精品解析：四川省双流中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

四川省双流中学2025-2026学年度高2024级高二下期中考试 数学学科试卷 注意事项： 1.本试卷共8道单选题，3道多选题，3道填空题，5道解答题. 2.选择题部分用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色墨迹签字笔书写. 3.考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸交回. 一、单项选择题.（共8题，每5题，共40分） 1. 的求导结果（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的求导法则求解. 【详解】. 2. 已知等比数列中，，，则等于（ ） A. B. 4 C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得，，即可得解. 【详解】设数列的公比为， 数列为等比数列，且，， 又，，. 故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式和性质的应用，属于基础题. 3. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【详解】 ，即 . 4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 【答案】A 【解析】 【详解】由图可知，当时，，而，则； 当时，，而，则； 当时，，而，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则有极大值，无极小值. 5. 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）中阴影三角形的个数为1，记为，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为，以此类推，，，…，数列构成等比数列.设的前n项和为，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，再求出，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：易知，所以，由，得，所以. 故选：C 6. 记为数列的前n项和.若，则（ ） A. 有最大项，有最大项 B. 有最大项，有最小项 C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的性质可判断得有最大项，再分析的正负情况可判断得有最大项，从而得解. 【详解】根据题意，， 对于二次函数，，其开口向下，对称轴为， 则当时，取得最大值， 所以当时，有最大值为16，所以有最大项. 又由可解得， 则当时，，当时，，当时，， 所以当或8时，最大， 则有最大项，有最大项. 故选：A. 7. 定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究单调性，比较函数值的大小. 【详解】由，得． 设函数，则， 所以在上单调递减，从而， 即，即． 8. 已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于函数在不是单调函数，则在内存在极值点，求导即可得结果． 【详解】由于函数在不是单调函数， 则在内存在极值点，所以在内有解， 即在内有解， ． 故选：D 二、多选题.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 下面正确的是（ ） A. 在等比数列中，若，，则 B. 等差数列的前项和为，且，则的最大值为 C. 在等差数列中，若，，则 D. 在等比数列中，若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由等比中项的性质可得A正确；由等差数列的性质可得B正确；由等差的性质可得C错误；由等比数列下标的性质可得D错误； 【详解】对于A，因为为等比数列，所以，故A正确； 对于B，因为，，而， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，因为为等差数列，所以， 所以，故C错误； 对于D，因为为等比数列，所以，故D错误； 故选：AB. 10. 已知，且，则（ ） A. 存在，使得 B. 对任意，都有 C. 对任意，都存在，使得 D. 若过点可以作曲线的两条切线，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出，结合可解出，即有的解析式， 对A，根据单调性与的符号即可判断； 对B，根据单调性，得出函数凹凸性，即可判断； 对C，为割线斜率，根据单调性，可知上是否存在平行于割线的切线，则有，即可判断； 对D，设函数的切线方程，代入可得，此时有两条切线等价于方程有两个互异实根，令，讨论的单调性、最值，即可判断的范围. 【详解】，故，，， 再由，可得，，故， ，故在上单调递增， 对A，在上单调递增且，故不存在，使得，A错； 对B，，在上单调递增，故在上增加得越来越快，图像下凸，故对任意，都有，B对； 对C，由上得，图像下凸，故图像上任意一条割线AB，必存在与AB平行，切点为的切线，此时，即，故C对； 对D，设切点为，则切线方程为，将代入得：，要有两条切线，则方程有两个互异实根， 令，则，则当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，故， 当时，；当时，， 故只需，即可使有两个互异实根，故D对. 故选：BCD 11. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 方程有三个根 C. 若关于的方程在区间上有两解，则或 D. 若函数在区间上有最大值，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得的对称中心为，即可得到，从而求出、的值，再利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，即可画出函数图象，最后根据图象一一分析即可. 【详解】对于三次函数，则，， 若，令，则（、为的两根，为三次函数的两个极值点）， 令，则，所以， 依题意的极大值点和极小值点分别为，且有， 所以的对称中心为， 对于A，由，可得，， 所以，即，解得，故A正确； 对于B，因为，， 当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 则的图象如下所示： 由图可知与有且仅有个交点，所以方程有三个根，故B正确； 对于C，又，若关于的方程在区间上有两解， 即与在区间上有两个交点，则，故C错误； 对于D，由， 若函数在区间上有最大值，则，解得，即，故D正确. 故选：ABD 三、填空题.（15分） 12. 已知数列的通项公式为，则_________. 【答案】18 【解析】 【分析】将4代入通项公式，即得. 【详解】因为，所以. 13. 函数过的切线方程为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】分点是切点和点不是切点两种情况讨论，再分别求出这两种情况时的切线的斜率即可求出对应的切线方程． 【详解】由， 又，则点在函数的图象上， 又， 当是切点时，切线的斜率为， 此时函数的切线为，即； 当不是切点时，设切点为，， 则切线的斜率为， 整理得，解得，或（舍去）， 则切线的斜率， 此时函数的切线为，即． 综上，切线方程为或． 14. ，当时，的极值点个数_________；当不确定的时候，的极小值点个数可能为_________. 【答案】 ①. 0 ②. 0 【解析】 【分析】根据极值点与导数的关系确定． 【详解】不论为何值，恒成立， 所以单调递增，无极值，当时，极值点个数为0，当不确定的时候，的极小值点个数也为0. 四、解答题.（77分） 15. 已知数列的前项和为，其中为常数，． （1）求数列的通项公式； （2）若是等差数列，求和的取值范围，然后求出这个等差数列公差． 【答案】（1） （2）可以是任何实数，， 【解析】 【分析】（1）利用与分段求通项，区分和两种情况求出； （2）已知是等差数列，利用公差的性质，解出参数条件，同时得到公差表达式即可． 【小问1详解】 数列通项与前项和的关系是， 当时，代入题设相减， 对于，， 综上可得，． 【小问2详解】 对于，此时是等差数列， 公差为， 此时需要保证第一项和后面的项，构成等差数列， 因此，计算后得， 故可以是任何实数． 16. 已知. （1）求； （2）讨论的单调性，直接写出答案，不用写出过程； （3）求在上可能的极值点个数.（用含的式子表示，写出最后答案即可） 【答案】（1） （2）若增区间，减区间；若，增区间，减区间；，无单调性 （3）（表示为向下取整数.） 【解析】 【分析】小问（1）直接运用复合函数求导公式求解；小问（2）运用小问（1）的求导结果对进行讨论；小问（3）运用极值点与导数的关系将的值与题目要求的定义域内进行求解. 【小问1详解】 因为，所以， 【小问2详解】 由（1）可知，故对讨论， 当时，为常数函数，不单调; 当时, ，则单调递增， 即，则， 故； ，则单调递减， 即，则， 故； 当时, ，则单调递增， 即，则， 故； ，则单调递减， 即，则， 故； 【小问3详解】 由（1）可知， 极值点要满足，即， 得，解得， 当时，为常数函数，无极值点； 当时，当时，， 故讨论即可，因为，故， 解得，故极值点的个数为（向下取整） 17. 已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式． （2）结合题意利用分组求和法与错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为， 等比数列的公比为，，则 解得， 所以数列的通项公式，的通项公式为. 【小问2详解】 由题意得， 则数列的前项和 ， 设， 则， 则 ， 所以，所以. 18. 有一不等式：，. （1）能否给出两个区间，使得“且”与“，”互为充要条件?说明理由.(注意均为非空开区间) （2）求的最大值； （3）当，对于所有整数都有吗?请说明理由. 【答案】（1）不能，理由如下：当可得，由可得，这两个投影范围可以求出，但与之间存在约束条件；例如虽然满足投影范围，但不满足原不等式(例如取)，因此可行域不是矩形区域.故不存在独立的范围. （2） （3）令，需要验证，对于任意整数均有; 当时，，成立；当，，成立 当令 则，则故对所有 均成立；当左边，故不等式成立 综上，对于所有整数均成立. 【解析】 【分析】（1）通过举出反例说明结果； （2）将问题化成两方程的公共点问题，并将化成函数，求这个函数的最大值问题； （3）将a与b的值代入，并对x分类讨论进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若直线与曲线没有公共点，那么恒成立， 因在时有最小值，可适当向上平移直线仍然使得不等式成立， 从而会更大，故最大值时直线与曲线必有公共点，但是不能相交， 设直线与曲线切于，则： 则，令， ，当时，， 当时，， 当时，， 故当时，取最大值，. 【小问3详解】 略 19. 设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数． （1）求； （2）求的单调区间； （3）设，函数，求证：． 【答案】（1） （2）单调递增区间是，，单调递减区间是 （3）证明：由， 得，， 令函数，则， 由（1）知，当时，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 因此，当时，，得，即， 令函数，则， 由（1）知，在上单调递增， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 因此，当时，，即， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据导数的运算规则求导； （2）利用导数判断函数单调性； （3）分别把、构成两个单变量函数，通过导数分析单调性、极值，结合零点条件确定函数符号，最终得出乘积小于0． 【小问1详解】 由，可得， 进而可得． 【小问2详解】 ，解得或， 当x变化时，，的变化情况如下表： x + － + ↗ ↘ ↗ 所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省双流中学2025-2026学年度高2024级高二下期中考试 数学学科试卷 注意事项： 1.本试卷共8道单选题，3道多选题，3道填空题，5道解答题. 2.选择题部分用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色墨迹签字笔书写. 3.考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸交回. 一、单项选择题.（共8题，每5题，共40分） 1. 的求导结果（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列中，，，则等于（ ） A. B. 4 C. D. 不确定 3. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 5. 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）中阴影三角形的个数为1，记为，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为，以此类推，，，…，数列构成等比数列.设的前n项和为，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 记为数列的前n项和.若，则（ ） A. 有最大项，有最大项 B. 有最大项，有最小项 C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项 7. 定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（       ） A. B. C. D. 8. 已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 下面正确的是（ ） A. 在等比数列中，若，，则 B. 等差数列的前项和为，且，则的最大值为 C. 在等差数列中，若，，则 D. 在等比数列中，若，，则 10. 已知，且，则（ ） A. 存在，使得 B. 对任意，都有 C. 对任意，都存在，使得 D. 若过点可以作曲线的两条切线，则 11. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 方程有三个根 C. 若关于的方程在区间上有两解，则或 D. 若函数在区间上有最大值，则 三、填空题.（15分） 12. 已知数列的通项公式为，则_________. 13. 函数过的切线方程为_______________． 14. ，当时，的极值点个数_________；当不确定的时候，的极小值点个数可能为_________. 四、解答题.（77分） 15. 已知数列的前项和为，其中为常数，． （1）求数列的通项公式； （2）若是等差数列，求和的取值范围，然后求出这个等差数列公差． 16. 已知. （1）求； （2）讨论的单调性，直接写出答案，不用写出过程； （3）求在上可能的极值点个数.（用含的式子表示，写出最后答案即可） 17. 已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 有一不等式：，. （1）能否给出两个区间，使得“且”与“，”互为充要条件?说明理由.(注意均为非空开区间) （2）求的最大值； （3）当，对于所有整数都有吗?请说明理由. 19. 设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数． （1）求； （2）求的单调区间； （3）设，函数，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $