顶点C在直线EF上，点A在直线EF的上方时，若AC的延长线与∠CQH的 角平分线QM相交于点M,∠CH=50°，求∠CM0的度数. 【答案】(1)25 20/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)120° (3)65° 【分析】 【详解】(I)EF∥GH ∴.∠BDF=∠2=55o ∴.∠1=∠BDF-∠B=55°-30°=25°： (2)如图，延长CA交HG于点D B 图2 .EF∥GH .∠ADP=∠1 .∠2-∠1=∠2-∠ADP=∠DAP=180°-∠BAC=120°： (3).QM平分∠CQH,∠COH=50° <C0M-<c0H=25 .∠CM0=∠ACB-LC0M=90°-25°=65° >题型06三角形的外角性质与角平分线的综合 典1例精析 【例11】如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,∠ACF和∠ABC的角平分线交于 点D,∠CBG和∠BCH的角平分线交于点E,∠D=30°，则∠BOC=() B E A.60° B.120° C.1250° D.130° 【答案】B 【分析】 21/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：CO平分∠ACB,CD平分∠ACF的外角， ÷∠Ac0=)∠ACB、∠ACD=∠ACF, 1 2 .∠ACB+∠ACF=180°， ∠0cD=∠AC0+ZAcD-ACB+∠4cr)=90. .∠BOC=∠OCD+∠D=120°， 故选B 【例12】探究一： (I)如图1，在△ABC中，∠A=64°，BP,CP分别是两个内角∠ABC,∠ACB的角平分线，则∠P= 度 (2)如图2，在△ABC中，∠A=70°，BP,CP分别是两个外角∠CBD,∠BCE的角平分线，则∠P= 度 探究二： 如图3，在△ABC中，BP是三角形内角∠ABC的角平分线，CP是外角∠ACD的角平分线.请说明∠P和 ∠A之间的数量关系？并证明你的结论. B B D P 图1 图2 A D B D 图3 图4 【答案】探究一：(1)122；(2)55：探究二：∠A=2∠P,证明见解析 【分析】 【详解】解：探究一：(1)，在△ABC中，∠A=64°， 22/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=116°， :BP,CP分别是两个内角∠ABC,∠ACB的角平分线， .∠PBC= ∠ABC,LPCB=∠ACB P=180-(2Psc+∠Pc8)=l80-∠ABC+∠4ACB)=122, 故答案为：122： (2)∵在△ABC中，∠A=70° :∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110° .∠CBD+∠BCE=180°-∠ABC+180°-∠ACB=250°， :BP,CP分别是两个外角∠CBD,∠BCE的角平分线， :∠PBC=CBD,PC8=5BCE, 2 ∴P=180-(PBC+∠PCB)-=I80-(2CBD+∠BCE)=5 故答案为：55： 探究二：∠A=2∠P,证明如下： ,在△ABC中，BP是三角形内角∠ABC的角平分线，CP是外角∠ACD的角平分线， ∴.∠ABC=2∠PBC,∠ACD=2LPCD 又，∠ACD=∠A+∠ABC,∠PCD=∠PBC+∠P .2∠PCD=∠A+2∠PBC,2∠PCD=2∠PBC+2∠P, ∴.∠A=2∠P 变式巩1固 【变式6-1】如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,∠ACF和∠ABC的角平分线交 于点D,∠CBG和∠BCH的角平分线交于点E,若∠BOC=120°，则∠D=() A.15° B.20° C.30° D.35 23/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【分析】 【详解】解：CO平分∠ACB,CD平分∠ACF的外角， ÷∠AC0=)∠ACB、∠ACD=∠ACF. 2 ∠ACB+∠ACF=180°， 20cD=∠AC0+∠AcD-ACB+Z4Cr)=0, :∠BOC=∠OCD+∠D, .∠D=∠BOC-∠OCD=120°-90°=30° 故选：C 【变式6-2】如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线与LACB的外角平分线交于A.当∠A为80°时， ∠A= °：图2，∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于A,∠4，BC的角平分线与∠4，CD的 角平分线交于4，∠A= D 图1 图2 【答案】 4010 【详解】解：：BA平分∠ABC,CA平分∠ACD, ∠AB0-ABC,∠AC0-4CD-A+∠ABc), ∠AOB=∠AOC, .∠A+∠ABO=∠A+∠ACO 即∠A+ABc=4+A+∠ABC), 整理得：A-4, :∠A=80°， .∠4=40°. 24/58 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可得：∠4号<4=20,44=10， 故答案为：40,10. D 【变式6-3】在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACD(D为BC延长线上一点)的角平分线交于A,点 E为BA延长线上一点，连接EC,∠AEC与∠ACE的角平分线交于点Q, A B D (1)求∠Q与∠EAC的数量关系. (2)求∠Q与∠A的数量关系. 【容案】@<0=0+号EC (2)∠Q=180°-∠A 【分析】 【详解】(1)解：：∠AEC与∠ACE的角平分线交于点Q, 20Ec∠ABc,20cE=AcE, :∠AEC+∠ACE=180°-∠EAC, :∠Q5c+∠0cE-ABC+4CE-(MBc+ZACE)-0P-3EAC, :∠Q=180°-∠QEC-∠0CE=90°+∠EAC, (2)解：，∠ABC的角平分线与∠ACD(D为BC延长线上一点)的角平分线交于A, .