精品解析：上海市七宝中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

七宝中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知角的终边经过点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据终边上的点，结合即可求函数值. 【详解】由题意知：角在第一象限，且终边过， ∴. 故答案为：. 2. 已知且，则为第________象限角． 【答案】二 【解析】 【分析】根据三角函数在各象限符号求解. 【详解】因为时，终边在第一、第二象限或轴正半轴上， 时，终边在第二、第三象限或轴负半轴上， 所以为第二象限角. 故答案：二 3. 已知扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由圆心角定义得解. 【详解】根据圆心角定义可知，， 故答案为： 4. 已知为锐角，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系求解. 【详解】因为为锐角，且， 所以， 所以， 故答案为： 5. 已知，且与的终边关于原点对称，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据与的终边关于原点对称求解出的终边对应的角度范围求解； 【详解】因为，与的终边关于原点对称， 所以的终边对应的角度范围为， 的取值范围为. 故答案为：. 6. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 7. 已知，，则的最大值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据向量模长的三角不等式求解即可． 【详解】，当且仅当与同向时取等号， 故答案为：6． 8. 已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用展开变形，可得，再利用展开变形，将用表示出来，利用基本不等式求最值及等号成立条件即可. 【详解】, 则， 所以， 整理得， 因为，均为锐角，且，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以取得最大值时，的值为. 故答案为： 9. 已知中的边，，，若为边上的动点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基底表示出，结合数量积的运算可得答案. 【详解】依题意设。， 则，， 所以 因为， 所以， 所以. 故答案为：2 10. 已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到的图象关于直线对称，从而三角函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为，则在取得最值， 所以的图象关于直线对称，且， 又函数在区间上有且仅有一个零点，设的最小正周期为， 所以，即，所以. 故答案为： 11. 已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意画出图形，知，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于，在上的射影最长为，，设，则，，可得，代入．整理后利用二次函数求最值． 【详解】如图， 设，， 若对任意实数，都有，成立， 则，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于， 在上的射影最长为， ． 设，则，， ， ， 则当时，有最大值为． 故答案为：. 12. 已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别求得函数，的解析式，然后将方程的根转化为函数的交点，结合图象，代入计算，即可得到结果. 【详解】 依题意，函数的图象对称中心为且过点， 所以，解得，所以. 由于函数的两相邻对称中心之间的距离为1， 且为函数的一个极大值点， 所以，则， 由于， ，所以， 所以，，关于对称， 对于区间，有， 由于和的图象都关于对称， 所以和的交点也关于对称， 由于方程在上的所有根之和等于2028， 所以方程在上一共有个根， 也即和的图象有个交点， 则当时，和的图象有个交点， 通过观察图象可知，与的图象在区间上分别有个交点， 所以或， 解得或，所以整数的值构成的集合为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题．第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分．） 13. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量基本定理求解即得. 【详解】向量不共线，则，由共线，得，， 于是，则且，解得， 所以实数的值为. 故选：C 14. 中，设，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】先将降幂扩角,再将利用诱导公式换成,再利用和角公式展开即可得出结论. 【详解】由得 整理得,因为, 所以 所以 所以 又因为,所以,即. 所以为等腰三角形. 故选:C. 15. 已知，，集合中有2025个元素，则的取值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】集合中的元素由生成，当为有理数时，余弦函数的取值会呈现周期性，导致集合元素个数有限.关键点在于确定的分母与元素个数的关系，进而判断选项中哪些会导致元素个数不符合2025. 【详解】若（互质），则余弦函数的周期为， 集合元素个数为（当为偶数时）或（当为奇数时）. 需验证选项中对应的是否满足或. 选项A:，对应（偶数）. 元素个数为，可能. 选项B:，对应（奇数）. 元素个数为，可能. 选项C:，对应（偶数）. 元素个数为，可能. 选项D:，对应（奇数）. 元素个数为，不可能. 故选：D. 16. 关于函数的以下两个命题：①函数的图象是轴对称图形；②对任意的，不等式恒成立．则正确的是（ ） A. ①正确②正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①错误②错误 【答案】C 【解析】 【分析】对于①：根据最值分析若函数的图象是轴对称图形，则对称轴只能为，举反例说明即可；对于②：先证，分和两种情况，结合函数最值放缩即可证明. 【详解】对于①：因，当且仅当时，等号成立， 若，为最大值， 可知当且仅当时，取到最大值， 若函数的图象是轴对称图形，则对称轴只能为， 但，即， 所以函数的图象是轴对称图形不成立，故①错误； 对于②：先证， 当时，如图所示： 在标准单位圆中，轴，， 则的长为，， 可得； 当时，则； 综上所述：，可得. 当时，，即； 当时，则， 即； 综上所述：，故②正确； 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）． 17. 已知函数． （1）求函数单调递减区间； （2）求函数，的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及二倍角公式化简，再由正弦型函数的单调性求解； （2）由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简，换元后转化为二次函数求值域即可. 【小问1详解】 ， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 , 令，由可得， 则，， 对称轴为，图象开口向下， 所以当时，， 当时，， 所以函数值域为. 18. 已知向量，满足，，设与的夹角为， （1）当时，求与的夹角； （2）若对任意实数，不等式恒成立，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出，再利用夹角公式即可得解； （2）把不等式两边平方，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，即可得解. 【小问1详解】 向量，满足，，设与的夹角为， 所以， ，则， 则， 故与夹角为. 【小问2详解】 将不等式两边同时平方， 得， 即 因为，与的夹角为， 则恒成立， 所以， 化简得，解得． 19. 七宝中学狂欢节在“星蛇起舞，幻梦游园”主题活动中，计划将如图所示的扇形空地分隔成三部分分别作为团队游戏区、运动区及签到区．已知扇形的半径为60米，，动点在扇形的弧上（不包含端点），点在半径上，且． （1）当米时，求分隔栏的长； （2）综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区的面积的最大值． 【答案】（1） （2）平方米 【解析】 【分析】（1）首先求出，在中，利用余弦定理求出； （2）在中，先利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 所以的长为米； 【小问2详解】 因为，， 设，，则， 在中，由正弦定理得， 所有， 则 ， 当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米. 20. 定义点，若函数满足，则称函数为点的“伴生函数”，点为函数的“源点”． （1）已知点为函数的“源点”，求实数的值． （2）已知点满足，．若点“伴生函数”在时取得最大值，当点运动时，求的取值范围； （3）已知点的“伴生函数”满足．若中，，，点为该三角形的外心，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）将函数的解析式化简，再由“源点”的定义代入计算，即可得到结果； （2）由辅助角公式化简，再由“伴生函数”的定义代入计算，即可得到结果； （3）由“伴生函数”的定义可得，结合正弦定理以及向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为， 所以 在定义域上恒成立， 所以，而则； 【小问2详解】 由题意得： ，其中， 当，即时，取最大值， 故，则， 令，， ， 在定义域内为单调增函数， ， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 由题意得，，则， 在三角形中，，， 因此， 设三角形外接圆半径为，根据正弦定理，，故， 所以， ， ， 代入得：， 所以当时，取得最大值3． 21. 已知函数，任取，若函数在区间上的最大值为，最小值为，记. （1）求函数的最小正周期及对称轴方程； （2）当时，求函数的解析式； （3）设函数，，其中为参数，且满足关于的不等式有解，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），()； （2）. （3）. 【解析】 【分析】(1)根据正弦型函数的解析式求出它的最小正周期和对称轴方程；(2)分类讨论、、时，求出对应函数的解析式；(3)根据的最小正周期求出函数的最小正周期，研究函数在一个周期内的性质，求出的解析式，画出的部分函数图像，求出值域，利用不等式求出k的取值范围，再把“若对任意，存在，使得成立”转化为“在上的值域是在上的值域的子集”，从而求出k的取值范围. 【详解】(1)函数的最小正周期为， 令，解得对称轴为； (2)①当时，在区间上，， ，所以 ②当时，区间上，， ，所以， ③当时，在区间上，， ，所以， 所以当时，； (3)因为函数的最小正周期为4，所以，所以 即函数的周期为4， 由(2)可得，画出函数的部分图像如图所示，函数的值域为， 已知有解，即，则， 若对任意，存在，使得成立， 则在上的值域是在上的值域的子集， ，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以，即. 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，涉及周期性、对称性与单调性，考查不等式恒成立问题，分段函数的单调性与值域，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七宝中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知角的终边经过点，则________. 2. 已知且，则为第________象限角． 3. 已知扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为________． 4. 已知为锐角，且，则________． 5. 已知，且与终边关于原点对称，则的取值范围为__________. 6. 函数的定义域为________． 7. 已知，，则的最大值为________． 8. 已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为________． 9. 已知中的边，，，若为边上的动点，则________． 10. 已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 11. 已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是______． 12. 已知函数过点，且图象对称中心为，函数两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为________． 二、选择题（本大题共4题．第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分．） 13. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 14. 中，设，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 15. 已知，，集合中有2025个元素，则的取值不可能是（ ） A. B. C. D. 16. 关于函数以下两个命题：①函数的图象是轴对称图形；②对任意的，不等式恒成立．则正确的是（ ） A. ①正确②正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①错误②错误 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）． 17. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数，的值域． 18. 已知向量，满足，，设与的夹角为， （1）当时，求与夹角； （2）若对任意实数，不等式恒成立，求的值． 19. 七宝中学狂欢节在“星蛇起舞，幻梦游园”主题活动中，计划将如图所示的扇形空地分隔成三部分分别作为团队游戏区、运动区及签到区．已知扇形的半径为60米，，动点在扇形的弧上（不包含端点），点在半径上，且． （1）当米时，求分隔栏的长； （2）综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区的面积的最大值． 20. 定义点，若函数满足，则称函数为点的“伴生函数”，点为函数的“源点”． （1）已知点为函数的“源点”，求实数的值． （2）已知点满足，．若点的“伴生函数”在时取得最大值，当点运动时，求的取值范围； （3）已知点的“伴生函数”满足．若中，，，点为该三角形的外心，求的最大值． 21. 已知函数，任取，若函数在区间上最大值为，最小值为，记. （1）求函数的最小正周期及对称轴方程； （2）当时，求函数的解析式； （3）设函数，，其中为参数，且满足关于的不等式有解，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $