精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2025—2026学年第二学期 高二年级数学期末试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数列中，已知，则等于（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 11 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. e D. 2e 3. 一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 17 B. 19 C. 25 D. 30 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 现有4名同学，需要把他们全部安排到甲、乙两个场馆参加志愿服务，每人只能去1个场馆，且每个场馆至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 14种 D. 20种 8. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的一人，则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5＝_____． 13. 设某批产品中，编号为、、的三家工厂生产的产品分别占、、，各厂产品的次品率分别为、、．现从中任取一件，则取到的是次品的概率为______． 14. 在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 若关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费y(万元)有如下统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知，y对x呈线性相关关系. （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）估计使用年限为10年时，试求维修费用约是多少？（精确到两位小数） 16. 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 220 合计 250 400 （1）求s,t； （2）记未服用药物的动物患疾病的概率为，给出的估计值； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效? 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 18. 已知数列满足：，，n∈N*. （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若，求n的最大值. 19. 已知函数． （1）若，求的极值 （2）当时，证明：函数有且仅有一个零点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期 高二年级数学期末试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数列中，已知，则等于（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系式，依次求解. 【详解】由条件可知，，，. 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. e D. 2e 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的除法运算法则进行求解. 【详解】根据导数的除法运算法则可得： ，将代入导函数计算，  . 3. 一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 17 B. 19 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【详解】因为为等差数列，故，故， 而，故，故，则公差， 故. 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】已知随机变量，则正态曲线关于直线对称， 因为，则， 根据对称性得到， 则. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，可得：当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，恒成立，又， 可知函数仅有一个零点，即B选项正确． 7. 现有4名同学，需要把他们全部安排到甲、乙两个场馆参加志愿服务，每人只能去1个场馆，且每个场馆至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 14种 D. 20种 【答案】C 【解析】 【分析】结合人数的分配以及排列数、组合数的计算求得正确答案. 【详解】根据题意，不同的分组有和， 则不同的安排方法共有． 8. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的一人，则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设次传球后球在甲手中的概率为，则球不在甲手中的概率为； 则次传球后球在甲手中的概率为，即； 由题意知，，即数列是首项为，公比为的等比数列； ，即; ，即次传球后球在甲手中的概率为. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求出一次摸到黑球的概率，根据题意可得随机变量服从二项分布，再利用二项分布列及期望公式、方差公式求解即可. 【详解】从袋子中有放回的取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等， 又每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数， 又每次摸到黑球的概率为，由有放回地取4次球，得，A正确； ，B错误； 由二项分布期望公式得，C正确； 由二项分布方差公式得，D错误. 故选：AC 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，，A错误； 对于B，令，则，故B正确； 对于C，，，所以，C正确； 对于D，， 令，则，D错误. 11. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5＝_____． 【答案】45 【解析】 【详解】试题分析：由题意得 考点：等差数列性质及通项公式 13. 设某批产品中，编号为、、的三家工厂生产的产品分别占、、，各厂产品的次品率分别为、、．现从中任取一件，则取到的是次品的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设表示“取到的是一件次品”，表示“取到的产品是由第家工厂生产的”，利用全概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设表示“取到的是一件次品”，表示“取到的产品是由第家工厂生产的”， 则，，， ，，， 由全概率公式可得 ． 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________ 【答案】 【解析】 【详解】设切点，因，故切线的斜率，切线的方程为，令得；过点与切线垂直的直线方程为，令得，则中点的纵坐标为，因，故当时，，函数单调递增；故当时，，函数单调递减，故当时，函数，应填答案． 点睛：解答本题的关键是如何建构以切点的横坐标为变量的函数．求解时先设切点坐标为切点，然后再依据题设条件建立关于线段的中点的纵坐标为的目标函数，最后再运用导数的知识求函数的最大值，从而使得问题获解． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 若关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费y(万元)有如下统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知，y对x呈线性相关关系. （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）估计使用年限为10年时，试求维修费用约是多少？（精确到两位小数） 【答案】（1）； （2）12.38万元. 【解析】 【分析】（1）根据所给的数据，求出变量的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，再根据样本中心点一定在线性回归方程上求出，即可得到答案；（2）把代入求解即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可得： i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 ==1.23, =— = 5－1.23×4 = 0.08. 所以回归直线方程为=1.23x + 0.08． 【小问2详解】 当x=10时，=1.23×10+0.08=12.38(万元)， 即估计使用10年时维修费约为12.38万元． 16. 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 220 合计 250 400 （1）求s,t； （2）记未服用药物的动物患疾病的概率为，给出的估计值； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效? 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2） （3）能认为药物对预防疾病有效 【解析】 【分析】（1）根据列联表求和即可； （2）用频率估计概率，计算即可； （3）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可. 【小问1详解】 由列联表知，； 【小问2详解】 由列联表知，未服用药物的动物有（只）， 未服用药物且患疾病的动物有（只）， 所以未服用药物的动物患疾病的频率为， 所以未服用药物的动物患疾病的概率的估计值为； 【小问3详解】 零假设为：药物对预防疾病无效， 由列联表得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过， 所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物对预防疾病有效. 17. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】（1）； （2）的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 .【解析】 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【小问1详解】 设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． 【小问2详解】 依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 18. 已知数列满足：，，n∈N*. （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若，求n的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）50 【解析】 【分析】（1）由递推公式得到，结合等比数列的定义即可得证. （2）由（1）可得，利用分组求和法求出，结合和单调性求解即可. 【小问1详解】 由，得，即， 又， 所以数列为等比数列，首项为，公比为. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 所以. 由，得，即. 易知是递增数列， 令，，， 所以， 所以. 19. 已知函数． （1）若，求的极值 （2）当时，证明：函数有且仅有一个零点 【答案】（1）极大值，极小值 （2）当时，恒成立，在R上单调递增， ，由，，则函数有且仅有一个零点； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而．当时，，因此函数有且仅有一个零点； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又 ，，当时，，因此函数有且仅有一个零点， 所以当时，函数有且仅有一个零点. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出导数确定单调区间，进而求出极值. （2）按分类确定函数的单调性，借助零点存在性定理求出零点个数. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当时，，， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $