精品解析：四川宜宾、自贡市2025-2026学年高一年级下学期期末考试数学试题

2025—2026学年高一年级下学期期末考试 数学试题 （本试卷共4页19题．全卷满分150分．考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 某市有大型商场100家，中型商场200家，小型商场700家．为了解各类商场的营业情况，计划采用按比例分层抽样的方法随机抽取一个容量为100的样本，则应从中型商场抽取的家数为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 3. 下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆台下底面的半径为上底面半径的2倍，高为2，母线长为，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 8. 设、、是半径为的圆上三点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. B. 若满足，且与同向，则 C. 若，则 D. 若是等边三角形，则 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为直角三角形 11. 如图，在直三棱柱中，，，，点D为的中点，P为线段上的一个动点，下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为 B. 若平面平面，则 C. P到平面的距离为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知有从小到大的四个数1，a，b，9，这四个数的中位数和平均数相等，则________． 13. 已知，，三点共线，则________． 14. 类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，.若，则二面角的余弦值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 复数，当实数m取什么值时 （1）z为实数； （2）z为纯虚数； （3）复数z在复平面内对应点在第三象限． 16. 已知向量， （1）若，求实数k的值； （2）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围． 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的上四分位数； （3）已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 18. 如图，在中，，平分，且． （1）若，求； （2）求实数的取值范围； （3）若，求的最小值． 19. 如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． （1）求三棱锥的体积最大值； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高一年级下学期期末考试 数学试题 （本试卷共4页19题．全卷满分150分．考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，从而得到他的虚部． 【详解】复数，则其虚部为. 故选：B. 2. 某市有大型商场100家，中型商场200家，小型商场700家．为了解各类商场的营业情况，计划采用按比例分层抽样的方法随机抽取一个容量为100的样本，则应从中型商场抽取的家数为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【详解】∵ 该市商场总数量为100+200+700=1000家，计划抽取的样本容量为100， ∴ 按比例分层抽样的抽样比为. ∵ 中型商场共有200家， ∴ 应从中型商场抽取的家数为. 3. 下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数一般用每组数据的中点值乘以频率再求和来计算，再对照各个选项的图形分析，即可求解. 【详解】根据拖尾效应，对于选项A和B，根据频率分布直方图关于中线对称，所以平均数等于中位数，所以A和B错误； 对于选项C，根据频率分布直方图左拖尾，易得平均数小于中位数，所以C错误； 对于选项D，根据频率分布直方图右拖尾，易得平均数大于中位数，所以D正确． 故选：D. 4. 已知圆台下底面的半径为上底面半径的2倍，高为2，母线长为，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设圆台上底半径为，下底半径为，母线长，高， 则，即，解得，则， 故圆台体积为：． 5. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A选项：若，，则或与异面，故A错误； 对于B选项：若，，则或，故B错误； 对于C选项：根据面面平行的判定定理，垂直于同一条直线的两个不重合平面互相平行，由，且为不重合平面，可得，故C正确； 对于D选项：若，，仅当（或）且垂直于另一平面时，才可推出，仅无法得到面面垂直，故D错误. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足任意两边之和大于第三边，只有一解，B不符合题意； 对于C，，，，则， 故，此时无解，C不符合题意， 对于D，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，D符合题意. 7. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为：． 故选：A． 8. 设、、是半径为的圆上三点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设圆心为点，分析得出，再由平面向量的减法与数量积的运算性质得出，再利用与同向时可求得的最大值. 【详解】设圆心为点，则，，，则， . 当且仅当与方向相同时，等号成立，因此，的最大值为. 故选：C. 【点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．本题采用了“形化”，结合了平面向量数量积的定义，利用两个向量方向相同取得最值来求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. B. 若满足，且与同向，则 C. 若，则 D. 若是等边三角形，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的加法性质即可求解A,根据向量的定义即可求解B，根据即可求解C，根据向量的夹角即可求解D. 【详解】对于A, ,当且仅当方向相同时取到等号，故A正确， 对于B,向量不可以比较大小，故B错误， 对于C, 若，则,故或者或，故C错误， 对于D，若是等边三角形，则,D正确， 故选：AD 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由，结合正弦定理得，所以，故A正确； 对于B，因为是锐角三角形，所以，所以， 又因为，，所以， 又在上单调递增，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，又， 所以，所以中一定有一个为负， 所以为钝角三角形，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，所以， 又，所以，所以， 所以，所以为直角三角形，故D正确. 11. 如图，在直三棱柱中，，，，点D为的中点，P为线段上的一个动点，下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为 B. 若平面平面，则 C. P到平面的距离为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由∥，可得是异面直线与CD所成的角，然后在中求解即可，对于B，利用面面平行的性质定理分析判断，对于C，连接交于点，连接，则由三角形中位线定理得∥，从而可得∥平面，再通过等体积法判断，对于D，将平面和平面展在同一个平面内求解判断. 【详解】对于B，平面与底面的交线为，因为平面∥平面， 平面平面，所以∥，所以B正确， 对于C，连接交于点，连接，因为四边形为矩形， 所以为的中点， 因为点是的中点，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 故到平面的距离等于​到平面的距离， 因为是等腰​的中线，故，； 又，则， 故， 三棱锥的体积：， 由​得： ， 距离不是，C错误； 对于A，由选项C可知∥，所以是异面直线与CD所成的角， 因为，， 所以， 所以，所以， ，则，， 所以，所以为等腰直角三角形，所以， 所以异面直线与CD所成的角为，所以A正确， 对于D，由选项A可知，则为等边三角形， 如图，将平面和平面展在同一个平面内，则的最小值为， 在中，，则， 所以，所以， 所以的最小值为，所以D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知有从小到大的四个数1，a，b，9，这四个数的中位数和平均数相等，则________． 【答案】 【解析】 【详解】已知四个数升序排列为：1，a，b，9，中位数为中间两个数的算术平均数，即， 平均数为， 已知中位数和平均数相等，故，解得． 13. 已知，，三点共线，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 因为，，三点共线，所以， 即. 14. 类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，.若，则二面角的余弦值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】连接，由余弦定理及线面垂直的判定和性质得在底面内的投影在直线上，根据已知及定义列方程求二面角的余弦值. 【详解】连接，由已知在中， 又因为是的中点，所以， 又且都在平面内，所以平面， 所以在底面内的投影在直线上. 在中，根据勾股定理得，易知，又， 在中，由余弦定理可得， 所以，则，设二面角为， 由三面角定理得， 即， 即，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 复数，当实数m取什么值时 （1）z为实数； （2）z为纯虚数； （3）复数z在复平面内对应点在第三象限． 【答案】（1） . （2） . （3） . 【解析】 【分析】（1）由为实数建立方程，可得答案. （2）由为纯虚数建立不等式与方程，可得答案. （3）由复数的几何意义，建立不等式组，可得答案. 【小问1详解】 ， 由为实数，则，解得. 【小问2详解】 由为纯虚数，则，解得. 【小问3详解】 由复数在复平面上的对应点为，该点在第三象限， 则，故，解得. 所以. 16. 已知向量， （1）若，求实数k的值； （2）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，然后再根据垂直关系即可求出实数k的值； （2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，进而求得实数k的取值范围. 【小问1详解】 因为向量，，所以， 又因为，所以，所以， 解得； 【小问2详解】 若与的夹角是钝角，则且与方向不相反， 即，且，解得：且， 故实数k的取值范围是． 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的上四分位数； （3）已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1）； （2）84； （3）总平均数为65；总方差为37. 【解析】 【分析】（1）由频率直方图小矩形的面积和为1列方程求参数； （2）由百分位数的定义及直方图求上四分位数； （3）应用分层抽样的均值和方差公式求总平均数和总方差. 【小问1详解】 因为每组小矩形的面积之和为1， 所以，则； 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设上四分位数为m，由，得， 故上四分位数为84； 【小问3详解】 成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为 . 18. 如图，在中，，平分，且． （1）若，求； （2）求实数的取值范围； （3）若，求的最小值． 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合正弦定理得，在和中分别利用正弦定理表示出，再由可得，从而可以求解； （2）设，由即可求解； （3）由余弦定理和三角形面积公式可用表示出.令，则，由辅助角公式即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为AD平分，所以， 因为，所以，所以， 因为，，所以，得，所以； 【小问2详解】 因为，设， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以； 【小问3详解】 由余弦定理得， 因为，所以，因为，所以， 所以， 令，则， 所以（其中）， 所以当时，取得最小值4， 即当时，取得最小值4，此时， 故的最小值为， 所以的最小值为. 19. 如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． （1）求三棱锥的体积最大值； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当平面平面时，棱锥体积最大，求出棱锥高即可得解； （2）过作于，连接，证明平面，得出即为直线与平面所成角，解直角三角形得解； （3）当三棱锥表面积最大时，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 要使三棱锥的体积最大，即点到平面的距离最大． 所以平面平面， 取中点，连接， 则，又为交线，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， ，，， 【小问2详解】 ，，,平面， 平面，由平面， ，， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中，， 所以， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，故. 【小问3详解】 设， 则， 即① 令② ①②得 ， 取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为， 因为， ，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $