1.3 矩形的性质与判定 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件围绕矩形的性质与判定展开，涵盖矩形四角直角、对角线相等、直角三角形斜边中线性质等核心知识点，通过生活实例图片提问和类比菱形判定方法导入，搭建平行四边形到矩形的知识支架，引导学生从已有认知过渡到新知。 其亮点在于以问题链驱动探究，如性质通过“尝试·思考”发现并严谨证明，判定通过逆定理猜想验证，体现数学思维的推理意识。结合矩形桌面测量、踏板制作等实例和分层小测，培养数学眼光的几何直观与应用意识，帮助学生深化理解，教师可高效开展教学。

矩形的性质与判定 3 矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 学习目标 1. 探索并证明矩形的性质定理. (重点) 2. 应用矩形的性质定理解决相关问题. (难点) 课时导入 问题1:下面图片中都含有一些特殊的平行四边形.观察这些特 殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征? 问题2:你还能举出一些生活中的例子吗? 你认为矩形有哪些特殊的性质?你是怎样发现的?能证明这些性质吗? 可以发现：矩形的四个角都是直角，对角线相等. 知识点1 矩形的性质 尝试 ·思考 知识讲解 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°, 对角线AC与DB 相 交于点0. 求证： (1)∠ ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; (2)AC=DB. 证明： (1)∵四边形ABCD是矩形. ∴∠ABC=∠CDA,∠ BCD=∠DAB(矩形的对角相等), AB//DC(矩形的对边平行) . ∴∠ABC+∠BCD=180° . 又∵∠ABC=90°,∴ ∠BCD=90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° . 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°, 交于点0. 求证： (1) ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; (2)AC=DB. (2)∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC(矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB. 定理：矩形的四个角都是直角. 定理：矩形的对角线相等. 对角线AC与DB相 总结 矩形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性 质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 角：对角相等. 角：四个角都是90°. 边：对边平行且相等. 对角线：相等. 对角线：相交并相互平分. 矩形的特殊性质 平行四边形的性质 随堂小测 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点0,点E,F 分别是AO, AD的中点，连接EF, 若AB=6cm,BC=8cm, 则EF的长是( D) A.2.2 cm B.2.3 cm C.2.4 cm D.2.5 cm 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD 交于点O, 已知∠AOB=60°, AC=16,则图中长度为8的线段有 ( D) A.2条 B.4条 C.5条 D.6条 3. 已知：如图，矩形ABCD中 ，AB长8 cm, 对角线比AD长4 cm. 求AD的长及点A到BD的距离AE. 解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=90°. 设AD=x cm, 则对角线长( x+4)cm, 在Rt△ABD中，由勾股定理得x²+8²=(x+4)², 解得x=6, 则AD=6cm. 利用面积公式，可得AE·DB=AD·AB, ∴AE=4.8 cm. 如图1,在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD交于点E, 将炬形纸片沿AC剪开， 得到图2所示的图形，BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?它与AC有什么大小 BE是AC的一半. 知识点2直角三角形斜边上的中线上的性质 BE是Rt△ABC中 斜边AC的中线. 观察 ·思考 关系?由此你能得到怎样的结论? 图2 图1 如图1,在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD交于点E, 将矩形纸片沿AC剪开， 得到图2所示的图形，BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?它与AC有什么大小 关系?由此你能得到怎样的结论? 知识点2 直角三角形斜边上的中线上的性质 定理：直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半. C 观察 ·思考 图2 图1 请你完成这个定理的证明. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD 交于点E. 求证： 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴ AC=BD (矩形的对角线相等), 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. (矩形对角线相互平分), 例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点0, ∠AOD=120°,A B=2.5, 求这个矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴∠DAB=90° ( 矩形的四个角都是直角), AC= BD(矩形的对角线相等), ∴OA=OD. ∵∠AOD=120°,∴ ∴BD=2AB=2×2.5=5. C 矩形对角线互相平分). ∴OA=OB. 又∵∠AOD=120°,∴∠AOB=60°, ∴△OAB是等边三角形. ∴OA=AB=2.5, ∴AC=BD=20A=5. 