1.4 第2课时 正方形的判定（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定，通过回顾正方形定义、性质及矩形、菱形判定方法导入，以“矩形/菱形补充条件得正方形”为核心，构建从基础图形到特殊图形的知识支架，帮助学生形成逻辑脉络。 其亮点在于结合折叠活动、动态几何题等实践操作，培养数学眼光中的几何直观与空间观念，通过例题规范证明步骤和归纳判定方法，发展数学思维的推理能力，用表格总结中点四边形类型，强化数学语言的模型意识。学生能提升逻辑思维，教师可高效开展教学。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 1.4 第2课时 正方形的判定 第一章 特殊平行四边形 1.4 第2课时 正方形的判定（精讲讲义） 上一课时我们学习了正方形的全部性质，本节课反向掌握正方形的判定方法。正方形是矩形和菱形的结合体，因此正方形的判定 = 矩形条件 + 菱形条件。本节是特殊四边形综合证明题的终极考点，常作为几何大题压轴考查，需熟练掌握各类判定思路，灵活择优解题。 一、判定核心逻辑（总口诀） 想要证正方形，只需满足：既是矩形，又是菱形。 通俗理解： 1. 矩形（直角、对角线相等）+ 邻边相等 / 对角线垂直 = 正方形； 2. 菱形（四边相等、对角线垂直）+ 一个直角 / 对角线相等 = 正方形。 二、正方形四大判定方法（必考、全覆盖） 判定1：定义法（基础万能法） 内容：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 解题三步： ① 先证四边形是平行四边形；② 证一组邻边相等（菱形特征）；③ 证一个内角为直角（矩形特征）。 适用场景：题干有平行、边长相等、垂直、直角条件时优先使用。 判定2：矩形基础上证正方形 内容： 1. 有一组邻边相等的矩形是正方形； 2. 对角线互相垂直的矩形是正方形。 核心逻辑：矩形已有直角、对角线相等，只需补充菱形独有条件，即可升级为正方形。 判定3：菱形基础上证正方形 内容： 1. 有一个角是直角的菱形是正方形； 2. 对角线相等的菱形是正方形。 核心逻辑：菱形已有四边相等、对角线垂直，只需补充矩形独有条件，即可升级为正方形。 判定4：直接四边形判定（无需证平行） 内容：四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形。 适用场景：简单判断题、基础填空题，大题极少使用，步骤繁琐。 三、判定方法择优技巧（做题提速） 1. 题干已知是平行四边形：补「邻边相等+一个直角」； 2. 题干已知是矩形：优先补「邻边相等」或「对角线垂直」； 3. 题干已知是菱形：优先补「一个直角」或「对角线相等」； 4. 对角线条件充足：对角线相等且垂直且平分的四边形是正方形。 四、经典例题精讲（考试满分步骤） 例1 矩形变正方形（高频大题） 已知：四边形ABCD是矩形，AB=BC。求证：ABCD是正方形。 证明： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ 四个角为直角，对边相等， 又∵ AB=BC（一组邻边相等）， ∴ 矩形ABCD是正方形。（邻边相等的矩形是正方形） 例2 菱形变正方形 已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°。求证：ABCD是正方形。 证明： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ 四边相等，对边平行， 又∵ ∠A=90°， ∴ 菱形ABCD是正方形。（有一个直角的菱形是正方形） 例3 对角线综合判定 已知：平行四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD。求证：ABCD是正方形。 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴ 平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， 又∵ AC⊥BD， ∴ 矩形ABCD是正方形（对角线垂直的矩形是正方形）。 五、特殊四边形判定终极汇总（考前必背） 1. 平行四边形：对边平行/相等、对角相等、对角线互相平分； 2. 矩形：平行四边形+直角 / 平行四边形+对角线相等 / 三角为直角； 3. 菱形：平行四边形+邻边相等 / 平行四边形+对角线垂直 / 四边相等； 4. 正方形：矩形+菱形任意一组专属条件叠加。 六、本节高频易错扣分点 1. 误区：对角线垂直且相等的四边形是正方形（❌ 缺少「互相平分」，不是平行四边形不成立）； 2. 步骤缺失：大题未先证矩形/菱形，直接判定正方形，步骤不完整扣分； 3. 条件混淆：误将“对角线相等的菱形是矩形”等错误结论混用； 4. 忽略前提：所有叠加判定，必须依托平行四边形、矩形、菱形的基础图形。 七、同步专项习题（含答案） 1. 矩形ABCD添加条件____，可判定为正方形。 答案：AB=AD（或AC⊥BD，答案不唯一） 2. 菱形ABCD添加条件____，可判定为正方形。 答案：∠A=90°（或AC=BD，答案不唯一） 3. 下列能直接判定四边形是正方形的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线垂直 C. 对角线相等且垂直平分 D. 对角线相等 答案：C 4. 平行四边形对角线互相垂直且相等，则该四边形是____。 答案：正方形 1. 用类比方法归纳正方形的判定方法，培养学生的数学表达能力. 2. 探究并证明正方形的判定定理.(重点) 3.灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力.(难点) 学习目标 问题1 什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B C D 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. O 正方形性质：①四个角都是直角； ②四条边都相等； ③对角线相等且互相垂直平分. 问题2 你是如何判定矩形、菱形的？ 思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 四个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 探究点1: 正方形的判定 已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角 线，AC⊥DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形. A B C D O 【证一证】 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°. ∵ AC⊥DB， ∴ AD = AB = BC = CD. ∴ 四边形 ABCD 是正方形. 探究点1: 正方形的判定 活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形. 正方形 菱形 猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 探究点1: 正方形的判定 已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. A B C D O 【证一证】 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB. ∵ AC = DB， ∴ AO = BO = CO = DO. ∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形. ∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°. ∴ 四边形 ABCD 是正方形. 探究点1: 正方形的判定 常用的正方形判定方法： 定义法 矩形法 菱形法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相互垂直的矩形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 【归纳总结】 探究点: 正方形的判定 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角/ 一组邻边相等/ 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等， 且一内角是直角 【归纳总结】 探究点1: 正方形的判定 1.在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD B．AD∥BC，∠BAD =∠BCD C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD D．AO = CO，BO = DO，AB = BC C A B C D O 【练一练】 探究点1: 正方形的判定 例1 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形 BECF 是正方形. F A B E C D 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形 BECF 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°. 探究点1: 正方形的判定 ∴∠EBC = ∠ECB. ∴ EB = EC. ∴□ BECF 是菱形(菱形的定义). 在△EBC 中， ∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°， ∴∠BEC = 180° -∠EBC - ∠ECB = 180° - 2×45° = 90°。 ∴菱形 BECF 是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形)。 又∵ BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB， ∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°. F A B E C D 探究点1: 正方形的判定 探究点1: 正方形的判定 证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC =∠DFC = 90°. 又∵∠C = 90°， ∴ 四边形 CEDF 是矩形. 过点 D 作 DG⊥AB 于点 G. ∵ AD 是∠CAB 的平分线， ∴ DE = DG. 同理，DG = DF，∴ DE = DF. ∴ 四边形 CEDF 为正方形. 【练一练】2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B 的平分线交于点 D，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 求证：四边形 CEDF 为正方形. A B C D E F G 【做一做】 如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？ C A B D E F G H EH∥AC EH = AC 三角形 中位线定理 E，H 分别是 AB，BC 中点 同理， FG∥AC， FG = AC EH = FG，EH∥FG 四边形 EHGF 是平行四边形 探究点2: 中点四边形问题 【做一做】如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？ 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 ？ 矩形 ？ 菱形 ？ 正方形 ？ 探究点2: 中点四边形问题 A B C D 拓展1 如图，顺次连接平行四边形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？ 解：连接 AC、BD. ∵ 点 E、F、G、H 为各边中点， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. E F G H 探究点2: 中点四边形问题 H G F E D C B A 解：连接 AC、BD. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD. ∵ 点 E、F、G、H 为各边中点， ∴ EF = GH = FG = EH. ∴ 四边形 EFGH 是菱形. 拓展2 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？ 探究点2: 中点四边形问题 解：连接 AC，BD. ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD. ∴EF∥HG，EH∥FG， ∴四边形 EFGH 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD， ∴∠AOB = 90°. ∴∠HEF = 90°. ∴四边形 EFGH 是矩形. 拓展3 如图，顺次连接菱形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？ A B C D O E F G H 探究点2: 中点四边形问题 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC 且EF = AC， 同理可证 HG∥AC 且 HG = AC， EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD 且 FG = BD. ∴四边形 EFGH 为平行四边形. A B C D O H G F E 拓展4 如图，顺次连接正方形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？ 探究点2: 中点四边形问题 又∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC = BD，AC⊥BD. ∴EF = FG = HG = EH，∠DOC = 90°. ∴四边形 EFGH 是菱形，∠EFG = 90°. ∴四边形 EFGH 为正方形. A B C D O H G F E 探究点2: 中点四边形问题 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 【归纳总结】 菱形 矩形 正方形 平行四边形 平行四边形 思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？ 探究点2: 中点四边形问题 【归纳总结】 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线垂直 矩形 对角线相等且垂直 正方形 决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系. 探究点2: 中点四边形问题 知识点1 在菱形或矩形的基础上判定正方形 （第1题） 1. 如图，在菱形 中，对角线 ，交于点 ，添加下列一个条 件，能使菱形 成为正方形的是 ( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 24 2.如图,在中, ，与 的平分线交 于点，于点,于点,则四边形 的形 状为________. 正方形 （第2题） 返回 考试考法 25 3. 已知：如图，在中， ， ，垂足为点，是外角 的平分线， ，垂足为点 . 考试考法 26 （1）证明：四边形 为矩形； 【证明】 在中，， ， . 考试考法 27 是的平分线， . 又， ， . 四边形 为矩形. 考试考法 （2）当 满足____________________ _______________时（添加一个条件），四 边形 是正方形，并证明. （答案不唯一） 证明如下：， , . ， . . 四边形为矩形， 矩形 是正方形. 返回 考试考法 29 知识点2 在四边形或平行四边形的基础上判定正方形 4. 如图，已知的对角线，交于点 ，添加条件 后， 不一定是正方形的选项为( ) B （第4题） A. ， B. ， C. ， D. ， 返回 考试考法 30 （第5题） 5. 如图，菱形 的 对角线,相交于点,点, 同时 从点出发在线段上以 的 速度反向运动（点,分别到达, 两点时停止运动），设运动时间为 3 .连接,,,,已知是边长为 的等边三角 形，当___时，四边形 为正方形. 考试考法 31 知识点3 中点四边形 6. 如图，在任意四边形中，，，， 分别是边，，，的中点，连接， ，对于四 边形 的形状，下列说法错误的是( ) 考试考法 32 （第6题） A. 四边形 一定是平行四边形 B. 若，则四边形 为菱形 C. 若，则四边形 为矩形 D. 若与互相平分，且 ， 则四边形 是正方形 √ 返回 考试考法 33 7. 如图，正方形的边长为2，是对角线 上一动点， 于点，于点，连接， .则下列结论 错误的是( ) D （第7题） A. B. 若，则 C. 若为的中点，则四边形 是正方形 D. 若，则 考试考法 34 5 种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 $