1.3 矩形的性质与判定 课时1（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的定义与性质，包括四角为直角、对角线相等及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。通过类比菱形学习，引导学生从角和对角线关系入手，以已学平行四边形性质为支架构建新知识。 其亮点在于以问题驱动探究，通过性质证明培养推理能力，结合油菜花田小路、水杯截面等情境题提升应用意识。课堂小结系统梳理核心性质，助力学生形成知识网络，教师使用可高效落实教学目标。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 1.3 矩形的性质与判定 课时1 第一章 特殊平行四边形 北师大版八年级数学1.3矩形的性质与判定（课时1：矩形的性质）同步练习题 本课时主要学习矩形的定义与性质，矩形是特殊的平行四边形，核心掌握：有一个角是直角的平行四边形是矩形。在具备平行四边形所有性质的基础上，矩形拥有专属特殊性质：四个角都是直角、对角线相等且互相平分。本节习题聚焦性质理解、基础计算与简单应用，帮助区分平行四边形与矩形的性质差异，夯实基础考点。 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 有一个角是________的平行四边形叫做矩形。 2. 矩形的四个角都是________，邻角互补，对角相等。 3. 矩形的对角线________且互相平分。 4. 矩形既是中心对称图形，又是________图形，共有________条对称轴。 5. 矩形ABCD中，∠A=90°，则∠B+∠D=________°。 6. 矩形的对角线长为13，一条直角边长为5，则另一条边长为________。 7. 矩形的对角线把矩形分成________个全等的直角三角形。 8. 在矩形中，对角线相交形成的三角形均为________三角形。 二、单项选择题（每题4分，共20分） 1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 2. 矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列结论错误的是（ ） A. AC=BD B. OA=OB C. ∠ABC=90° D. AC⊥BD 3. 若矩形的一组邻边长分别为3和4，则对角线长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 矩形的对称轴是（ ） A. 对角线所在直线 B. 对边中点连线所在直线 C. 任意直线 D. 邻边垂线 5. 下列关于矩形的说法正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 矩形的四个内角均为直角 D. 矩形不是平行四边形 三、解答计算题（共50分） 1.（16分）已知矩形ABCD的邻边长分别为6cm和8cm，求该矩形的周长、面积以及对角线的长度。 2.（16分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=10，求OB的长度。 3.（18分）已知矩形ABCD中，∠AOB=60°（O为对角线交点），对角线AC=12，求矩形较短边的边长。 参考答案与简要解析 一、填空题 1. 直角 2. 直角 3. 相等 4. 轴对称；2 5. 180 6. 12 7. 四 8. 等腰 二、选择题 1.C 解析：对角线相等是矩形专属性质，普通平行四边形对角线仅互相平分、不相等。 2.D 解析：矩形对角线相等且平分，但不一定垂直，垂直是菱形性质。 3.A 解析：矩形内角为直角，由勾股定理可得对角线长为5。 4.B 解析：矩形对称轴为两组对边中点连线所在直线，对角线不是对称轴。 5.C 解析：矩形定义为有一个直角的平行四边形，四个角均为直角。 三、解答计算题 1. 解：矩形周长=$$2\times(6+8)=28\mathrm{cm}$$，面积=$$6\times8=48\mathrm{cm}^2$$。由勾股定理，对角线长=$$\sqrt{6^2+8^2}=10\mathrm{cm}$$。 2. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴$$BD=AC=10$$，对角线互相平分，$$OB=\dfrac{1}{2}BD=5$$。 3. 解：矩形对角线相等且平分，$$OA=OB=\dfrac{1}{2}AC=6$$。又$$\angle AOB=60^\circ$$，∴△AOB为等边三角形，矩形较短边$$AB=OA=6$$。 课时小结：矩形=平行四边形+一个直角。核心性质：四角为直角、对角线相等。解题常用结论：矩形对角线平分且相等，对角线相交形成等腰三角形，出现60°角即可构造等边三角形，结合勾股定理可解决绝大多数计算题型。 1.探索并证明矩形的性质定理，会用矩形的性质解决简单的问题。 2.探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半。 学习目标 2 矩形也是特殊的平行四边形，类比菱形的学习，你认为需要研究矩形的哪些问题?怎样研究呢? 需要研究矩形的角的关系、对角线的关系。 可以从矩形的定义出发，先研究矩形的性质，再研究矩形的判定。 3 知识点1 矩形的性质 问题1 矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗? 对边平行且相等， 对角相等， 对角线互相平分， 矩形是中心对称图形。 问题2 你认为矩形还具有哪些特殊的性质?你是怎样发现的？ 你能证明这些猜想吗? 发现：矩形的四个角都是直角。 矩形的两条对角线相等。 知识点1 矩形的性质 一个角是90° 对边平行，对角相等 四个角都是90° 四个角都是90° 对边相等 对角线相等 三角形全等 矩形的定义 矩形的性质 矩形的定义 矩形的性质 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O。求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=BD。 证明： (1) ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB (矩形的对角相等)， AB∥DC (矩形的对边平行)。 ∴∠ABC+∠BCD=180°。 又∵∠ABC= 90°， ∴∠BCD= 90°。 ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。 知识点1 矩形的性质 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O。求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=BD。 证明： (2) ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC (矩形的对边相等)。 在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB， ∴△ABC≌△DCB。 ∴AC=DB。 知识点1 矩形的性质 定理：矩形的四个角都是直角。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。 定理：矩形的对角线相等。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD。 A B D C O 知识点1 矩形的性质 矩形的其他性质 (1)矩形的对角线平分所得的四条线段相等。 (2)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等。 若两对角线的夹角为60°，该夹角所在的三角形为等边三角形。 A B D C O 知识点1 矩形的性质 跟踪训练 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB A B C D O C 知识点1 矩形的性质 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 如图，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD交于点E。将矩形纸片沿AC剪开，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？BE与AC有什么大小关系呢？由此你能得到什么结论呢？ 结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 你能证明这个结论吗? A B C D E BE是Rt△ABC斜边的中线。 BE=AC。 A B C E 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线。 求证: BO=AC。 O C B A D 证明: 延长BO至D， 使OD=BO， 连接AD，DC。∵AO=OC，BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形。 ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）， ∴AC=BD， ∴BO=BD=AC。 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 你还有其他证明方法吗? 直角三角形斜边中线定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠B=90°，BO为AC上的中线， ∴BO= AC。 C B A O 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。 例1 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)， AC=BD(矩形的对角线相等)， OA=OC= AC，OB=OD= BD(矩形的对角线互相平分)。 ∴OA=OD。 ∵∠AOD=120°， ∴∠ODA=∠OAD= ×(180°-120°)=30°。 ∴BD=2AB=2×2.5=5。 A B C D O 你还有其他解法吗？ 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。 例1 解：有。∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA= AC，OB= BD， ∴ OA=OB。 ∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=60°， ∴ △ AOB是等边三角形， ∴ OA=AB =2.5， ∴ AC=2OA=5。 A B C D O 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=6，OA=4，求BD与AD的长。 解：在矩形ABCD中，OA=4，∠BAD=90， 所以BD=AC=2AO=8。 在Rt△BAD中，由勾股定理，得AD== =2 所以BD与AD的长分别为8和2 。 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则EF=______cm。 2.5 3.如图，在△ABC中，∠ABC = 90°，BD是斜边AC上的中线。 (1)若BD=3 cm，则AC =_____cm。 (2)若∠C = 30° ，AB = 5 cm，则AC =_____cm， BD = _____cm。 A B C D 6 10 5 知识点1 矩形的边角性质 （第1题） 1. [2026威海期末] 如图，矩形 为一 个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与 的交点为，当水杯底面 与水平面的 夹角为 时， 的大小为( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 19 （第2题） 2. 如图，在矩形中， ， 将矩形绕点 逆时针旋转，得到矩形 ，点的对应点落在 上，且 ，则四边形 的面积为_________ __. 返回 考试考法 20 知识点2 矩形的对角线性质 （第3题） 3. 如图，矩形的两条对角线 ， 交于点，若 ，则 等于( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 21 （第4题） 4. 明明的家乡有一片矩形“油 菜花田”，政府决定在矩形油菜花田上建 两条如图所示的小路， ，方便游客 观赏（不考虑路宽），已知 ， ，那么两条小路的总长为 _______. 返回 考试考法 22 知识点3 直角三角形斜边上的中线的性质 （第6题） 5. 如图，一根木棍斜靠在与地面 垂直 的墙上，设木棍的中点为，若木棍 端 沿墙下滑，且 沿地面向右滑行.在此滑动过 程中，点到点 的距离( ) B A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 返回 考试考法 23 定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形的 特殊性质 角：矩形的四个角都是直角 对角线：矩形的对角线相等 课堂小结 $