第01讲 空间向量及其线性运算（知识详解+5典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（人教A版选择性必修第一册）

第01讲 空间向量及其线性运算（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：空间向量的有关概念 知识点02：空间向量的加减运算 知识点03：空间向量的数乘运算 知识点04：空间向量共线的充要条件 知识点05：空间向量共面的充要条件 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：空间向量的概念辨析 题型02：空间向量的加减运算 题型03：空间向量的数乘运算 题型04：空间向量共线的判定与应用 题型05：空间向量共面的判定与应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】空间向量的有关概念 1．在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)空间向量不能比较大小． (4)空间向量共线不具备传递性(非零向量除外)． 【例1】下列关于空间向量的说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 单位向量的模都相等 C. 相等向量的起点必须相同 D. 相反向量的模不相等 【知识点02】空间向量的加减运算 加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 注意点： (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点． (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用． (3)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即＋＋＋…＋＝. (4)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即＋＋＋…＋＝0. 【例2】在空间四边形中，已知，，，用、、表示向量。 【知识点03】空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 注意点： (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (3)向量λa与向量a一定是共线向量． 【例3】已知空间向量，，且，，求及。 【知识点04】空间向量共线的充要条件 1．对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． 注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定． (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上． 【例4】已知空间向量，，且与共线，求实数的值。 【知识点05】空间向量共面的充要条件 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 【例5】已知空间向量、不共线，，，且与共面，求与满足的关系式。 【题型01】空间向量的概念辨析 【典例1-1】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【典例1-2】（25-26高二上·四川成都·月考）在正方体中，与向量相反的向量是（    ）    A． B． C． D． 【典例1-3】（多选）（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【变式1-1】（25-26高二上·河南郑州·月考）在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）（2026高二下·全国·专题练习）下列说法错误的是（    ） A．零向量没有方向 B．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 C．若空间向量满足，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【变式1-3】（2025高二上·全国·专题练习）在长方体中，，写出由顶点构成的向量中： (1)与模相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与垂直的向量. 【题型02】空间向量的加减运算 【典例2-1】（25-26高二上·云南曲靖·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（多选）（25-26高二上·四川成都·期中）在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（   ） A． B． C． D． 【典例2-3】（25-26高二上·安徽六安·阶段检测）如图所示，正方体，且＝，＝，＝. 用，，表示向量，. 【变式2-1】（25-26高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体中，M为和的交点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·四川绵阳·月考）在空间四边形中，_______． 【变式2-3】（25-26高二上·全国·期末）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 【题型03】空间向量的数乘运算 【典例3-1】（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（多选）（25-26高二上·江西·期中）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（    ）．    A． B． C． D． 【典例3-3】（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 【变式3-1】（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）（24-25高二上·陕西安康·期中）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 【题型04】空间向量共线的判定与应用 【典例4-1】（24-25高二上·河南许昌·月考）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（25-26高二上·重庆·月考）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【典例4-3】（多选）（25-26高二上·全国·期末）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【变式4-1】（25-26高二上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【变式4-2】（25-26高二上·云南迪庆·期末）已知向量，，若，则______． 【变式4-3】（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知向量，，且，则实数k的值为________． 【题型05】空间向量共面的判定与应用 【典例5-1】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【典例5-2】（多选）（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【典例5-3】（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）已知三棱锥中，点平面ABC，若，则__________. 【变式5-1】（25-26高二下·江苏南京·月考）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式5-2】（多选）（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 【变式5-3】（25-26高二上·全国·期中）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 一、核心知识梳理 （一）空间向量的有关概念 1. 定义：空间中具有大小和方向的量，记作、等，核心特征是“大小”和“方向”，与起点位置无关（可自由平移）。 2. 核心相关概念（必记）： 模（长度）：向量的大小，记作，非负实数； 零向量：长度为0的向量，记作，方向任意（易错点：不是没有方向）； 单位向量：长度为1的空间向量，方向可不同（只要模为1即可）； 相等向量：方向相同且模相等的向量，记作，与起点无关； 相反向量：方向相反且模相等的向量，记作，与起点无关。 3. 预习提醒：重点区分“相等向量”与“模相等的向量”，避免混淆。 （二）空间向量的线性运算 本部分是预习重点，运算规则与平面向量一致，可直接推广到空间，核心掌握加减运算和数乘运算。 1. 加减运算（核心法则）： 三角形法则：首尾相接，首尾连（）；减法是加法的逆运算，（终点减起点）； 平行四边形法则：共起点，对角线（若，，则，为平行四边形）； 运算性质：交换律；结合律；。 2. 数乘运算（核心定义+性质）： 定义：实数与空间向量的乘积仍是空间向量，称为数乘向量； 几何意义：① ，与方向相同，模为；② ，与方向相反，模为；③ ，； 运算性质（为实数）：① ；② ；③ ； 预习提醒：数乘运算的符号是易错点，尤其是负数乘向量的方向变化，运算时注意去括号的符号法则。 （三）空间向量的共线与共面判定（重点+难点） 本部分是后续学习空间几何的基础，重点牢记充要条件，理解应用场景。 1. 空间向量共线的充要条件： 核心定理：对空间中两个非零向量、，（共线）的充要条件是：存在唯一的实数，使得； 补充说明：零向量与任意向量共线；若两向量共线，对应空间直线平行或重合； 预习技巧：若向量有坐标，共线等价于对应坐标成比例（可选学，贴合教材拓展内容）。 2. 空间向量共面的充要条件： 核心定理：如果两个向量、不共线，那么向量与、共面的充要条件是：存在唯一的一对实数，使得； 关键前提：、不共线（若共线，则一定共面）； 几何意义：三个向量共面，等价于它们对应的终点与起点共面（可用于判断空间三点共面）。 二、预习易错点总结 1. 概念类易错点：① 零向量方向任意，不是没有方向；② 相等向量、相反向量与起点无关，只看方向和模；③ 单位向量模均为1，方向可不同。 2. 运算类易错点：① 向量减法混淆“起点与终点”，误将写成；② 数乘运算去括号时，符号出错（如误写为）。 3. 定理类易错点：① 共线充要条件忽略“非零向量”前提；② 共面充要条件忽略“不共线”的前提。 三、暑期预习总结 1. 本讲核心：掌握空间向量的基础概念、线性运算（加减、数乘），以及共线、共面的充要条件，是后续学习空间向量数量积、空间角求解的基础； 2. 预习要求：重点记忆核心概念和定理，熟练掌握加减、数乘运算，能简单应用共线、共面条件判断向量关系，无需追求复杂综合题； 3. 衔接提示：本讲知识与平面向量紧密相关，可结合平面向量的运算规则，对比学习空间向量，加深理解，为开学后深入学习做好铺垫。 一、单选题 1．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建福州·期末）在三棱锥中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·月考）已知空间四点共面，但任意三点不共线，若为空间中任意一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏苏州·月考）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·重庆·月考）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 7．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 二、多选题 9．（25-26高二上·河北·期中）关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．（25-26高二上·山东济南·期中）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 11．（24-25高二上·山东·期中）下列说法中正确的是（    ） A． 是共线的充分不必要条件 B．若共线，则 C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 三、填空题 12．（25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 13．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知空间中点，，，，若，，，四点共面，则实数的值为________. 14．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有，的式子表示）．    四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）在棱长为1的正方体中，分别为棱，的中点，为棱靠近点的三等分点，用过点，，的平面截正方体，求截面图形的周长． 16．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 17．（24-25高二上·山东·月考）如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    (1)试用表示． (2)证明：四点共面． (3)证明：三点共线． 18．（2025高二·全国·专题练习）如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 19．（2025高二·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，、、、分别是、、、的中点． (1)化简：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设、交于点，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 空间向量及其线性运算（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：空间向量的有关概念 知识点02：空间向量的加减运算 知识点03：空间向量的数乘运算 知识点04：空间向量共线的充要条件 知识点05：空间向量共面的充要条件 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：空间向量的概念辨析 题型02：空间向量的加减运算 题型03：空间向量的数乘运算 题型04：空间向量共线的判定与应用 题型05：空间向量共面的判定与应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】空间向量的有关概念 1．在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)空间向量不能比较大小． (4)空间向量共线不具备传递性(非零向量除外)． 【例1】下列关于空间向量的说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 单位向量的模都相等 C. 相等向量的起点必须相同 D. 相反向量的模不相等 解析：结合空间向量的核心概念，逐一判断选项： A. 零向量的方向任意，并非没有方向，故A错误； B. 单位向量的定义是“长度为1的向量”，因此所有单位向量的模都为1，均相等，故B正确； C. 相等向量的定义是“方向相同且模相等”，与起点无关，空间中向量可自由平移，故C错误； D. 相反向量的定义是“方向相反且模相等”，因此相反向量的模相等，故D错误。 答案：B 易错提醒：牢记“零向量方向任意”“相等/相反向量与起点无关”，避免混淆概念导致错选。 【知识点02】空间向量的加减运算 加法运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 注意点： (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点． (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用． (3)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即＋＋＋…＋＝. (4)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即＋＋＋…＋＝0. 【例2】在空间四边形中，已知，，，用、、表示向量。 解析：利用空间向量减法法则，结合三角形法则分步推导： 第一步，根据向量减法的逆运算，； 第二步，由三角形法则，； 第三步，代入化简：。 答案： 易错提醒：向量减法需注意“终点减起点”，避免将误写为 【知识点03】空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 注意点： (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (3)向量λa与向量a一定是共线向量． 【例3】已知空间向量，，且，，求及。 解析：利用向量加减运算和数乘运算性质，分步求解： 1. 求：由三角形法则，； 代入得：。 2. 求：先进行数乘运算，再进行减法运算； 第一步，计算：； 第二步，计算：； 第三步，减法运算：。 答案：； 易错提醒：数乘运算分配律应用时，注意符号，避免将误写为。 【知识点04】空间向量共线的充要条件 1．对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示． 注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定． (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上． 【例4】已知空间向量，，且与共线，求实数的值。 解析：利用空间向量共线的充要条件，结合向量坐标对应关系求解： 因为与共线，且，所以存在唯一实数，使得； 代入坐标得：，对应坐标相等，可得方程组： 解得，代入第三个方程得。 答案： 易错提醒：共线条件中“唯一实数”，需保证坐标对应成比例，避免只计算前两个坐标的比例，忽略第三个坐标。 【知识点05】空间向量共面的充要条件 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 【例5】已知空间向量、不共线，，，且与共面，求与满足的关系式。 解析：利用空间向量共面的充要条件，结合已知条件推导： 因为、不共线，且与共面，所以存在唯一实数，使得； 代入已知向量表达式：； 因为、不共线，所以对应系数相等，可得： 消去，由，代入第二个方程得，整理得。 答案： 易错提醒：共面条件的前提是“两个向量不共线”，若忽略此前提，会导致推导逻辑不严谨；同时注意“唯一一对实数”，对应系数需一一相等。 【题型01】空间向量的概念辨析 【典例1-1】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 【典例1-2】（25-26高二上·四川成都·月考）在正方体中，与向量相反的向量是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方体的性质及相反向量的定义，再结合选项，即可求解. 【详解】如图连接，因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且，所以与向量相反的向量是，    故选：A. 【典例1-3】（多选）（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】ACD 【分析】根据零向量概念可判断A；根据相反向量概念可判断B；根据直线方向向量与零向量可判断C；根据相等向量概念可判断D. 【详解】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误； 对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量， 所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确. 故选：ACD 【变式1-1】（25-26高二上·河南郑州·月考）在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用相等向量的定义，结合正方体的几何特征即可求解． 【详解】如图， 在正方体中，由正方体性质可知与相等的向量有. 故选：A 【变式1-2】（多选）（2026高二下·全国·专题练习）下列说法错误的是（    ） A．零向量没有方向 B．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 C．若空间向量满足，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】ABD 【分析】根据零向量的性质、向量相等的条件、向量的模与方向关系等知识点，需要逐一分析每个命题是否符合向量的定义和性质. 【详解】零向量的方向是任意的，并不是没有方向，故A错误． 若两个空间向量相等，方向相同，大小相等即可，起点和终点不需要一定相同，故B错误． 根据传递性，选项C显然正确． 对于D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故D错误． 故选：ABD. 【变式1-3】（2025高二上·全国·专题练习）在长方体中，，写出由顶点构成的向量中： (1)与模相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与垂直的向量. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由长方体体对角线相等，得到与模相等的向量； （2）结合题意，图形及相等向量定义可得答案； （3）由图结合长方体特征可写出与垂直的向量. 【详解】（1）由长方体体对角线相等，可得与模相等的向量有： ； （2）由图，与相等的向量有； （3）由图与垂直的向量有： 【题型02】空间向量的加减运算 【典例2-1】（25-26高二上·云南曲靖·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法法则和数乘运算可得． 【详解】． 故选：B. 【典例2-2】（多选）（25-26高二上·四川成都·期中）在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据向量的加法和减法运算逐一化简即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D错误；    故选：AB 【典例2-3】（25-26高二上·安徽六安·阶段检测）如图所示，正方体，且＝，＝，＝. 用，，表示向量，. 【答案】， 【分析】利用空间向量的加减法即可求解. 【详解】由题意得. ＝＝. 【变式2-1】（25-26高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体中，M为和的交点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得：. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二上·四川绵阳·月考）在空间四边形中，_______． 【答案】 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，. 故答案为：. 【变式2-3】（25-26高二上·全国·期末）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算依次化简求解即可. 【详解】（1）由题意得. （2）由题意得. （3）由题意得 【题型03】空间向量的数乘运算 【典例3-1】（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解 . 【详解】由已知， . 故选：A 【典例3-2】（多选）（25-26高二上·江西·期中）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由空间向量的线性运算进行求解即可． 【详解】对于A，四边形是平行四边形，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD． 【典例3-3】（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 【答案】 【分析】根据向量线性运算规则，用向量表示出，求出参数的值. 【详解】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 【变式3-1】（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 【变式3-2】（多选）（24-25高二上·陕西安康·期中）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可逐项判断得解. 【详解】因为E，F分别为BC，CD的中点，所以由中位线性质可知，故A正确； 若可得，由图可知不共线，矛盾，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 【变式3-3】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算依次化简求解即可. 【详解】（1） （2）； （3）. 【题型04】空间向量共线的判定与应用 【典例4-1】（24-25高二上·河南许昌·月考）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 【典例4-2】（25-26高二上·重庆·月考）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解作答. 【详解】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 【典例4-3】（多选）（25-26高二上·全国·期末）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义可判断A选项；利用向量的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项, 【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，若，则和的模相等，方向不一定相同， 若，则和的模相等，方向也相同， 所以是向量的必要不充分条件，故B为真命题； 对于C，向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：AC. 【变式4-1】（25-26高二上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】应用空间向量加法和数乘运算，再结合四点共面列式计算求解参数. 【详解】以为空间向量的一组基底， 则 ， 因为，则， 因为四点共面，所以，故． 故选：B. 【变式4-2】（25-26高二上·云南迪庆·期末）已知向量，，若，则______． 【答案】 【分析】由列式计算即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 即，解得， 所以. 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知向量，，且，则实数k的值为________． 【答案】/ 【分析】利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标运算，得到方程即可求解. 【详解】由，，则， 因为， 所以，解得， 故答案为： 【题型05】空间向量共面的判定与应用 【典例5-1】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用四点共面可得，由此解得，再利用基本不等式即可求解． 【详解】由题可知，存在实数，使得， 又，，，所以， 解得，，所以， 当且仅当时取等号． 【典例5-2】（多选）（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 【典例5-3】（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）已知三棱锥中，点平面ABC，若，则__________. 【答案】3 【分析】由空间四点共面的向量表示即可求解. 【详解】由题意得，则， 因为A，B，C，D四点共面，所以，解得. 故答案为：3 【变式5-1】（25-26高二下·江苏南京·月考）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 【变式5-2】（多选）（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义、共线向量的定义，结合共面定理逐一判断即可. 【详解】A：因为，，， 所以， 即，所以由共面向量定理可以判断向量，，共面， 因此该选项命题正确； B：假设，所以存在，使得成立， 即， 因为空间向量，，不共面， 所以，显然不成立，假设不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D共面，所以本选项命题正确； D：， 因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D不共面，所以本选项命题不正确. 故选：AC 【变式5-3】（25-26高二上·全国·期中）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】取，，，由向量的线性运算得与，共面可得答案. 【详解】取，，，结合题图及已知， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与，共面，即四点共面. 一、核心知识梳理 （一）空间向量的有关概念 1. 定义：空间中具有大小和方向的量，记作、等，核心特征是“大小”和“方向”，与起点位置无关（可自由平移）。 2. 核心相关概念（必记）： 模（长度）：向量的大小，记作，非负实数； 零向量：长度为0的向量，记作，方向任意（易错点：不是没有方向）； 单位向量：长度为1的空间向量，方向可不同（只要模为1即可）； 相等向量：方向相同且模相等的向量，记作，与起点无关； 相反向量：方向相反且模相等的向量，记作，与起点无关。 3. 预习提醒：重点区分“相等向量”与“模相等的向量”，避免混淆。 （二）空间向量的线性运算 本部分是预习重点，运算规则与平面向量一致，可直接推广到空间，核心掌握加减运算和数乘运算。 1. 加减运算（核心法则）： 三角形法则：首尾相接，首尾连（）；减法是加法的逆运算，（终点减起点）； 平行四边形法则：共起点，对角线（若，，则，为平行四边形）； 运算性质：交换律；结合律；。 2. 数乘运算（核心定义+性质）： 定义：实数与空间向量的乘积仍是空间向量，称为数乘向量； 几何意义：① ，与方向相同，模为；② ，与方向相反，模为；③ ，； 运算性质（为实数）：① ；② ；③ ； 预习提醒：数乘运算的符号是易错点，尤其是负数乘向量的方向变化，运算时注意去括号的符号法则。 （三）空间向量的共线与共面判定（重点+难点） 本部分是后续学习空间几何的基础，重点牢记充要条件，理解应用场景。 1. 空间向量共线的充要条件： 核心定理：对空间中两个非零向量、，（共线）的充要条件是：存在唯一的实数，使得； 补充说明：零向量与任意向量共线；若两向量共线，对应空间直线平行或重合； 预习技巧：若向量有坐标，共线等价于对应坐标成比例（可选学，贴合教材拓展内容）。 2. 空间向量共面的充要条件： 核心定理：如果两个向量、不共线，那么向量与、共面的充要条件是：存在唯一的一对实数，使得； 关键前提：、不共线（若共线，则一定共面）； 几何意义：三个向量共面，等价于它们对应的终点与起点共面（可用于判断空间三点共面）。 二、预习易错点总结 1. 概念类易错点：① 零向量方向任意，不是没有方向；② 相等向量、相反向量与起点无关，只看方向和模；③ 单位向量模均为1，方向可不同。 2. 运算类易错点：① 向量减法混淆“起点与终点”，误将写成；② 数乘运算去括号时，符号出错（如误写为）。 3. 定理类易错点：① 共线充要条件忽略“非零向量”前提；② 共面充要条件忽略“不共线”的前提。 三、暑期预习总结 1. 本讲核心：掌握空间向量的基础概念、线性运算（加减、数乘），以及共线、共面的充要条件，是后续学习空间向量数量积、空间角求解的基础； 2. 预习要求：重点记忆核心概念和定理，熟练掌握加减、数乘运算，能简单应用共线、共面条件判断向量关系，无需追求复杂综合题； 3. 衔接提示：本讲知识与平面向量紧密相关，可结合平面向量的运算规则，对比学习空间向量，加深理解，为开学后深入学习做好铺垫。 一、单选题 1．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的三角形法则计算即可求解. 【详解】. 故选：C. 2．（25-26高二上·福建福州·期末）在三棱锥中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中线向量公式，再结合向量的减法，即可求解. 【详解】    由是的中点，可知， 故选：B 3．（25-26高二上·广东广州·月考）已知空间四点共面，但任意三点不共线，若为空间中任意一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量共面定理建立方程求得结果即可. 【详解】因为， 所以， 空间四点共面，但任意三点不共线， ，解得. 故选：B. 4．（25-26高二下·江苏苏州·月考）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 5．（25-26高二上·重庆·月考）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得存在实数，使得，从而可得结论，右边系数和为1，由此可求得答案. 【详解】由于点P与共面, 三点不共线, 故存在实数，使得， 则, 即， 而，故，解得， 故选：A 6．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，连接，由题设易得，进而得到，再根据四点共面求解即可. 【详解】连接交于点，连接， 在正四棱锥中，且为的中点， 则，，即， 则，即， 则， 由题意，四点共面，则，解得. 故选：A 7．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 8．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 二、多选题 9．（25-26高二上·河北·期中）关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【分析】利用任意向量都与共线来判断A，利用共面定理来判断B，利用空间四点共面定理来判断C，利用空间基底来判断D. 【详解】当时，任意的，都与共线，但与不一定共线，故A错误； 若存在实数、，使得，根据这个式子可判断、、共面，故B正确； 由，满足，则四点共面，故C正确； 若是空间的一个基底，则不共面，假设共面， 则， 因为不共面，所以，此时方程组无解，故假设不成立， 所以不共面， 即也是空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 10．（25-26高二上·山东济南·期中）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 11．（24-25高二上·山东·期中）下列说法中正确的是（    ） A． 是共线的充分不必要条件 B．若共线，则 C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 【答案】ACD 【分析】由向量数量积运算律及共线判定，结合充分必要性定义判断A，利用共线，则直线AB，CD可能重合判断B，利用四点共面的结论判断C，由向量线性运算及共线判定，结合充分必要性定义判断D. 【详解】对于A：由， 此时，共线，充分性成立， 若，同向共线，且，则，显然不成立， 必要性不成立， 所以“”是“共线”的充分不必要条件，故A正确； 对于B：若共线，则直线AB，CD可能重合，故B错误； 对于C：由，且， 根据空间向量共面的推论知四点共面，故C正确； 对于D：（不共线），若， 则，所以， 即，所以三点共线，反之也成立， 所以是三点共线的充要条件，（本选项也可用三点共线的推论）故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 【答案】 【分析】利用空间向量的共面定理建立方程，求解参数即可. 【详解】因为四点共面，所以，解得. 故答案为： 13．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知空间中点，，，，若，，，四点共面，则实数的值为________. 【答案】 【分析】借助空间向量的基本定理计算即可得. 【详解】、、， 由，，，四点共面， 则存在实数，使得， 即有，解得. 故答案为：. 14．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有，的式子表示）．    【答案】 【分析】先求出向量的表达式，再利用中点性质得到，最后通过向量减法求出. 【详解】，因为是的中点， 所以，但，而， 所以. 故答案为： 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）在棱长为1的正方体中，分别为棱，的中点，为棱靠近点的三等分点，用过点，，的平面截正方体，求截面图形的周长． 【答案】． 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用利用空间平面方程求解即可. 【详解】如图，分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系． 因为正方体的棱长为1，所以，，．    设平面的方程为，代入三点坐标得， ，解得，，， 所以平面的方程为， 设截面分别与，，交于点，，， 则由平面方程可得，，， 所以，， 所以截面图形的周长为． 16．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线可得答案； （2）由四点共面设，得出，再由配方求最值可得答案. 【详解】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 17．（24-25高二上·山东·月考）如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    (1)试用表示． (2)证明：四点共面． (3)证明：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量加法计算表示即可； （2）应用得出四点共面； （3）计算得出且得出三点共线. 【详解】（1）依题意可得，    （2）连接．因为 所以， 则共面，故四点共面． （3）连接． 因为， ， 所以，则． 因为，所以三点共线． 18．（2025高二·全国·专题练习）如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：利用回路法,通过两个不同“路径”表示，再利用相反向量的性质即可得证； 方法二：由，利用平面向量中的定比分点公式结合向量的减法即可得证. （2）同理（1）得，，然后结合空间向量的共面定理证明四点共面 【详解】（1）证法1：由得，，， ，， 因为①；②， 由①②，得 ， 所以 证法2：设是平面内一点， 由平面向量中的定比分点公式可得，， 即. （2）由，分别是，上的动点，设, 因为，分别为，的中点，即， 根据（1）的结论，得. 又因为分别为，的中点， 所以，， ， 即直线在平面上，所以，，，四点共面． 19．（2025高二·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，、、、分别是、、、的中点． (1)化简：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设、交于点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用空间向量的线性运算可化简； （2）证明出，即可证得结论成立； （3）分析可知为的中点，可得出，推导出，，结合空间向量的线性运算可证得结论成立. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 所以． （2），同理得， 所以，所以四边形是平行四边形． （3）因为四边形是平行四边形，、交于点，则为的中点， 因为、分别为、的中点， 所以，． 由，可得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $