江西抚州市十校2025-2026学年下学期高一期末阶段性联考数学试题

2025-2026学年下学期高一数学学科阶段性作业 命题人：黎辰墦审题人：祝晓娟 说明：1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟。 2.本试卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，在试题卷上作答不给分。 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。每题只有一个选项是符合题目 要求。) 1.已知g,g是两个不共线的单位向量，a=g+2e,b=-3e,+ke,若ā与6共线，则k=() A.6 B.-6 c. 0.身 2.已知a,B为两个不同平面，m,n为两条不同的直线，下列命题不正确的是() A.若mlm,m⊥a,则n⊥a B.若m⊥C,m⊥B,则a/IB C.若m⊥a,a∩B=n,则mm D.若m1a,mcB,则a⊥B 3.函数f(x)=sinx,g(x)=cosx,则下列结论正确的是() A.f(x)g(x)是偶函数 B.f(xg(x)是奇函数 c.f(x)g(x是奇函数 D.f(x)g(x是奇函数 4.已知向量a、b满足a.b=-3,且=2，则向量ā在向量6上的投影向量为() A. 。. c.3B 0.五 5.如图，某同学为了测量抚河对岸的抚州融媒体中心电视塔塔高AB时，选取与 电视塔塔底B在同一水平面内两个测量基点C与D.现测得∠BCD=15°，∠BDC= 3m,在点C测得塔顶A的仰角为45，则塔高AB=（) 120,CD=400m A.100v3m B.200√3m C.100y6m D.200v6 m 6.如图，△ABC内接于圆O,AB为圆O的直径，AB=5,BC=3,CD⊥平面 ABC,E为AD的中点，且异面直线BE与AC所成角为60°，则点A到平面BCE 的距离为() A.8V27 B.86 3 7 C.4v21 D.4万 7 3 7.设非零向量ā，5的夹角为0，若园=2，且不等式2a+2a+对任意6恒成立，则实 数入的取值范围为() A.[-1,3] B.[-1,5] c.[-7,3] D.[5,7] 8.已知△ABC中，设角A、B、C所对的边分别为a、b、c,△ABC的面积为S,若 3sin2B+2sim2C=sinA(sinA+2 sin BsinC),则的值为(】 A B.2 1 C.1 D.2 第1页共4页 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.已知a=3rad,则() A.sina+cosa>0 B.sin atana<0 C.cosatana<0 D.sina-cosa>0 10.已知复数z的共轭复数为z,则() A.z-为纯虚数 B.满足z·z+iz-1=1的复数z对应的点Z在第一象限 C.若方程z2-bz+c=0(b,c∈R)的一个根为z=1+i,则b=c=2 D.若1z+11+1z-1=2,则1z∈[0,1] 11、如图，圆锥VO1内有一个内切球O,AB为底面圆O,的直径，球O与母 线VA,B分别切于点C,D.若△VAB是边长为2的等边三角形，MN为底 面圆O的一条直径(MN与AB不重合)，则下列说法正确的是() A.球O的表面积为4红 3 B.圆锥VO1的侧面积为4元 C.四面体CDMN的体积的取值范围是O, 6 D.若P为球面和圆锥侧面的交线上一点，则PM+PN的最大值为2√2 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分。） 12.我国古代某数学著作中记载：“今有宛田，下周十六步，径八步，问为田几何？”译成现代 汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长16步，其所在圆的直径是8步，则这块田的面积是 平方步 13.三棱锥C一ABD中二面角C-AB-D的平面角为60°，AB⊥平面ACD,则直线AC与面ABD 所成夹角余弦值为一： 14.已知函数f)=V3cog2罗+sin受cos受+B-9(@>0,B>0,则以下正确命题的序号是 1 若函数f(x)的图象关于直线x=亚对称，则ω的值可能为3： 2 2若关于x的方程f)=B在0，列上恰有四个实根，则0的取值范围为33： 「1114 /3若函数f(x)的图象向右平移汇个单位长度，再向下平移B个单位长度，得到的函数 3 g(x)为奇函数，则o的最小值是1： (4若函数f(x)在区间 44上单调，则1s0s2. π3π 第2页共4页 四、解答题（本大题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B), 月=（风n剑，且万=号 (1)求tanA的值； (2)若a=4W2,b=5,求△4BC的面积. 16.(15分)已知函数f)=sinx+V3cosx+sin(x+),xeR. (1)求f()的值 (2)若f()=1,且0<a<π，求cosa的值. 17.(15分)如图，在三棱台ABC-ABC中，A4⊥底面4B,C,△ABC与△A1B1C1都是等 腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=2,A4=AB=4,E、F分别为AA、B,C的中点. (1)证明：EF//平面AB,C; (2)求异面直线EF与BB,夹角的余弦值. E ⊙ 第3页共4页 18.(17分)为弘扬中华民族优秀传统文化，春节前后，各地积极开展各种非遗展演、文化庙 会活动某地庙会每天8点开始，17点结束通过观察发现，游客数量f(x)(单位：人)与时 间x之间，可以近似地用函数f()=60sin(@x+p)+(0>0,回<受)来刻画，其中xe,1], 8点开始后，游客逐渐增多，10点时大约为350人，14点时游客最多，大约为1250人，之后 游客逐渐减少 (1)求出函数f(x)的解析式； (2)腊月二十九，为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字， 计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在什么时间赠送 福字？ 19.(17分)在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下： 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,△ABC内一点K到三边BC,CA,AB 的距离d,d,d,满足4=4==k,称点K为△ABC的莱莫恩点 a b c (1)若在△ABC中，a=5,b=3,c=4,求常数k的值； (2)在（1)的条件下，若AK=AB+uAC,求入，“的值； (3)若AK=AB+uAC,且满足2入+4=1，试判断△ABC的形状，并说明理由. 第4页共4页 《2025-2026学年下学期高一数学学科阶段性作业》参考答案 题号 1 2 3 A 5 b 7 8 9 10 答案 B C C A D C A BD CD 题号 11 答案 ACD 1.B 【分析】由共线得6=后，列方程求解K. 【详解】因为a与6共线，所以=后， k=2入， 所以-38+k8,=d(8+28,),所以{ -3=入 解得k=6. 故选：B 2.C 【分析】由线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理，以长方体为 载体逐一分析即可得出结论 【详解】对于A,若m1a,则取a内任意两条相交直线a,b,使得m1a,m1b,又m11n, 则n1a,n1b,由线面垂直的判定定理得n1a,故A正确； 对于B,垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确； 对于C,若m1a,a∩B=n,如图，设m=CC,,平面AB,C,D,为平面a,m1a,设平面 ADD,A为平面B,anB=AD,=n,则m1n,故C错误； D A B C B 对于D,由面面垂直的判定定理可得，故D正确； 故选：C 1 3.C 【分析】根据函数奇偶性的定义逐项分析即得 【详解】选项A:因为f(x)g(x)=sin xcosx的定义域为R, f (-x)g(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-f (x)g(x), 所以f(x)g(x)是奇函数，故A错误； 选项B:因为f(x)g(x)=sin×cosx的定义域为R, f(-x)g(-x)=sin(-x)cos(-x)=|sinxlcosx=f(x)g(x) 所以f(x)9(x)是偶函数，故B错误； 选项C:因为f(x)g(x)=sinxcosx的定义域为R, f(-x)g(-x)=sin (-x)cos(-x)=-sinxlcos=-f (x)g(x), 所以f(x)9(x)是奇函数，故C正确； 选项D:因为f(x)g(x)=sinxcosx的定义域为R, 又|f(-x)9(-x刘=sin(-x)cos(-x刘=sinxcosx=|f(x)9(x), 所以f(x)9(x)是偶函数，故D错误 故选：C. 4.A. 【详解】因为161=2，且a6=-3,由投影向量的定义，向量a在b上的投影向量为： a.b5」 3 ·b=--b 16P 4 故选：A. 5.D 【分析】在△BCD中，利用正弦定理求BC,再在直角△ABC中，求AB即可. 【详解】如图： L B 在△BCD中，因为∠BCD=15°，∠BDC=120°，所以∠CBD=180°-(15°+120°)=45°， 又cD=400 CD BC m,由正弦定理可得： 3 sin 45" sin120→ + 400 BC= CDsin120=3x2-2006 sin 45 2 3 因为AB⊥平面BCD,BCC平面BCD,所以AB⊥BC, 又∠BCA=45°，所以△ABC为等腰直角三角形，且AB=BC· 所以AB= 2006 m. 3 故选：D 6.C 【分析】F为CD中点，异面直线BE与AC所成角为60°，可得∠FEB=60°，由已知条件求 解所需线段的长，设点A到平面BCE的距离为h,由VA-as=Ve-Ac,求解即可. 【详解】AB为圆O的直径，AB=5,BC=3,AC=4,，AC1CB, CD⊥平面ABC,AC,BCC平面ABC,有CD⊥AC,CD⊥CB, 又：CD∩CB=C,CD,CBc平面BCD,AC⊥平面BCD, :CD∩AC=C,CD,ACC平面ACD,∴.BC⊥平面ACD, F为CD中点，连接EF,FB,如图所示， D 1 E为AD的中点，EFIIAC,EF=二AC=2, 2 B EF⊥平面BCD,BFC平面BCD,EF⊥BF, 异面直线BE与AC所成角为60°，∴.∠FEB=60°，∠EBF=30°， 5EF=BF,BF=2√3，BC=3,CF=V12-9=V3,CD=2V5, E到平面A8C的距离为5，V-c=×V5x×3x4=25, 3 cE=vF+cF=+3=万，5：=×万x835 2, -13V 设点A到平面BCE的距离为h,由VA-cE=Vg-ABc=。× 32 ×h=2W5,h=427 故选：C 7.A 【解析】根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为(13-A)+(8-4)c0sB≥0恒 成立，然后结合函数的恒成立，列出不等式组，即可求解 【详解】由题意，非零向量，6的夹角为日，且=2， 则a-6=6lcos9=26cos日， 不等式2a+≥a+对任意8恒成立 所以(2a+b)2≥(a+Ab)2,即4a2+4a.6+62≥a2+2后.6+262， 整理得(13-)+(8-4)c0sB≥0恒成立， 因为cosB∈[-1,1]，所以 13-2+8-4入≥0 「-7≤入≤3 13-P-8+4120, 即 (-1sAs5 可得-1≤λ≤3， 即实数A的取值范围为[-1,3]. 故选：A. 8.B 【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：3b2+2c2=a?+2 bcsin A,通过余弦定理 4 可将等式化简整理为+品nA-cosA=6n4-), 通过三角函数图像可知°+s反， c 2b 同时通过基本不等式可知+，2反，即得乡+=反，通过取等条件可知4=3” c2b c 26 ，c=V2b, 4 将其代入问题中即可求解答案， 【详解】已知3sin2B+2sin2c=sin2A+sinA(2 sin BsinC) 由正弦定理可知：3b2+2c2=a2+2 bcsin A, ..362+2c2-a2 =2bcsin A, 整理得：(b2+c2-a2)+2b2+c2=2 bcsin A, 两边同除2bc得：6+c2-a22b2+c -sin A, 2bc 2bc 根据余弦定理得：cosA+2+6=sinA,即2+=snA-cosA=V反sn（A-, c 2b c 2b 5b>0,c>0,2+C22c2b c 2b -,当且仅当2元，即c=56时等号成立 又：品m4-4=万na-引5，当且仅当A=时，等号成立 c 2b 综上所述：+反且+≤反， c 2b c 2b 故得：+，=V反，此时c=V2b且A=3 4 5=-bcsin3y in 3n=2 -bc,. 2 、返些点g55 44 62=462=4b=4 故选：B 9.BD 【分析】先判断角Q终边所在位置，在判断其三角函数的符号，逐项判断即可、 【详解】因为4 <a<,为第二象限角，放号sna>0cosa<-号tana<0, 2 sin a cos a 0,sin atan a<0'cos atan a 0sin a-cos a 0. 故选：BD 10.CD 【分析】根据复数z及其共轭复数z相关定义、性质及几何意义对选项一一分析即可. 【详解】对于A,设z=a+bi,(a,beR), 则z=a-bi,所以z-z=2bi,当b=0时为实数，所以A不正确。 对于B,z=a+bi,(a,b∈R), 6 则z=a-bi,由题意，(a+bi)(a-bi)+i(a+bi)-1=i, 整理得(a2+b2-b-1)+(a-10i=0, 所以a2+b2-b-1=0,且a-1=0, 解得a=1,b=0或b=1,z=1或z=1+i, 点z在第一象限或在×轴上，所以B不正确. 对于C,由题意，z=1-i为方程的另外一根， 所以(1+i)+(1-i)=b=2,(1+i)×(1-i)=2=c,所以C正确， 对于D,由题意，复数Z对应的点z在点(-1,0)，(1,0)的线段上， 故1z(∈[0,1]，所以D正确 故选：CD 11.ACD 【分析】A选项，正△VAB内切圆即为球o的截面大圆，又正△VAB的边长为2，求出球O的 半径，= ,得到球的表面积；B选项，利用圆锥侧面积公式进行求解；C选项，四面体CDMW 3 被平面VAB截成体积相等的两部分，设M到平面VAB的距离为d(0<d≤1)，求出正三角形 C0,D的边长和面积，求出VoMw=2V-coa D选项，动点P的轨迹是圆， 6 可得PO,=MO,=NO,=1,故PM⊥PN,因此PM2+PW2=4,由均值不等式得到PM+PN≤2√2， 故D正确 【详解】A选项，连接VO,等边三角形VAB内切圆即为球O的截面大圆，球心O在线段VO, 上， 又等边三角形VAB的边长为2，所以AO,=1,VO,=√3， 则球o的半径r=loo,=Aoan30=5 3 所以球0的表面积S=4Tr2=4π ,1_4π 3 ,故A正确： B选项，圆锥VO,的侧面积S'=n×1×2=2n,故B错误； C选项，由题意可得四面体CDMN被平面VAB截成体积相等的两部分， B 设M到平面VAB的距离为d(0<d≤1)， 球0的半径r=lp0,-5,三角形c0,D为等边三角形，设其边长为m, 3 sin60=2r 则m 9m 3sin60°=1， 故三角形c0,D的面积为x1sin60°=V 2 4 6 故C正确； 3 3 4 D选项，依题意，动点P的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为E, C0=1,故C，D是边Av,8v的中点，可得P-0,9=,E0=vo,9 2 .0,P2=E02+EP2=1, 则有PO,=MO,=NO,=1,故∠PMO,=∠MPO,∠PNO,=∠NPO,, 又∠PMO,+∠MPO,+∠PNO,+∠NPO,=n,故∠MPO,+∠NPO,= 2 即PM⊥PN,因此PM2+PN2=MN2=4, 由均值不等式，得PM+PN PM2+PN2 =√2，即PM+PN≤2V2, 2 2 当且仅当PM=PN时取“=”，故D正确 故选：ACD 12.32【分析】根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】解：“弧长16步，其所在圆的直径是8步， S=2×4x16=32(平方步). 13 解析：因为ABI平面ACD,则平面ABD⊥平面ACD,过C作平面ABD的垂线，垂足落 在直线AD上记作M,又AB1平面ACD,所以AB L AM,则二面角C-AB-D所成平面角等 于直线AC与面ABD所成夹角等于LCAM,即LCAD=60,故cosCAD=2 1 14.②③ 【分析】根据函数的对称轴代入得出w=3k+(kz)判断A,由根的个数可确定 7≤n-”<”,据此判断B,平移后由函数为奇函数可得w=3k+1(k∈Z),可判断③，特 6 2 殊值检验可判断④ 【详解1似=5cos受+sn%cos%+B9=cosx-引 +B对于①，因为函数f(刈 2 的图象关于直线x=”对称，所以"_-”=km(k∈Z),则w=3k+(k∈Z),因为>0，则w 36 的值不可能为3，故①错误； 对于@，当xei0,川时，x-E-,n- 若f(x=B在x∈0，nl上恰有四个实根，则 661 6 sm<，解得 62 ,故②正确： 对于③，由已知得g()=( -}=w(g+ 因为函数g(x)为奇函数， 所以W+=km+(k∈Z),即w=3k+1(k∈z),因为w>0, 所以w的最小值是1，故③正 36 确； 对于0，当w=2时，=co个2x君引以g>0,因为x[] 所以2x8[ 所以函数(0在区间[居]上不单调，故@错误， 故选：②③， 15.0号 (2)2 【分析】(1)利用数量积的坐标表示及两角和的余弦公式求出cosA,即可求出sinA; (2)由余弦定理求出c,最后由面积公式计算可得 【详解】(1)因为m=(cos(A-B),sin(A-8),方=(cosB,-s1n8),且mn=-3 5 &cosA--sinA-Bsin=号， 8 L ÷Cos[A-B)+B)=cosA= 51 又A为AABC内角，sinA=V-cosA=A,tanA=SinA= 3 …6分 coSA (2)由余弦定理a2=b2+c2-2bcc0sA,得32=25+c2-2×5×c× 3 解得c=1或c=-7(舍去)， 故c=1,所以56Aec=2 bcsinA=X 方×5×1×1=2…13分 169 (2)3-22 6 【详解】(】侧=snX+5cosx+nX+esx-nx3到csX-3sn仪+胃-4 2 分 得③ …6分 2 2由fa=3sna+3y5cosa=1 心 2 化商得2nrcsa=snla+胃-9分 又0sha+3-gs9,且0<a<n,sa+<g …11分 所以号<a+号<n,得csa+3=-22 …13分 3 所以cosa=cos+3月-cosa+3 cos时+sna+月sn号=2号+r号-Bg215分 3x2+3 17.（1)见详解 E B (2) V15 【分析】（)取C,C,的中点D,利用线面平行、面面平行的判定推理得证 (2)取AB,的中点G,AG的中点H,利用几何法求出异面直线的夹角余弦， 【详解】(1)在三棱台ABC-AB,C,中，设C,C,的中点为D,连接DE,DF,由F为B,C,的 中点， 得DFI1B,C,又B,CC平面AB,C,DFE平面AB,C,则DFI1平面A8,C, 由DE为梯形AAC,C的中位线，得DEI1AC,又ACC平面AB,C,DEE平面AB,C, 则DEII平面AB,C,而DEODF=D,DEC平面DEF,DFC平面DEF, 因此平面DEF11平面A8,C,又EFC平面DEF,，所以EF/I平面A8,C…7分 (2)取AB,的中点G,AG的中点H,连接AG、EH、HF、GF、AF, 由AB=2,AB,=4,AB∥AB,G是AB,中点，得四边形ABB,G是平行四边形， 则BB,IAG,又H是AG中点，E是AA中点，则EH IIAGIIBB,, 即∠FEH就是异面直线EF与BB,夹角…10分 又AA1底面AB,C,,△ABC与△AB,C,都是等腰直角三角形，AB=2,AA=AB,=4, 则AG=√AA'+AG2=2N5,AF=BC,=22,EH=AG=V5, EF=VAE2+AF2=2V5,HF=VGF2+GH=5…13分 1 因此COs /FEH=2EF-5 EH 5 所以异面直线EF与88，夹角的余弦值为 …15分 5 18.(1)f(x)=600sin x+ +650,x∈[8,17] 6 6 (2)选择在12点之前或16点之后两个时间，理由见解析 【分析】(1)由题意得到方程组，求出w=”,p=和k=650,得到答案； 6 6 (2)在（1)的基础上得到方程，求出×=12或×=16，得到答案， 【详解】（1)由题意得f(10)=350,f(14)=1250,且sin(14w+p)=1, 10 k=650 600sin(10W+p)+k=350 故 600+k=1250 ,故10W+p=-+2k2n,k2∈Z…6分 6 14w+p=+2kn,k∈z 2 14w+p=+2km,k∈z 2 又w>0,l4< 解得w= 一，0= …8分 6 6 故函数f(x的解析式为f(=600sinx+ 6 +650,X∈8,171….10分 6 (2)当xe8,17时，x+e 6 62 令600sin +8}650=950，解得gx+-1或x+g-1 666 666 解得x=12或x=16…15分 结合函数图象及x∈8,17]，可得×∈8,12]或×∈16,17]， 为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在12点前或16点之后两个时间段赠送福字…17 分 19.(1)k=6 5 8 ②A三0=9 25 (3)△ABC是等腰三角形，理由见解析 【分析】(1)利用△ABC面积等于菜莫恩点分割出的三个小三角形面积和，结合定义的比例 关系代入边长、面积求解k; (2)以直角顶点A为原点建系，根据距离关系得到K的坐标，结合向量线性运算求解入，； (3)代入小三角形面积之比得到入，〃的一般表达式，结合题设等式化简得到边长关系，判断 三角形形状， 【详解1(1)已知a=5,b=3,c=4,满足=6+c2,故△ABC为直角三角形，面积5=bc=6, 2 又5=5c+5.ac+5a=g ad,+-bd,+-cd..d,=ak.d.=bk.d.=ck 1 1 所以s=aak+b:bk+cck=a7+6+c)，又5=6，a2+62+c2=50, 2 2 2 所以6=25k,解得k=6…4分 25 (2)以A为原点，AB所在直线为×轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系， L 则A(0,0),B(4,0),C(0,3), 设K(x,y),则K到直线AC:x=0的距离d。=×=bk=3 618 2525 K到直线A8:y=0的距离d.=y=ck=4,=4,故K 2525 1824 由AK=AAB+IAC,即 2525 =4,0)+4(0,3),得41=18 3=24 5 25 9 8 解得入=之，y= …8分 50 25 C K A B (3)若AK=AAB+IAC,则AK=(AK+KB)+P(AK+KC),整理得 (1-A-)AK=AKB+UKC, 延长AK交aC于D,则D=三42=三=三4m-5nL-三2 DC SACo SxcoK S.ACo-S.cOK SKAG 所以K0=CK丽+8DKc=。S:一KB+。5a:一KG, BC BC SaKAB+SaKAG 5。KAB+5aKAc 又9=m=L-5c=5,所以KD=g5A, ”KA SAox S。ACK S.A8K+S。ACK SaKA8+S。KAC S。KAB+S。KAC i议g5AK5Ka+5C即AK±SKC SKAD+SaKAC。SKaB+S。Kac 所以=1-A-以==， 1 又由SaKc=)a2k,5KcA=bk,5akAB=)c2k得5aKac:S。KcA:SKAB=a2:b2:C2, 2 2 2 所以1--：：=a2:62:c2,所以1=。6 c2 a2+62+c2八= a2+b2+c2 由21+=1，得=1，整理得28+心=+心+e,即g=以所以9=b. 由正弦定理a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,得sinA=sinB,又A,B∈(0，n),故A=B, 所以AC=BC,所以△ABC是等腰三角形…17分 L 方法2：取AB中点为D,由AK=入AB+AC=2入AD+AC,又2入+μ=1，可得K在 DC线段上 由奔驰定理（学生证明）SAKABKC+SaKAcKB+SaKBCKA=0, 根据K.为：莱莫恩。点”化简式子为 dKC+bdB+dACB0. 1 1 也即c2KC+b2KB+a2KA=0, 1 由共线定理可知KD=KA+KB)=VKC, 代入得cKC+bKB+aKA=cKA+K8)+bKB+aKA=0, 2y 因为K8。KA不共线，得6=8=会所以所以△ABC是等腰三角形， 7 13 厂