精品解析：山东省潍坊市奎文区2025-2026学年度第二学期期末质量检测八年级数学试题

2025—2026学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 2. “毫”“厘”“丝”“忽”均为我国古代的长度计量单位．《孙子算经》中规定1丝约为，用科学记数法表示0.00000231为（ ） A. B. C. D. 3. 如图1是汉画像石《庖厨图》，图中建筑可近似地看成如图2中的五边形，其中，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的多项式可以分解为，则，的值为（ ） A. 12，6 B. 8，4 C. 10，8 D. 2，6 5. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C. 在一个圆中，直径大于任意一条不经过圆心的弦 D. 在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（ ） A. 在圆外部，在圆外部 B. 在圆外部，在圆内部 C. 在圆内部，在圆内部 D. 在圆内部，在圆外部 8. 《孙子算经》中“物不知数”问题的原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，恰好剩余2辆车；每2人共乘一车，则有9人无车可乘．问共有多少人，多少辆车？若设共有人，辆车，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 9. 如图是一盏台灯及其示意图．支撑杆垂直底座于点，与分别是可绕点和点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转以调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持．当，时，的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，与互余，下列说法：①；②；③若，则；④若，则，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 已知、、是的三条边，其中，，请写出一个满足条件的的值______． 12. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 13. 以下是小亮解方程组的过程，其中开始出现错误的是第______步，错因是_________________． 14. 阅读以下材料，解决问题： 问题：已知，求的最小值． 解：因为， 所以， 则， 因为的最小值为0， 所以的最小值为， 所以的最小值为． 若，则的最大值为______． 15. 某同学用六个如图1所示的三角形纸片拼接出图2所示的图形，该图形外轮廓是正六边形．如果用若干个如图1所示的三角形纸片按照图3所示的方法拼接，得到一个外轮廓是正边形的图形，那么该正边形的内角和为______°． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与化简： （1）； （2）； （3）先化简，再求值：，其中，． 17. 阅读证明过程，在横线处将其补充完整，并在括号内填写推理依据． 已知：如图，四边形中，直线过点交于点，交的延长线于点，，．求证：． 证明：因为， ， 所以，（ ） 所以， 所以， 又因为， 所以 ，（ ） 所以．（ ） 18. 说明“两个连续偶数的平方差是的倍数”是真命题． 19. 如图是一种空心混凝土管道，它的内径，外径，长度为． （1）计算浇制一节的管道需要多少立方分米的混凝土（结果保留）； （2）现浇制了10节与上述内径、外径相同，长度分别为、的两种管道，所用混凝土总体积为，求浇制两种长度的管道各多少节？ 20. 如图，在中，、、是三个内角的平分线，交于点． （1）若，求的度数； （2）判断与的数量关系并说明理由． 21. 数形结合是一种重要的数学思想方法，在学习乘法公式时，借助图形的面积可以直观验证整式的乘法公式，了解公式的几何背景． （1）如图1，正方形由一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，两个长、宽分别为a、b的长方形拼接而成．通过计算阴影部分的面积，可以得到关于a、b的关系式（用含a、b的代数式表示）； （2）如图2，正方形、的边长分别为x、y，其中点F在上，点H在上，若，，求图中阴影部分的面积； （3）如图3，两个正方形的边长分别为m和，且，求阴影部分的面积． 22. 某市物流公司启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城外卖急送．运营一段时间后，物流公司整理了如下相关资料： 资料1 【配送时间】 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为，每单外卖取货与送货固定消耗10分钟． 无人机：平均时速为，每单外卖起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟． （注：配送总时长=行驶时长+固定消耗时长） 资料2 【配送账单】 该市一家咖啡店某天共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送．已知传统骑手每单配送费6元，无人机每单配送费10元，平均每单的配送距离为，总配送费为380元． 资料3 【采购计划】 为了扩大规模，物流公司计划投入50万元全部用于采购“旋翼A型”和“旋翼B型”这两种新型无人机，且两种型号都购入． 旋翼A型：单价4万元，最大载重量15千克； 旋翼B型：单价6万元，最大载重量25千克． 根据上述资料，解决下列问题： （1）现有一单外卖需要从A地送往B地，两地之间距离为，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省________小时（用含的代数式表示）； （2）当天该咖啡店使用“传统骑手”“无人机”各配送了多少单？所有订单相比全部使用“传统骑手”共节省了多少小时？ （3）该物流公司在采购新型无人机时，共有哪几种满足条件的采购方案？哪种采购方案能使新购入无人机的总载重量最大？ 23. 如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 （1）如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 （2）如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二元一次方程解的定义，将选项中的值代入方程，验证等式是否成立即可得到答案． 【详解】解：选项A、 将代入，左边，右边，，故A错误； 选项B、 将代入，左边，右边，，故B错误； 选项C、将代入，左边，右边，左边右边，满足方程，故C正确； 选项D、 将代入，左边，右边，，故D错误． 2. “毫”“厘”“丝”“忽”均为我国古代的长度计量单位．《孙子算经》中规定1丝约为，用科学记数法表示0.00000231为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】． 3. 如图1是汉画像石《庖厨图》，图中建筑可近似地看成如图2中的五边形，其中，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，再结合已知条件，，列方程求解即可； 【详解】解：五边形的内角和为， ，， ， ，且，， ， ， ． 4. 关于的多项式可以分解为，则，的值为（ ） A. 12，6 B. 8，4 C. 10，8 D. 2，6 【答案】A 【解析】 【分析】先展开分解后的因式乘积，根据多项式相等时对应项系数相等，列等式求解即可得到和的值． 【详解】解：∵，多项式可以分解为， ∴， ∴ ， 解得． 5. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C. 在一个圆中，直径大于任意一条不经过圆心的弦 D. 在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方的概念，垂径定理，圆的概念，三角形内角和，找出假命题即可． 【详解】解：对于选项A，∵当，时，满足，但，，此时，∴该命题是假命题； 对于选项B，同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线，同位角均为，同位角相等则两直线平行，该命题是真命题； 对于选项C，圆中直径是最长的弦，因此直径大于任意一条不经过圆心的弦，该命题是真命题； 对于选项D，直角三角形两个锐角和为，若两个锐角都大于，则内角和大于，与直角三角形内角性质矛盾，因此至少有一个锐角不大于，该命题是真命题． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂除法法则、积的乘方法则、单项式乘法法则、平方差公式、多项式除以单项式法则，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C： ，C错误； 选项D：，D正确． 7. 在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（ ） A. 在圆外部，在圆外部 B. 在圆外部，在圆内部 C. 在圆内部，在圆内部 D. 在圆内部，在圆外部 【答案】B 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 8. 《孙子算经》中“物不知数”问题的原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，恰好剩余2辆车；每2人共乘一车，则有9人无车可乘．问共有多少人，多少辆车？若设共有人，辆车，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实际问题中的等量关系列出二元一次方程组，设共有人，辆车，分别根据两种乘车情况梳理数量关系即可得到方程组． 【详解】解：设共有人，辆车， ∵每3人共乘一车，剩余2辆车空，实际使用车辆为，总人数等于每车人数乘实际使用车辆数， ； ∵每2人共乘一车，有9人无车可乘，乘车总人数为，加上无车的9人等于全部人数， ； 因此可列方程组． 9. 如图是一盏台灯及其示意图．支撑杆垂直底座于点，与分别是可绕点和点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转以调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持．当，时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意延长交于点，延长交于点，根据平行线的性质，则，，再根据三角形的内角和，，求出，最后根据计算即可． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，与互余，下列说法：①；②；③若，则；④若，则，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， ，， ∴， ∴①②正确， 若，则，题目中没告知与的位置关系， ∴无法求出的大小； 若， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ∴④正确． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 已知、、是的三条边，其中，，请写出一个满足条件的的值______． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，在取值范围内任取一个值即可得到答案． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：， ∵，， ∴， ∴， 在范围内任取一个值即可，本题取． 12. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 【答案】 ①. 两个角是对顶角 ②. 这两个角相等 【解析】 【分析】把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可． 【详解】解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等． 13. 以下是小亮解方程组的过程，其中开始出现错误的是第______步，错因是_________________． 【答案】 ①. 一 ②. 移项没有变号 【解析】 【分析】根据代入消元法的运算法则进行判断即可． 【详解】解：解方程的正确步骤为： ， 由①得：， 将③代入②得：， 解得： 代入③得：， ∴原方程组的解为． 14. 阅读以下材料，解决问题： 问题：已知，求的最小值． 解：因为， 所以， 则， 因为的最小值为0， 所以的最小值为， 所以的最小值为． 若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】仿照题干给出的消元配方方法，将用含的代数式表示，代入后配方为顶点式，根据平方的非负性求最大值即可 【详解】解：， ， 将代入得： ， ， ， ， 的最大值为． 15. 某同学用六个如图1所示的三角形纸片拼接出图2所示的图形，该图形外轮廓是正六边形．如果用若干个如图1所示的三角形纸片按照图3所示的方法拼接，得到一个外轮廓是正边形的图形，那么该正边形的内角和为______°． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，进而得到，则可求出的度数，据此可求出图3中正n边形一个内角的度数，再根据正n边形内角和定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图2所示， ∵图2的外轮廓是正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴图3中，这个正n边形的一个内角的度数为， ∴， 解得， ∴该正边形的内角和为． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与化简： （1）； （2）； （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2） （3）化简结果为，值为 【解析】 【小问1详解】 解：    【小问2详解】 解：  【小问3详解】 解： ， 当，时， 原式． 17. 阅读证明过程，在横线处将其补充完整，并在括号内填写推理依据． 已知：如图，四边形中，直线过点交于点，交的延长线于点，，．求证：． 证明：因为， ， 所以，（ ） 所以， 所以， 又因为， 所以 ，（ ） 所以．（ ） 【答案】等量代换；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及判定即可求解． 【详解】略 18. 说明“两个连续偶数的平方差是的倍数”是真命题． 【答案】证明：设两个连续偶数为和（为整数）， 则两个连续偶数的平方差为， ，且为整数， 是的倍数， “两个连续偶数的平方差是的倍数”是真命题． 【解析】 【分析】设两个连续偶数为和（为整数），计算平方差即可解答． 【详解】略 19. 如图是一种空心混凝土管道，它的内径，外径，长度为． （1）计算浇制一节的管道需要多少立方分米的混凝土（结果保留）； （2）现浇制了10节与上述内径、外径相同，长度分别为、的两种管道，所用混凝土总体积为，求浇制两种长度的管道各多少节？ 【答案】（1） （2）长度为的管道有节，的管道有节． 【解析】 【分析】（1）根据体积公式即可求解； （2）设长度为的管道有节，的管道有节，构造二元一次方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 答：计算浇制一节的管道需要立方分米的混凝土； 【小问2详解】 解：由（1）可知，浇制一节的管道需要立方分米的混凝土； 则浇制一节的管道需要立方分米的混凝土； 设长度为的管道有节，的管道有节， 由题可得：， 解得： 则长度为的管道有节，的管道有节． 20. 如图，在中，、、是三个内角的平分线，交于点． （1）若，求的度数； （2）判断与的数量关系并说明理由． 【答案】（1） （2）， 证明：设， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线可知，进而由三角形的外角即可求解； （2）设，根据角平分线以及三角形的内角关系即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分，， ∴， ∵ ∴ ∴ 【小问2详解】 略 21. 数形结合是一种重要的数学思想方法，在学习乘法公式时，借助图形的面积可以直观验证整式的乘法公式，了解公式的几何背景． （1）如图1，正方形由一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，两个长、宽分别为a、b的长方形拼接而成．通过计算阴影部分的面积，可以得到关于a、b的关系式（用含a、b的代数式表示）； （2）如图2，正方形、的边长分别为x、y，其中点F在上，点H在上，若，，求图中阴影部分的面积； （3）如图3，两个正方形的边长分别为m和，且，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去2个长方形的面积，即可得出结果； （2）根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去2个三角形的面积，即可得出结果； （3）根据阴影部分的面积等于两个三角形的面积相加，即可得出结果． 【小问1详解】 解：阴影部分的面积为：， 也可以表示为：， 则得：； 【小问2详解】 解：图中阴影部分的面积为：， ∵，， ∴图中阴影部分的面积为：， 【小问3详解】 解：阴影部分的面积为：， ∵， ∴阴影部分的面积为：． 22. 某市物流公司启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城外卖急送．运营一段时间后，物流公司整理了如下相关资料： 资料1 【配送时间】 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为，每单外卖取货与送货固定消耗10分钟． 无人机：平均时速为，每单外卖起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟． （注：配送总时长=行驶时长+固定消耗时长） 资料2 【配送账单】 该市一家咖啡店某天共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送．已知传统骑手每单配送费6元，无人机每单配送费10元，平均每单的配送距离为，总配送费为380元． 资料3 【采购计划】 为了扩大规模，物流公司计划投入50万元全部用于采购“旋翼A型”和“旋翼B型”这两种新型无人机，且两种型号都购入． 旋翼A型：单价4万元，最大载重量15千克； 旋翼B型：单价6万元，最大载重量25千克． 根据上述资料，解决下列问题： （1）现有一单外卖需要从A地送往B地，两地之间距离为，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省________小时（用含的代数式表示）； （2）当天该咖啡店使用“传统骑手”“无人机”各配送了多少单？所有订单相比全部使用“传统骑手”共节省了多少小时？ （3）该物流公司在采购新型无人机时，共有哪几种满足条件的采购方案？哪种采购方案能使新购入无人机的总载重量最大？ 【答案】（1） （2）传统骑手配送了30单，无人机配送了20单，共节省了小时 （3）共有4种满足条件的采购方案，分别为：方案1：采购旋翼A型11台，旋翼B型1台；方案2：采购旋翼A型8台，旋翼B型3台；方案3：采购旋翼A型5台，旋翼B型5台；方案4：采购旋翼A型2台，旋翼B型7台．采购旋翼A型2台、旋翼B型7台的方案能使总载重量最大． 【解析】 【分析】（1）根据配送总时长=行驶时长+固定消耗时长，统一单位后分别计算两种方式的总时长，作差得到节省时间的代数式； （2）根据总单数和总配送费列出二元一次方程组，求解得到配送单数，再结合[1]的结论计算总节省时间； （3）根据总采购资金列出二元一次方程，求正整数解得到所有采购方案，通过计算比较得到总载重量最大的方案． 【小问1详解】 解：10分钟小时，5分钟小时， 传统骑手配送总时长为小时．无人机配送总时长为小时， 节省的时长为：小时； 【小问2详解】 解：设当天该咖啡店使用传统骑手配送单，无人机配送单， 根据题意得，解得， 已知平均每单配送距离为， 由（1）知每单无人机比传统骑手节省小时， 总节省时间为小时， 答：当天该咖啡店使用传统骑手配送30单，无人机配送20单，所有订单相比全部使用传统骑手共节省了小时； 【小问3详解】 解：设采购旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台，均为正整数， 根据题意得， 变形得， ， ， 解得， 是正整数， 为正偶数， ∵是奇数， ∴是奇数， ∴为正奇数， 的可取值为， 对应的值分别为． 因此共有4种采购方案： 方案1：采购旋翼A型11台，旋翼B型1台； 方案2：采购旋翼A型8台，旋翼B型3台； 方案3：采购旋翼A型5台，旋翼B型5台； 方案4：采购旋翼A型2台，旋翼B型7台． 设总载重量为，则， 代入得， ∵， ∴随的增大而增大， 因此当取最大值时，取得最大值． 即采购旋翼A型2台，旋翼B型7台时，总载重量最大． 23. 如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 （1）如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 （2）如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）； 证明：∵是的中线， ∴是的中线， ∴, 同理可得：,, 设，， ∴, ∵ ∴ ∴ 同理可知，， ∴ ∴,, ∴ （3）30 【解析】 【分析】（1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等； （2）根据中线可知，根据面积转化即可求得，进而可判断相等； （3）连接，延长交于点，根据面积公式可知，，即可求解，进而可求解面积． 【小问1详解】 解：∵是的中线， ∴， ∵和的高相等， 则两个三角形的面积相等； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，延长交于点，延长, 由（2）可知， ∵， ∴, 同理可知, ∵，， ∴,, ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $