第02讲 空间向量的数量积运算（七大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第02讲 空间向量的数量积运算（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 空间向量的夹角与数量积 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 【知识点1 空间向量的夹角与数量积】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 【知识点2 空间向量数量积的应用】 1．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（25-26高二上·江西·阶段检测）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【解答过程】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【解题思路】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A. 【解答过程】对于A，若，则且，不能得到，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，若，且，则，则，无法得出，所以C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误， 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【解答过程】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，    满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C. 【变式1-3】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【答案】B 【解题思路】对ACD，举特例零向量判断即可；对B，根据数量积公式判断即可. 【解答过程】对A，若，则，不能得出，故A错误； 对B，，当与存在零向量时，与共线成立； 当与均不为零向量时，，故夹角为或，则与共线，故B正确； 对C，若，则，不能得出，故C错误； 对D，，，故不成立，故D错误； 故选：B. 【题型2 空间向量数量积的计算】 【例2】（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，满足，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知得，两边平方利用向量的数量积运算律求解即可. 【解答过程】由得， 两边平方得， 又，所以， 所以. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·北京·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B．8 C．-4 D．4 【答案】C 【解题思路】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【解答过程】因为，， 所以 . 故选：C. 【变式2-2】（25-26高二上·湖南·期中）已知长方体中，，，，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】C 【解题思路】根据数量积的定义及数量积的运算律求解即可. 【解答过程】由题意知，，，两两垂直，故. 又，，， 所以. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【解题思路】由平面可得，再结合空间向量的线性运算、数量积的定义及运算律求解即可. 【解答过程】由平面，平面，得， 由题可知， . 故选：B. 【题型3 空间向量的夹角（余弦值）的计算】 【例3】（25-26高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据已知化简得出，再两边平方结合数量积公式计算得出夹角余弦进而求出夹角. 【解答过程】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·江西赣州·期中）在正三棱锥中，分别是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量运算化简已知条件，求得，再根据空间向量所成角的知识求得正确答案， 【解答过程】由， 所以，由于，所以 在正三棱锥中，，则三角形是等边三角形， 分别是中点，所以， 所以，所以. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·北京·阶段检测）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题可知，然后两边同时平方，代入已知数据计算即可. 【解答过程】因为， 所以, 得. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）空间四边形中，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量数量积的定义及运算律列式计算，再利用空间向量夹角的定义求解. 【解答过程】在空间四边形中，， 则 ， 所以. 故选：D 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 【例4】（25-26高二上·湖北·期中）在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简，再开方可求得结果. 【解答过程】 ， . 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二下·江苏宿迁·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【解题思路】先根据单位向量得出模长，再根据垂直得出数量积，最后应用运算律求解模长即可. 【解答过程】因为空间单位向量两两垂直, 所以， 所以 . 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【解答过程】由题意可知：，， 则， 因为， 则 ， 所以. 故选：C. 【变式4-3】（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解. 【解答过程】设， 所以， 所以， 所以 ， 所以线段的长为 ． 故选：D． 【题型5 空间向量垂直的应用】 【例5】（25-26高二上·北京·期中）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】根据数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【解答过程】由于，且是正四棱锥， 故，且侧面均为等边三角形， ， 故，则， 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【解答过程】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 【变式5-2】（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．    (1)求的值； (2)求证：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由向量的线性运算及数量积的运算律计算即得； （2）计算得到即可证明. 【解答过程】（1）正方体中，，， 有，， 所以. （2）证明：正方体中，，， 有，， 因为M和N分别是和的中点，则N为的中点， 所以且，即， 则有， 所以． 【变式5-3】（2025高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据数量积的定义直接计算即可； （2）计算与的数量积，根据结果可得答案. 【解答过程】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 【题型6 空间向量数量积的应用】 【例6】（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期末）A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】C 【解题思路】利用向量数量积的运算律计算可得，即可判断得出结论. 【解答过程】因为M为的中点，所以， 可得， 所以，即， 可得是直角三角形. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对于A，根据向量的线性运算法则利用基底，，表示即可判断，对于B，由，结合模的性质及数量积的运算律求，即可判断，对于C，由基底，，表示，计算，即可判断，对于D，计算，，利用向量夹角公式求即可判断. 【解答过程】对于A， ，A错误； 对于B，由题可知，，， 所以 ， 所以，B错误； 对于C，因为，， 所以，所以不垂直，C错误， 对于D，由选项C的解析可得， ，，， 所以， ， 所以 ,D正确， 故选：D. 【变式6-2】（2025高二·全国·专题练习）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由向量数量积的定义计算即可； （2）根据数量积为证明垂直； （3）由，再计算模长即可. 【解答过程】（1）. （2）证明：因为 ， 所以. （3）因为， 所以， . 所以. 【变式6-3】（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，.记向量，，，取的中点. (1)用向量，，表示向量，并求； (2)求向量和向量所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由向量的线性运算，再结合模的计算公式即可求解； （2）只需分别求出，再结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【解答过程】（1）， 因为，，，， 所以； （2），所以， ， 所以. 模块三 向量的投影 【知识点3 向量的投影】 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型7 投影向量的求解】 【例7】（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案. 【解答过程】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据投影向量的计算公式求解出结果. 【解答过程】空间向量在向量方向上的投影向量为， 故选：B. 【变式7-2】（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】在空间四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【解答过程】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 【变式7-3】（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出在上的投影向量，设，求出投影向量的长度，结合投影向量与的关系可得答案. 【解答过程】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D.    模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【解题思路】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A. 2．（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解. 【解答过程】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则， 所以， 故选：D. 3．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【解答过程】因为 ； 又，所以，， 设与的夹角为，则 ， 又，所以 . 故选：B. 4．（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】A 【解题思路】三棱锥中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又分别是的中点，再根据数量积的定义求解． 【解答过程】 分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ， 故选：A. 5．（25-26高三上·河南·期中）若向量满足，则向量在向量上的投影向量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由向量在向量上的投影向量为，利用向量数量积的定义求，进而得的范围，逐一验证即可求解. 【解答过程】由题意有：由向量在向量上的投影向量为， 因为， 因为，所以， 所以， 所以向量在向量上的投影向量可能为， 故选：A. 6．（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【解答过程】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 7．（25-26高二上·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解题思路】根据空间向量数量积运算求得正确答案. 【解答过程】依题意可知, . 故选：B. 8．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且 ，．若，则（   ） A．3 B． C． D．7 【答案】B 【解题思路】先根据条件可得，然后采用先平方再开方的方法结合空间向量的数量积运算求解出结果. 【解答过程】由图可知，且； 所以 . 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 【答案】AD 【解题思路】根据空间向量数量积和空间向量共线逐一判断，即可得出结果． 【解答过程】选项A，因为，所以A正确； 选项B，当时，，但无法得到，所以B错误； 选项C，，，而与未必共线且不一定同时为，所以C错误； 选项D，由于向量同向共线，所以，所以，所以D正确． 故选：AD． 10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】对于A，由数量积定义可判断选项正误；对于B，由题可得，然后由数量积运算律可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由向量模长公式可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【解答过程】对于A，由题：，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，由，得 ，所以， 则 ．故C正确； 对于D，，所以 ，故．故D错误. 故选：ABC. 11．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 【答案】AC 【解题思路】根据题意，利用空间向量线性运算，可判断A正确；利用空间向量数量积的运算性质与运算，可判断B错误，C正确；根据投影的定义及计算公式，可判断D错误. 【解答过程】对于A：由，可得， 则，所以A正确； 对于B，由 ，所以，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，向量在方向上的投影数量为，所以D错误； 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则__________． 【答案】3 【解题思路】根据向量模的运算公式，结合向量数量积的运算律运算求解即可 【解答过程】解：因为是两两垂直的单位向量， 所以， 所以， 故答案为：3． 13．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 【答案】 【解题思路】先由数量积的定义式结合运算律求出与的点积，再计算其模长，然后由夹角公式计算可得. 【解答过程】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故. 故答案为：. 14．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 【答案】 【解题思路】设，则，再根据向量运算求解即可. 【解答过程】设，则， 所以 因为， 所以 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，设，求： (1)； (2). 【答案】(1)0； (2)1. 【解题思路】（1）（2）根据正方体的结构特征，应用向量数量积的运算律求数量积即可. 【解答过程】（1）由题设， 则； （2）由（1）及已知，. 16．（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用中位线定理得到和，再结合空间向量数量积的定义求解即可. （2）利用空间向量的线性运算得到，再结合空间向量数量积的定义求解即可. 【解答过程】（1）因为分别是棱的中点， 所以是的中位线，则， 得到， 同理可得，而四面体的所有棱长都等于2， 得到，故. （2）因为分别是棱的中点， 所以 ， 而， 同理可得， 可得 ，故. 17．（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，得到，再由向量数量积的运算公式和模的计算公式，求得的值； （2）根据题意，求得，利用数量积的计算公式，求得，进而求得的值. 【解答过程】（1）解：因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 . （2）解：因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以. 18．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量的线性运算法则计算求解； （2）先利用已知条件求出相关向量数量积，运用向量加减法运算求出，再通过向量数量积运算求解． 【解答过程】（1），． ． 点为的中点， ． （2）， ， ， ． 19．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）利用向量的模与数量积的关系求解即可； （3）利用向量的夹角公式计算即可求解. 【解答过程】（1） ； （2） ； （3）因为， 所以 . . 由正四面体的棱长为2，可得， 所以. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 空间向量的数量积运算（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 空间向量的夹角与数量积 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 【知识点1 空间向量的夹角与数量积】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 【知识点2 空间向量数量积的应用】 1．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（25-26高二上·江西·阶段检测）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【变式1-2】（25-26高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【变式1-3】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【题型2 空间向量数量积的计算】 【例2】（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，满足，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·北京·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B．8 C．-4 D．4 【变式2-2】（25-26高二上·湖南·期中）已知长方体中，，，，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【变式2-3】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【题型3 空间向量的夹角（余弦值）的计算】 【例3】（25-26高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·江西赣州·期中）在正三棱锥中，分别是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·北京·阶段检测）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）空间四边形中，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 【例4】（25-26高二上·湖北·期中）在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二下·江苏宿迁·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 【变式4-2】（25-26高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【题型5 空间向量垂直的应用】 【例5】（25-26高二上·北京·期中）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．    (1)求的值； (2)求证：； 【变式5-3】（2025高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【题型6 空间向量数量积的应用】 【例6】（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期末）A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【变式6-1】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025高二·全国·专题练习）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【变式6-3】（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，.记向量，，，取的中点. (1)用向量，，表示向量，并求； (2)求向量和向量所成角的余弦值. 模块三 向量的投影 【知识点3 向量的投影】 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型7 投影向量的求解】 【例7】（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 5．（25-26高三上·河南·期中）若向量满足，则向量在向量上的投影向量可能为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 8．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且 ，．若，则（   ） A．3 B． C． D．7 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 三、填空题 12．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则__________． 13．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 14．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 四、解答题 15．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，设，求： (1)； (2). 16．（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 17．（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 18．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 19．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $