精品解析：广西玉林市2025-2026学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

2026年春季期高一期末教学质量监测 数学 （试卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数虚部定义判断. 【详解】复数，则虚部为. 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用向量平行的坐标公式计算求解. 【详解】向量，，若，则，实数的值为. 3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则与的关系为（ ） A. 互斥 B. 相互独立 C. 互为对立 D. 相等 【答案】B 【解析】 【分析】列举全部可能出现的结果，根据对立事件、互斥事件以及相互独立事件的定义逐一判断. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）这4种情况， 事件A包括（反正）（反反），事件B包括（正正）（反正），故不相等，故D错误， 由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故A，C错误； 因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故B正确. 4. 在中，，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】应用向量加法计算判断三角形形状. 【详解】在中，，则是等边三角形. 5. 已知样本数据：5，6，6，7，8，9，9，10，12，则样本数据的70%分位数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】应用百分位数计算求解. 【详解】样本数据从小到大排列：5，6，6，7，8，9，9，10，12，且， 则样本数据的70%分位数为9. 6. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】应用线面位置及线面平行判断A，C，应用线面平行判断面面平行判断D，应用面面垂直判断线线关系进而判断B. 【详解】，是两个不同的平面，，是两条不同的直线， 若，，则或，A选项错误； 若，设，当，且时，则，B选项错误； 若，则没有交点，又因为，所以没有交点，所以，C选项正确； 若，，，，当时，则可以相交，D选项错误； 7. 从长度为1，3，5，7的4条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】从长度为1，3，5，7的4条线段中任取3条， 共有以下4种情况，， 其中这三条线段能构成一个三角形的情况为，只有1个， 所以这三条线段能构成一个三角形的概率为 8. 如图，已知正三角形ABC的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点M为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点，连接，建立平面直角坐标系，设，，根据平面向量的数量积的坐标表示及辅助角公式可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】连接交于点，连接， 在正三角形ABC中，由于O为三角形ABC的中心，且三角形ABC的边长为， 则为中点，且，，， 以为原点，平行于的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 则， 由于，设，， 则，， 所以， 由于，则. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.5，失球个数的标准差为1.1；乙班每场比赛平均失球数是2.1，失球个数的标准差为0.4，则下列说法正确的是（ ） A. 平均来说乙班比甲班防守技术好 B. 甲班在防守中有时表现较差，有时表现又非常好 C. 乙班很少不失球 D. 甲班比乙班技术水平更稳定 【答案】BC 【解析】 【分析】由平均数及方差的大小关系逐一判断各选项. 【详解】对于A：因为，故平均来说乙班比甲班防守技术差，故A错误； 对于B：甲班失球个数的标准差大，说明防守中的表现不稳定，故B正确； 对于C：乙班失球个数的平均数大，且方差小，说明其失球较为稳定，故乙班很少不失球，故C正确； 对于D：甲班失球个数的标准差大于乙班，说明甲班的技术水平不如乙班稳定，故D错误. 10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复平面内表示复数的点位于第二象限 C. 若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】A选项，，A正确； B选项，复数（i为虚数单位）虚部为，点在第一象限，B错误； C选项，由题意，又，则向量， 故向量对应的复数为，C正确； D选项，若复数是关于的方程的一个根， 则，且也为方程的根， 故，所以，即，D正确. 11. 如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积不是定值 D. 若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据面面平行得出线面平行判断A，对于C：根据平行关系可知点P到平面的距离相等，结合锥体的体积公式分析判断；对于B：可证平面，即可得面面垂直；对于D：作辅助线，分析可知所求截面即为四边形，进而可得结果. 【详解】对于A，连接，，如图，作出符合题意的图形， ，，四边形为平行四边形， ，平面，平面， 平面，同理四边形为平行四边形， ，平面，平面， 平面，，平面，平面， 平面平面，平面，平面，故A正确； 对于选项B：因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面，故B正确； 对于选项C：因为平面平面，且平面， 则点P到平面的距离相等，即三棱锥的高为定值， 又因为的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故C错误； 对于选项D：连接并延长交BC于点M， 因为，则，可知M为BC的中点， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则，， 且，，可得，， 可知四边形为平行四边形，则， 同理可得，所以， 可知所求截面即为四边形，可得， 即四边形为菱形，且， 所以所求截面面积为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中至少有1人击中目标的概率是__________． 【答案】0.88 【解析】 【分析】求出两人均没有击中目标的概率，再根据对立事件的概率即可求出答案. 【详解】因为甲乙两人击中目标的概率分别为0.8和0.4， 所以两人均没有击中目标的概率为， 所以至少有1人击中目标的概率是. 13. 已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，则的外接圆的半径为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】因为，且，所以， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理得，所以． 14. “阿基米德多面体”又称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示的多面体，是以正方体各棱的中点为顶点构成的阿基米德多面体，该多面体有八个面为正三角形，六个面为正方形、若此多面体的棱长为4，则它的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，把多面体放在棱长为的正方体中，结合正方体的结构特征确定球心，求出球半径作答. 【详解】将该多面体放入正方体中，如图所示.    由于多面体的棱长为4，所以正方体的棱长为， 因为该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得， 所以该多面体外接球的球心为正方体对角线的中点， 其外接球直径等于正方体的面对角线长，即，所以， 所以经过该多面体的各个顶点的球的表面积 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，向量与的夹角为． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）15 （2） 【解析】 【分析】（1）应用平面向量数量积公式计算求解； （2）应用平面向量夹角余弦公式结合数量积运算律及模长公式计算求解 . 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 由题意知，， 所以． 16. 如图，在直三棱柱中，，，点，分别为棱，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小． 【答案】（1）连接， 由已知条件，点，分别为棱，的中点， 故有， 又平面，平面， 所以直线平面； （2）． 【解析】 【分析】（1）应用中位线得出，再应用线面平行证明即可； （2）应用平行得出或其补角为异面直线与所成的角，再计算边长得出异面直线所成角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 根据直三棱柱性质可知，，， 因为，， 所以， 所以，所以， 即异面直线与所成的角的大小为． 17. 某芯片工厂生产芯片，为了解该芯片的某项指标，从这种芯片中抽取100件进行检测，根据所得数据绘制出该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）求频率分布直方图中的值以及估计该芯片指标的平均数； （2）现采用按比例分配的分层随机抽样的方式，从该芯片指标在内取6件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率． 【答案】（1），平均数为77.6 （2） 【解析】 【分析】（1）应用频率和为1，得出，再应用平均数公式计算求解； （2）应用列举法结合古典概型计算求解. 【小问1详解】 由题意得，解得． 由频率分布直方图可得各组频率依次为：，， ，，，． 因为各组的组中值依次为：45，55，65，75，85，95， 所以估计该芯片指标的平均数为 ； 【小问2详解】 根据频率分布直方图及按比例分配的分层随机抽样可得： 指标在内取3件，分别编号为，，； 指标在取3件，分别编号为，，． 从芯片指标在内取6件，再从这6件中任取2件，样本空间可记为 ，则． 记事件“指标在和内各1件”，则 ， ． 所以根据古典概型的概率公式可得： 指标在和内各1件的概率为． 18. 如图，在矩形中，，为线段的中点，将沿翻折至，使得平面平面． （1）求四棱锥的体积； （2）求证：面； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2）连接，，，则，所以， 又因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面； （3）． 【解析】 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出平面，进而应用棱锥的体积计算求解； （2）应用面面垂直的性质定理证明线面垂直； （3）应用面面垂直性质定理结合二面角定义得出为二面角的平面角，结合边长计算求解. 【小问1详解】 取的中点，连接， 知，则， 平面平面，平面平面，平面， 则平面， 所以是四棱锥的高， ， 则， 又， 故四棱锥的体积； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为平面，面，所以， 所以，，所以， 又因为，平面，平面，平面平面， 所以为二面角的平面角， ， 所以二面角的余弦值为． 19. 已知分别为三个内角的对边，，． （1）求角的值； （2）如图，若，为线段上（不含端点）的两个动点，，的面积为． （i）求的值； （ii）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理进行边化角，再利用正弦的和角公式进行化简，即可得解； （2）（i）运用三角形面积公式得到，再运用余弦定理得到，即可解得；（ii）设，在中运用正弦定理可得，再结合，即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理可得：，在中，， 所以， 得，因为在中，，所以， 得，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 （i）因为，所以，最后结合，即可确定 因为， 所以， 又， 所以， 由，得或， 由图可知：， 所以，故； （ii）由，得，所以， 设，其中，则，， 在中，由正弦定理可得 ， 因为，则，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季期高一期末教学质量监测 数学 （试卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则与的关系为（ ） A. 互斥 B. 相互独立 C. 互为对立 D. 相等 4. 在中，，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 5. 已知样本数据：5，6，6，7，8，9，9，10，12，则样本数据的70%分位数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 7. 从长度为1，3，5，7的4条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正三角形ABC的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点M为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.5，失球个数的标准差为1.1；乙班每场比赛平均失球数是2.1，失球个数的标准差为0.4，则下列说法正确的是（ ） A. 平均来说乙班比甲班防守技术好 B. 甲班在防守中有时表现较差，有时表现又非常好 C. 乙班很少不失球 D. 甲班比乙班技术水平更稳定 10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复平面内表示复数的点位于第二象限 C. 若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 11. 如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积不是定值 D. 若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中至少有1人击中目标的概率是__________． 13. 已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，则的外接圆的半径为__________． 14. “阿基米德多面体”又称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示的多面体，是以正方体各棱的中点为顶点构成的阿基米德多面体，该多面体有八个面为正三角形，六个面为正方形、若此多面体的棱长为4，则它的外接球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，向量与的夹角为． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 如图，在直三棱柱中，，，点，分别为棱，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小． 17. 某芯片工厂生产芯片，为了解该芯片的某项指标，从这种芯片中抽取100件进行检测，根据所得数据绘制出该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）求频率分布直方图中的值以及估计该芯片指标的平均数； （2）现采用按比例分配的分层随机抽样的方式，从该芯片指标在内取6件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率． 18. 如图，在矩形中，，为线段的中点，将沿翻折至，使得平面平面． （1）求四棱锥的体积； （2）求证：面； （3）求二面角的余弦值． 19. 已知分别为三个内角的对边，，． （1）求角的值； （2）如图，若，为线段上（不含端点）的两个动点，，的面积为． （i）求的值； （ii）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $