精品解析：四川省绵阳南山中学实验学校2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）半期考试试题 数学 完成时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列的首项为1，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 已知函数，则（     ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个 A. B. C. D. 4. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A. 函数在处取得极小值 B. 函数在处取得极大值 C. 函数在上单调递增 D. 函数的递减区间为 5. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ） A. 140种 B. 120种 C. 35种 D. 34种 6. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（     ） A. 3 B. C. D. 9 7. 高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同，则不同的书写方法数为（     ） A. 120 B. 160 C. 180 D. 240 8. 设数列的前项之积为，满足，则（   ） A. B. C. D. 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 到了毕业季，某科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（ ） A. 所有不同的排法种数为120种 B. 如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种 C. 如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种 D. 如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种 10. 设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（     ） A. B. C. 使>0成立的的最大值为14 D. 为的唯一最大值 11. 已知不等式在上恒成立（当且仅当时等号成立），下列不等式正确的是（     ） A. B. C. D. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，常数项是______. 13. 我校新采购了5套不同的实验器材，预计分配到高一、高二、高三三个年级的实验室，要求每个年级至少分到1套实验器材，那么共有__________种不同的分配方案. 14. 已知等差数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 __________. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程 （2）若，求函数的最大值与最小值. 16. 已知等差数列和正项等比数列满足：，，． （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求． 17. 已知函数. （1）设函数，若在定义域上存在减区间，求实数的取值范围； （2）若对任意的，且，都有，求实数的取值范围． 18. 已知数列，若，且． （1）证明数列是等比数列，并求出的通项公式； （2）若，且数列的前项和为，求； （3）若，且数列的前项和为，求证：. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）讨论在上的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）半期考试试题 数学 完成时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列的首项为1，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由递推公式即可写出的值. 【详解】当时，∵，∴， 当时，∵，∴， 当时，∵，∴. 故选：A. 2. 已知函数，则（     ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，再将代入导函数，进而求出的值. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为，所以， . 故选：D. 3. 某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数，再求出后接4个数字组成的方法数，由分步计数原理即可得结论． 【详解】解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为，后接4个数字组成的方法数为，所以由分步计数原理可得不相同的牌照号码共有个. 故选：D． 4. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A. 函数在处取得极小值 B. 函数在处取得极大值 C. 函数在上单调递增 D. 函数的递减区间为 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象判断出的单调性可得答案. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值， 在处取得极小值， 故选：B. 5. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ） A. 140种 B. 120种 C. 35种 D. 34种 【答案】D 【解析】 【分析】先求选出4人参会，总的选法共有种，再计算全是男生的选法，做差即可得结果. 【详解】由题意得：选出4人参会，总的选法共有种， 选出4人均为男生的选法有种， 则4人中既有男生又有女生的选法共有种， 故选：D. 【点睛】本题考查组合的应用，正难则反，巧妙运用间接法是解题的关键，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题. 6. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（     ） A. 3 B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的极值可得，是方程的两根，结合一元二次方程根与系数的关系得，结合等比数列的性质求解即可. 【详解】由题得， 因为，是函数的极值点，则，是方程的两根， 所以，从而可得， 又因为等比数列，可得，且，所以. 故选：B. 7. 高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同，则不同的书写方法数为（     ） A. 120 B. 160 C. 180 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域书写的文字颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，讨论C，A同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色的笔书写文字，相邻的区域书写的文字颜色不同，可分步进行， 区域A有5种涂法，B有4种涂法， C，A不同色，C有3种，D有2种涂法，有5×4×3×2=120种， C，A同色，D有3种涂法，有5×4×3=60种， ∴共有180种不同的涂色方案 . 故选：C. 8. 设数列的前项之积为，满足，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当时，可得，当时，，结合题意可得，即是首项为3，公差为2的等差数列，利用等差数列的通项公式可得，可得，继而即可求解. 【详解】当时，，所以， 当时，， 可得，即，即， 即，所以是首项为3，公差为2的等差数列， 所以， 所以，所以. 故选：. 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 到了毕业季，某科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（ ） A. 所有不同的排法种数为120种 B. 如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种 C. 如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种 D. 如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，5个人全排列；对B，相邻问题捆绑法；对C，利用特殊元素法，先安排特殊元素甲，再安排其它人；对D，不相邻问题插空法求解. 【详解】对于A，5名同学排一排共有种不同排法，故A正确； 对于B，相邻问题捆绑法，共有种排法，故B正确； 对于C，先排甲，有3个位置可选，再排另外4人有种，共有种排法，故C错误； 对于D，先将除了甲丙之外的三人排好有种，再插空甲丙有种，共有种排法，故D正确. 故选：ABD. 10. 设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（     ） A. B. C. 使>0成立的的最大值为14 D. 为的唯一最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式代入计算，即可得到，从而判断AB，再由即可判断CD. 【详解】根据题意可得，即． 因为，，所以，所以数列是递减数列，所以A，B正确； 对于C，因为，，故C正确； 对于D，因为，所以，又为递减数列， 所以或为的最大值，故D不正确． 故选：ABC 11. 已知不等式在上恒成立（当且仅当时等号成立），下列不等式正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知不等式，对赋值可以判断四个选项. 【详解】对于A，将替换为，则，所以，所以A正确； 对于B，由A可得，故，又由题设得， 故，即，故B正确； 对于C，D由已知和 A得， 令得， 即，所以C，D错误； 故选：AB. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，常数项是______. 【答案】15 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项特征，即可求解. 【详解】由题意的展开式的通项为， 令即，则，所以的展开式中的常数项为. 故答案为：. 13. 我校新采购了5套不同的实验器材，预计分配到高一、高二、高三三个年级的实验室，要求每个年级至少分到1套实验器材，那么共有__________种不同的分配方案. 【答案】150 【解析】 【分析】先将套不同的实验器材分成组，再将分好的组全排列分配到三个年级，根据分步乘法计数原理计算出不同的分配方案数. 【详解】将套不同的实验器材分成组，有两种分法： 按1，1，3分组：从套器材中选套为一组，其余套各为一组，共有种分法.  按2，2，1分组：从套器材中选套为一组，再从剩下的套中选套为一组，剩下套为一组，但这里有重复情况，需要除以消除重复，所以共有种分法. 则将套不同的实验器材分成组，共有种分法.   将分好的组全排列分配到三个年级， 将分好的组全排列，对应高一、高二、高三三个年级，共有种排法.  所以不同的分配方案共有种.  故答案为：150. 14. 已知等差数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算可得进而由等差数列的性质得进而利用作差法求解数列的单调性，求解最值即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为. 由，得： 由，得： 将代入上式：化简得： 因此，公差，通项公式为： 在与之间插入个数，构成项的等差数列，其公差为： 设，则 故，所以单调递增，最小值为. 数列的最小值：，当时，. 对任意，存在，使得.由于且，只需保证，即. 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程 （2）若，求函数的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，进而得出切线方程； （2）先求出导函数，进而得出单调性，最后得出函数的最值. 【小问1详解】 由题，则切线的斜率为， 故曲线在点处的切线方程为，即为； 【小问2详解】 ∵，令，解得：或， 令，解得：， ∴在单调递增，在单调递减，在单调递增； ∴，， 又，，，， 所以在上的最大值为，最小值为. 16. 已知等差数列和正项等比数列满足：，，． （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程组求出公差、公比即可得解； （2）根据错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设数列的公差为，数列的公比为， 则， 消元得或（舍去），故， 故. 【小问2详解】 由， 则① ② ①②得： 故. 17. 已知函数. （1）设函数，若在定义域上存在减区间，求实数的取值范围； （2）若对任意的，且，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数及导数，利用导函数在上有解求出的范围. （2）等价变形给定不等式并构造函数，利用函数单调性定义确定单调性，再利用导数结合单调性求出的范围. 【小问1详解】 由函数，得，函数的定义域为， 求导得，由在定义域上存在减区间，得在上有解， 因此不等式在上有解，而恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由函数的定义域为， 对任意的，且，都有，不妨设， 则， 设，即，， 因此函数在上是增函数， 于是对恒成立， 即对恒成立，而， 当且仅当时取等号，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 18. 已知数列，若，且． （1）证明数列是等比数列，并求出的通项公式； （2）若，且数列的前项和为，求； （3）若，且数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）证明见解析， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先对变形得到，结合的值确定是等比数列，进而求出. （2）由（1）得出表达式，再对裂项，通过裂项相消求出. （3）同样由（1）得到表达式并裂项，用裂项相消求，根据单调性和范围确定范围. 【小问1详解】 因为，所以，又，所以， 所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，则. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 所以 【小问3详解】 由（1）可得 易知在上单调递增，且恒成立，所以 故得证. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）讨论在上的零点个数. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）对求导后因式分解，根据的正负讨论导数正负，确定函数单调区间. （2）根据前面单调性结论，分和讨论.时函数在递减，不满足条件；时再分和，前者满足条件，后者不满足，最终得出范围是. （3）本题是根据的不同取值范围，分析函数单调，得到最值，进而得到零点个数. 【小问1详解】 的定义域为R， ①当时，，在R上单调递减. ②当时，令，解得，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上：若，在R上单调递减；若，在上单调递减，在上单调递增 【小问2详解】 由（1）可知，①当时，在上单调递减，所以，不满足在上恒成立. ②当时，在上单调递减，在上单调递增. 1）若，即，在上单调递增，那么，满足在上恒成立. 【小问3详解】 若，即，，则在上单调递减，在上单调递增..不满足在上恒成立. 综上，的取值范围是 （3）①当，在R上单调递减，当；当，所以有一个零点. ②当时，在上单调递减，在上单调递增. 令所以在上单调递增，又 所以当时，，函数有一个零点. 当时，，函数无零点. 当时，， 当；当函数有两个零点. 综上：当，有一个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数有一个零点； 当时，函数无零点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $