专题 1.3 证明（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

本讲义聚焦初中数学“证明”核心知识点，系统梳理证明的定义、步骤（画图、写已知求证、推理过程）及三角形外角的定义与性质，通过【知识点一】到【知识点二】的递进，搭配从基础（已知证明过程写依据）到综合（内角和与外角性质综合）的题型精析，构建完整学习支架。 资料以“知识梳理+题型精析+同步检测”为设计特色，精选多地期中期末及模拟题作为例题与变式，如通过填写证明依据培养推理意识，以几何代数综合题（如大圆内小圆周长比较）发展抽象能力与应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生强化练习、查漏补缺。

专题 1.3 证明（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】证明 1 【题型 1】已知证明过程写理论依据 2 【题型 2】写出命题已知、求证及证明过程 3 【题型 3】以几何、代数为背景的推理与论证 4 【知识点二】外角及其性质 5 【题型 4】三角形内角和定理的证明 5 【题型 5】三角形外角性质 6 【题型 6】三角形内角和与外角性质综合 7 二.同步检测 8 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 12 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】证明 1、定义：通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理等，一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明。 2、证明几何命题时，表述格式一般是: （1）按题意画出图形。 （2）分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论 （3）在“证明”中写出推理过程 （4）在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中。辅助线通常画成虚线。 【题型 1】已知证明过程写理论依据 【例题1】（25-26七年级下·广西玉林·期中）填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【变式1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，E是，CD外一点，．求证：． 证明：_________ _________， （等量代换）． _________． 【变式3】（23-24七年级下·陕西西安·阶段检测）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【题型 2】写出命题已知、求证及证明过程 【例题2】（2026·江苏南通·三模）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 【变式1】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， （1）正确的命题有 个． （2）请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【变式3】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【题型 3】以几何、代数为背景的推理与论证 【例题3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，则的最大值等于_____． 【变式3】（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． （1）当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； （2）当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 【知识点二】外角及其性质 1、定义：三角形一条边延长线和另一条相邻的边组成的角，这样的角叫作该三角形的外角。 2、外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 【题型 4】三角形内角和定理的证明 【例题4】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，直线经过点A，，，， （1）________；________；________； （2）通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？ 【变式1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段检测）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【变式3】（25-26八年级下·江西新余·阶段检测）三角形内角和定理：三角形内角和等于． 请结合下图，给出证明过程． 【题型 5】三角形外角性质 【例题5】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点D． 试找出与的内角之间的关系． 【变式1】（2026·福建福州·模拟预测）将一副三角板按图中方式叠放，则等于（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，在中，，分别是上的点，点在的延长线上，，则_____． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，，平分外角．求证：． 【题型 6】三角形内角和与外角性质综合 【例题6】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． （1）若，，求的度数； （2）求证：． 【变式1】（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，为的两个外角，则当减少时，的变化是（     ） A．减少 B．增大 C．保持不变 D．增大 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，若，，，则_________________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，点D在的内部．求证： （1）； （2）． （3）如果点D在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2024·广东清远·一模）如图所示，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 3．（25-26七年级下·湖南永州·期中）如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 4．（2026·海南三亚·模拟预测）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（     ） A．165° B．155° C．125° D．115° 5．（2026·四川眉山·中考真题）如图，已知直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河南新乡·三模）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A、E、C、F在同一条直线上，，，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河南平顶山·三模）将一副三角尺（分别含和角）按如图所示的位置摆放，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·广东惠州·期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②如果则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数是_____． 10．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的外角，则的度数为______． 11．（2026·河北保定·三模）如图，写出图中比大的角：________．（写出一个即可） 12．（2026·山东聊城·二模）如图，在一束平行光线中插入一张矩形纸板．如果光线与纸板左下方所成的是，则光线与纸板右上方所成的的度数是__________． 13．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，已知，，，则___________度． 14．（25-26七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 15．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，一张直角三角形纸片，，，，将纸片沿折叠，使点落在点处，则的度数为______ ． 16．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，点在上，连接．根据图中标出的度数可知____． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）命题：直角三角形的两锐角互余． （1）将此命题写成“如果…，那么…”：______； （2）请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 18．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，，平分． （1）求的度数； （2）求的度数． 19．（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，平分外角，平分外角，平分，平分，求的度数． 20．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，点D在上，是的平分线，点F在的延长线上，连接交于点G，． （1）求证：； （2）若且，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.3 证明（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】证明 1 【题型 1】已知证明过程写理论依据 2 【题型 2】写出命题已知、求证及证明过程 5 【题型 3】以几何、代数为背景的推理与论证 9 【知识点二】外角及其性质 11 【题型 4】三角形内角和定理的证明 11 【题型 5】三角形外角性质 14 【题型 6】三角形内角和与外角性质综合 16 二.同步检测 20 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 20 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 25 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 29 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】证明 1、定义：通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理等，一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明。 2、证明几何命题时，表述格式一般是: （1）按题意画出图形。 （2）分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论 （3）在“证明”中写出推理过程 （4）在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中。辅助线通常画成虚线。 【题型 1】已知证明过程写理论依据 【例题1】（25-26七年级下·广西玉林·期中）填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 解：证明： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 【变式1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点拨】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，E是，CD外一点，．求证：． 证明：_________ _________， （等量代换）． _________． 【答案】 已知 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查利用三角形外角的性质，平行线的性质和判定定理进行证明，能灵活运用定理进行推理是解题的关键． 根据已知条件和三角形的外角性质和平行线的判定结合证明步骤即可得出答案． 解：（已知）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行） ． 故答案为：已知；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；内错角相等，两直线平行． 【变式3】（23-24七年级下·陕西西安·阶段检测）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 【题型 2】写出命题已知、求证及证明过程 【例题2】（2026·江苏南通·三模）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 【答案】已知：． 求证：． 证明：过点作的平行线， ， ，， ， ． 【分析】过点作的平行线，根据平行线的性质得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形三个内角的和等于． 【变式1】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， （1）正确的命题有 个． （2）请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【分析】（1）利用平行线的判定和性质，进行判定即可；（2）利用平行线的判定和性质，进行证明即可． 解：（1）解：从①，②，③请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题，共可组成三个命题，均为真命题， 即正确的命题有3个； 【答案】（1）3 （2）解：如图： 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（三选一即可） 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可． 解：定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角． 求证：． 证明：如图所示，在中，， ∵， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见分析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 【题型 3】以几何、代数为背景的推理与论证 【例题3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由见分析 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 解：设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，则的最大值等于_____． 【答案】 【分析】此题考查了数的十进制，根据两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小，根据此性质，找到符合题意的的数值，即可求出其乘积的最大值．已知，因为两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．验证，8时均无解，当时，，，此时符合题意且积最大，再把它们相乘即可求解． 解：首先，和一定时，差越小积越大，所以越大，乘积越大， 验证，8时均无解， 当时，，，此时符合题意且积最大， 此时积为， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． （1）当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； （2）当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 【答案】（1）7；（2）14 【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案； （2）根据三种情况进行分析，进而得出答案． 解：（1）解：总变化量：， 次数（至少）：， 故答案为：7； （2）解：①两张由反到正，变化：； ②两张由正到反，变化：； ③一正一反变一反一正，变化， 要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14， ∵14无法由4，，0相加得到， ∴不能全正，故不能所有纸牌全正； 故答案为：14． 【点拨】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的正面向上，根据“奇数奇数偶数，偶数奇数奇数”进行解答即可． 【知识点二】外角及其性质 1、定义：三角形一条边延长线和另一条相邻的边组成的角，这样的角叫作该三角形的外角。 2、外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 【题型 4】三角形内角和定理的证明 【例题4】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，直线经过点A，，，， （1）________；________；________； （2）通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？ 【答案】（1）；；；（2）理由见分析 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到的度数，根据平角等于，列式求解得到的度数； （2）根据题意，作边平行线，根据平行线的性质即可求解． 解：（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：理由：过三角形一个顶点A作边平行线， （已知）， ，（两直线平行，内错角相等）， （平角定义）， （等量代换）， ∴三角形内角和等于． 【变式1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段检测）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 解：①∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意， ②∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②符合题意， ③∵， ∴， ∵， ∴，故③符合题意， ④， ， 不能证明“三角形的内角和等于”故④不符合题意， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级下·江西新余·阶段检测）三角形内角和定理：三角形内角和等于． 请结合下图，给出证明过程． 【答案】见分析 【分析】过顶点作直线，利用平行线的内错角相等性质，把另外两个内角转移到该顶点处，与原内角组成平角。因为平角的度数为，所以通过等量代换可推导出三角形内角和等于． 解：证明：过顶点作直线， ∴，， ∵， ∴， 因此三角形内角和等于． 【题型 5】三角形外角性质 【例题5】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点D． 试找出与的内角之间的关系． 【答案】 【分析】分别根据角平分线的定义及三角形的外角性质可表示出与，由此即可得出结论． 解：∵的平分线与的外角平分线相交于点D， ，， ∵， ， ∴， ． 【变式1】（2026·福建福州·模拟预测）将一副三角板按图中方式叠放，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角的定义计算即可． 解：如图，为的外角，由题可知， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，在中，，分别是上的点，点在的延长线上，，则_____． 【答案】100 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，，平分外角．求证：． 【分析】根据三角形的外角的性质，结合角平分线的定义，推出，即可得证. 证明：在中，，是的一个外角， ∴， ∵平分外角， ∴， ∴， ∴． 【题型 6】三角形内角和与外角性质综合 【例题6】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． （1）若，，求的度数； （2）求证：． 【分析】（1）先利用三角形内角和与角平分线求出，再用外角性质求，最后在直角三角形中计算； （2）先利用外角和角平分线，把用、表示，再结合直角三角形内角和，化简得到与、的关系． 【答案】（1） 解：（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【变式1】（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，为的两个外角，则当减少时，的变化是（     ） A．减少 B．增大 C．保持不变 D．增大 【答案】B 【分析】根据外角的性质，推出为定值，进行分析即可. 解：由题意，， ∴， ∴当减少时，∠2增大. 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，若，，，则_________________． 【答案】 【分析】利用三角形的外角性质先求解的度数， 再利用三角形内角和定理求解 即可. 解： ，，， ， 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，点D在的内部．求证： （1）； （2）． （3）如果点D在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【分析】（1）运用三角形外角的性质可得，，由此可证明． （2）运用三角形外角的性质来进行推理即可． （3）运用三角形内角和的性质来进行推理即可． 解：（1）证明：延长交于点E，如图， ， ， ， ， ； （2）证明：延长交于点E，如图， ，， ． （3） ，证明如下： 连接，如图， ，， ， ． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2024·广东清远·一模）如图所示，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的外角的性质解题即可． 解：∵， ∴． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 【答案】D 【分析】本题考查基本事实、定理、命题与定义的概念辨析，关键是明确基本事实是无需证明的公认真命题，定理是经过逻辑推理证明的真命题，定义是对概念的准确描述且属于真命题． 解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本事实、定理等，该说法正确； 选项B：定义是对概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正确； 选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确； 选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法错误． 故选：D． 3．（25-26七年级下·湖南永州·期中）如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和性质列式，即可求出的度数． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·海南三亚·模拟预测）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（     ） A．165° B．155° C．125° D．115° 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，根据重力方向竖直向下及斜面坡角，利用三角形外角性质求出斜面与重力方向延长线的夹角，再结合平行线性质求解． 解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， 根据三角形外角性质，斜面与重力方向的夹角（钝角）为， 平行于斜面， ． 5．（2026·四川眉山·中考真题）如图，已知直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出同位角相等，再结合三角形外角的性质进行计算即可． 解：如图，设直线与截线的夹角为 ， 是三角形的外角 ． 6．（2026·河南新乡·三模）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A、E、C、F在同一条直线上，，，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得到，进而根据三角形外角的性质作答即可． 解：， ， ， ， ， ． 7．（2026·河南平顶山·三模）将一副三角尺（分别含和角）按如图所示的位置摆放，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：如图，标记点，，． 由题意，知， ， ． 8．（25-26七年级下·广东惠州·期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②如果则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【答案】B 【分析】根据余角的性质，平行线的判定，直角三角形，三角形的外角，逐项分析求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故④正确； ∴正确的序号为①②④ （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数是_____． 【答案】 【分析】利用三角形角的和差以及三角形外角和定理求解． 解：∵， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的外角，则的度数为______． 【答案】 解：∵是的外角， ∴． 11．（2026·河北保定·三模）如图，写出图中比大的角：________．（写出一个即可） 【答案】（或 或 或 ） 【分析】根据三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角及对顶角相等即可得出答案． 解：∵是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵与是对顶角， ∴， 综上，图中比大的角为或 或 或 ．（写出一个即可） 12．（2026·山东聊城·二模）如图，在一束平行光线中插入一张矩形纸板．如果光线与纸板左下方所成的是，则光线与纸板右上方所成的的度数是__________． 【答案】/20度 【分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质解答即可． 解：如图， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，已知，，，则___________度． 【答案】 【分析】设与交于点，根据平行线的性质得，再根据外角的性质即可求解． 解：如图，设与交于点， ∵， ． ， ． 14．（25-26七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 【答案】30 【分析】延长交于．根据三角形内角和公式求出，可得，根据三角形外角的性质得，然后代入数据求解即可． 解：延长交于． ，， ， ． ，， ． ． 15．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，一张直角三角形纸片，，，，将纸片沿折叠，使点落在点处，则的度数为______ ． 【答案】 【分析】由，得，由折叠得，，可证明、、三点在同一条直线上，根据三角形外角和定理即可解答． 解：，， ， 将沿折叠，点落在点处， ，， ， 、、三点在同一条直线上， ． 16．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，点在上，连接．根据图中标出的度数可知____． 【答案】 【分析】由三角形的外角和定理得，结合的内角和求出的值，从而求出的值． 解：， ， ， ， ． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）命题：直角三角形的两锐角互余． （1）将此命题写成“如果…，那么…”：______； （2）请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；（2）该命题是真命题，详见分析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念： （1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题； （2）根据三角形内角和定理计算，即可证明． 解：（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 （2）解：该命题是真命题 已知：如图，在中， 求证： 证明： ． 18．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，，平分． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用三角形内角和即可解答； （2）根据三角形外角的性质即可解答． 解：（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴； （2）解：在中，由三角形外角的性质得． 19．（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，平分外角，平分外角，平分，平分，求的度数． 【答案】 【分析】利用三角形的外角的性质与内角和定理先求解，进一步利用角平分线的性质得到，，再利用三角形的内角和定理可得答案. 解：，， ， ， ， 平分外角，平分外角， ，， 平分，平分， ，， ， ． 20．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，点D在上，是的平分线，点F在的延长线上，连接交于点G，． （1）求证：； （2）若且，求的度数． 【答案】（1）证明：在中，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出，结合角平分线的定义推得，根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）根据两直线平行，同位角相等得出，推得，设，则，，结合三角形内角和是列方程求出的值，即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴； 设，则，，， 在中，， 即， 解得； 故． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $