2.2基本不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦基本不等式核心知识点，从重要不等式（a²+b²≥2ab）的推导切入，延伸至基本不等式（算术平均数≥几何平均数）的推导过程，明确“一正、二定、三相等”适用条件，结合系数配凑、常数配凑、乘“1”法等技巧，构建从理论到应用的学习支架。 资料通过严谨的推导过程培养学生数学思维（推理能力），设置矩形花园面积计算等实际问题引导用数学眼光观察现实世界数量关系，易错点总结帮助规范数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾强化，弥补知识盲点。

2.2 基本不等式 一、学习目标 1. 理解重要不等式与基本不等式的推导过程； 1. 掌握基本不等式 “一正、二定、三相等” 的适用条件； 1. 能利用基本不等式解决简单的最值问题和实际应用问题。 二、知识点精讲 1. 不等式推导： 重要不等式：∀a,b∈R，a² + b² ≥ 2ab（当且仅当 a = b 时取等号）； 推导：(a - b)² ≥ 0 ⇒ a² - 2ab + b² ≥ 0 ⇒ a² + b² ≥ 2ab； 1. 基本不等式（均值不等式）： ∀a,b > 0，≥ （当且仅当 a = b 时取等号）； 推导：令 a =，b = （m,n > 0），代入重要不等式得 m + n ≥ 2⇒ ≥ ； 名称： 为算术平均数， 为几何平均数，故基本不等式又称 “算术平均数 ≥ 几何平均数”。 ①核心条件（一正、二定、三相等）： 一正：a、b 必须为正数（若为负数，需转化为正数）； 例：求 y = x + 的最值 分两种情况讨论： 1. 当 x > 0 时 根据基本不等式：正数两数和，积定和最小 x + ≥ 2 = 2 当且仅当 x = ，即 x=1 时，等号成立。 此时函数有最小值 2，无最大值。 当 x < 0 时 令 t = -x，则 t > 0 ，y = x + = - (t + ) ，t + ≥ 2，所以 - (t + ) ≤ -2 当且仅当 t=1，即 x=-1 时，等号成立。 此时函数有最大值 -2，无最小值。 总结 x>0 时，最小值为2； x<0 时，最大值为-2； 函数不存在整体的最大值和最小值。 二定：积定（ab 为定值）则和（a + b ）最小，和定（a + b 为定值）则积（ab ）最大； 三相等：当且仅当 a = b 时取等号。 ②常见配凑技巧： 系数配凑：例：y = 2x + （x > 0），需满足 2x・ = 6（定值），直接用基本不等式； 常数配凑：例：y = x + （x > 1），变形为 y = (x - 1) + + 1（x - 1 > 0），再用基本不等式。 乘“1”法： 已知两个正数相加为定值1，求另外两个含这两个数的代数式的最小值时，把所求式子整体乘以“1”（1拆成已知和式），展开后用基本不等式计算，这种方法叫乘“1”法。 核心：构造积为定值，满足一正二定三相等。 例：已知x>0，y>0，x+y=1，求 + 的最小值。 解： 因为x+y=1，对式子乘1，值不变 + =( + )(x+y) =1 + + + + 2 =3 + + x>0,y>0， >0，>0，可用基本不等式 + ≥ 2 = 2 ，原式≥3+2 当且仅当 = ，结合x+y=1取等号。 所以最小值为3+2。 三、例题解析 例 1：求下列函数的最值 （1）y = x + （x > 0）； （2）y = 3x² + （x ≠ 0）。 解： （1） 因为x>0，所以x和都是正数，可用基本不等式。 x + ≥ 2 = 2 = 4 当且仅当x = ，也就是x²=4，x=2时取等号。 所以函数最小值是4，没有最大值。 （2） x不等于0，则x²>0，3x²与均为正数。 3x² + ≥ 2 = 2×根号36 = 12 当且仅当3x² = 12/x²，x²=2，x=根号2或x=-根号2时取等号。 所以函数最小值是12，没有最大值。 例 2：求函数 y = x + （x > 2）的最小值 解： x > 2 ⇒ x - 2 > 0（一正）； 配凑：y = (x - 2) + + 2； (x - 2)・ = 1（二定），故 y ≥ 2 + 2 = 4； 当且仅当 x - 2 = ⇒ x = 3（三相等，x=3>2 符合），故最小值为 4。 例 3：已知x>0，y>0，x+2y=2，求 + 的最小值 解： 由x+2y=2，先变形得 = 1，再对所求式子乘1 ， + =( + )· = ·（1 + + + 2） = ·（3 + + ） ，x>0，y>0，则 >0， >0，使用基本不等式 + ≥ 2= 2√2 因此原式 ≥ ·(3+2) 当且仅当 = 且 x+2y=2 时取到最小值。 综上，式子的最小值是。 例 4：用长为 16m 的篱笆围一个矩形花园，求花园的最大面积 解： 设矩形长为 x m，宽为 y m，则 2 (x + y) = 16 ⇒ x + y = 8（x > 0，y > 0）； 面积 S = xy，由基本不等式：xy ≤ = = 16； 当且仅当 x = y = 4 时，S 最大为 16 m²； 答：花园的最大面积为 16 平方米。 四、课堂练习 1. 求 y = 2x + （x > 0）的最小值及取最小值时 x 的值 解： x＞0，则2x＞0，＞0，满足基本不等式一正条件 2x + ≥ 2 = 2 = 8 当且仅当 2x = 时取等号 2x² = 8，x²=4，x=2（x＞0，舍去负根） 答：最小值为8，此时x=2 1. 求 y = x (5 - x)（0 < x＜ 5）的最大值 解： 0＜x＜5，所以x＞0，5-x＞0 由基本不等式：x (5 - x) ≤ ＝，即当且仅当 x = 5 - x，即x=时取等号 答：最大值为 1. 某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，容积为 4800 m³，深为 3 m，池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解： 容积4800立方米，深3米，池底面积 = 4800 ÷ 3 = 1600 平方米 设池底长为x米，宽为 米 池底造价：1600 × 150 = 240000 元 池壁面积：2×(3x + 3·) = 6(x + ) 池壁造价：6(x + ) × 120 = 720(x + 1) ，总造价 W = 240000 + 720(x + ) ，x＞0，x + ≥ 2=80 当且仅当 x =，x²=1600，x=40 取等号 此时宽=1600÷40=40，池底为正方形 最低总造价： W = 240000 + 720×80 = 240000 + 57600 = 297600 答：水池底面设计为边长40米的正方形时总造价最低，最低造价297600元 1. 已知 x>0，y>0，且 + =2，求x+2y的最小值 解： 由 + =2，得 ( + )=1， 则x+2y=(x + 2y)·( + ) =（1 + + + 2）= （3 + + ）， x>0,y>0， ＞0，＞0 ， + ≥2 =2， 当且仅当 = 且 + =2，即x=，y= 时取到最小值 答：最小值为 五、易错点总结 1. 忽略 “一正”：对负数直接用基本不等式（例：y = x + （x＜0 ），错误得 y ≥ 2，正确应为 y ≤ -2）； 1. 忽略 “二定”：未配凑出定值就用基本不等式（例：y = x + （x＞-2），错误得 y ≥ 2 ，实际 x・不是定值，故不正确）； 1. 忽略 “三相等”：未检验 a = b 是否成立（例：y = x + （x > 1），配凑为 (x - 1) + + 1，等号成立时 x - 1 = ⇒ x = 1 + ，需检验是否在所给内，其中x＞1，故x = 1 + ）。 6、 课后作业 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，若，则的(    ) A. 最小值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值为 2.若，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 3.若均为正数，且，则的最小值等于(    ) A. B. C. D. 4.，，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列说法正确的是(    ) A. 函数的最大值是 B. 函数的最小值是 C. 函数的最小值是 D. 若，则的最小值是 6.设正实数，满足，则(    ) A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.本小题分 根据题意，求解下列问题： 已知，，且满足，求的最小值； 已知，求最小值； 已知，，，求的最小值并求出此时，的值． 8.本小题分 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙墙的长度没有限制的矩形菜园设菜园的长为，宽为． 若菜园面积为，则当为何值时，可使所用篱笆总长最小并求出最小值． 若使用的篱笆总长度为，则当为何值时，可使菜园面积最大并求出最大值． 1.【答案】  【解析】解：因为，，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 因此的最小值为． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：由题意，得， 当且仅当时，取等号， 故的最小值为． 故选D． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题． 根据基本不等式“”的用法求解即可． 解：因为均为正数，且， 所以，， 当且仅当时等号成立， 所以，的最小值等于． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题． 由已知得，，然后结合基本不等式即可求解． 解：，，，则， 则， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：． 5.【答案】  【解析】选项，对于函数， ， 当且仅当，即时等号成立，所以选项正确； 选项，， 当时，无实数解，所以等号不成立，所以选项错误； 选项，对于函数，， ， 当且仅当，即时等号成立，所以选项正确； 选项，由基本不等式得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以选项正确． 6.【答案】  【解析】解：正实数，满足， 则，当且仅当时取等号，A正确； ，当且仅当时取等号，B错误； ，当且仅当时取等号，C正确； ，当且仅当时取等号，D错误． 故选：． 7.【答案】解：因为，，且满足， 所以， 故，当且仅当，即，时取等号， 此时取得最小值． 因为，则， 所以可化为， 当且仅当时取等号，此时，函数取得最小值． ，，，即， 所以 ，当且仅当，即，时取等号，此时取最小值．  【解析】本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题． 由已知条件，结合基本不等式及相关结论即可分别求解． 8.【答案】解：由已知可得，而篱笆总长为 又因为， 当且仅当时，即，时等号成立 所以菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小，最小值为； 由已知得，而菜园面积为， 则， 当且仅当即，时取等号， 菜园的长为，宽为时，可使菜园面积最大，最大值为． 【解析】本题考查基本不等式的实际应用，属于基础题． 根据题意，列出面积和篱笆周长的式子，再结合基本不等式求和的最小值 由题意可知，，求得最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 一、学习目标 1. 理解重要不等式与基本不等式的推导过程； 1. 掌握基本不等式 “一正、二定、三相等” 的适用条件； 1. 能利用基本不等式解决简单的最值问题和实际应用问题。 二、知识点精讲 1. 不等式推导： 重要不等式：∀a,b∈R，a² + b² ≥ 2ab（当且仅当 a = b 时取等号）； 推导：(a - b)² ≥ 0 ⇒ a² - 2ab + b² ≥ 0 ⇒ a² + b² ≥ 2ab； 1. 基本不等式（均值不等式）： ∀a,b > 0，≥ （当且仅当 a = b 时取等号）； 推导：令 a =，b = （m,n > 0），代入重要不等式得 m + n ≥ 2⇒ ≥ ； 名称： 为算术平均数， 为几何平均数，故基本不等式又称 “算术平均数 ≥ 几何平均数”。 ①核心条件（一正、二定、三相等）： 一正：a、b 必须为正数（若为负数，需转化为正数）； 例：求 y = x + 的最值 分两种情况讨论： 1. 当 x > 0 时 根据基本不等式：正数两数和，积定和最小 x + ≥ 2 = 2 当且仅当 x = ，即 x=1 时，等号成立。 此时函数有最小值 2，无最大值。 当 x < 0 时 令 t = -x，则 t > 0 ，y = x + = - (t + ) ，t + ≥ 2，所以 - (t + ) ≤ -2 当且仅当 t=1，即 x=-1 时，等号成立。 此时函数有最大值 -2，无最小值。 总结 x>0 时，最小值为2； x<0 时，最大值为-2； 函数不存在整体的最大值和最小值。 二定：积定（ab 为定值）则和（a + b ）最小，和定（a + b 为定值）则积（ab ）最大； 三相等：当且仅当 a = b 时取等号。 ②常见配凑技巧： 系数配凑：例：y = 2x + （x > 0），需满足 2x・ = 6（定值），直接用基本不等式； 常数配凑：例：y = x + （x > 1），变形为 y = (x - 1) + + 1（x - 1 > 0），再用基本不等式。 乘“1”法： 已知两个正数相加为定值1，求另外两个含这两个数的代数式的最小值时，把所求式子整体乘以“1”（1拆成已知和式），展开后用基本不等式计算，这种方法叫乘“1”法。 核心：构造积为定值，满足一正二定三相等。 例：已知x>0，y>0，x+y=1，求 + 的最小值。 解： 因为x+y=1，对式子乘1，值不变 + =( + )(x+y) =1 + + + + 2 =3 + + x>0,y>0， >0，>0，可用基本不等式 + ≥ 2 = 2 ，原式≥3+2 当且仅当 = ，结合x+y=1取等号。 所以最小值为3+2。 三、例题解析 例 1：求下列函数的最值 （1）y = x + （x > 0）； （2）y = 3x² + （x ≠ 0）。 例 2：求函数 y = x + （x > 2）的最小值 例 3：已知x>0，y>0，x+2y=2，求 + 的最小值 例 4：用长为 16m 的篱笆围一个矩形花园，求花园的最大面积 四、课堂练习 1. 求 y = 2x + （x > 0）的最小值及取最小值时 x 的值 1. 求 y = x (5 - x)（0 < x＜ 5）的最大值 1. 某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，容积为 4800 m³，深为 3 m，池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 1. 已知 x>0，y>0，且 + =2，求x+2y的最小值 五、易错点总结 1. 忽略 “一正”：对负数直接用基本不等式（例：y = x + （x＜0 ），错误得 y ≥ 2，正确应为 y ≤ -2）； 1. 忽略 “二定”：未配凑出定值就用基本不等式（例：y = x + （x＞-2），错误得 y ≥ 2 ，实际 x・不是定值，故不正确）； 1. 忽略 “三相等”：未检验 a = b 是否成立（例：y = x + （x > 1），配凑为 (x - 1) + + 1，等号成立时 x - 1 = ⇒ x = 1 + ，需检验是否在所给内，其中x＞1，故x = 1 + ）。 6、 课后作业 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，若，则的(    ) A. 最小值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最大值为 2.若，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 3.若均为正数，且，则的最小值等于(    ) A. B. C. D. 4.，，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列说法正确的是(    ) A. 函数的最大值是 B. 函数的最小值是 C. 函数的最小值是 D. 若，则的最小值是 6.设正实数，满足，则(    ) A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.本小题分 根据题意，求解下列问题： 已知，，且满足，求的最小值； 已知，求最小值； 已知，，，求的最小值并求出此时，的值． 8.本小题分 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙墙的长度没有限制的矩形菜园设菜园的长为，宽为． 若菜园面积为，则当为何值时，可使所用篱笆总长最小并求出最小值． 若使用的篱笆总长度为，则当为何值时，可使菜园面积最大并求出最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $