江西省樟树中学2025-2026学年高一下学期期末诊断作业数学试题

**基本信息** 本试卷覆盖必修2向量、复数、三角函数、立体几何等核心知识，通过《九章算术》鳖臑、气球测量、“蚊香”图等文化与生活情境，结合新定义“线性函数”，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量平行、复数模、三角函数平移|基础题梯度呈现，如向量坐标计算（题1）到空间几何应用（题8）| |多选|3/18|解三角形、函数图像性质、正方体动态问题|综合考查推理意识，如结合图像面积与垂直关系分析函数参数（题10）| |填空|3/15|向量三等分点、直观图周长、解三角形动态问题|注重空间观念，如直观图还原求周长（题13）| |解答|5/77|复数综合、三角恒等变换、立体几何证明与线面角、新定义应用|分层设计，基础题（复数运算）、能力题（面面垂直证明）、创新题（线性函数新定义探究），呼应高考命题趋势|

严格 规范 创新 超越 樟树中学2028届高一年级下学期期末诊断作业数学作业答案 1--8BBA A CBBC 9.AC  10. AD 11. ABC 12． 13. 14． 15.（1）设，因为复数在复平面内所对应的点在第一象限，所以，又，则①， 为纯虚数，则②， 由①②可得，则； ………6分 （2）由（1）得，，，则，，，则， 由可得， 即，解得. ………13分 16.（1） . 所以，因为，则，或. ………7分 （2）由（1）知：， 所以， 即，所以， 所以，即， 可得或. 因为，则，所以. 所以，故. ………15分 17．（1）证明：由，得， 由正弦定理，得， 因为sinA≠0，所以， 由二倍角公式得， 因为，所以． ………7分 （2）解：由，得， 所以， 因为， 所以，得， 所以． ………15分 18.（1）在三棱柱 中，连接交于O，连接OD， 则O是的中点，又是的中点，， ……………2分 而平面，OD平面， 所以平面. ……………5分 （2）由，是的中点，得， …………6分 由平面，得平面， 又AD平面，则， ………………8分 又､BC是平面内的两条相交直线， 因此平面，而AD平面， 所以平面平面 …………………10分 （3）在平面内过C作CE于E，连AE， ……………11分 由（2）知，平面平面，平面平面， 则平面，是AC与平面所成的角， …………………13分 在直角中，令， 则，， …………………………15分 在直角中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………17分 19（1）因为， 则，故 .……………4分 （2）依题意，， 由可得， 因，则，故，解得， 因，则， 又，代入解得①， 由正弦定理，，可得， 代入①，可得②， 又由余弦定理，， 可得③， 于是， 解得 .………………10分 （3）， 当时，， 由，得， 或， 由，即，而，解得或， 即在上有两个根， 方程在上存在4个不相等的实数根， 当且仅当且在上有两个不等实根， 在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线，如图， 方程在上有两个不等实根， 当且仅当函数在上的图像和直线4）有两个公共点， 观察图像知：或， 解得或， 所以实数的取值范围是. ………………17分 樟树中学2028届高一上学期期末诊断作业（数学） 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 樟树中学2028届高一年级下学期期末诊断作业数学作业 作业范围：必修2 作业时间：2026.7.7 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知向量，，若，则x＝（ ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 2．已知为复数单位，，则的模为（    ） A．1 B． C．2 D．4 3.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(     ) A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 4.“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，某中学数学社团用数学软件制作的“蚊香”图.画法如下：作一个边长为1的等边，然后以B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧）再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时，“蚊香”的长度为（   ） A． B． C． D． 7．空中有一气球C，在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，若A、B两点间的距离为266米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离是（    ） A．米 B．米 C．266米 D．266 米 8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9.下列说法中正确的是(     ) A. 在中，，，，则的面积为 B. 已知向量，，则 C. 在中，若，则是等腰三角形 D. 已知向量，，与的夹角为钝角，则的取值范围是 10. 如图所示，点M，N是函数f（x）=2cos（>0，）的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若M（－1，0），且当△MPN的面积最大时，PM⊥PN，则（ ） A. f（0）= B. += C. f（x）的单调增区间为[－1+8k，1+8k]（k∈Z） D. f（x）的图象关于直线x=5对称 11. 如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（ ） A. 的面积为定值 B. C. 点A到直线的距离为定值 D. 三棱锥的体积不为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标________ 13.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为          ． 14．如图，在Rt△ABC中，，，AB＝2，O为斜边AB的中点，点M，N分别在边AC，BC上（不包括端点），，若，则∠BON＝________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 复数满足，为纯虚数，若复数在复平面内所对应的点在第一象限． （1）求复数； （2）复数，，所对应的向量为，，，已知，求的值． 16.已知. （1）若，且，求的值. （2）若，且，求的值. 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． （1）证明：； （2）若，求cosB． 18．如图在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面; (3)求直线AC与平面所成角的正弦值. 19．（17分）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“线性函数”，为的“线性向量”， (1)若向量为函数的“线性向量”，求 (2)若函数为向量的“线性函数”，在中，，且，求的值； (3)若函数为向量的“线性函数”，且当时，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 樟树中学2028届高一上学期期末诊断作业（数学 ( 1 )）第 页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $