精品解析：山东省临沂市罗庄区2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025—2026学年度下学期期末素养水平调研试题（A卷） 八年级数学 （时间：120分钟总分120分） 注意事项：1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键． 逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可． 【详解】解：选项A：，故一定有意义； 选项B：当时，，故不一定有意义； 选项C：当时，，故不一定有意义； 选项D：，故仅在时有意义， 故选：A． 2. 如图，直线交坐标轴于点，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用图象法求出不等式的解集即可. 【详解】解：由图像可知，不等式的解集是. 3. 如图，中，，点F为的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线交于点E，连接，则的长是（ ） A. 5 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得平分，利用证明，得到点是的中点，从而是的中位线，结合题目信息即可得到的长． 【详解】解：由题意得平分， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点， 点F是的中点， 是的中位线， ． 4. 如图，矩形的顶点，，的坐标分别是，，，平行四边形与矩形周长相等，平行四边形的面积是矩形面积的一半，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴，利用周长相等求出，再由面积关系求出，结合勾股定理算出，最后得到点坐标． 【详解】解：如图，过点作轴， 根据题意可知，， 矩形与平行四边形的周长相等， ， ， 平行四边形的面积是矩形面积的一半， ， ， ， 点的坐标为． 5. 为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表： 书籍本数 2 3 4 5 6 人数 2 2 2 3 1 下列关于书籍本数的描述正确的是（ ） A. 众数是3 B. 平均数是3 C. 中位数是4 D. 方差是1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数、平均数、中位数和方差的概念及计算，解题的关键是掌握各统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数；平均数是所有数据之和除以数据个数；中位数是将数据排序后中间位置的数（或中间两数的平均数）；方差是各数据与平均数差的平方的平均数，通过计算判断选项正确性． 【详解】解：、众数是一组数据中出现次数最多的数．由表格可知，5本对应的人数为3人（最多），故众数是5，A错误． 、，B错误． 、将数据按从小到大排列：（共个数据），中位数为第5、6个数的平均数，即，C正确． 、平均数为 ， 方差，D 错误． 故选：C． 6. 将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分三个过程：当水的高度不高于小水杯的高度，当小水杯没有装满水，小水杯装满水，分别分析出高度与时间的关系即可得到答案． 【详解】解：当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度前，水杯内水面的高度为非0的定值，故选项A、D不合题意；当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度后，水杯内水面的高度逐渐增大，当水杯内水面的高度达到水杯高度时，水杯内水面的高度不再增加，故选项B符合题意；选项C不合题意； 7. 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明四边形和四边形为矩形，通过证明三角形全等得，再通过勾股定理求出，算出两段竖直高度差，最后用点地面高度减去差值得到点离地高度． 【详解】解：如图，延长与地面交于点，过点、分别作地面的垂线，垂足为、，过点作， ，， 四边形和四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 8. 如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一点，为的中点．若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先算出正方形边长，然后通过证明平行四边形证出为中点，结合是中点得到 为的中位线，通过勾股定理算出后除以得到长度． 【详解】解：如图，连接，， 四边形为正方形， ，， ， 点，分别是，的中点， ，， ， 四边形为平行四边形， ， 为的中点， ， ， ． 9. 如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用折叠的性质和证直角三角形全等得到，设，在中用勾股定理列方程求出，最后在中勾股算出． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 把沿折叠得到，点是的中点， ，，， ， 在和中， ， ， 设，则，， 在中，， 可得， 解得，即， 故． 10. 如图1，动点从点出发，沿着矩形的边，按照路线匀速运动一周到点停止，速度为．的长与运动时间的关系图象如图2，则矩形对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由图像时间求出，再根据秒的总路程算出，最后用勾股定理求出． 【详解】解：根据图可知，当时，点运动到点， 当时，点运动到点， 则， 由四边形为矩形， 可知，， 设， 可得，即， 解得， 故． 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. （1）函数的自变量x的取值范围是______________； （2）一家新能源汽车零售店的9名销售人员5月份销售的新能源汽车的数量（单位：辆）如下：12，10，3，9，10，12，2，6，14，则销售数量的第一四分位数是______________． 【答案】 ①. 且 ②. 4.5（或6，答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列不等式求解即可得到自变量的取值范围； （2）先将数据按从小到大排序，再根据第一四分位数的计算方法确定其数值． 【详解】解：（1）对于函数，要使解析式有意义，需满足且， 解得：且； （2）将给定的9个销售数据从小到大重新排列为：， 方法一：，由于不是整数，将向上取整得，因此第一四分位数为排序后的第个数据，即； 方法二：中位数前面的数为，则． 12. 一门框的尺寸如图所示，一块长，宽的薄木板______从门框内通过．（填“能”或“不能”，参考数据，） 【答案】不能 【解析】 【分析】求出门对角线的长，然后与薄木板的宽度相比，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴薄木板不能从门框内通过． 故答案为：不能． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，求出对角线的长． 13. 如图，在中，，，P为AB边上的一个动点，过点P作于点D， 于点E，则DE长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CDPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得ED=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段ED的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接CP， ∵∠C=90°，AC=BC=4， ∴， ∵PE⊥AC，PD⊥BC，∠ACB=90°， ∴四边形CDPE是矩形， ∴ED=CP， 由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段ED的值最小， 此时，， 代入数据：， ∴， ∴DE长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段ED的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程． 14. 学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发__________h后两人相遇． 【答案】0.35 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出小明和小亮的速度，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意和图象可得，小明0.5小时行驶了， ∴小明的速度为：， 小亮0.4小时行驶了， ∴小亮的速度为：， 设两人出发后两人相遇， ∴ 解得， ∴两人出发0.35后两人相遇， 故答案为：0.35 【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 三、解答题（本大题共8小题，共7分） 15. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 已知直线的图象经过点，，确定函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】将两点坐标代入一次函数式得到二元一次方程组，用加减消元法求出、，然后回代写出解析式． 【详解】解：由题意知， 解得，， 故函数的解析式为． 17. 综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与证明： （1）直接写出纸板上与纸盒上的大小关系； （2）证明（1）中你发现的结论． 【答案】（1） （2） 证明：连接， 设小正方形边长为1，则，， ， 为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， 故 【解析】 【分析】（1）和均是等腰直角三角形，； （2）证明是等腰直角三角形即可. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键． 18. 【问题情境】 数学活动课上，老师带领同学们开展了一次“测还花生仁长轴长度”的实践活动． 【实践发现】 同学们从市场上销售的两个品种的花生仁中各随机抽取粒，测量它们的长轴长度（如图①，并将测荲结果绘制成如下统计图（如图②．（单位：） 【实践探究】 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 品种花生仁的长轴长度 品种花生仁的长轴长度 【问题解决】 （1）上述表格中：______，______； （2）现有一粒花生仁的长轴长度为，那么这粒花生仁是______品种的可能性较大；（填“”或“”） （3）学校食堂准备从两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁的大小（长轴长度）要均匀，请问食堂应该选购哪个品种的花生仁？并说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）食堂应该选购A品种的花生仁； 【解析】 【分析】本题考查求中位数，众数，方差，利用中位数，众数方差作，求概率： （1）根据最中间的数是中位数，出现次数最多的数是众数直接求解即可得到答案； （2）根据长轴长度为的概率判断即可得到答案； （3）根据方差比较即可得到答案； 【详解】解：（1）由折线图可得， ，B中出现的次数最多，故， 故答案为：，； （2）由折线图得， ，， ∴， ∴这粒花生仁是品种的可能性较大， 故答案为：B； （3）由折线图得， ， ∵， ∴食堂应该选购A品种的花生仁． 19. 如图，在四边形中，，，点E是的中点，且平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知，，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵点E是的中点， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ，， 平分，， ，， ∴平行四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，再证明，进而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明四边形为菱形，题目得证； （2）由（1）得，，进而结合三角形内角和为得，得，在中，根据勾股定理得计算即可得线段的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，根据（1）可得，， ，， ， ， ， ， ． 20. 某移动通信公司推出了如下两种移动电话计费方式． 月使用费/元 主叫限定时间/分钟 主叫超时费（元/分钟） 方式一 20 200 0.3 方式二 50 500 0.4 说明：月使用费固定收取，主叫不超过限定时间不再额外收费，超过部分加收超时费．例如，方式一每月固定交费20元，当主叫计时不超过200分钟时不再额外收费，超过200分钟时，超过部分每分钟加收0.3元（不足1分钟按1分钟计算）． （1）请根据题意完成如表的填空： 月主叫时间400分钟 月主叫时间700分钟 方式一收费/元 ______________ 170 方式二收费/元 50 ______________ （2）设某月主叫时间为x（分钟），方式一、方式二两种计费方式的费用分别为（元），（元），分别写出两种计费方式中主叫时间x（分钟）与费用（元）、（元）的函数关系式； （3）请计算说明选择哪种计费方式更省钱． 【答案】（1）80；130； （2），； （3）当或时方式一省钱；当时，方式二省钱，当为300分钟、1100分钟时，两种方式费用相同． 【解析】 【分析】（1）根据计费方式计算即可； （2）根据计费方式列函数关系式即可； （3）分情况列不等式计算即可． 【小问1详解】 解：主叫400分钟，方式一：超过限定时间分钟，总费用元； 主叫700分钟，方式二：超过限定时间分钟，总费用元； 【小问2详解】 解：由题意可得： 当时，当时； 当时，当时； 综上：，； 【小问3详解】 解：①当时，，方式一更省钱； ②当时， 当时，解得：，∴当时，方式二省钱； 当时，解得：，∴当时，两种方式费用相同； 当时，解得：，∴当时，方式一省钱； ③当时， 当时，解得：，∴当时，方式二省钱； 当时，解得：，∴当时，两种方式费用相同； 当时，解得：，∴当时，方式一省钱； 综上：当或时方式一省钱；当时，方式二省钱，当为300分钟、1100分钟时，两种方式费用相同． 21. 如图，是边长为的等边三角形，动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动（包含端点），当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）观察函数图象，若对任意的运动时间，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）解：列表， 描点，连线，函数图象如图， , ∴当时，随的增大而增大（答案不唯一，当时，随的增大而减小，当时函数有最大值）； （3）． 【解析】 【分析】分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用周长减去即可； 在直角坐标系中描点连线即可画出图象，然后通过图象即可得出性质； 观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时， 连接， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴； 当时，； 综上可得：； 【小问2详解】 解：略， 当时，随的增大而增大（答案不唯一，当时，随的增大而减小，当时函数有最大值）； 【小问3详解】 解：由图象可得的最大值为， ∵恒成立， ∴． 22. 如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处． （1）【问题解决】如图①，连接，请判断与折痕的位置关系和数量关系并说明理由； （2）【问题探究】如图②，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； （3）【拓展延伸】若，直接写出的最小值． 【答案】（1），， 理由：过作于， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ，， 翻折， 垂直平分， ， ， ， 又，， ， ， ，； （2）的面积为定值 （3） 【解析】 【分析】（1）过作于，由翻折的性质得出垂直平分，证明，即可得出结论； （2）作于，根据角平分线的性质可得，根据折叠得出，即可得出结论； （3）作点关于的对称点，连接，，，证明，得出，则，当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为定值， 作于， 平分， ， 折叠， ， ； 【小问3详解】 如图，作点关于的对称点，连接，，， 则垂直平分， ， 折叠， ，，， ， ，， ， 又，， ， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长， 当时，，， ， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期末素养水平调研试题（A卷） 八年级数学 （时间：120分钟总分120分） 注意事项：1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线交坐标轴于点，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，，点F为的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线交于点E，连接，则的长是（ ） A. 5 B. C. 8 D. 4. 如图，矩形的顶点，，的坐标分别是，，，平行四边形与矩形周长相等，平行四边形的面积是矩形面积的一半，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表： 书籍本数 2 3 4 5 6 人数 2 2 2 3 1 下列关于书籍本数的描述正确的是（ ） A. 众数是3 B. 平均数是3 C. 中位数是4 D. 方差是1 6. 将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一点，为的中点．若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，动点从点出发，沿着矩形的边，按照路线匀速运动一周到点停止，速度为．的长与运动时间的关系图象如图2，则矩形对角线的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. （1）函数的自变量x的取值范围是______________； （2）一家新能源汽车零售店的9名销售人员5月份销售的新能源汽车的数量（单位：辆）如下：12，10，3，9，10，12，2，6，14，则销售数量的第一四分位数是______________． 12. 一门框的尺寸如图所示，一块长，宽的薄木板______从门框内通过．（填“能”或“不能”，参考数据，） 13. 如图，在中，，，P为AB边上的一个动点，过点P作于点D， 于点E，则DE长的最小值为______． 14. 学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，则出发__________h后两人相遇． 三、解答题（本大题共8小题，共7分） 15. 计算 （1）； （2） 16. 已知直线的图象经过点，，确定函数的解析式． 17. 综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与证明： （1）直接写出纸板上与纸盒上的大小关系； （2）证明（1）中你发现的结论． 18. 【问题情境】 数学活动课上，老师带领同学们开展了一次“测还花生仁长轴长度”的实践活动． 【实践发现】 同学们从市场上销售的两个品种的花生仁中各随机抽取粒，测量它们的长轴长度（如图①，并将测荲结果绘制成如下统计图（如图②．（单位：） 【实践探究】 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 品种花生仁的长轴长度 品种花生仁的长轴长度 【问题解决】 （1）上述表格中：______，______； （2）现有一粒花生仁的长轴长度为，那么这粒花生仁是______品种的可能性较大；（填“”或“”） （3）学校食堂准备从两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁的大小（长轴长度）要均匀，请问食堂应该选购哪个品种的花生仁？并说明理由． 19. 如图，在四边形中，，，点E是的中点，且平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知，，求线段的长． 20. 某移动通信公司推出了如下两种移动电话计费方式． 月使用费/元 主叫限定时间/分钟 主叫超时费（元/分钟） 方式一 20 200 0.3 方式二 50 500 0.4 说明：月使用费固定收取，主叫不超过限定时间不再额外收费，超过部分加收超时费．例如，方式一每月固定交费20元，当主叫计时不超过200分钟时不再额外收费，超过200分钟时，超过部分每分钟加收0.3元（不足1分钟按1分钟计算）． （1）请根据题意完成如表的填空： 月主叫时间400分钟 月主叫时间700分钟 方式一收费/元 ______________ 170 方式二收费/元 50 ______________ （2）设某月主叫时间为x（分钟），方式一、方式二两种计费方式的费用分别为（元），（元），分别写出两种计费方式中主叫时间x（分钟）与费用（元）、（元）的函数关系式； （3）请计算说明选择哪种计费方式更省钱． 21. 如图，是边长为的等边三角形，动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动（包含端点），当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）观察函数图象，若对任意的运动时间，恒成立，求的取值范围． 22. 如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处． （1）【问题解决】如图①，连接，请判断与折痕的位置关系和数量关系并说明理由； （2）【问题探究】如图②，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； （3）【拓展延伸】若，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $