上海市古美高级中学2024-2025学年高一第二学期期中考试数学试卷

2024学年第二学期高一年级期中考试数学学科 一、填空题(54分) 1.在平面直角坐标系中，0(0,0)，A(1,2),若0P=0A,则P点坐标是 2.已知向量a=(1,x),b=(3-x,-1),若a1b,则x= 3.已知平面向量à，b满足|以=4，=V3,且(a-2b)16,则a与6的夹角的余弦值为 4.已知e为单位向量，a与e的夹角是60°.若a=4,则a在e上的数量投影为 5.已知在△ABC中，D、E分别为AB、CD的中点，设AB=元，AC=b,则A正=，（用向量a,b为基 底表示) 6.已知向量a,满足=2，=3，且与6夹角的余弦值为2，则a+引= 7.若△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,-1),B(4,1),C(0,-3),且点G满足GA+GE+GC=0,则点G 的坐标为 8.已知两个非零向量a,b不共线，若0A=2a+b,OB=a+tb,OC=-d+3b,且A,B,C三点共线， 则t=一 9.已知向量a=(cos8,sin8),b=(1,V3,若a与b的夹角不超过，则a-的范围是 10。设a,石，元为非零向量，若都=高+高+后则同的最大值与最小值的差为 11,如图，正六边形的边长为23，半径为1的圆0的圆心为正六边形的中心，若点M 在正六边形的边上运动，动点A、B在圆0上运动且关于圆心O对称，则MA·MB的最 大值为 12.已知△ABC中，AC=2,BC=1,存在实数入，使得向量号CA-(1-1)CB的 模的最小值为识若点P是线段AC上任意一个动点，则P网.P丽的最小值是 二、单选题(18分) 13.与向量a=(-3,4)平行的单位向量是（) A.(作，-) B.(-) c.(作.-) D.（) 14.以下命题中正确的命题的为() A.若存在一个1eR使a=b,则a=b: B.若a=b,b=c,则a=c: C.若单位向量a,共线，则a=b: D.若a.c=b.c,则a=b 15.如图所示，己知正六边形P1P2P3P4PsP6,下列向量的数量积中最小的是（) P P P P P A.P1P2·P1PB.P1P2·P1P4 C.P P2 P Ps D.P1P2·P1PG 16.对任意平面向量a、b、c及任意实数λ，已知运算⊙满足以下三条性质：(I)a⊙b=b⊙d:(Ⅱ)(a+b)⊙ c=a⊙c+b⊙c:(m)(a动⊙万=A(a⊙.则下列选项中一定成立的是() A.若d⊙b=0,则a=0或6=可 B.a⊙b=a· c.d-b⊙a-b=a⊙a-2a⊙b+b⊙bD.a⊙a≥0 三、解答题(78分) 17.若a,b的夹角为135°，a=3,b=22 (1)求a.b: (2)求a+ (3)求a+b在a上的投影数量. 18.设向量a=(-1,2),b=(1,-1),c=(4,-5). (1)求a+3,a与夹角8的余弦值： (2)若元=a+ub,元，4∈R,求λ+u的值： (3)若AE=a+b,BC=a-2b,CD=4a-2b,求证：A,C,D三点共线 19.如图，点P是以A为圆心，半径为1的圆弧BC(包含B,C两个端点)上的一点，且∠CAB=,AB=1, 且AP=AB+AC(L,μ∈R): (1)若P为圆弧BC的中点，求和μ的值： (2)若P在圆弧BC（包含B,C两个端点)上运动，求1+μ的取值范围. 20.在梯形ABCD中，AB=2CD=12,∠DAB=60°，AD=CB,ABI∥CD.AE=2EE,CF=2FD (1)用AE,AD表示AF (2)设M是线段EF上一点，且AM=A丽+mAd. (i)求AM: (i)若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求AF·M丽的最小值. 21.设0为坐标原点，定义非零向量0M=(a,b)的“相伴函数"为：f(x)=asinx+bcosx(x∈R),向量oM= (a,b)称为函数f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”. (I)设函数h()=2sin(G-x-cos(G+x,求h(x)的相伴向量”： (2)记0M=(0,2)的“相伴函数"为f(x),若函数g(x)=f(x)+2 sinxl,x∈[0,2π与直线y=k有且仅有4个不 同的交点，求实数k的取值范围： (3)记0M=(W3,1)的“相伴函数"为Fx),若aF(2x+)+2-cos2x>6cos4x对任意xE(-羽恒成立， 求实数a的取值范围.