1.3 证明课件2026-2027学年浙教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦浙教版八年级上册“三角形的初步知识”中“1.3 证明”，涵盖证明概念、步骤及三角形外角性质。课堂导入通过图片观察引发对直观与严谨性的思考，衔接前期观察归纳与新知识证明的必要性，搭建学习支架。 其亮点在于以“神秘的‘外来角’与‘留守角’”活动引导学生动手测量发现外角性质，培养几何直观与空间观念（数学眼光）。通过规范证明步骤训练（如补全推理依据、完整证明命题），发展推理能力（数学思维），并以符号语言和图形表达证明过程（数学语言）。学生能养成严谨推理习惯，教师可借助系统资源提升教学效率。

浙教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月11日 1.3 证明 第1章 三角形的初步知识 1.3 证明 同步练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于“证明”的说法正确的是（） A. 证明是通过观察猜测得出结论的过程 B. 证明是从已知条件出发，依据基本事实、定义、定理，推理得出结论的过程 C. 所有命题都不需要证明 D. 真命题不需要证明，假命题需要证明 2. 推理证明过程中，不能作为推理依据的是（） A. 已知条件 B. 个人猜想 C. 基本事实 D. 已学定理、定义 3. 在几何证明的书写格式中，用来标注推理依据的内容是（） A. 已知、求证 B. 因为、所以 C. 定义、定理、基本事实 D. 解题结论 A. 若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3 B. 若∠1是锐角，∠2是锐角，则∠1=∠2 C. 两直线平行，同旁内角互补，所以同位角互余 D. 对顶角相等，所以相等的角是对顶角 5. 证明几何命题的基本步骤依次是（） ①证明推理 ②写出已知、求证 ③得出结论 ④根据题意画图 A. ④②①③ B. ②④①③ C. ④①②③ D. ②①④③ 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 几何命题证明的核心是________，每一步推理都要有________。 7. 由已知条件出发，一步步推导，最后得出结论成立的推理方式叫做________。 8. 证明“三角形的内角和为180°”时，常用的辅助线做法是________。 9. 在证明过程中，“∵”表示________，“∴”表示________。 10. 经过________的真命题叫做定理，定理可以作为后续推理证明的________。 三、解答题（共60分） 11.（18分）补全下列证明过程，填写推理依据。 已知：如图，直线a∥b，直线c截a、b，求证：∠1=∠2。 证明：∵a∥b（________），∴∠1=∠3（________）。 又∵∠2=∠3（________），∴∠1=∠2（________）。 12.（20分）完整证明命题：直角三角形的两个锐角互余。 要求：写出已知、求证、完整推理过程及依据。 13.（22分）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD平分∠BAC，求证：∠BAD=40°。 参考答案及解析 选择题：1.B 2.B 3.C 4.A 5.A 解析：1. 证明是严谨的逻辑推理过程，而非猜测；2. 几何推理必须依据客观定义、定理、已知条件，个人猜想不能作为依据；4. B、C、D推理逻辑错误，不符合几何定理。 填空题：6. 逻辑推理、依据 7. 演绎推理 8. 过三角形顶点作对边平行线 9. 因为、所以 10. 证明、依据 解答题 11. 已知；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；等量代换。 12. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°。求证：∠A+∠B=90°。 证明：∵三角形内角和为180°（三角形内角和定理），∴∠A+∠B+∠C=180°。 又∵∠C=90°（已知），∴∠A+∠B=180°-90°=90°（等式性质），即直角三角形两锐角互余。 13. 证明：∵∠B=40°，∠C=60°（已知），∴∠BAC=180°-40°-60°=80°（三角形内角和定理）。 ∵AD平分∠BAC（已知），∴∠BAD=∠BAC÷2=40°（角平分线的定义），命题得证。 课堂引入 “同学们，请仔细观察下面三张图片，这两条线是什么关系？ “为什么我们眼睛看到的，有时会和实际测量结果不一样？这说明什么？” “在数学研究中，我们能仅仅依靠‘看起来像’‘感觉是’或者几次测量结果就下结论吗？” 新知探究 “仅仅依靠感官经验、少数几次操作或直观印象，在数学里是不够可靠的，甚至可能导致错误结论。为了追求知识的确定性和普遍性，数学家们发展了一种严谨的、讲道理的思维方式——证明。” 知识归纳：通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确。因此,要判断一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论),一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明 今天我们就一起来揭开数学证明的神秘面纱，看看它是如何像侦探破案一样，依靠确凿的证据（已知定义、公理、定理）和严密的逻辑推理，得到无可辩驳的结论的。” 新知探究 (1)按题意画出图形。 (2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论。 证明几何命题时,表述格式一般是: 在“证明”中写出推理过程。在解决几何问题时,有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写人证明中。辅助线通常画成虚线。 C 返回 1． 如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与B，C重合)，连结AD，下列表述错误的是(　　) A．若AD是BC边的中线，则BC＝2CD B．若AD是BC边的高线，则AD<AC C．若AD是∠BAC的平分线，则△ABD与△ACD的面积相等 D．若AD最短且AB≠AC，则AD为BC边的高线 中考考法 5 典例分析 （教材母题）例1 如图所示，DE∥BC，∠1=∠E，求证明：BE平分∠ABC 证明：因为DE∥BC（已知） 所以∠2=∠E（两直线平行，内错角相等） 又因为∠1=∠E（已知） ∴∠1=∠2 所以BE平分∠ABC（角平分线的定义） 回顾平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补 回顾角平分线的性质：角平分线分出来的两个角相等，提供证明思路。 变式训练 （教材母题）已知：如图所示AB∥CD，EP、FP分别平分∠BEF，∠DFE，求证：PEF+∠PFE=90° 证明：EP、FP分别平分∠BEF，∠DFE（已知） ∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DFE（角平分线的定义） ∵AB∥CD（已知） ∴∠BEF+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠PEF+∠PFE=∠BEF+∠DFE=(∠BEF∠DFE)=×180°=90° 回顾平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补 回顾角平分线的性质：角平分线分出来的两个角相等，提供证明思路。 新知概况 课堂活动：神秘的“外来角”与“留守角” 同学们，欢迎来到神奇的‘三角形世界’！在前面的学习中，我们认识了三角形家族的一个基本秘密——内角和定理。 情境唤醒 ： 概念回顾 D 外角 我们还认识了一种出现在三角形边界上的特殊角度——外角 如图所示，延长AB与点D，在点B处除了∠ABC以外还有一个角是∠CBD，这样的角 叫做三角形的外角。一个三角形有6个外角。 新知概况 课堂活动：神秘的“外来角”与“留守角” 聚焦观察 ： 提出问题 提问1：在顶点B，外角∠ABD和它的邻居——相邻的内角∠ABC之间有什么关系呢？” ∠ABC+∠CBD=180°,三角形一个内角与他相邻的外角互补 思考：三角形还有另外两个内角——顶点A的内角∠BAC和顶点C的内角∠ACB。它们都在“家”的内部，远离这个‘外来者’∠CBD。”,这三个角之间又有什么关系呢？ 新知概况 课堂活动：神秘的“外来角”与“留守角” 动手测量 ： 发现线索 动手操作：分小组活动，每组成员各随意画出2个三角形，用量角器量出三角形的三个内角（∠A、∠B、∠C）和∠B的外角度数。 ∠A ∠B ∠C ∠B的外角 ∠A+∠C 通过测量我们发现：∠B的外角等于∠A+∠C；所以得出三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 典例分析 例2 如图，在四边形ABCD中，E是BC延长线的一点，连接AE交CD与点F，若∠B=∠D，∠1+∠2=180° （1）若∠E=25°，∠D=60°，求∠2的度数； 解：∵∠1=∠AFC，∠1+∠2=180°；∴∠AFC+∠2=180° ∴AB∥CD；∴∠DCE=∠B；∵∠D=∠DCE=60° ∵∠1=∠DCE+∠E，∠E=25°，∴∠1=60°+25°=85° ∵∠1+∠2=180°，∴∠2=180°-∠1=180°-85°=95° （2）判断AD与BC的位置关系，说明理由 解：AD∥BC，理由如下 由（1）可知AB∥CD，∴∠B=∠DCE，∵∠B=∠D ∴∠D=∠DCE，∴AD∥BC 对顶角相等 两直线平行，同位角相等 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 变式训练 如图，已知，BD是△ABC的角平分线，且AD=DB=BC，求△ABC的各个内角的度数 ①三角形的三条中线都在三角形内。 ②三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心 解：∵BD=BC=AD，BD平分∠ABC ∴∠C=∠BDC，∠A=∠ABD=∠CBD; ∴∠ABC=2∠A，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A; ∴∠C=∠BDC=2∠A；∵∠A+∠ABC+∠C=180°； ∴∠A+2∠A+2∠A=180°，∴∠A=36° ∴∠ABC=∠C=2∠A=72° 角平分线的性质：角平分线分出的两个角相等 等腰三角形的性质：等边对等角 变式训练 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形 为了验证如图所示的四边形ABCD中AB与CD所在直线的夹角是否为50°，如下方案 方案一 :测量出ㄥB和ㄥC的度数 方案二:测量出ㄥA和ㄥD的度数 下列判断正确的是( ) A.方案一正确、方案二正确 C.方案一正确、方案二不正确 B.方案一不正确、方案二正确 D.方案一不正确、方案二不正确 解：（1）测量∠B和∠C，利用三角形内角和即可得出AB和CD的夹角； （2）测量∠A和∠D，利用邻角互补可得到∠A和∠D的外角，再根据三角形内角和定理即可； 返回 B 2． 下列推理正确的是(　　) A．因为∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＋∠3＝90° B．因为∠1＋∠3＝90°，∠3＋∠2＝90°，所以∠1＝∠2 C．因为∠1与∠2是对顶角，∠2＝∠3，所以∠1与∠3是对顶角 D．因为∠1与∠2是同位角，∠2与∠3是同位角，所以∠1与∠3是同位角 中考考法 14 D 返回 3． [2025杭州月考]将一块直角三角板ABC按如图所示放置，其中∠ABC＝30°，A，B两点分别落在直线m，n上，∠1＝20°，要得到m∥n，添加的条件可以是(　　) A．∠2＝20° B．∠2＝30° C．∠3＝30° D．∠3＝50° 中考考法 15 4． 已知：如图，△ABC中，AC⊥BC.F是边AC上的点，连结BF，作EF∥BC且交AB于点E.过点E作DE⊥EF，交BF于点D. 求证：∠1＝∠EDF. 下面是证明过程，请在横线上填上适当的推理结论或推理依据． 证明：因为AC⊥BC(已知)， 所以∠ACB＝90°(垂直的定义)． 中考考法 16 返回 因为EF∥BC(已知)， 所以∠AFE＝______＝90°(______________________)． 因为DE⊥EF(已知)， 所以∠DEF＝90°(垂直的定义)． 所以∠AFE＝∠DEF(等量代换)， 所以______∥______(_______________________)． 所以∠1＝∠EDF(______________________)． ∠ACB 两直线平行，同位角相等 DE AC 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 中考考法 17 5． 返回 【证明】因为∠ABC＋∠BAC＋∠C＝180°，∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°，∠OAB＝∠BAC－∠2，∠OBA＝∠ABC－∠1， 所以∠AOB＝180°－∠OBA－∠OAB＝180°－(∠ABC－∠1)－(∠BAC－∠2)＝180°－∠ABC－∠BAC＋∠1＋∠2＝∠1＋∠2＋∠C. 如图，O是△ABC内一点，求证：∠AOB＝∠1＋∠2＋∠C. 中考考法 18 6． [2025宁波月考]如图所示，已知在△ABC，△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F. (1)求证：CF∥AB； 中考考法 19 (2)求∠DFC的度数． 【解】由(1)知，∠FCE＝45°，所以∠DCF＝45°. 因为∠D＝30°， 所以∠DFC＝180°－∠D－∠DCF＝180°－30°－45°＝105°. 返回 中考考法 7． 返回 B 如图，l1∥l2，下列式子成立的是(　　) A．∠α＋∠β＋∠γ＝180° B．∠α＋∠β－∠γ＝180° C．∠β＋∠γ－∠α＝180° D．∠α－∠β＋∠γ＝180° 中考考法 21 8． 返回 C 某餐馆新推出了一种包含M，N，P，Q，R，S六种特色菜的点菜套餐，针对这种套餐，顾客需根据如下规则点菜： ①不能同时点M和N；②如果点了P，就要点Q或R； ③在Q和S中必须点一个，且只能点一个． 则以下组合中，符合该套餐的点菜规则的是(　　) A．Q，M，N B．S，N，P C．P，N，Q D．M，P，R 中考考法 22 9． 【证明】因为∠ACB＝90°， 所以∠A＋∠B＝180°－90°＝90°. 因为∠ACD＝∠B，所以∠A＋∠ACD＝90°， 所以∠ADC＝180°－(∠A＋∠ACD)＝90°，所以CD⊥AB. 如图，已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，∠ACD＝∠B. (1)求证：CD⊥AB； 中考考法 23 (2)将△ACD沿CD所在直线翻折，点A落在BD边所在直线上，记为点A′. ①若∠B＝32°，求∠A′CB的度数； 【解】因为CD⊥AB， 所以易得∠BCD＝90°－∠B＝90°－32°＝58°. 由折叠可得∠DCA′＝∠DCA. 因为∠ACD＝∠B＝32°，所以∠DCA′＝32°. 所以∠BCA′＝∠BCD－∠DCA′＝58°－32°＝26°. 中考考法 ②若∠B＝α，则∠BCA′的度数为___________________(用含α的代数式表示)． 90°－2α或2α－90°　 中考考法 【点拨】 易知∠DCA′＝∠ACD＝∠B＝α.因为∠ACB＝90°， 所以∠BCD＝90°－∠DCA＝90°－α. 当0°<α≤45°时，A′在线段BD上， ∠BCA′＝∠BCD－∠DCA′＝90°－α－α＝90°－2α； 当45°<α<90°时，A′在DB的延长线上， ∠BCA′＝∠DCA′－∠BCD＝α－(90°－α)＝2α－90°. 所以∠BCA′的度数为90°－2α或2α－90°. 返回 中考考法 10． 如图，BE平分∠CBD，交DF于点E，点G在线段BE上(不与点B，E重合)，连结DG，已知∠BEF＋∠DBE＝180°. (1)试判断AC与DF是否平行，并说明理由； 中考考法 27 中考考法 (2)探索∠ABG，∠BGD，∠GDE三者之间的等量关系，并说明理由； 【解】∠ABG＋∠BGD－∠GDE＝180°. 理由：如图，过点G作GH∥AC交BD于点H. 则∠ABG＋∠BGH＝180°. 由(1)知AC∥DF，所以GH∥DF，所以∠DGH＝∠GDE， 所以∠ABG＋∠BGD－∠GDE＝∠ABG＋∠BGH＋∠DGH－∠GDE＝∠ABG＋∠BGH＝180°. 中考考法 中考考法 【点拨】 中考考法 返回 中考考法 课堂小结 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形外角性质 通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确。因此,要判断一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论),一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明 证明的概念 延长AB与点D，在点B处除了∠ABC以外还有一个角是∠CBD，这样的角 叫做三角形的外角。 三角形外角的概念 01 02 03 04 【证明】因为∠DCE＝90°，且CF平分∠DCE， 所以∠FCE＝∠DCE＝45°. 又因为∠B＝45°，所以∠FCE＝∠B，所以CF∥AB. 【解】AC与DF平行．理由：因为BE平分∠CBD， 所以∠CBE＝∠DBE＝∠CBD. 因为∠BEF＋∠DBE＝180°， 所以∠BEF＋∠CBE＝180°，所以AC∥DF. 【解】的值为2.　 (3)若∠BDG＝(m＋1)∠GDE，且∠BGD＋n∠GDE＝90°(m，n为常数，且为正数)，请直接写出的值． 因为∠BDG＝(m＋1)∠GDE，且∠BGD＋n∠GDE＝90°， 所以∠BDE＝(m＋2)∠GDE，∠BGD＝90°－n∠GDE. 因为AC∥DF，所以∠ABD＝∠BDE＝(m＋2)∠GDE， 所以∠DBE＝∠CBD＝(180°－∠ABD)＝90°－∠GDE， 所以∠ABG＝∠ABD＋∠DBE＝90°＋∠GDE. 由(2)知∠ABG＋∠BGD－∠GDE＝180°， 所以90°＋∠GDE＋90°－n∠GDE－∠GDE＝180°， 所以∠GDE＝n∠GDE＋∠GDE， 易知∠GDE>0°， 所以＝n＋1，所以m＝2n，所以＝2. $