∠ABC=2∠ABC,∠ACD=2∠ACD 25/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ACD=∠BAC+∠ABC,∠ACD=∠ABC+∠A, :.∠BAC+2∠ABC=2(LABC+∠A), .∠BAC=2∠A. :∠BAC=180°-∠EAC, .∠EAC=180°-2∠A, :∠Q=90°+1∠EAC 2 :∠0=90°+90°-∠4=180°-∠A ◆题型07由三角形的外角性质确定角度之间的关系 典例」精」析 【例13】将一块直角三角板YZ放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边XY,X忆恰好分别经过点 B,C. 图1 图2 (1)如图1，当∠A=45°时，∠ABC+∠ACB= 度，∠XBC+∠XCB=度. (2)如图2，改变直角三角板YZ的位置，使该三角板的两条直角边Y,X忆仍然分别经过点B,C,那么 ∠ABX+∠ACX的大小是否发生变化？若变化，请举例说明，若没有变化，请探究∠ABX+∠ACX与∠A 的关系。 【答案】(1)135,90： (2)不变化，∠ABX+∠ACX=90°-∠A 【分析】 【详解】(1)解：∠A=45°， ∴∠ABC+∠ACB=135°， ∠X=90°， ∴.∠XBC+∠XCB=90° 故答案为：135,90： 26/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)不变化，∠ABX+∠ACX=90°-∠A, ∠X=90°， ∴.∠XBC+∠XCB=90° .∠A+∠ABC+∠ACB=180°. ∴∠ABX+∠ACX=(∠ABC-∠XBC)+(∠ACB-∠XCB) =(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A 【例14】如图，△ABC是一个三角形的纸片，点D,E分别是△ABC边AB,AC上的两点. B A 图(1) 图(2) 图(3) (I)如图(I),如果沿直线DE折叠，且DE⊥AC,则∠BDA'与∠A的关系是： (2)如图(2)，如果沿直线DE折叠后A落在四边形BCED内部，探究∠BDA,∠CEA和∠A的关系，并 说明理由， (3)如果折成图(3)的形状，探究∠BDA',∠CEA和∠A的关系，并说明理由. 【答案】(I)∠BDA'=2∠A (2)∠BDA'+∠CEA'=2∠DAE,理由见解析： (3)LBDA'-∠CEA'=2∠A,理由见解析 【分析】 【详解】(1)解：∠BDA'=2LA, 理由：：△ABC沿直线DE折叠，且DE⊥AC, A点落在CE上，如图(1)， ∴.∠A=∠AA'D, ∴.∠BDA'=∠A+∠AA'D=2∠A: 故答案为：∠BDA'=2LA: (2)解：∠BDA'+∠CEA'=2∠DAE. 理由：连接AA',如图， 27/58 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A'✉- 王3A ∠BDA=I+∠2，∠CE.A'=∠3+∠4， ∴.∠BDA'+∠CEA'=∠1+∠3+∠2+∠4=∠DAE+∠EA'D, 又：∠DAE=∠EA'D, :.LBDA'+∠CEA'=2∠DAE: (3)解：∠BDA'-∠CEA=2LA, 理由：如图(3)，由翻折可得：∠A'=∠A,∠DEA'=LDEA,∠A'DE=∠ADE, :(ZA'+∠A'DE+∠A'ED)+(∠A+∠ADE+∠AED)=I80°+180°， (∠A'+∠A+(∠DEA'+∠DEA)+(LA'DE+∠ADE)=360° :.2∠A+(180°+∠CEA)+(180°-∠BDA')=360°， .2∠A+∠CEA'-∠BDA=0. ∴.∠BDA'-∠CEA=2LA. 变1式1巩1固 【变式7-1】如图1，BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,且BE、CE交于点E. D 图1 图2 图3 (1)求证：∠BEC=90+∠4 (2)如图2，若BE、CE是△ABC两外角的平分线且交于点E,则∠BEC与∠A的关系是 (3)如图3，若BE、CE是∠ABC和∠ACD的平分线且交于点E,则LBEC与LA的关系是 【答案】(1)见解析 a4E=0-4 28/58 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E4 【分析】 【详解】(1)证明：：BE、CE是△MBC两内角的平分线且交于点E, .∠A=180°-（∠ABC+∠ACB) ∠ABC+∠ACB=180°-∠A ∠E=180-2ABc+∠4c8=180-0s0-∠0=90+34， 2 即∠BEC=90°+∠4 2 (2)如图， B 0 是两外角的平分线， 图2 .BE CE 2-<c8D,2458cr, 而∠CBD=∠A+∠ACB,∠BCF=∠A+∠ABC, 2-=A+∠4c,4=A+ZiBg. 2 ∠E+∠2+∠4=180°， ∠E+4+4C+4+Z4a0=180,即∠E+A+A+4c8+∠A80)=180 :∠A+∠ACB+∠ABC=180°， ∠E+1∠A=900】 (3)如图 E B迈 3 D.'∠ACD=∠A+∠ABC 29/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠3=（∠A+∠ABC. 又∠4=∠E+∠2， E+2-4+M0, :BE平分∠ABC, A∠2=∠ABC, 2 ic+E-A+AO. .2 E=4 【变式7-2】(1)如图1，△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A,则I+∠2= (2)如图2，在△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成为四边形，则∠1+∠2= (3)如图2，根据(1)和(2)的求解过程，请归纳∠1+∠2与∠A的关系是 (4)若没有剪去∠A,而是将∠A折成如图3的形状，试探究∠I+∠2与∠A的关系，并说明理由. 图1 图2 图3 【答案】(1)270°：(2)220°：(3)∠1+∠2=180°+∠A:(4)∠1+∠2=2∠A 【分析】 【详解】解：(1)四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90 ∴∠1+∠2=360°-（∠A+∠B)=360°-90°=270° ∴.∠1+∠2等于270° 故答案为：270°： (2)∠1+∠2=180°+40°=220°， 故答案为：220°： (3)根据(1)和(2)的求解过程可知： 30/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A: 故答案为：∠1+∠2=180°+∠A: (4):△EFP是由△EFA折叠得到的， ∴∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF ∴.∠1=180°-2∠AFE,∠2=180°-2∠AEF .∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF) 又：∠AFE+∠AEF=180°-∠A, .∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A 【变式7-3】(I)阅读并填空：如图1，BDCD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线，则：∠D 与∠A之间的等量关系是 (2)探究，请直接写出结果，并任选一种情况说明理由： (i)如图2，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，试探究∠D与∠A之间的等量关 系 答：∠D与∠A之间的等量关系是」 (i)如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，试探究∠D与∠A之 间的等量关系， 答：∠D与∠A之间的等量关系是 图1 图2 图3 【答案】(D=905A,(②)0D=0-A:理由见解折；(m)D-4,理由见解折 【分析】 【详解】解：(I)BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线， 1-5<8c,2=40B. -2 31/58 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :I+∠2=)（∠ABC+LACB), 2 :∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°， ∴2D=-180-A-2=180-(248c+∠4c8), :D=90+34, 2 故答案为：D=90+兮4； (2)(i):BD,CD分别是△ABC的两个外角∠EBC,∠FCB的平分线， ∴2D8C=E8c-(2A+∠4C).DcB=PB-A+ZABc), :∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴.∠D=180°-∠DBC-∠DCB (FC8) -10-08+2A -90°-∠A, 2 故答案为：D=904 (ii):BD,CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线， ∴2D8c-ABc,∠DcE=ACE, :∠DCE=∠D8C+∠D-ABc+∠D,∠ACE=∠A+∠ABC DcE-4cE-+24c)-A+48c, Ac+/n4+4c 2 &D=∠A 2 <4 1 ∠D= 故答案为： 32/58 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 >题型08与三角形的外角性质有关的规律探究 解题贴士 1.分步求值法：先代入前几组特殊角度算出结果，观察数值变化总结通用规律； 2设参推导法：设基础角为参数，结合外角定理推导通用代数式，验证猜想， 3多层迭代类探究题，找到外角循环变化规律，总结通用公式。 典1例1精1析 【例15】如图，∠MON=30°，点4,4,4，A…在射线ON上，点B,B,B…在射线OM上， △A4BA,△A,B,4,△A,B,4…均为等边三角形，以此类推，若OA=1,则△A26B2026A027的边长为 （) M B B. B 0A1A2 A3 A N A.2026 B.22026 C.2202s D.2025 【答案】C 【详解】解：由题意得：∠B44,=60°， :∠MON=30°，∠MON+∠AB,O=∠B,AA, 、.∠AB,0=30°=∠M0N, :.AB=O4=1,即△AB42的边长为1=2°： 同理可得：∠A,B,0=30°=∠MON, .4,B,=04+A4,=1+1=2,即△4，B4的边长为2=2： ∠A,B,0=30°=∠MON」 A,B,=0A+A4,+4,4,=1+1+2=4,即△4，B4的边长为4=22： ∴.△42026B2026A2027的边长为22025， 故选：C 33/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例16】如图在第一个△ABC中，∠B=26,AB=BC,在边4B上任取一点D,延长CA到4，使 A4,=4D,得到第二个△A4,D,再在边4，D上任取一点E,延长A4到4，使A,4,=A,E,得到第3个 △A,4,E…,如此类推，可得到第n个等腰三角形.则第(n+)个等腰三角形中，以A1为顶点的底角的度 数为() ·Ad A3 .26°B 26° 779 【答案】D 【详解】解：：△4BC中，∠B=26°，AB=BC, ∠B4C=180,B=7. 2 A4=AD, .∠AAD=∠ADA. :∠AA,D+∠ADA,=∠BAC. A4D=4D4=B4C=- ×77°。 .A=AE .∠4A,E=∠A,EA, ∠A,A,E+∠A,EA=∠AAD, 44=44-44D-*m-×m-(日m “? 第(+)个等腰三角形中，以A,为顶点的底角的度数为 77°， 故选：D 变|式巩1固 34/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式8-1】如图，BA和CA分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA是∠ABD的角平分线，CA, 是∠ACD的角平分线，BA是∠A,BD的角平分线，CA是∠A,CD的角平分线，若∠A=Q，,则∠A26为 3A3 B- D 【答案】22msa 【详解】解：：BA和CA分别是△ABC的内角平分线和外角平分线， ∠AD-5∠4BC,∠4CD=4CD, 又.∠ACD=∠ABC+∠A,∠ACD=∠ABD+∠A, (Cc. 44, 同理可得：424=京∠4， 44, 1 则406=2晒∠A, ∠A=a, .∠A=2a, 1 1 ∠40a6=2s×2a=22sa. 【变式8-2】如图，∠MON=30°，点44,4，…在射线ON上，点B、B2B…在射线OM上 △4BA,△4，B,4,△4B,A…均为等边三角形，依此类推，若OA=1,则△A2Bs46的边长为 35/58 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B3∠M B2 B A A2 A3 A W 【答案】22024 【详解】解：：△4B4为等边三角形， .∠B44=60°，AB=44, .∠MON=30°， :.∠AB,0=∠B,A4,-∠M0N=30°=∠MON, ..A B=OA. .AB=A4=0A=2°0A, B3∠M B, B o- 同理可得A,B2=AA,=OA,=2.OA. .A,B=A4=22.0A,AB=A4=2.0A, … 4B=44=204. 0A=1, 当n=2025时，A02sB25=2025-1.0A=22024 故答案为：22024 刷好题 课时巩固精炼 ©基础通关 1.小明在学习三角形的知识时，得到下面两个结论： 36/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 甲：如果△ABC的一个外角等于它的一个内角，那么△ABC是直角三角形： 乙：如果△ABC的任意两个内角的和都大于第三个内角，那么△ABC是锐角三角形. 关于这两个结论，以下判断正确的是() A.甲对乙错B.甲错乙对 C.甲乙都对 D.甲乙都错 【答案】C 【详解】解：甲：：三角形任意一个外角与它相邻的内角和为180°， “若外角等于相邻内角，则两个角都为90°，故三角形是直角三角形： 若外角等于不相邻内角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和， ∴，另一个不相邻内角为0°，不符合三角形定义，不存在这种情况，故甲结论正确： 乙：设aABC中最大内角为∠C,则∠C≥∠A,∠C≥∠B, ,任意两个内角和大于第三个内角， ∠A+∠B+∠C=180°， .∠A+∠B=180°-∠C,代入得180°-∠C>∠C, .∠C<90°， ∴.三角形三个内角都小于9O°，△ABC是锐角三角形，故乙结论正确. 综上，甲乙都对 2.如图，若AB‖CD,∠A=80°，∠E=36°，则∠C的度数为() B A.36° B.44° C.50° D.54° 【答案】B 【详解】解：：AB‖CD,∠A=80°， .∠EFD=∠A=80°， :∠EFD=∠C+∠E,∠E=36° .∴.∠C=44° 37/58 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D -B 3.将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=50°，那么 ∠BAF的大小为() C D B A A.10° B.15° C.20° D.30° 【答案】C 【详解】解：DE‖AF,∠CDE=50°， :.∠AFC=∠CDE=50°， .∠BAF=∠AFC-∠B=20° 4.如图，己知直线m∥n,∠1=45°，∠2=25°，则∠3的度数为() 1 -m 30 12 A.50° B.60° C.70° D.80° 【答案】C 【详解】解：如图，设直线n与截线的夹角为∠4 m 3 12 4 -n m/n,∠1=45 .∠4=∠1=45° :∠3是三角形的外角 .∠3=∠2+∠4 :∠2=25° 38/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠3=25°+45°=70° 5.如图1是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示.若AB∥CD,BC与AD相交于点O, 点F在DA的延长线上，∠FAB=115°，∠AOB=60°，则∠BCD的度数是() D 图1 图2 A.45° B.50° C.55° D.60° 【答案】C 【详解】：∠FAB=115°，∠AOB=60° .∠B=∠FAB-∠AOB=115°-60°=55° AB∥CD, .∠BCD=∠B=55° 6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P, 点F为焦点.若∠1=165°，∠2=25°，则∠3的大小为() A40° B.50° C.55 D.65° 【答案】A 【详解】解：，AB∥OF,∠1=165° .∠1+∠BF0=180° .∠BF0=180°-165°=15°， .∠P0F=∠2=25°， .∠3=∠P0F+∠BF0=25°+15°=40° 7.三角形的一个外角等于100°，与它不相邻的一个内角为40°，则另一个不相邻内角为。 【答案】60 【详解】解：：三角形的一个外角等于100°，与它不相邻的一个内角为40°， 39/58 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .另一个不相邻内角为100°-40°=60° 8.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC, ∠A=45°，∠1=52°，则∠2=度. DA 2 【答案】97 【详解】解：根据题意，得∠DEC=∠A+∠1， 又∠A=45°，∠1=52° 故∠DEC=∠A+∠1=97°， .DE∥BC, ∠2=∠DEC=97° 9.如图，在。4BC中，分别以点4'点B为圆心，大于2AB长为半径画弧，两弧分别交于点M和点N, 连接MN,直线MN与AC交于点D,连接BD,若BD=BC,∠C=7O°，则∠A的度数是 【答案】35°135度 【详解】解：由作图可知MD是AB的垂直平分线， .AD=BD, ∠A=∠ABD, :∠BDC是△ABD的外角， .∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A, :BD=BC,∠C=70°， 40/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠C=∠BDC=2∠A=70°， .∠A=35° 10.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，∠A=40°，∠BDC=70°. B (I)求∠ABD的度数： (2)求∠C的度数. 【答案】(I)∠ABD=30 (2)∠C=80° 【详解】(1)解：∠A=40°，∠BDC=70° .∠ABD=∠BDC-∠A=70°-40°=30°： (2)解：，BD是∠ABC的角平分线，∠ABD=30°， ∠ABC=2∠ABD=60°， ∠A=40°， .∠C=180°-∠ABC-∠A=180°-60°-40°=80° 11.如图，已知AD‖BC,ABIICD, A E C (1)求证：∠1=∠2： (2)如图，点E是线段BC上一点，若∠ADE=2∠CDE,且∠DEC=30°，求∠B的度数. 【答案】(1)见解析 (2)45° 【分析】 【详解】(1)证明：：AD川BC, .∠B=∠1， 41/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB‖CD, .∠2=∠B .∠1=∠2： (2)解：：AD川BC, :.∠ADE=∠DEC=30°， :∠ADE=2∠CDE. .2∠CDE=30° 解得∠CDE=15°， ·.∠2=∠DEC+∠CDE=30°+15°=45°， .∠B=∠2=45° 12.如图，点D在△ABC边BC上，AC与DE交于点O,且AB=AD,∠C=∠E,∠BAD=∠CAE. ○ (I)求证：BC=DE: (②)若∠B=75°，∠C=40°，求∠C0E的度数. 【答案】()见解析 (2)70° 【分析】 【详解】(1)证明：，∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE, 在△ABC与△ADE中， AB=AD ∠BAC=∠DAE. ∠C=∠E ,△ABC≌△ADE(AAS) .BC=DE 42/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由(1)知，△ABC≌△ADE,则∠ADE=∠B=75° AB=AD. ∴.∠ADB=∠B=75° ∴.∠CDO=180°-∠ADB-∠AD0=30° .∠COE=∠C+∠CD0=70° ©素养提升 3.定义：经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个 三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”.在△ABC中，∠BAC=20°，若存 在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，则∠B的度数不可能是() A】20° B A.20° B.40° C.70° D.100° 【答案】A 【详解】解：如图a, 420° D 图a 当AD=CD时， 则∠ACD=∠A=20°， ∴.∠CDB=∠ACD+∠A=40°， ,①当cD=D时，∠B=∠BCD-180240=70, 2 ②当CD=BC时，∠B=∠CDB=40°： ③当BD=BC时，∠B=180°-40°-40°=100°： 如图b, A120° 图b 当AC=AE,CE=BE时， 43/58 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠A=20°， ∠ACE=∠AEC=180°-20 =80°， 2 .∠B=∠BCE=40°； 如图c, C E 图c 当AC=CE,CE=BE时， ∠A=20°， ∴.∠AEC=∠A=20°， .∠B=∠BCE=10°： 综上所述，∠B的度数为70°或40°或100°或10° 14.如图，ABIICD,E是平面内一点，连接EB,EC,∠ABE的平分线与∠DCE的平分线交于点F. 若∠BFC=115°，则∠E的度数为 D 【答案】50°/50度 【详解】解：设BE与CD交于点K, ABIICD .∠ABE=∠CKE, 设∠ABE=2a,∠DCE=2B,则∠CKE=2a, :BF平分∠ABE,CF平分∠DCE, ∴∠FBE=<ABE=a,∠PcE=5<DcE=B, 在aCKE中，∠CKE+∠DCE+∠E=180°， ∴.2a+2B+∠E=180°，即2(a+B)=180°-∠E」 延长BF交CE于点G, 44/58 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BFC是△CFG的外角， .