1.7 角平分线的性质 课件 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角平分线的性质”，涵盖定义、性质定理、逆定理及应用。课堂导入以纸伞结构实例引发思考，旧知通过对折三角形内角回顾定义，新知探究结合尺规作图和测量活动，构建从生活到旧知再到新知的学习支架。 其亮点在于通过实践操作和问题驱动，培养数学眼光（从纸伞抽象角平分线）、数学思维（全等证明性质）、数学语言（规范证明步骤）。如发射塔选址问题结合性质应用，课堂小结系统梳理知识，帮助学生发展几何直观和推理能力，为教师提供丰富例题与变式训练。

浙教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月11日 1.7 角平分线的性质 第1章 三角形的初步知识 1.7 角平分线的性质 同步练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于角平分线的说法正确的是（） A. 角平分线是一条直线 B. 角平分线将角分成两个度数相等的角 C. 角平分线只能平分直角 D. 角平分线上的点到角两边的距离不相等 2. 角平分线的性质定理是（） A. 角平分线上的点到角两边的距离相等 B. 角平分线上的点到角顶点的距离相等 C. 角两边上的点到角平分线距离相等 D. 以上都不对 3. 已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=5cm，则PN的长为（） A. 3cm B. 5cm C. 10cm D. 无法确定 4. 若一点在一个角的内部，且到角的两边距离相等，则该点一定在（） A. 角的一边上 B. 角的平分线上 C. 角的外部 D. 任意位置 5. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，下列结论错误的是（） A. DE=DF B. ∠BAD=∠CAD C. DE+DF=AD D. △ADE和△ADF可证全等 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成________的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 7. 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的________相等。 8. 角平分线的逆定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的________上。 9. 已知OC平分∠AOB，∠AOB=76°，则∠AOC=________°。 10. 三角形的三条角平分线交于一点，该点到三角形________的距离相等。 三、解答题（共60分） 11.（18分）根据角平分线性质完成计算。 已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=8cm。 （1）求PN的长度；（2）若∠AOB=100°，求∠COP的度数。 12.（20分）已知：AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC。求证：DB=DC。 要求：书写规范完整的证明过程，标注每一步推理依据。 13.（22分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积为30cm²，AB=8cm，AC=7cm，求DE的长度。 参考答案及解析 选择题：1.B 2.A 3.B 4.B 5.C 解析：5. 根据角平分线性质可得DE=DF，角度相等可证三角形全等，但DE+DF与AD无固定数量关系，故C错误。 填空题：6. 度数相等 7. 距离 8. 平分线 9. 38 10. 三边 解析9. 角平分线平分内角，∠AOC=∠AOB÷2=76°÷2=38°。 解答题 11. 解：（1）∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，根据角平分线性质，∴PN=PM=8cm；（2）∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=100°÷2=50°，即∠COP=50°。 12. 证明：∵AD平分∠BAC（已知），DB⊥AB，DC⊥AC（已知），根据角平分线的性质定理，∴DB=DC。 13. 解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线性质）。S△ABC=S△ABD+S△ACD，即30=$$\frac{1}{2}$$×AB×DE+$$\frac{1}{2}$$×AC×DF。代入数据得30=4DE+3.5DE，解得DE=4cm。 课堂导入 我国纸伞的结构十分巧妙。如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄 AP 始终平分同一平 面 内 两 条 伞 骨 所 成 的 角∠BAC，且 AE＝AF，DE＝DF，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动。为什么？ 利用前面学的全等，可以得到△AED≌△AFD,∴∠EAD=∠DAF，AD是∠BAC 的平分线 旧知复习 同学们分别准备一个内角为30°、90°、120°的三角形，通过对折这个内角，使得角两边重合，折痕即为这个内角的角平分线。 角平分线的定义：一条射线将一个角分成两个相等的角，这条射线称为该角的角平分线。 数学表示：若射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC = ∠BOC = ∠AOB。 新知探究 尺规作图作角平分线 已知∠BAC（如图所示），用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。 分析：如果能找到∠BAC 的平分线上一点 D，那么射线 AD 就是∠BAC 的平分线。由于角平分线把角分成两个相等的角，因此可以想象通过作两个全等三角形来作出点D。 1.以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点。 2.分别以 E、F 为圆心，大于 EF 长为半径作弧，两条弧交于∠BAC 内一点D。 3.作射线AD。射线AD就是所求作的∠BAC的平分线。 新知探究 同学们自己在作业本上画出一个角的角平分线，在角平分线上分别取三个点P1、P2、P3，通过P1、P2、P3作OA垂线，垂足为A1、A2、A3，作OB的垂线，垂足为B1、B2、B3，将测量数据填入下面表格。 第一次 第二次 第三次 P1A1 P2A2 P3A3 P1B1 P2B2 P3B3 P1A1=P1B1 , P2A2=P2B2 , P3A3=P3B3 新知探究 任意作一个角，记为∠BAC，P 是∠BAC 的平分线上的一点，PB⊥AB 于点 B，PC⊥AC 于点 C。比较PB和PC的大小，并证明你的结论。 证明：∵AP是∠CAB的平分线 ∴∠CAP=∠PAB， 又∵PB⊥AB，PC⊥AC，∴∠PCA=∠PBA=90° 在△APC和△APB， ∴△APC≌△APB,∴PC=PB 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 C 返回 1． 观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是(　　) 中考考法 7 返回 A 2． 如图，已知在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝76°，按如下步骤作图：①以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，1.5个单位长度为半径画弧，两弧交于点P；③作射线AP，交CN于D，则∠CDA的大小是(　　 ) A．82° B．87° C．93° D．98° 中考考法 8 例1如图，某电信部门要在公路m、n之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄A、B的距离相等，到公路m、n的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点P表示出发射塔应建的置．（保留作图痕迹，不写作法） 典例分析 发射塔的位置 垂直平分线性质：垂直平分线上的点到两端点的距离相等，所以作垂直平分线 角平分线的性质：角平分线上的点到两边的距离相等，所以作角平分线 变式训练 如图，在△ABC中，∠C=80°，∠B=40°，请用尺规作图法在边BC上确定点D，连接AD，使得∠ADC=70°．（保留作图痕迹，不写作法） D 作∠BAC的平分线交BC于点D，可得∠BAD=∠BAC=30°，则∠ADC=∠B+∠BAD=70°，则点D即为所求。 解：如图，作∠BAC的平分线BC于点D， ∵∠C=80°，∠B=40°， ∴∠BAC=60°， ∴∠BAD=∠BAC=30° ∴∠ADC=∠B+∠BAD=70° 则点D即为所求 例2 如图，AB，AC，BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（      ） 典例分析 A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置 C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置 到三边的距离相等应该是角平分线上的点 A 变式训练 如图，有三条笔直的公路AB、AC、BC两两相交围成一个三角形的建筑工地．若现在要在建筑工地外建一个沙石周转站，使周转站到三条公路的距离相等，则周转站可供选择的位置有 个． 解题思路：根据角平分线上的点到角两边的距离相等，分别作三角形的内角与外角平分线可得到答案 4 P2 P1 P3 P4 例3 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若DC=6，AB=24，求△ADB的面积 典例分析 解题思路：由于AD平分∠BAC，所以点D到AC、AB距离相等，过点D作DE⊥AB，DE即为AB边上△ABD的高，DE等于CE，由此可求△ABD的面积 解：过点D作DE⊥AB，DE即为AB边上△ABD的高，如图所示 ∵∠C=90°,∴DC⊥AC， ∵AD平分∠BAC， ∴DE=CD=6， ∴△ABD的面积为×AB×DE=×24×6=72 ∟ E 变式训练 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠BAD=100°，DE平分∠ADC交BC于点E，连接AE，若点E是BC边的中点，求∠EAB的度数。 解题思路：过点E作EF⊥AD，利用角的平分线的性质和判定解答即可。 解：如图所示，过点E作EF⊥AD于点F，∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴EF=EC ∵点E是BC边的中点， ∴BE=EC,∴EF=BE ∵∠B=90°，EF⊥AD， ∴AE平分∠BAD ∴∠EAB=∠BAD=×100°=50° ∟ F B 返回 3． 如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2，点D到AB的距离为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 中考考法 15 4． 返回 C 三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到(　　) A．三角形三个顶点的距离相等 B．三边中点的距离相等 C．三边距离相等 D．以上都对 中考考法 16 5． 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.求证：DE＝DF. 中考考法 17 SSS ∠BAD＝∠CAD　 返回 中考考法 6． 返回 PQ≥10 [2025绍兴月考]点P在∠AOB的平分线上，点P到OA 边的距离等于10，点Q是OB边上任意一点，则PQ的取值范围是________． 中考考法 19 7． [2025温州期末]如图，OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，点F是OM上的另一点，连结DF，EF.求证：∠DFO＝∠EFO. 中考考法 20 返回 【证明】因为OM是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB， 所以∠DOC＝∠EOC，∠ODC＝∠OEC＝90°，DC＝CE， 所以∠DOC＋∠ODC＝∠EOC＋∠OEC， 即∠DCF＝∠ECF. 又因为CF＝CF，所以△DFC≌△EFC(SAS)， 所以∠DFO＝∠EFO. 中考考法 8． 返回 B 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2等于(　　) A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5 中考考法 22 9． 返回 3 如图，△ABC的外角∠CBJ的平分线BD与△ABC的外角∠BCI的平分线CE相交于点P.若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为________． 中考考法 23 10． 返回 72° 如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ACB的平分线CF与BC的垂直平分线DE交于点O，连结OB.若∠ABO＝20°，则∠ACB＝________． 中考考法 24 11． 【解】作图如图所示． [2025宁波期末]如图，在Rt△ABC中． (1)利用尺规作图，在BC边上找到一点P，使得点P到AC，AB的距离相等．(不写作法，保留作图痕迹) 中考考法 (2)在(1)的条件下，过点P作PD⊥AB，垂足为D，若AC＝5，AB＝13，求BD的长． 【解】因为AP平分∠CAB，PC⊥AC，PD⊥AB， 所以PC＝PD，∠CAP＝∠DAP，∠C＝∠PDA＝90°， 所以△CAP≌△DAP，所以AD＝AC＝5， 所以BD＝AB－AD＝13－5＝8. 返回 中考考法 12． 在△ABC中，DE垂直平分AC，连结CE，CE平分∠ACB. (1)若∠CEB＝46°，求∠B的度数． 中考考法 (2)若BC＝4，△ABC的周长比△EBC的周长多8，△EBC的面积为6，则△AEC的面积为多少？ 中考考法 返回 中考考法 课堂小结 全等三角形：通过角平分线性质构造垂线段，进而推导边或角相等。 综合题型：结合垂直平分线、等腰三角形等知识，解决线段比例或角度关系问题 几何证明中的运用 定义：角平分线是从角的顶点出发，将角分成两个度数相等的角的射线。 核心性质：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等（可通过构造垂线并证明全等三角形得出） 定义与基本性质 作图方法：能用尺规准确作出已知角的平分线（以顶点为圆心画弧，再以交点为圆心作等半径弧，连接交点与顶点） 尺规作图与应用 01 02 03 04 证明：连结AD，如图， 在△ABD和△ACD中，因为 所以△ABD≌△ACD(①________)，所以②________． 因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE＝DF. 若以上解答过程正确，①是____________，②是________________． 【解】因为DE垂直平分AC， 所以∠ADE＝∠CDE＝90°，AD＝CD. 又因为DE＝DE，所以△ADE≌△CDE.所以∠A＝∠ACE. 因为∠BEC＝46°，所以∠A＝∠ACE＝46°×＝23°. 因为CE平分∠ACB，所以∠ACB＝2∠ACE＝46°. 所以∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－23°－46°＝111°. 【解】如图， 过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F. 因为EF⊥BC，DE⊥AC，CE平分∠ACB， 所以EF＝DE，所以S△EBC＝×BC·EF＝×4×EF＝6， 所以EF＝DE＝3.因为DE垂直平分AC，所以AE＝EC. 因为C△ABC＝AB＋AC＋BC，C△EBC＝EB＋EC＋BC＝AB＋BC，且C△ABC－C△EBC＝8，所以AC＝8， 所以S△AEC＝×AC×ED＝12，所以△AEC的面积为12. $