例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点0, ∠AOD=120°,AB=2.5, 求这个矩形对角线的长. 另解：∵四边形ABCD是矩形. 矩形对角线互相平分), ∴AC=BD (矩形的对角线相等), 随堂小测 4. 如图，在Rt△ABC中 ，∠ACB=90°,D,E , F 分别是AB, BC,CA 的中点，若CD=3cm, 则EF= 3 cm. 5. 如图，已知BD,CE 是△ABC不同边上的高，点G,F 是BC, DE的中点，证明：GF⊥DE. 证明：如图，连接EG,DG. ∵BD, CE是△ABC的高， ∴∠BDC=∠BEC=90° . ∵ 点G 是BC的中点， 。 . ∴EG=DG. 又∵点F 是DE的中点，∴GF⊥DE. 分别 小结 1. 矩形的四个角都是直角. 2. 矩形的对角线相等. 3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 矩形的性质与判定 第2课时矩形的判定 学习目标 1. 经历矩形判定定理的探索过程，理解并掌握矩形的判定方 法 .(重点) 2. 能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.(难点) 你能写出矩形性质定理的逆定理吗?它们都是真命题吗?为什么?与同伴进行交流. 可以发现：有三个角是直角的四边形是矩形， 对角线相等的平行四边形是矩形. 课时导入 还记得我们是怎样得到菱形的判定条件的吗?你能用类似的方法发现矩形 思考 ·交流 的判定条件吗? 已知：如图，在□ABCD中 ，AC,DB 是它的两条对角线，AC=DB. 求证：□ABCD是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB=DC,AB //DC, 又∵BC=CB, AC=DB, ∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB. ∵AB//DC,∴∠ABC+∠DCB=180° . ∴∠ABC=∠DCB=1×180°=90° . ∴ □ABCD 是矩形(矩形的定义) . 知 识 点 1 对角线相等的平行四边形是矩形 知识讲解 几何语言： 如图，在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD, ∴平行四边形ABCD是矩形. 定理：对角线相等的平行四边形是矩形. 随堂小测 1.要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是 (C) A. 测量两对角线是否相等 B. 度量两个角是否是90° C. 测量两对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D. 测量两组对边是否分别相等 2.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E,DE=AD, 连接 EB, EC,DB, 添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是 ( D ) A. AB=BE B.CE⊥DE C. ∠ ADB=90° D.BE⊥AB 已知：如图，在四边形ABCD中 ，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180° . ∴AD//BC,AB//CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. 知识点2有三个角是直角的四边形是矩形 几何语言： 如图，在四边形ABCD中， ∵∠A=∠B=∠C=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形. 定理：有三个角是直角的四边形是矩形. 例2 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,△ABO 是等边三角形，AB=4, 求□ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC,OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4,∴OA=OB=OC=OD=4. ∴AC=BD=20A=2×4=8. ∴ □ABCD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形) . ∴ ∠ABC=90° ( 矩形的四个角都是直角) . 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB²+BC²=AC², ∴BC=√AC²-AB²=√ 8²-4²=4√3. ∴S□ABCD=AB·BC=4×4√3=16√3. 例2 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, △ABO 是等边三角形， AB=4, 求□ABCD的面积. 3.一个木匠要制作矩形的踏板.他在一个对边平行的长木板 上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板. 理由是 有三个角是直角的平行四边形是矩形 随堂小测 4.如 图 ，在△ABC中 ，AB=AC,AD⊥BC, 垂足为D, AN是△ABC 外角∠CAM的平分线，CE⊥AN, 垂足为E. 求证：四边形ADCE为矩形. 证明：在△ABC中 ，AB=AC,AD⊥BC, ∴ ∠BAD= ∠DAC, 即 又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， 又∵ AD⊥BC,CE⊥AN, ∴∠ADC=∠CEA=90°, ∴四边形ADCE为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形). 矩形的判定方法 几何语言 图形 定义法 有一个角是直角的平行 四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°, ∴四边形ABCD是矩形. 定理 对角线相等的平行四边 形是矩形 在平行四边形ABCD中，∵AC=BD, ∴平行四边形ABCD是矩形 定理 有三个角是直角的四边 形是矩形 在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°, ∴四边形ABCD是矩形 A B 小结 $