第一章 集合与常用逻辑用语单元测试卷-2025-2026学年高一数学上学期人教A版2019必修第一册

高一上学期数学单元检测卷 第一章 集合与常用逻辑用语 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，则的子集的个数是（    ） A．15 B．8 C．7 D．16 2.命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3.设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知集合，集合，则（   ） A． B． B． C． D． 5.如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．集合间的关系是（   ） A． B． C． D． 7.已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8.已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知集合，，，若，则实数可以是　　 A．3或2 B．1 C．0 D． 10.下列命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 11.已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（    ） A．① B．② C．③ D．以上说法都不对 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若，，则是的 条件.（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个你认为正确的填在横线处） 13.命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 ． 14．学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田赛和径赛的有　　人． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 16．（15分） 已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 18．（17分） 已知命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是假命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，其中，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 19．（17分） 笛卡尔积是集合论中的一个基本概念，由法国数学家笛卡尔首次引入.笛卡尔积在计算机科学、组合数学、统计学等领域中有广泛的应用.对于非空数集，定义且，将称为“与的笛卡尔积”. (1)若，，求. (2)若集合是有限集，将的元素个数记为.已知是非空有限数集，，且对任意的集合恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时，和满足的关系式及应满足的条件. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期数学单元检测卷 第一章 集合与常用逻辑用语 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，则的子集的个数是（    ） A．15 B．8 C．7 D．16 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，结合子集个数公式进行求解即可. 【详解】因为，所以由， 所以的子集的个数是， 故选：D 2.命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由命题否定的定义即可得解. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，故命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 3.设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由可得或，即可判断. 【详解】由可得或， 又 或 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选: 4.已知集合，集合，则（   ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先要解出集合和集合，再求出集合在全集下的补集，最后求. 【详解】对于集合，解不等式，即. 解得集合，或.   对于集合，解得集合. 假设全集，所以. 就是求和的交集，，，取交集得. 故选：B. 5.如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据取整函数的定义，结合特列法以及充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】如果，那么和的整数部分是相同的，所以， 即“”是“”的必要条件， 如果，那么和的整数部分不一定相同， 例如，所以“”不是“”的充分条件. 综上，“”是“的必要不充分条件. 故选：B. 6．集合间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合 ， ，再判断. 【详解】因为 ， ，， 所以，则，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 7.已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据已知命题的真假求出相应参数的取值范围，即可求得答案. 【详解】由题意知命题：“”为全称量词命题，是真命题， 故，可得； 结合题意知命题：“”为假命题， 则，即无实数解， 则，解得， 综合上述a需满足， 可知实数的取值范围是， 故选：A 8.已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出. 【详解】对于，有，所以； 因为，则或， 而是方程的根， 当时，故，而不是方程的根， 故是方程的唯一根，则， 经检验，当时满足； 当时，则方程有三个不同根， 则当满足，即， 当，则满足；当，则满足； 当满足，即， 必有为方程的根，即，得， 当时，则满足； 当，则满足； 则，故. 故选：A. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知集合，，，若，则实数可以是　　 A．3或2 B．1 C．0 D． 【解析】当时，方程无解，，满足；当时，，因为，所以或，解得或． 故选：． 10.下列命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，由于与互相不能推出，所以A正确; 对于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形， 即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件，所以B错误； 对于C，“关于的方程有实数根”的充要条件是“”，所以C错误； 对于D，因为可以等于零，所以由不能推出，故充分性不成立，由可得且，即必要性成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件，所以D正确. 故选：AD. 11.已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（    ） A．① B．② C．③ D．以上说法都不对 【答案】ABC 各项正误. 【详解】因为集合且，若， 因为，故，故， 又， 故即， 又，故即，故. 对于①：，故①正确； 对于②：，故②正确； 对于③：，故③正确； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若，，则是的 条件.（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个你认为正确的填在横线处） 【答案】既不充分也不必要 【分析】先求得，可判断结论. 【详解】∵，∴. ∵既不能推出，也不能被推出， ∴p是q的既不充分也不必要条件. 故答案为：既不充分也不必要. 13.命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出原命题的否定，转化为恒成立问题，再利用一元二次不等式恒成立问题即可求解. 【详解】依题意，“，”为真命题， 即不等式在上恒成立， 当时，，显然成立， 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田赛和径赛的有　　人． 【解析】设同时参加田赛和径赛的有人，由题意作出维恩图， 结合图形得： ， 解得． 同时参加田赛和径赛的有4人． 故答案为：4． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出时集合，根据定义域可求出集合，再根据并集，补集和交集运算即可求解;（2）首先根据题意得到，再分类讨论的范围，即可得到答案. 【详解】（1）当时，可知集合， 由可知， 所以集合，则 （2）因为，所以可得， 当时，则，解之可得， 当时，，解之可得， 综上可知实数的取値范围为. 16．（15分） 已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出范围，依题意是的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可； （2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以， 解得，即实数m的取值范围是． 17．（15分） 已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，根据一次函数的性质求出的最小值，即可得解； （2）求出命题q为真命题时参数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）命题为真命题，即， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以，即m的取值范围. （2）若命题为真命题，则， 解得或， 若命题p为假命题，则， 因为命题p为假命题且命题q为真命题，所以， 即m的取值范围为. 18．（17分） 已知命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是假命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，其中，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由根的判别式大于0，得到不等式，求出实数的取值集合； （2）根据题意得到⫋，进而得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】（1）若命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题， 则，解得或， 故实数的取值集合. （2）∵“”是“”的充分不必要条件， ∴⫋， 又， 故，等号不能同时取得，解得， 故的取值范围为. 19．（17分） 笛卡尔积是集合论中的一个基本概念，由法国数学家笛卡尔首次引入.笛卡尔积在计算机科学、组合数学、统计学等领域中有广泛的应用.对于非空数集，定义且，将称为“与的笛卡尔积”. (1)若，，求. (2)若集合是有限集，将的元素个数记为.已知是非空有限数集，，且对任意的集合恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时，和满足的关系式及应满足的条件. 【答案】(1) (2)；当时，， 【分析】（1）根据的定义运算，再求交集即得； （2）设 ，则，先化简，再运用基本不等式求的范围，并结合根式分析求解. 【详解】（1）因，， 则， ， 故； （2）设 ， 则（*），， 则当且仅当时，等号成立； 因对任意的集合恒成立，故得，即； 当时，，即， 则由（*）可得，则，故 学科网（北京）股份有限公司 $