奥数培优专题14 分数拓展应用题（讲义）2026-2027学年三年级上册数学（人教版）

专题十四 分数拓展应用题 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：分数意义与简单计算 3 考点二：分数还原问题（已知部分求整体） 4 考点三：分段取分数问题 6 考点四：隐藏总量的分数问题 7 考点五：分数综合应用 9 第三部分 易错避坑指南 11 第四部分 分层进阶专题精练 13 一、基础夯实篇（8题） 13 二、能力进阶篇（7题） 13 三、思维跃迁篇（5题） 14 第五部分 精准解析 16 一、基础夯实篇解析 16 二、能力进阶篇解析 18 三、思维跃迁篇解析 20 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版三年级上册第八单元的奥数培优内容，核心是"分数的意义与应用"，依托分数意义与简单计算、分数还原问题、分段取分数、隐藏总量问题、分数综合应用五大考点，系统梳理分数应用题的解题方法，培养分数感和逆向思维。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 分数意义 把整体平均分成几份，取其中几份 分母是总份数，分子是取的份数 必须是平均分 简单计算 同分母分数加减法 分母不变，分子相加减 分母不同不能直接加减 分数还原 已知部分求整体 一份量×总份数=整体 先求1份是多少 分段取分 连续取几分之几 逐步计算，每次单位"1"不同 第二次的整体是第一次剩下的 分数比较 同分母、同分子比较大小 分母同比分子，分子同比分母 分子分母都不同，三年级不要求直接计算，了解概念即可 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 画图法 分数意义理解 画圆或线段→平均分→涂色表示 画图最直观，几分之几涂几份 还原法 已知部分求整体 部分量÷对应份数=一份量→×总份数 先求1份，再乘总份数 逐步法 分段取分数 第一步算第一次剩多少→第二步再算 一步一步来，单位1在变 比较法 分数大小比较 同分母比分子，同分子比分母 分母大反而小，分子大就大 单位1法 复杂分数应用题 找准单位"1"→看是求部分还是求整体 整体知道用乘，整体不知用除 三、奥数思维提升 1. 整体与部分思想：单位"1"的概念 核心要点：分数是把一个整体（单位"1"）平均分成若干份，表示其中的一份或几份。同一个分数，对应的整体不同，实际大小也不同。做题先找准谁是单位"1"。 示例：一根绳子的和另一根绳子的不一定一样长。如果第一根长10米，就是5米；第二根长8米，就是4米。 2. 逆向思想：从部分反推整体 核心要点：知道了几分之几是多少，反求总数，就是还原问题。方法是：先除以分子求出一份是多少，再乘分母求出全部。 示例：一堆苹果的是8个，这堆苹果有几个？2份是8个，1份=4个，总共5份=20个。 3. 分步思想：连续取分数单位1在变 核心要点：第一次取了几分之几，第二次再取剩下的几分之几，两次的单位"1"不一样。第二次是把第一次剩下的当整体。要分步算，不能直接加。 示例：12个苹果，第一天吃，第二天吃剩下的。第一天剩8个，第二天吃8的=4个，还剩4个。不是直接吃+。 4. 对应思想：量和率要对应 核心要点：做分数应用题，数量和分数要对应。知道了是15个，就是3份对应15个，1份就是5个。不能用数量随便乘除分数。 示例：一本书看了，还剩20页。20页对应的是，不是。所以全书=20×4=80页。 5. 数形结合思想：画图帮助理解 核心要点：分数应用题画线段图最清楚。画一条线段表示整体，分段标出各部分，谁对应谁一目了然。三年级初学分数，画图是最好的方法。 示例：还原问题画线段：画一条线分成5份，标出其中2份是8个，就能看出1份是4个，总共20个。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：分数意义与简单计算 典型例题 1（基础型）—— 分数的意义 题目：把一张长方形纸平均分成8份，每份是它的几分之几？5份是它的几分之几？ 解题步骤： ① 平均分成8份，分母就是8； ② 每份是1份，分子是1，就是； ③ 5份就是5个，写作； ④ 答：每份是，5份是。 【答案】每份是，5份是 【知识点睛】分母是总份数，分子是取的份数。平均分才能用分数表示。 典型例题 2（提高型）—— 同分母加减 题目：一块蛋糕，小明吃了，小红吃了。两人一共吃了几分之几？还剩几分之几？ 解题步骤： ① 一共吃了： + = （分母不变，分子相加）； ② 整块蛋糕是也就是1； ③ 还剩：1 – = – = ； ④ 答：一共吃了，还剩。 【答案】一共吃了，还剩 【知识点睛】同分母分数加减：分母不变，分子相加减。1可以写成分子分母相同的分数。 典型例题 3（奥数型）—— 分数比较大小 题目：比较大小：在○里填上>、<或=。 ○ ， ○ ， ○ 1 解题步骤： ① 和：分母相同，比分子，3<5，所以 < ； ② 和：分子相同，比分母，分母大的反而小，5>3，所以 < ； ③ 就是把整体分4份取4份，就是整个整体，所以 = 1； ④ 答案：<，<，=。 【答案】<，<，= 【知识点睛】同分母比分子，分子大分数大；同分子比分母，分母大分数反而小。 考点二：分数还原问题（已知部分求整体） 典型例题 1（基础型）—— 简单还原 题目：一堆苹果的是12个。这堆苹果一共有多少个？ 解题步骤： ① 是12个，说明3份对应12个； ② 1份有：12 ÷ 3 = 4个； ③ 总共4份：4 × 4 = 16个； ④ 验证：16的 = 12，正确。 【答案】一共有16个 【知识点睛】已知几分之几是多少，求整体：部分量÷分子×分母。先求1份再乘总份数。 典型例题 2（提高型）—— 剩余对应分数 题目：小明看一本书，看了全书的，还剩36页没看。这本书一共有多少页？ 解题步骤： ① 看了，还剩：1 – = ； ② 36页对应全书的； ③ 1份：36 ÷ 3 = 12页； ④ 全书5份：12 × 5 = 60页； ⑤ 验证：60的=24页看了，60-24=36剩，正确。 【答案】全书一共60页 【知识点睛】注意量率对应：剩下的页数对应剩下的分数，不是看了的分数。 典型例题 3（奥数型）—— 剩余对应还原 题目：一筐水果，第一天卖出总数的，第二天卖出总数的，还剩 12 个。这筐水果原来有多少个？ 解题步骤： ① 两天一共卖出：+=； ② 还剩：1 – = ，对应 12 个； ③ 1 份数量：12 ÷ 2 = 6 个； ④ 总数：6 × 5 = 30 个。 【答案】原来有 30 个 【知识点睛】先求出剩余数量对应的分率，再通过 “1 份量 × 总份数” 求整体。 考点三：分段取分数问题 典型例题 1（基础型）—— 两次取分数 题目：一根绳子长24米，第一次用去，第二次用去剩下的。第二次用去多少米？还剩多少米？ 解题步骤： ① 第一次用去：24 ÷ 3 = 8米，剩下：24 - 8 = 16米； ② 第二次用去剩下的：16 ÷ 2 = 8米； ③ 还剩：16 - 8 = 8米； ④ 答：第二次用去8米，还剩8米。 【答案】第二次用去8米，还剩8米 【知识点睛】第二次的单位"1"是第一次剩下的，不是原来的总长。要分步算。 典型例题 2（提高型）—— 三天看书 题目：一本书共120页，第一天看了全书的，第二天看了余下的，第三天看完。第三天看了多少页？ 解题步骤： ① 第一天看：120 ÷ 4 = 30页，剩120-30=90页； ② 第二天看余下的：90 ÷ 3 = 30页，剩90-30=60页； ③ 第三天看了60页； ④ 验证：30+30+60=120，正确。 【答案】第三天看了60页 【知识点睛】每次的几分之几都是相对于当时的剩余量。逐步计算，逐步减少。 典型例题 3（奥数型）—— 倒推还原 题目：一根绳子，第一次用去一半，第二次用去剩下的一半，这时还剩6米。这根绳子原来长多少米？ 解题步骤： ① 倒推法：最后剩6米，是第二次用之前的一半； ② 第二次用之前：6 × 2 = 12米； ③ 12米又是第一次用之前的一半； ④ 原来：12 × 2 = 24米； ⑤ 验证：24→12→6，正确。 【答案】原来长24米 【知识点睛】知道最后结果求原来，用倒推法。每次剩下几分之一，就乘几倒推回去。 考点四：隐藏总量的分数问题 典型例题 1（基础型）—— 差对应分率 题目：一桶油，倒出后，连桶还重14千克。如果倒出，连桶重18千克。这桶油净重多少千克？ 解题步骤： ① 倒出比倒出多倒出了： – = ； ② 重量差：18 - 14 = 4千克； ③ 的油重4千克； ④ 油净重：4 × 5 = 20千克； ⑤ 验证：20的=8，倒出8剩12油+桶=18，桶重6；倒出=12，剩8+6=14，正确。 【答案】油净重20千克 【知识点睛】两次剩余的差对应倒出的分率差。桶重不变，变化的只是油。 典型例题 2（提高型）—— 同率合并计算 题目：两袋大米共重 40 千克，第一袋吃了，第二袋也吃了，两袋一共吃了多少千克？ 解题步骤： ① 一共吃了总重量的； ② 40 ÷ 5 = 8 千克。 【答案】一共吃了 8 千克 【知识点睛】两部分分率相同时，可以先合并整体再计算。 典型例题 3（奥数型）—— 重叠分数 题目：全班同学每人至少参加一个兴趣小组。参加美术组的占全班的，参加音乐组的占全班的，两个组都参加的占全班的几分之几？ 解题步骤： ① 参加两组的总占比： + = ； ② 全班整体为 1，也就是； ③ 重叠部分： – = 。 【答案】两个组都参加的占 【知识点睛】容斥原理：两部分相加后超过整体的部分就是重叠部分，同分母分数直接分子相加减。 考点五：分数综合应用 典型例题 1（基础型）—— 分数和倍 题目：苹果和梨共40个，苹果的数量是梨的。苹果和梨各有多少个？ 解题步骤： ① 苹果是梨的，说明梨3份苹果1份，共4份； ② 1份：40 ÷ 4 = 10个； ③ 苹果1份=10个，梨3份=30个； ④ 验证：10是30的，10+30=40，正确。 【答案】苹果10个，梨30个 【知识点睛】分数和倍：甲是乙的几分之几，就把乙当分母份，甲当分子份，和÷总份数=1份量。 典型例题 2（提高型）—— 分数和差计算 题目：一根绳子，第一次用去，第二次比第一次多用去，两次一共用去几分之几？还剩几分之几？ 解题步骤： ① 第二次用去： + = ； ② 两次一共用去： + = ； ③ 还剩：1 – = 。 【答案】一共用去，还剩 【知识点睛】同分母分数加减，分母不变，分子相加减。 典型例题 3（奥数型）—— 分数推理 题目：有一个分数，分子加分母等于12，分母是分子的2倍。这个分数是多少？ 解题步骤： ① 分母是分子的2倍，分子1份分母2份，共3份； ② 1份：12 ÷ 3 = 4； ③ 分子=4，分母=8； ④ 分数是，化简是； ⑤ 验证：4+8=12，8是4的2倍，正确。 【答案】（即） 【知识点睛】和倍关系求分子分母。先求1份，再分别求分子分母。 第三部分 易错避坑指南 易错点：不平均分也用分数 错误示例：把一个圆分成两份，每份就是（错，必须平均分） 正确分析：分数的前提是平均分。如果分成一大一小两份，不能说每份是。必须强调"平均"分。 修正方法：看到分数先想：是不是平均分？只有平均分才能用分数表示。题目必须有"平均"二字。 易错点：分母不同直接加减分子 错误示例： + = （错误） 正确分析：同分母才能直接加减分子。分母不同，每一份的大小不一样，不能直接加。三年级只学同分母加减。 修正方法：同分母加减：分母不变，分子相加减。分母不同的要不能直接加减，需要统一分母（三年级不要求掌握方法）。 易错点：分段取分数，单位1搞错 错误示例：10米绳子，第一次用，第二次用剩下的，用完了（错，还剩2.5米） 正确分析：第二次的是第一次剩下的一半，不是原来的一半。两次单位"1"不一样，不能直接加起来等于1。 修正方法：分步计算：先算第一次剩多少，再算第二次用多少。每次的几分之几都是相对于当时的总量。 易错点：量率不对应 错误示例：看了还剩20页，全书=20÷2×3=30页（错，20对应） 正确分析：20页是剩下的，对应的分数是1-=，不是。数量要和对应的分数相除，不能乱除。 修正方法：先找清楚：已知的数量对应的是几分之几？用数量÷对应的分子×分母。量率要对应。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8题） 1. 把一个西瓜平均分成6份，每份是它的几分之几？5份是它的几分之几？ 2. + = 1 – = 3. 比较大小： ○ ， ○ 4. 一堆糖果的是8颗，这堆糖果一共有多少颗？ 5. 一根绳子长15米，用去，用去了多少米？还剩多少米？ 6. 一本书有48页，第一天看了全书的，第二天看了全书的。两天一共看了几分之几？还剩几分之几？ 7. 把3米长的彩带平均分成5段，每段长几分之几米？ 8. 1里面有几个？里面有几个？ 二、能力进阶篇（7题） 9. 小明看一本书，已经看了全书的，还剩32页没看。这本书共有多少页？ 10. 一桶油重20千克，第一次用去，第二次用去剩下的。第二次用去多少千克？ 11. 一根绳子长 10 米，第一次剪去，第二次剪去余下的，第二次剪去多少米？ 12. 一根铁丝，第一次剪去一半，第二次剪去余下的一半，第三次又剪去余下的一半，这时还剩2米。这根铁丝原来长多少米？ 13. 果园里苹果树占总数的，梨树占总数的，其余是桃树。桃树占总数的几分之几？ 14. 两筐苹果共重56千克，从第一筐取放入第二筐，两筐一样重。原来第一筐有多少千克？ 15. 一个分数，分子与分母的和是18，分母比分子大4。这个分数是多少？ 三、思维跃迁篇（5题） 16. 有两堆煤，第一堆运走，第二堆运走一部分后还剩，这时第一堆的重量是第二堆的。第一堆原有120吨，第二堆原有多少吨？ 17. 全班40人，参加数学竞赛的占全班的，参加语文竞赛的占全班的，每人至少参加一项。两项都参加的有多少人？ 18. 小明读一本书，第一天读了全书的多3页，第二天读了余下的少2页，还剩30页没读。这本书共有多少页？ 19. 甲、乙、丙三人分苹果，甲分得总数的，乙分得余下的，丙分得10个。一共有多少个苹果？ 20. 有一筐苹果，小明拿出总数的给小红，小红又拿出自己的给小军，这时小军有 6 个苹果。原来这筐苹果有多少个？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】每份，5份 解题步骤： ① 平均6份，分母6； ② 1份，5份。 【知识点睛】分母总份数，分子取的份数。 2. 【答案】， 解题步骤： ① +=（分母不变分子加）； ② 1-=-=。 【知识点睛】同分母加减：分母不变分子相加减。 3. 【答案】<，< 解题步骤： ① 同分母4<7，所以<； ② 同分子6>4，分母大反而小，<。 【知识点睛】同分母比分子，同分子比分母（反着）。 4. 【答案】12颗 解题步骤： ① 2份8颗，1份4颗； ② 总共3份：4×3=12颗。 【知识点睛】还原：部分÷分子×分母=整体。 5. 【答案】用去9米，剩6米 解题步骤： ① 15÷5×3=9米（用去的）； ② 15-9=6米（剩下的）。 【知识点睛】求一个数的几分之几：总数÷分母×分子。 6. 【答案】一共看了（即），还剩（即） 解题步骤： ① +=； ② 1-=。 【知识点睛】同分母分数相加。 7. 【答案】每段米 解题步骤： ① 3÷5=米。 【知识点睛】分数与除法：被除数作分子，除数作分母。 8. 【答案】5个，3个 解题步骤： ① 1=，有5个； ② 里有3个。 【知识点睛】几分之几就有几个几分之一。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】56页 解题步骤： ① 剩1-=； ② 32页对应，1份=32÷4=8； ③ 全书=8×7=56页。 【知识点睛】剩的页数对应剩的分率，量率对应。 10. 【答案】10千克 解题步骤： ① 第一次剩：20×(1-)=20÷4×3=15千克； ② 第二次用：15÷3×2=10千克。 【知识点睛】分步算，第二次单位1是剩下的。 11. 【答案】4米 解题步骤： ① 第一次剪去后剩余：米； ② 第二次剪去的长度：米。 【知识点睛】分段取分问题，第二次的单位 “1” 是第一次剩余的长度，分步计算即可。 12. 【答案】16米 解题步骤： ① 倒推：第三次前=2×2=4米； ② 第二次前=4×2=8米； ③ 原来=8×2=16米。 【知识点睛】倒推还原：每次剩一半就乘2倒回去。 13. 【答案】 解题步骤： ① 苹果和梨共占：+=； ② 桃树占：1 – = 。 【知识点睛】整体减已知的=剩下的。 14. 【答案】32千克 解题步骤： ① 取放入第二筐后相等，说明第一筐比第二筐多=； ② 第一筐8份，第二筐6份，共14份对应56千克； ③ 1份=56÷14=4千克； ④ 第一筐=4×8=32千克。 【知识点睛】拿多少相等，原来就差2倍的拿的量。 15. 【答案】 解题步骤： ① 和18，差4； ② 分子=(18-4)÷2=7； ③ 分母=7+4=11； ④ 分数。 【知识点睛】和差问题：(和-差)÷2=小数。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】250吨 解题步骤： ① 第一堆剩：120×(1-)=90吨； ② 这时第一堆是第二堆的，第二堆这时=90÷3×5=150吨； ③ 150吨是第二堆剩的； ④ 第二堆原有：150÷3×5=250吨。 【知识点睛】分步找单位1。先求第一堆剩下的，再求第二堆现在的，最后求第二堆原来的。 17. 【答案】9人 解题步骤： ① 数学：40÷5×3=24人； ② 语文：40÷8×5=25人； ③ 都参加的=24+25-40=9人。 【知识点睛】容斥原理：A+B-总人数=重叠人数。 18. 【答案】这本书共60页 解题步骤： ① 倒推：第二天读了余下的少 2 页，最后剩 30 页；说明剩下的 30 页比余下的多 2 页； ② 余下的对应：30 - 2 = 28 页； ③ 第一天读完余下的页数：28 ÷ 2 × 3 = 42 页； ④ 第一天读了全书的多 3 页，说明余下的 42 页比全书的少 3 页； ⑤ 全书的对应：42 + 3 = 45 页； ⑥ 全书总页数：45 ÷ 3 × 4 = 60 页； ⑦ 验证：第一天读 60÷4+3=18 页，剩 42 页；第二天读 42÷3-2=12 页，剩 30 页，符合题意。 【知识点睛】多步还原问题用倒推法，从后往前计算，“多几页” 就加，“少几页” 就减，逐步对应到对应份数。 19. 【答案】30个 解题步骤： ① 甲分，剩； ② 乙分余下的=总数的()×()=； ③ 丙也分，对应10个； ④ 总数=10×3=30个。 【知识点睛】乙分余下的，相当于总数的。三人各分。 20. 【答案】48个 解题步骤： ① 小红的是 6 个，小红有：6 × 2 = 12 个； ② 小红的 12 个是总数的，总数：12 × 4 = 48 个。 【知识点睛】多步还原问题，从后往前倒推，逐步求出最初的总量。 1 学科网（北京）股份有限公司 $