奥数培优专题17 等差数列入门（讲义）2026-2027学年三年级上册数学（人教版）

专题十七 等差数列入门 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 1 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：认识等差数列 3 考点二：求第n项（末项公式） 4 考点三：求项数 6 考点四：等差数列求和 7 考点五：等差数列综合应用 9 第三部分 易错避坑指南 11 第四部分 分层进阶专题精练 12 一、基础夯实篇（8题） 12 二、能力进阶篇（7题） 12 三、思维跃迁篇（5题） 13 第五部分 精准解析 15 一、基础夯实篇解析 15 二、能力进阶篇解析 16 三、思维跃迁篇解析 18 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是三年级上册全册综合拓展专题，核心是"等差数列基础"，依托认识等差数列、求第n项、求项数、等差数列求和、页码与综合应用五大考点，系统梳理等差数列的四个基本量和三大公式，培养规律观察和配对求和的数学思想，为高年级数列学习打基础。 名称 含义 符号/公式 说明 首项 数列的第一个数 a₁ 等差数列的起点 末项 数列的最后一个数 aₙ 第n项就是末项 公差 相邻两数的差 d 等差数列每两项差相等 项数 一共有几个数 n 从首项数到末项共几项 总和 所有数加起来的和 S 配对求和：(首+末)×对数 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 找公差法 判断是否等差 后项减前项→看差是否都相等 相邻减，差相等，就是等差数列 求末项公式 已知首项公差求第n项 末项 = 首项 + (项数-1)×公差 第n项，首加(n-1)个公差 求项数公式 已知首末项公差求项数 项数 = (末项-首项)÷公差 + 1 差除以公差，再加1 配对求和法 等差数列求和 (首项+末项)×项数÷2 首尾配对，乘个数除以2 中间项法 奇数项等差数列求和 和 = 中间项 × 项数 奇数项，中间项乘个数 三、奥数思维提升 1. 规律思想：发现数列中的不变量 核心要点：等差数列的特点就是相邻两项的差永远不变，这个不变的差叫公差。抓住公差这个不变量，就能从首项推出任意一项，也能从任意两项反推出公差和项数。 示例：数列2、5、8、11、14……，每次加3，公差是3。第1项2，第2项2+3，第3项2+3×2，第n项2+3×(n-1)。 2. 配对思想：首尾配对求和 核心要点：等差数列求和，把第一个和最后一个配成一对，第二个和倒数第二个配成一对……每对的和都相等。有多少对就乘多少，总对数就是项数的一半。 示例：1+2+3+4+5+6，(1+6)+(2+5)+(3+4)=7×3=21。首加末等于7，有3对（6÷2），和=7×3=21。 3. 对应思想：项数和间隔数的关系 核心要点：第1项到第n项，中间有(n-1)个间隔，每个间隔是1个公差。所以末项比首项多(n-1)个公差。项数比间隔数多1，就像植树问题两端都栽。 示例：首项5，公差2，第4项是多少？第1到第4项有3个间隔，加3个公差：5+2×3=11。验证：5、7、9、11，第4项确实是11。 4. 数形结合思想：用图形理解数列 核心要点：等差数列可以用梯形图表示：上底是首项，下底是末项，高是项数。等差数列求和公式和梯形面积公式（上底+下底）×高÷2完全一样，借助图形更容易理解。 示例：1+2+3+4+5就像一个梯形，上底1下底5高5，面积=(1+5)×5÷2=15。和数列求和结果一样。 5. 转化思想：复杂问题转化为等差数列 核心要点：很多生活中的问题（页码、楼层、座位、木头堆）其实都是等差数列问题。找到首项、末项、公差，转化成数列问题就能用公式解决。 示例：电影院第一排10个座位，每排比前一排多2个座位，第10排有多少个？首项10，公差2，第10项=10+2×9=28个座位。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：认识等差数列 典型例题 1（基础型）—— 判断等差数列 题目：下面哪些是等差数列？是的说出首项、末项和公差。① 1、3、5、7、9 ② 2、4、8、16 ③ 10、20、30、40、50 解题步骤： ① ① 1、3、5、7、9：相邻差都是2，是等差数列；首项1，末项9，公差2； ② ② 2、4、8、16：差是2、4、8，不相等，不是等差数列（是等比）； ③ ③ 10、20、30、40、50：相邻差都是10，是等差数列；首项10，末项50，公差10； ④ 答：①和③是等差数列。 【答案】①是（首1末9公差2）；③是（首10末50公差10） 【知识点睛】等差数列：每相邻两项的差都相等。差叫公差，第一个数叫首项，最后一个叫末项。 典型例题 2（提高型）—— 找规律填数 题目：找规律填空：3、7、11、15、( )、( )、27 解题步骤： ① 先算公差：7-3=4，11-7=4，15-11=4，公差是4； ② 每次加4； ③ 15后面：15+4=19； ④ 再后面：19+4=23； ⑤ 验证：23+4=27，正好是最后一个，正确； ⑥ 答：填19和23。 【答案】19、23 【知识点睛】等差数列：后项 = 前项 + 公差。找到公差就能依次写出后面的数。 典型例题 3（奥数型）—— 反向找首项 题目：一个等差数列，第5项是23，公差是4。首项是多少？ 解题步骤： ① 第5项比第1项多了几个公差？5-1=4个公差； ② 4个公差共：4×4=16； ③ 首项 = 第5项 - 4个公差 = 23 - 16 = 7； ④ 验证：第1项7，第2项11，第3项15，第4项19，第5项23，正确； ⑤ 答：首项是7。 【答案】首项是7 【知识点睛】第n项比首项多(n-1)个公差。反过来求首项就减(n-1)个公差。 考点二：求第n项（末项公式） 典型例题 1（基础型）—— 求第10项 题目：等差数列：2、6、10、14……，第10项是多少？ 解题步骤： ① 首项=2，公差=6-2=4； ② 第10项比第1项多：10-1=9个公差； ③ 9个公差共：9×4=36； ④ 第10项 = 首项 + 36 = 2 + 36 = 38； ⑤ 公式：第n项 = 首项 + (n-1)×公差； ⑥ 答：第10项是38。 【答案】第10项是38 【知识点睛】末项公式：第n项 = 首项 + (n-1)×公差。第1项不用加公差，所以减1。 典型例题 2（提高型）—— 递减数列 题目：等差数列：100、95、90、85……，第12项是多少？ 解题步骤： ① 首项=100，公差=5（递减，每次减5）； ② 第12项比第1项少：12-1=11个公差； ③ 11个公差共：11×5=55； ④ 第12项 = 100 - 55 = 45； ⑤ 验证：第1项100，第2项95……每次减5，第12项减11次，正确； ⑥ 答：第12项是45。 【答案】第12项是45 【知识点睛】递减数列公差为负，末项=首项-(n-1)×公差。理解为每次减公差。 典型例题 3（奥数型）—— 生活应用 题目：电影院第一排有12个座位，后面每排比前一排多2个座位。第15排有多少个座位？ 解题步骤： ① 首项=12（第一排），公差=2； ② 第15排比第1排多：15-1=14排，即14个公差； ③ 14×2=28个座位； ④ 第15排 = 12 + 28 = 40个座位； ⑤ 答：第15排有40个座位。 【答案】第15排有40个座位 【知识点睛】座位问题是等差数列：排数=项数，每排差=公差。用末项公式求指定排。 考点三：求项数 典型例题 1（基础型）—— 基本求项数 题目：等差数列：3、7、11、15……103，这个数列一共有多少项？ 解题步骤： ① 首项=3，末项=103，公差=4； ② 末项比首项多：103 - 3 = 100； ③ 每个公差是4，一共有多少个公差：100 ÷ 4 = 25个； ④ 项数 = 间隔数 + 1 = 25 + 1 = 26项； ⑤ 公式：项数 = (末项-首项)÷公差 + 1； ⑥ 答：一共有26项。 【答案】一共有26项 【知识点睛】项数公式：项数 = (末项-首项)÷公差 + 1。间隔数加1才是项数，类似植树问题。 典型例题 2（提高型）—— 数字范围 题目：从10到100的自然数中，所有5的倍数一共有多少个？ 解题步骤： ① 5的倍数：10、15、20……100； ② 首项=10，末项=100，公差=5； ③ 项数 = (100-10)÷5 + 1 = 90÷5 + 1 = 18 + 1 = 19个； ④ 验证：10是第1个，100是第几个？(100-10)÷5+1=19，正确； ⑤ 答：一共有19个。 【答案】19个 【知识点睛】某数的倍数构成等差数列，公差就是这个数。用项数公式求个数。 典型例题 3（奥数型）—— 页码问题 题目：一本书的页码从1到100，数字5出现了多少次？（注意：55算出现2次） 解题步骤： ① 个位是5的：5、15、25……95，共10个（公差10，(95-5)÷10+1=10）； ② 十位是5的：50、51、52……59，共10个； ③ 其中55个位十位都是5，出现了2次； ④ 总共：10 + 10 = 20次； ⑤ 答：数字5一共出现了20次。 【答案】出现了20次 【知识点睛】数字出现次数按数位分别算，再相加。个位十位分开都是等差数列。 考点四：等差数列求和 典型例题 1（基础型）—— 1到10求和 题目：计算：1 + 2 + 3 + 4 + …… + 10 解题步骤： ① 首项=1，末项=10，项数=10； ② 配对：(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)； ③ 每对都是11，共有10÷2=5对； ④ 和 = 11 × 5 = 55； ⑤ 公式：和 = (首项+末项)×项数÷2 = (1+10)×10÷2 = 55； ⑥ 答：和是55。 【答案】和是55 【知识点睛】等差数列求和公式：和 = (首项+末项)×项数÷2。高斯求和公式。 典型例题 2（提高型）—— 奇数项求和 题目：计算：3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 解题步骤： ① 首项=3，末项=27，项数=7（奇数）； ② 方法一：公式法 = (3+27)×7÷2 = 30×7÷2 = 105； ③ 方法二：中间项法。7项中间是第4项=15； ④ 和 = 中间项 × 项数 = 15 × 7 = 105； ⑤ 两种方法结果一样； ⑥ 答：和是105。 【答案】和是105 【知识点睛】奇数项等差数列：和=中间项×项数。中间项就是平均数。 典型例题 3（奥数型）—— 先求项数再求和 题目：计算：5 + 10 + 15 + …… + 100 解题步骤： ① 首项=5，末项=100，公差=5； ② 先求项数：(100-5)÷5 + 1 = 95÷5 + 1 = 19 + 1 = 20项； ③ 再求和：(5+100)×20÷2 = 105×10 = 1050； ④ 验证：5×(1+2+…+20) = 5×210 = 1050，正确； ⑤ 答：和是1050。 【答案】和是1050 【知识点睛】不知道项数时，先用项数公式求项数，再用求和公式。两步走。 考点五：等差数列综合应用 典型例题 1（基础型）—— 木头堆放 题目：一堆木头，最上面一层3根，往下每层多1根，最下面一层9根。这堆木头一共有多少根？ 解题步骤： ① 首项=3，末项=9，公差=1； ② 层数（项数）= (9-3)÷1 + 1 = 7层； ③ 总数 = (3+9)×7÷2 = 12×7÷2 = 42根； ④ 验证：3+4+5+6+7+8+9 = (3+9)+(4+8)+(5+7)+6 = 12×3+6 = 42，正确； ⑤ 答：一共有42根。 【答案】一共有42根 【知识点睛】堆木头、堆钢管都是等差数列问题：上层=首项，下层=末项，层数=项数。 典型例题 2（提高型）—— 时钟敲钟 题目：时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下……12点钟敲12下。12小时内时钟一共敲多少下？ 解题步骤： ① 就是求1+2+3+……+12的和； ② 首项=1，末项=12，项数=12； ③ 和 = (1+12)×12÷2 = 13×6 = 78下； ④ 答：12小时一共敲78下。 【答案】一共敲78下 【知识点睛】时钟敲钟次数就是从1加到12的等差数列求和。 典型例题 3（奥数型）—— 页码数字和 题目：一本书共20页，页码从1到20。所有页码的数字之和是多少？（如第12页数字和是1+2=3） 解题步骤： ① 1到9页：数字和=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45； ② 10到19页：十位都是1，共10个1=10；个位0-9和=45；共10+45=55； ③ 第20页：2+0=2； ④ 总和 = 45 + 55 + 2 = 102； ⑤ 答：所有页码的数字之和是102。 【答案】数字之和是102 【知识点睛】页码数字和按数位分开算。个位十位分别求，再相加。 第三部分 易错避坑指南 易错点：求第n项忘记减1 错误示例：首项5公差3，第4项=5+3×4=17（错，应该5+3×3=14） 正确分析：第1项就是首项，不用加公差。第n项只比首项多(n-1)个公差，不是n个。就像从1楼到4楼只爬3层楼梯。 修正方法：末项 = 首项 + (项数-1)×公差。记住：减1。第1项不加公差，所以少1个。 易错点：求项数忘记加1 错误示例：首2末20公差3，项数=(20-2)÷3=6项（错，应该7项） 正确分析：(末-首)÷公差算出来的是间隔数，不是项数。项数比间隔数多1，就像两端都栽的植树问题。 修正方法：项数 = (末项-首项)÷公差 + 1。一定要加1。间隔数+1=项数。 易错点：求和忘记除以2 错误示例：1到10求和=(1+10)×10=110（错，应该55） 正确分析：(首+末)×项数是把数列加了两遍（正一遍反一遍），所以要除以2才是真正的和。 修正方法：和 = (首项+末项)×项数÷2。配对求和，每对算一次，所以除以2。 易错点：不是等差数列也用求和公式 错误示例：1+2+4+8+16也用(1+16)×5÷2（错，这不是等差） 正确分析：等差数列求和公式只适用于等差数列（差相等）。差不相等的数列不能随便用，要先判断是不是等差。 修正方法：用公式前先判断：相邻差是否都相等？是等差才能用公式。不是等差就老老实实加。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8题） 1. 判断：1、4、7、10、13是不是等差数列？首项、末项、公差各是多少？ 2. 等差数列：5、9、13、17……，第8项是多少？ 3. 等差数列：2、5、8、11……32，一共有多少项？ 4. 计算：1+2+3+……+20 5. 计算：2+4+6+8+10+12+14 6. 等差数列首项3，公差5，第10项是多少？ 7. 从1到50，所有偶数一共有多少个？ 8. 一堆圆木，最上面2根，最下面8根，每层多1根。一共多少根？ 二、能力进阶篇（7题） 9. 计算：1+3+5+7+……+39（所有奇数的和） 10. 一个等差数列首项是8，末项是88，公差是5。这个数列一共有多少项？ 11. 小明读一本书，第一天读5页，以后每天比前一天多读2页，第10天正好读完。这本书一共有多少页？ 12. 时钟在整点敲对应次数，半点敲1下。从1点到4点（含1点和4点），时钟一共敲多少下？ 13. 100以内所有除以3余1的两位数的和是多少？ 14. 有10个数成等差数列，第5项是20，第6项是24。这10个数的和是多少？ 15. 一本书共50页，页码中数字1一共出现了多少次？ 三、思维跃迁篇（5题） 16. 计算：1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+97+98-99 17. 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5。第1个数和第6个数分别是多少？ 18. 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面一层有5根，每向下一层增加1根，一共堆了28层。最下面一层有多少根？这堆圆木一共有多少根？ 19. 1到100中，所有不能被9整除的数的和是多少？ 20. 实验小学举行数学竞赛，每做对一题得10分，做错一题倒扣3分，共10题。小明得了61分，他做对了几题？（鸡兔同笼变形，放在此专题作为拓展） 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】是等差数列，首项1，末项13，公差3 解题步骤： ① 4-1=3，7-4=3，差都相等； ② 首项第一个数1，末项最后一个13，公差3。 【知识点睛】相邻差相等就是等差。 2. 【答案】第8项是33 解题步骤： ① 公差=9-5=4； ② 第8项=5+(8-1)×4=5+28=33。 【知识点睛】第n项=首项+(n-1)×公差。 3. 【答案】11项 解题步骤： ① 公差=3； ② 项数=(32-2)÷3+1=30÷3+1=11。 【知识点睛】项数=(末-首)÷公差+1。 4. 【答案】210 解题步骤： ① (1+20)×20÷2=21×10=210。 【知识点睛】和=(首+末)×项数÷2。 5. 【答案】56 解题步骤： ① (2+14)×7÷2=16×7÷2=56； ② 或中间项8×7=56。 【知识点睛】奇数项：和=中间项×项数。 6. 【答案】48 解题步骤： ① 3+(10-1)×5=3+45=48。 【知识点睛】末项公式。 7. 【答案】25个 解题步骤： ① 偶数：2、4……50； ② (50-2)÷2+1=48÷2+1=25个。 【知识点睛】偶数构成公差2的等差数列。 8. 【答案】35根 解题步骤： ① 层数=(8-2)÷1+1=7层； ② (2+8)×7÷2=10×7÷2=35根。 【知识点睛】堆木头=梯形面积=等差数列求和。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】400 解题步骤： ① 首1末39公差2； ② 项数=(39-1)÷2+1=20项； ③ 和=(1+39)×20÷2=40×10=400。 【知识点睛】奇数数列求和。项数=20，和=20²=400（规律：前n个奇数和=n²）。 10. 【答案】17项 解题步骤： ① (88-8)÷5+1=80÷5+1=17。 【知识点睛】项数公式。 11. 【答案】140页 解题步骤： ① 第10天读：5+(10-1)×2=23页； ② 总页数=(5+23)×10÷2=28×5=140页。 【知识点睛】每天读的页数成等差，总和就是等差数列求和。 12. 【答案】14下 解题步骤： ① 整点：1+2+3+4=10下； ② 半点：1点半、2点半、3点半，共3下； ③ 总共10+3=13下？含1点和4点的整点，半点1:30、2:30、3:30三个； ④ 10+3=13下。 【知识点睛】整点等差求和，半点直接数。注意范围。 13. 【答案】1605 解题步骤： ① 除以3余1的两位数：10、13、16……97； ② 首10末97公差3； ③ 项数=(97-10)÷3+1=30项； ④ 和=(10+97)×30÷2=107×15=1605。 【知识点睛】先找出数列，确定首末公差，再求和。 14. 【答案】220 解题步骤： ① 公差=24-20=4； ② 第5项20，第1项=20-4×4=4； ③ 第10项=24+4×4=40； ④ 和=(4+40)×10÷2=44×5=220； ⑤ 或：第5.5项（中间平均）=22，22×10=220。 【知识点睛】知道中间两项可以求公差和首末项。 15. 【答案】15次 解题步骤： ① 个位是1：1、11、21、31、41，共5次； ② 十位是1：10-19，共10次； ③ 共5+10=15次。 【知识点睛】数字出现次数：个位十位分别算。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】1584 解题步骤： ① 三个一组：(1+2-3)+(4+5-6)+(7+8-9)+……+(97+98-99)； ② 每组=0+3+6+……+96； ③ 共33组，首0末96公差3； ④ 和=(0+96)×33÷2=96×33÷2=48×33=1584。 【知识点睛】分组后变成新的等差数列，再用求和公式。 17. 【答案】第1个是15，第6个是40 解题步骤： ① 7个数等差，和210； ② 7个数的和=中间项×7； ③ 中间（第4个）=210÷7=30； ④ 第1个=30-3×5=15； ⑤ 第6个=30+2×5=40。 【知识点睛】奇数项等差数列：和=中间项×项数。先求中间项再推其他。 18. 【答案】最下层32根，共518根 解题步骤： ① 最下层=5+(28-1)×1=5+27=32根； ② 总数=(5+32)×28÷2=37×14=518根。 【知识点睛】先求末项再求和。 19. 【答案】4456 解题步骤： ① 1到100总和=(1+100)×100÷2=5050； ② 能被9整除的：9、18……99，共11个； ③ 和=(9+99)×11÷2=108×11÷2=594； ④ 不能被9整除的和=5050-594=4456。 【知识点睛】整体减部分=剩余。用总和减去能整除的。 20. 【答案】做对7题 解题步骤： ① 假设全对：10×10=100分； ② 实际少了：100-61=39分； ③ 错一题不仅少得10分还要扣3分，共少13分； ④ 错题数=39÷13=3题； ⑤ 对题=10-3=7题。 【知识点睛】鸡兔同笼假设法。做错损失=得分+扣分。 1 学科网（北京）股份有限公司 $