1.4 一元二次方程根与系数的关系（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过知识回顾（一般形式、解法、求根公式、判别式）搭建基础，再引导学生解具体方程计算两根和积，观察规律形成猜想，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以观察归纳和代数推导培养抽象能力与推理能力，如通过四个方程实例抽象关系，利用求根公式严谨证明韦达定理。典例将代数式转化为和积形式培养模型意识，帮助学生掌握应用方法，教师可提升教学效率。

【新教材】青岛版·九年级上册 第1章 一元二次方程 1.4一元二次方程 根与系数的关系 学 习 目 标 1 2 3 经历一元二次方程根与系数关系的推导过程，熟记韦达定理公式. 理解一元二次方程根与系数的关系，能利用一元二次方程根与系数的关系化简求值. 利用根系关系求两根和、两根积、含两根的代数式的值，能简单检验方程根的正确性、求解简单参数问题。 1.一元二次方程的一般形式是什么? 一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c=0(其中a≠0,a、b、c为常数)。 2.我们学过哪些解一元二次方程的方法? 一元二次方程常用的解法有直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法，每种方法都有其适用的场景。 知识回顾 3.一元二次方程的求根公式是什么? 求根公式为：当b2-4ac≥0时,x = 。 公式法是解一元二次方程最通用的方法。 知识回顾 4.如何判断一元二次方程根的情况? 我们可以利用一元二次方程根的判别式来判断， 即Δ=b2-4ac Δ > 0 时， 方程有两个不相等的实数根； Δ = 0 时， 方程有两个相等的实数根； Δ< 0 时， 方程没有实数根. 求根公式直接给出了根与系数的关系，也就是说一元二次方程的根与系数之间有着密切的联系,除求根公式之外,它们之间还存在哪些关系? 这就是本节课我们学习的主题 --一元二次方程根与系数的关系 ① x2-3x+2=0； ②x2+x-6=0； 解下面的一元二次方程,并分别计算两根之和与两根之积: 解:①因式分得: (x-2)(x-1)=0, ∴x1=2,x2=1 两根之和: x1+x2=2+1=3 两根之积: x1x2=2×1=2 解:①因式分得: (x-2)(x+3)=0, ∴x1=2,x2=-3 两根之和: x1+x2=2-3=-1 两根之积: x1x2=2×（-3）=-6 ③2x2-x-3=0； ④3x2-4x+1=0。 解下面的一元二次方程,并分别计算两根之和与两根之积: ③ a=2，b=-1，c=-3， ∴b2-4ac=（-1）2-4×2×（-3） =1+24=25>0， ∴x==， 解得x1=-1，x2=. 两根之和:x1+x2=-1+ = 两根之积:x1x2=-1×= - ④ a=3，b=-4，c=1， ∴b2-4ac=（-4）2-4×3×1 =16-12=4>0， ∴x==， 解得x1=1，x2=. 两根之和:x1+x2=1+ = 两根之积:x1x2=1×= 序号 一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 ① x2-3x+2=0 ② x2+x-6=0 ③ 2x2-x-3=0 ④ 3x2-4x+1=0 1 2 3 2 2 -3 -1 -6 -1 1 - 这四个方程中,两根之和、两根之积与相应方程的系数之间有什么关系? (1)每个方程的两根之和与它的系数a、b、c有什么关系？ 思考 方程①和②的二次项系数是1中, 两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项。 (2)每个方程的两根之积与它的系数a、b、c有什么关系？ (1)每个方程的两根之和与它的系数a、b、c有什么关系？ 思考 (2)每个方程的两根之积与它的系数a、b、c有什么关系？ 将方程③和④的二次项系数化为1后, 结论仍然成立。 (1)每个方程的两根之和与它的系数a、b、c有什么关系？ (2)每个方程的两根之积与它的系数a、b、c有什么关系？ 对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？ 思考 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac≥0 时，有两个根分别为x1，x2，那么：x1+x2==-，x1•x2== 成立吗？ 为什么要强调b2-4ac≥0这个条件呢？你能试着证明这个结论吗？ 核心前提:方程必须有实数根即根的判别式Δ=b2-4ac≥0,否则方程无实数根，结论不适用。 当b2-4ac≥0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是: x1 = ,x2 = 。 x1+x2= + 同分母的分式相加 =- =- 当b2-4ac≥0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是: x1 = ,x2 = 。 • 分子部分符合平方差公式 = = x1•x2= 一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数的关系定理： 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,)的有两个实数根为x1,x2,那么 x1+x2=， x1•x2= 一元二次方程根与系数的关系 定理由法国数学家韦达发现的， 这个定理又被成为韦达定理 韦达定理的前提条件是b2-4ac≥0 例1、不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积: (1)x2-6x-15=0; (2)5x2=2-9x。 解:（1） a=1,b=-6,c=-15, x1+x2=- =- x1x2= = a=5,b=9,c=-2, (2)原方程可化为5x2+9x-2=0。 x1+x2=- =- x1x2= = =- Δ=（-6）2-4×1×(-15) =96＞0。 Δ=92-4×5×(-2)=120＞0。 要化为一般式 典例讲解 1.解下表中的方程,并完成填空: 方程 a b c x1+x2 x1x2 x2-2x-3=0 2x2+3x-8=0 2x2+9x=0 1 -2 -3 2 -3 2 3 -8 4 2 9 0 - 0 跟踪练习 Taylor Hartwell (TH [6]) - 学生通过计算、观察、分析,发现一元二次方程中根与系数的关系,发展学生的感性认识,体会由特殊到一般的认识过程. 例2、设x1,x2 是方程3x2-5x+1=0的两根,求下列各式的值: (1)(x1+1)(x2+1); (2) + ；（3）x12+x22。 求一元二次方程根的代数式时要转化为两根之和与两根之积的关系式。 解: a=4,b=3,c=-1, x1+x2=- =- x1x2= = 典例讲解 (1)(x1+1)(x2+1); = x1x2+x1+x2+1 = ++1 =3 (2) + 。 = + = = =5 （3）x12+x22 =（x1+x2）2-2x1x2 =（）2-2× = 典例讲解 2.设x1,x2是方程3x2-4x-2=0的两根。 求x1-x2 ,(x1,-2)(x2 +1)的值. 解: a=3,b=-4,c=-2, x1+x2=- =- x1x2= =- (x1-x2)2 =（x1+x2）2-4x1x2 =（）2-4×(- )= ∴x1-x2= (x1-1)(x2+2) =x1x2-x1-x2-2 =- - -2=-4 =x1x2-（x1+x2）-2 跟踪练习 例3、已知关于x的方程5x2+3kx=11的一个根是-1, 求另一个根及k的值。 解方法1: ∵方程5x2+3kx=11的一个根是一1， ∴5×(-1)2+3k×(-1)=11， ∴k=-2. ∴方程为5x2-6x=11，解得方程的另一个根为 ∴方程为5x2+3kx=11的另一个根为 ,k的值为-2. 典例讲解 例3、已知关于x的方程5x2+3kx=11的一个根是-1, 求另一个根及k的值。 解方法2: 设：方程的另一个根x1，则 -1+x1=-， -1•x1=-， 解得 x1=， k=-2， ∴方程为5x2+3kx=11的另一个根为 ,k的值为-2. 典例讲解 归一归 已知一根求另一根及字母系数“两路走”： 思路一:把已知根代入方程求出字母系数解方程求另一根; 思路二:根据“根与系数的关系”列关于另一根和未知 系数的方程(组)求出另一根和字母系数. 例4、已知a,β是方程x2-3x-4=0的两个实数根， 则 a2+aβ-3a+2026的值为 。 解析: ∵a,β是方程x2-3x-4=0的两个实数根， ∴a2-3a-4=0，aβ=-4. ∴a2-3a=4 ∴a2+aβ-3a=4+（-4）+2026=2026 2026 典例讲解 例5、已知关于x的方程x2-2(2k+1)x+4k2+3=0。 (1)当k为何值时,方程有实数根? (2)当方程有两个不相等的实数根x1,x2 时,是否 存在实数k,使得代数式 (x1+1)(x2+1)的值为1? 解:（1）a=1,b=-2（2k+1),c=4k2+3, Δ=〔-2（2k+1)〕2-4×1×（4k2+3） =16k-8 拓展延申 ∵方程没有实数根，∴Δ≥0， 即16k-8≥0 解得k≥ ∴当k≥ 时，方程有实数根。 （2）由一元二次方程根与系数的关系,得 x1+x2=4k+2， x1•x2=4k2+3， ∵(x1+1)(x2+1)=1 ∴x1x2+x1+x2+1=1 拓展延申 ∴4k2+3+4k+2+1=1， 即4k2+4k+5=0， Δ1=42-4×4×5=-64＜0， ∴此方程没有实数根。 ∴不存在实数k,使得代数式 (x1+1)(x2+1)的值为1。 拓展延申 一元二次方程的根与系数的关系 内容 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别是x1，x2， 那么 应用 求代数式的值，求另一根，或求参数的值 课堂小结 1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1) x2-3x-1=0； (2) 3x2+2x-5=0. 解：(1)这里 a = 1，b = -3，c = -1. Δ =b2-4ac = (-3)2-4×1×(-1) = 9+4 = 13＞0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1+x2=3 ，x1x2 = -1. 当堂检测 1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1) x2-3x-1=0； (2) 3x2+2x-5=0. 解：(2)这里 a = 3，b = 2，c = -5. Δ =b2-4ac = 22-4×3×(-5) = 4+60 = 64＞0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1+x2=- ，x1x2 =- . 当堂检测 2.已知方程 5x2+kx-6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. x1+x2= ， x1x2 = . 解：根据根与系数的关系，得 所以另一个根为 ，k的值为-7. ∵其中一个根为2，因此可以设 x1= 2， 当堂检测 3.已知方程2x2-4x-5=0的两个根分别为x1和x2,求下列式子的值. (1)(x1+2)(x2+2); (2)x12x2+x1x22. 解：由根与系数的关系可知：x1+x2=2，x1x2=-， （1）(x1+2)(x2+2) =x1x2+2(x1+x2)+4 =+4+4 =. （2）x12x2+x1x22 =x1x2(x1+x2) =2 =-5. 当堂检测 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $