精品解析：广西玉林市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷

2025年春季期高一期末教学质量监测 数学 （试卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简即可. 【详解】. 故选：D. 2. 为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】求出高三年级学生所占比例，由此可求得答案. 【详解】由题意知高三年级学生所占比例为， 故应在高三年级招募的志愿者数目为. 故选：A 3. 抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）．在这组数据的平均数、中位数、众数和方差中，鞋厂最感兴趣的是（ ） 鞋码号 33 34 35 36 37 人数 2 6 20 1 1 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】鞋厂最感兴趣的是销售量，即可根据数据的数字特征来判定. 【详解】鞋厂最感兴趣的是销售量最多的鞋号，即为数据的众数，故鞋厂最感兴趣的是众数. 故选 ：C. 4. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【详解】若使成立，则选项中只有C能保证，故选C [点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意. 5. 已知平面，直线和，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】依据线面平行或垂直，面面平行或垂直的判定定理或结论逐一判断即可 【详解】对于A项：因为“垂直与同一直线的两个平面平行”，所以A项命题正确； 对于B项：因为垂直与同一平面的两个平面可以平行，所以B项错误； 对于C项：因为，则或，所以C项错误； 对于D项：因为，则或或为异面直线，所以D项错误. 故选：A 6. 如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面高为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设四棱柱的底面梯形的高为，的中点分别为，所求的水面高为，利用等体积法求解即可. 【详解】设四棱柱的底面梯形的高为， 的中点分别为， 所求的水面高为h， 则水的体积， 所以， 故选：B． 7. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法，根据古典概型概率公式即得． 【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15种结果， 其中数字之和为3的倍数的有（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共5种结果， 故抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为. 故选：B. 8. 已知的外接圆的半径为1，，点G满足，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据可得点为的重心，根据，可得，从而可的，再利用正弦定理求出，进而可得出答案. 【详解】如图，取的中点，连接， 因，所以， 所以， 又为公共点，所以共线，且， 所以点为的重心， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 由正弦定理得，所以， 所以， 所以. 故选：A. 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若对应点在虚轴上，则为纯虚数 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】设，，则，再借助模长公式，复数运算法则以及复平面的性质逐项判断即可得. 【详解】设，，则； 对A：，，故，故A正确； 对B：，， 故，故B正确； 对C：原点也在虚轴上，此时，并不是纯虚数，故C错误； 对D：若，则，即点的集合所构成的图形为半径为的圆， 该图形的面积为，故D错误. 故选：AB. 10. 某厂为了考察新设备的性能，质检部门从该新设备生产的产品中随机抽取100件，测试其某项关键指标数据.经统计，这些产品的关键指标数据都在内，并整理出下表（数据有缺失）： 关键指标 频数 5 15 20 20 根据表中数据，下列结论正确的是（ ） A. 这100件产品的关键指标数据在内的占比为20% B. 这100件产品的关键指标数据的极差在区间内 C. 这100件产品的关键指标数据的第75百分位数约为88.75 D. 这100件产品的关键指标数据的平均数的估计值小于其中位数的估计值 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意求出关键指标数据在内的频数，由频率定义判断A；由极差定义判断B；由百分位数定义判断C；分别计算平均数和中位数，即可判断D. 【详解】由题中数据可知，关键指标数据在内的频数为：， 对于A，这100件产品的关键指标数据在内的频数为，占比为60%，故A错误； 对于B，根据关键指标数据的分布情况可知，这100件产品的关键指标数据的极差大于，小于或等于， 所以这100件产品的关键指标数据的极差在区间内，故B正确； 对于C，根据关键指标数据的分布情况可知，数据在内的频率为，在内的频率为. 故这100件产品的关键指标数据的第75百分位数一定位于内，设为. 则，解得，所以这100件产品的关键指标数据的第75百分位数约为88.75，故C正确； 对于D，这100件产品的关键指标数据的平均数的估计值为. 由于数据在内的频率为，在内的频率为， 故这100件产品的关键指标数据的中位数一定位于内，设为. 则，解得，所以这100件产品的关键指标数据的中位数的估计值为，而，故D正确． 故选：BCD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ） A. 动点的轨迹是一条线段 B. 直线与的夹角为 C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D. 若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：分别取，的中点H，G，连接，，，，证明平面平面，从而得到点F的轨迹；B：由正方体的结构特征易知且为等边三角形，即可判断；C：根据B得出平面，从而得到点F到平面的距离为定值，再结合的面积也为定值，即可判断；D：设为的中点，从而根据面面平行的性质定理得到截面即为面，从而线段长度的最大值为线段的长，即可判断. 【详解】A：如图分别取，的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 且，平面，所以平面平面， 而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，对； B：由正方体的结构特征易知且为等边三角形， 所以直线与的夹角，即直线与的夹角为，对； C：由B知，点F的轨迹为线段GH，因为平面，则点F到平面的距离为定值， 同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，错； D：如图，设平面与平面交于AN，N在上． 因截面平面，截面平面，平面平面， 所以，同理，所以截面为平行四边形，则点N为的中点． 在四棱锥中，侧棱最长，且，对. 故选：ABD 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且，互斥，则___________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念即可得结果. 【详解】由于，互斥，即不可能同时发生， 所以， 故答案为：0. 13. 将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】和分别表示底面圆半径和母线长，由题意得到等量关系，得到，从而知道轴截面的顶角值. 【详解】设底面半径为，母线成为， 则，即， ∴该圆锥轴截面的顶角等于， 故答案为： 14. 已知、、是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，先确定向量的终点所表示的轨迹，一个为射线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值. 【详解】设，，，则， 则由与的夹角为，得， 所以，得， 由，知， 得，即， 因此，表示圆上的点到射线上的点的距离， 故其最小值为圆心到射线的距离减去半径1，即. 故答案为：. 四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，为边上的一点，满足，，，且与的夹角为. （1）用、表示； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助平面向量运算法则计算即可得； （2）借助模长与向量平方的关系及数量积公式计算即可得； （3）结合平面向量的运算法则与数量积公式计算即可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 16. 已知在锐角中，内角的对边分别是． （1）求； （2）若外接圆半径，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用正弦定理将进行边角互换，，再由为锐角进行化简，得到，最后由为锐角得到答案； （2）先由正弦定理与的值得到，，，再由，得到，最后用余弦定理得到的值，即可得到周长. 【小问1详解】 由及正弦定理，可得， 又，所以，即， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，以及可得 ，，，， 又因为，所以. 由余弦定理得， 即，得， 故周长为. 17. 如图所示，平面为圆柱的轴截面，C为底面圆周上异于A，B的任意一点.D为的中点. （1）求证：平面； （2）若C为的中点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，求证四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可； （2）在中计算即可. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为的中点，则在中，，且， 又在圆柱中，，且， 则，，故四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面. 小问2详解】 容易知，平面，则直线与平面所成角为， 因C为的中点，故不妨设，则， 则在中，，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立. （1）设. ①求甲答对两道题的概率； ②求甲、乙一共答对两道题的概率. （2）求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）设“甲答对第道题”，表示乙答对第道题，①，设“甲答对两道题”，则可得答案；②，设“甲、乙一共答对两道题”，则由互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式可得答案， （2）则由互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式可得答案. 【小问1详解】 设“甲答对第道题”，表示乙答对第道题， ①，设“甲答对两道题”，则； ②，设“甲、乙一共答对两道题”， 则 所以 ， 所以甲、乙一共答对两道题的概率为； 【小问2详解】 设“甲、乙一共答对三道题”， 则， 所以 ， 当时，有最小值为， 所以甲、乙一共答对三道题的概率的最小值为. 19. 在直角梯形ABCD中，，（如图1），把△ABD沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC中点（如图2）． （1）证明：平面平面AMN； （2）记二面角A—BC—D的平面角为θ，当平面BCD⊥平面ABD时，求tanθ的值； （3）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得（如图3），令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用垂足关系和平行关系，转化为证明平面； （2）首先利用的垂线，利用垂线构造二面角的平面角，再根据几何关系求解的值； （3）利用垂足关系和平行关系，得到，即可化简，并求取值范围. 小问1详解】 因为，且点是的中点， 所以， 因为是等腰直角三角形，，，， 则， 则，得， 因为点分别是的中点，所以，即， ，且平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 因为平面平面，且平面平面， 因为，所以平面， 取的中点，连结， 因为，则，， 所以， 所以为二面角的平面角， ； 【小问3详解】 在线段取点，使得， 从而易得且，，， 另一方面，，，从而， 所以，，，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为，， 所以， 从而， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季期高一期末教学质量监测 数学 （试卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 为帮助乡村学校学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）．在这组数据的平均数、中位数、众数和方差中，鞋厂最感兴趣的是（ ） 鞋码号 33 34 35 36 37 人数 2 6 20 1 1 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 且 5. 已知平面，直线和，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面高为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的外接圆的半径为1，，点G满足，且，则的面积为（ ） A B. C. D. 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若对应的点在虚轴上，则为纯虚数 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 某厂为了考察新设备的性能，质检部门从该新设备生产的产品中随机抽取100件，测试其某项关键指标数据.经统计，这些产品的关键指标数据都在内，并整理出下表（数据有缺失）： 关键指标 频数 5 15 20 20 根据表中数据，下列结论正确的是（ ） A. 这100件产品的关键指标数据在内的占比为20% B. 这100件产品的关键指标数据的极差在区间内 C. 这100件产品的关键指标数据的第75百分位数约为88.75 D. 这100件产品的关键指标数据的平均数的估计值小于其中位数的估计值 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ） A. 动点的轨迹是一条线段 B. 直线与的夹角为 C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D. 若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度最大值为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且，互斥，则___________. 13. 将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于___________. 14. 已知、、是平面向量，是单位向量，若非零向量与夹角为，向量满足，则的最小值是______. 四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，为边上的一点，满足，，，且与的夹角为. （1）用、表示； （2）求的值； （3）求的值. 16. 已知在锐角中，内角的对边分别是． （1）求； （2）若外接圆半径，求的周长． 17. 如图所示，平面为圆柱的轴截面，C为底面圆周上异于A，B的任意一点.D为的中点. （1）求证：平面； （2）若C为的中点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立. （1）设. ①求甲答对两道题的概率； ②求甲、乙一共答对两道题的概率. （2）求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值. 19. 在直角梯形ABCD中，，（如图1），把△ABD沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC中点（如图2）． （1）证明：平面平面AMN； （2）记二面角A—BC—D的平面角为θ，当平面BCD⊥平面ABD时，求tanθ的值； （3）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得（如图3），令PQ与BD和AN所成角分别为和，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$