∠BFC=∠FGC+∠FCE, :∠FGC是△BGE的外角， .∠FGC=∠FBE+∠E, .∠BFC=∠FBE+∠E+∠FCE, :∠BFC=115°， ∴.115°=a+B+∠E,即a+B=115°-∠E, ∴.2(115°-∠E)=180°-∠E 解得：∠E=50° 15.如图，在ABCD中，点E是边BC延长线上一点，且BC=CE. (I)求证：四边形ACED为平行四边形： (2)连接BD,添加一个与线段CD有关的条件 使得∠BDE为直角.（不需要证 明)· 【答案】(I)证明：在口ABCD中，AD∥BE,AD=BC, ..BC=CE, .'AD=CE. ∴.四边形ACED为平行四边形. (②)AD=CD或BC=CD或CE=CD(答案不唯一) 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：以AD=CD为例： ,四边形ACED为平行四边形， 45/58 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=CE, 又，AD=CD, ..CD=CE, ∠CDE=∠CED, ..BC=CE, .BC=CD. .∠DBC=∠BDC, 设∠DBC=∠BDC=a&, .∠DCE=∠DBC+∠BDC=2a, :∠CDE=∠CED=180°-，DCE_180,2a=90°-a. 2 2 :.∠BDE=∠BDC+∠CDE=a+90°-a=90°， 即∠BDE为直角， I6.如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD,点E,F在线段AD上，连接BE,CF,满足 BE=AF,∠BED=∠DFC=∠BAC, B (I)求证：AE=CF: (2)若∠ACF=15°，∠CAD=2∠BAD,∠ABC=∠ACB,请求出LBDE的度数. 【答案】(I)证明：：∠BED=∠DFC, .180°-∠BED=180°-∠DFC, ∴.∠BEA=∠AFC, ∠BED=∠BAC, .∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠CAF, ∴.∠ABE=∠CAF, 在△ABE和△CAF中， 46/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BEA=∠AFC BE=AF ∠ABE=∠CAF .AABE2△CAF(ASA), :.AE=CF (2)∠BDE=97.5° 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：△ABE≌△CAF ∴.∠BAE=∠ACF=15O .∠CAD=2∠BAD=30° ∴.∠BAC=∠BAD+∠CAD=45 ·∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠ABC=∠ACB, ∠4cB=x080-459)=67.5° ∴.∠BDE=∠CAD+∠ACB=30°+67.5°=97.5° 17.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点E. E B B Q 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A=70°，求∠E的度数： (2)如图2，在(1)的条件下，延长AB至点F,∠DBF的平分线与∠ACD平分线的反向延长线相交于点 G,求∠G的度数： (3)如图3，若点P为BA的延长线上一动点（不与点A重合），连接PC,∠APC和∠ACP的平分线相交于 点2.试探究：在点P运动的过程中，∠Q与LE是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明： 若不存在，请说明理由， 【答案】(1)35 (2)55° 47/58 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)∠0+∠E=180°，理由如下： :PD平分LAPC,CQ平分∠ACP, :∠QPC=)∠APC,∠QCP=)∠ACP, 21 2 :.∠Q=180-(∠QPC+∠QcP)=180°-（∠APC+∠AcP), :∠BAC=∠APC+∠ACP, k0=180-号B1C, 由（可得：∠E-(ACD-∠ABC)-∠BAC, .∠Q=180°-∠E. .∠Q+∠E=180° 【分析】 【详解】(I)解：：BE平分∠ABC,CE平分∠ACD, :∠EBC=ABC,∠BCD4CD, E=∠Bc0-∠Ec-4cn-4Bc-icn-乙ic. :∠A=∠ACD-∠ABC=70°， :B=4-w=9 (2)解：，BE平分∠ABC,BG平分∠DBF, &∠EBC=5∠ABC,∠DBG=DBF, ∠BG∠Bc+∠D8G=48c+号DiF-aBc+D8P)-18r=0, ,由(1)知∠E=35°， .∠G=90°-∠E=55° (3)略 18.在△ABC中，∠ABC=∠ACB=40°，点D在直线BC上（点D不与端点B,C重合）· 48/58 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B D B 图① 图② 备用图 (I)如图①，当点D在线段BC上时，连接AD,作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E. ①若∠BDA=110°，则∠EDC=°，∠BAD=_: ②当点D在线段BC上运动时，试猜想∠BAD与∠EDC的数量关系，并说明理由： (②)如图②，当点D在CB的延长线上时，连接AD,作∠ADE=40°，DE交直线AC于点E,若∠BAD=15°， 请直接写出∠AED的度数， 【答案】(I)D30,30:②∠BAD=∠EDC 理由：在△ABD中 :∠BAD+∠B+∠ADB=180°，∠B=40° .∠BAD=180°-∠B-∠ADB, =180°-40°-∠ADB. =140°-∠ADB :∠EDC+∠ADE+∠ADB=180°，∠ADE=40° ∴.∠EDC=180°-∠ADE-∠ADB, =180°-40°-∠ADB, =140°-∠ADB .∠BAD=∠EDC. (2)75°或25 【分析】 【详解】(1)解：①：∠ABC=∠ADE=40°， .∠BAD+∠ADB=180°-∠ABC=140°，∠ADB+∠EDC=180°-∠ADE=140°， ∴.∠BAD=∠EDC. 又，∠BDA=110°， .∠BAD=∠EDC=180°-∠ABC-∠BDA=30°： ②见答案， (2)解：当点E在线段CA的延长线上，如图1所示， 49/58 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 图1 :∠ABC=∠ACB=40° ∴.∠BAE=∠ABC+∠ACB=80°， 又：∠BAD=15°， .∠DAE=∠BAE-∠BAD=65°， ∠ADE=40°， .∠AED=180°-∠DAE-∠ADE=75°： 当点E在线段AC的延长线上，如图2所示， D 图2 ∠ABC=∠ACB=40°， .∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=100°， 又：∠BAD=15°， .∠DAE=∠BAE+∠BAD=II5° .∠ADE=40°， ∴.∠AED=180°-∠DAE-∠ADE=25° 19.如图，在△ABC中，BM平分∠ABC. 图1 图2 图3 (L)如图L,BM交边AC于点M,若∠BMC=80°，∠MBC=40°，求∠A的度数： (2)如图2，点D在边BC的延长线上，BM交∠ACD的平分线于点M,求证：∠A=2∠M; (3)如图3，在(2)的条件下，若∠ACB=60°，∠MBC的平分线BN交AC于点N,若∠A=a,请直接写 50/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 出∠BNC的度数（用字母a表示）. 【答案】(1)40 (2)证明：，BM平分∠ABC,CM平分∠ACD, :∠Msc-ABc,∠MD-AcD. :∠ACD=∠ABC+∠A, :∠MCD=,∠ABC+5∠A, 1 2 ,∠MCD=∠MBC+∠M, ∠Bc+∠M-4Bc+A,pic+2MAc+5A, 2 2 :M=A,即∠A=22M 1 3)90°+40 【分析】 【详解】(1)解：：BM平分∠ABC, ∠ABM=∠MBC=40° ·∠BMC=80°，∠BMC=∠ABM+∠A, ∠A=40°： (2)略 (3)解：：∠ACB=60°，∠A=a,∠A+∠ABC+∠ACB=180°， .∠ABC=180°-60°-a=120°-&， :BM平分∠ABC, .∠MBC= ∠ABC=600- 2 2, :BN平分∠MBC, ∠Cv-∠wc=0-a. 2Bc-1o-∠4c8-∠c8w=10-60-(3r-9r+a 腿迁移创新 51/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.如图，点D,E分别在△ABC的边AB,AC上，连接CD,F为CD上一点， (I)从①∠I=∠B,②DE∥BC,③AB∥EF这三个信息中，选择两个作为条件、剩余的一个作为结论. 组成一个真命题并说明理由； 你选择的条件是 ,结论是 ；(填写序号即可) (2②)在(1)的题设下（选出任意两个条件），若DE平分∠ADC,∠ACB=2∠B,∠DFE=108°，求 ∠DEC的度数. 【答案】(1)条件①②结论③：条件①③结论②：条件②③结论① (2)108 【分析】 【详解】(1)解：条件①②结论③时，理由如下： DE∥BC, .∠B=∠ADE, ∠1=∠B, .∠I1=∠ADE, .AB∥EF. 条件①③结论②时，理由如下： AB∥EF, .∠1=∠ADE, ∠1=∠B, .∠B=∠ADE, .DE∥BC. 条件②③结论①时，理由如下： DE∥BC, .∠B=∠ADE, :AB∥EF, 52/58 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠1=∠ADE, ∠I=∠B (2)解：情况1：在①②的条件下， DE∥BC, .∠B=∠ADE, ∠1=∠B, .∴.∠1=∠ADE=∠B DE平分∠ADC, .∠ADE=∠EDF .∠I=∠ADE=∠B=∠EDF, DE∥BC, .∠EDF=∠DCB. ∴∠I=∠ADE=∠B=∠EDF=∠DCB :∠ACB=2LB,∠ACB=∠DCB+∠ECD,∠B=∠DCB=∠I .∠ECD=∠B=∠I」 :∠DFE=∠ECD+∠FEC,∠DEC=∠I+∠FEC,∠ECD=∠I ∴.∠DEC=∠DFE=108° 情况2：在①③的条件下， AB∥EF, ∴.∠I=∠ADE, ∠1=∠B, .∠B=∠ADE=∠I, .DE∥BC, .∠EDF=∠DCB, DE平分∠ADC, .∠ADE=∠EDF, .∠I=∠ADE=∠B=∠EDF, :∠EDF=∠DCB ∠I=∠ADE=∠B=∠EDF=∠DCB, ∠ACB=2LB,∠ACB=∠DCB+∠ECD.∠B=∠DCB=∠I 53/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ECD=∠B=∠I」 .∠DFE=∠ECD+∠FEC,∠DEC=∠I+∠FEC,∠ECD=∠I .∠DEC=∠DFE=108° 情况3：在②③条件下， DE∥BC, ∴.∠B=∠ADE,∠EDF=∠DCB. AB∥EF, .∠1=∠ADE, .∠I=∠B=∠ADE. DE平分∠ADC, .∠ADE=∠EDF, ∴.∠I=∠ADE=∠B=∠EDF, :∠EDF=∠DCB, .∠I=∠ADE=∠B=∠EDF=∠DCB. :∠ACB=2∠B,∠ACB=∠DCB+∠ECD,∠B=∠DCB=∠I ∴.∠ECD=∠B=∠I :∠DFE=∠ECD+∠FEC,∠DEC=∠I+∠FEC,∠ECD=∠I .∠DEC=∠DFE=108° 21.一张直角三角形纸片ABC,∠BAC=90°，其中∠ACB=∠ABC=45°，点D,E分别在边BC,AC上. 将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为点C'.∠AEC'记为∠I,∠BDC'记为∠2，我们来探究∠I和∠2的 数量关系. A B B E D E 2>C D D 图1 图2 图3 先从特殊情况探究： (I)如图1，若CD∥AB,则∠1=°，∠2= °，由此可得：∠2-∠1=°： 再探究一般情况： 54/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，若点C落在直角三角形纸片ABC内，请你猜想∠I与∠2的数量关系，并说明理由： (3)如图3，若点C'落在直角三角形纸片ABC外，请直接写出∠I与∠2的数量关系 【答案】(1)45,135,90 (2)∠1+∠2=90°，理由如下： 如图，延长EC'交BC于点F, .1=∠ACB+∠4，∠4=∠3-∠2， 由折叠知∠ACB=∠3=45°， ·∠1=∠ACB+∠4=∠ACB+∠3-∠2=45°+45°-∠2=90°-∠2， ∴.∠1+∠2=90° (3)∠1-∠2=90° 【分析】 【详解】(1)解：如图， 2 D 由题意可得，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°， 由折叠可得，∠DCE=∠ACB=45°， C'D∥AB .∠2+∠ABC=180°，∠BAC+∠AFD=180°. ∴.∠2=180°-∠ABC=135°，∠AFD=180°-∠BAC=90°， ∠C'FE=∠AFD=90°， .∠1+∠DCE=90°， .∠1=45°， 55/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠2-∠1=135°-45°=90° (2)略 (3)解：如图， B ②C D 由折叠的性质可得LCED=∠CED,∠CDE=∠C'DE,∠C'=∠C=45° 由题意知，∠I+∠CED+∠C'ED=180°①，∠CDE+∠CDE-∠2=180°②， :∠C=45 .∠CED+∠CDE=135°， ∴∠CED+∠C'ED+∠CDE+∠C'DE=270°， ①+②整理得，∠1-∠2=90°， ∴∠1-∠2=90° 22.【定义】如果两个角的差为36°，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金 角”.例如：a=76°，B=40°，a-B=36°，则a和P互为“黄金角”，即u是P的“黄金角”，B也 是的“黄金角”. B 7 E E A 2 D D 图1 图2 图3 (1)已知∠1和∠2互为“黄金角”，且∠1>∠2，若∠1和∠2互余，则∠1= (2)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是∠BAC的角平分线，过C作CP∥AB,射线CN平分∠BCP 且与射线AE交于点N,若∠ANC与∠B互为“黄金角”，求∠B的度数： 3)如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部A处，已知∠B=70°，∠C=80°.若 ∠1和∠2互为“黄金角”，求∠1的度数： (4)如图3，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外部A'处，若∠I和∠2互为“黄金角”， 求∠A的度数， 56/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)63 (2)∠B的度数为81°或9 (3)∠1的度数为48°或12° 4∠A=18° 【分析】 【详解】(1)解：：∠1和∠2互为“黄金角”，且∠1>∠2，若∠1和∠2互余， 「∠1-∠2=36° ∠1+∠2=90° ∠1=63° 解得1∠2=27： (2)解：，在△ABC中，∠ACB=90°， .∠BAC=90°-∠B, :AE是∠BAC的角平分线， 2C4E-3B4C-90-∠8)=45-3B, :CP∥AB, ∠BCP=∠B :射线CN平分∠BCP ∠BCN=BcP-B, :∠AWC与∠B互为“黄金角”， .当∠B-∠ANC=36时，∠ANC=∠B-36°， ,∠CAW+∠ACW+∠ANC=180°， 45-号B+90+5B+B-36=180 2 .∠B=81°： 当∠ANC-∠B=36°时，∠AWC=∠B+36°， :∠CAW+∠ACN+∠ANC=180°， 45-号890+8+2B+36-180. LB=9°： 综上所述，∠B的度数为81°或9°： 57/58 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：，∠B=70°，∠C=80°， .∠A=180°-∠B-∠C=30°， ∴.∠AED+∠ADE=180°-∠A=150°， 由折叠得，∠AED=∠AED,∠ADE=∠ADE, ∴.∠A'ED+∠A'DE+∠AED+∠ADE=300°. .∠1+∠2=180°+180°-300°=60°， ,∠1和∠2互为“黄金角”， ∠1+∠2=60° 当∠1-∠2=36时， 联立得， ∠1-∠2=36°， ∠1=48° 解得1∠2=12 ∠1+∠2=60° 当∠2-∠1=36时， 联立得， ∠2-∠1=36° [∠1=12° 解得1∠2=48： 综上所述，∠1的度数为48°或12°： (4)解：如图，设AD与AB交于点F, A B D 由折叠得，∠A=∠A, .∠EFD=∠A'+∠I=∠A+∠1， ∴.∠2=∠A+∠EFD=∠A+∠A+∠I=2∠A+∠1 .∠2-∠1=2∠A, :∠1和∠2互为“黄金角”，∠2>∠1 .∠2-∠1=36°，2∠A=36°， .∠A=18°. 58/58