2026年暑假提升讲义：第3讲 电势、电势能和电势差(培优)

第3讲 电势、电势能和电势差 【学习目标】　 1.知道静电力做功的特点，理解静电力做功与电势能变化的关系 2.理解电势能和电势的概念及其物理意义，知道电势能和电势的相对性。 3.了解电势差，掌握电势差的表达公式，知道电势差与零电势点的选择无关。 4.知道静电力做功与电势差的关系，会进行相关问题的计算。 5.知道等势面的定义，明确电场线一定与等势面垂直。 6.知道匀强电场中电势差与电场强度的关系，掌握表达两者关系的公式。 一、电势能与电势 1.电场力做功的特点 （1）电场力做功：在匀强电场中，电场力做功W＝qExcos α。其中α为 与 之间的夹角。 （2）特点：在静电场中，电场力做功只与移动电荷的电荷量以及起点和终点的位置有关，而与路径无关。 2.电势能 （1）电势能是电荷在电场中具备一种能量，为电荷与电场共同所有。 （2）类似重力势能，电势能具有相对性．一般取无穷远处为零势能 （3）电场力做功是电势能变化的量度，用公式表示为WAB＝EpA－EpB，即电场力做正功，电荷的电势能减少，电场力做负功，电荷的电势能增加． （4）电势能大小的比较 判断角度 判断方法 依据静电力做功 无论正、负电荷，电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大 依据电场线方向 正电荷沿着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大 负电荷沿着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小 依据公式Ep＝qφ 设φA>φB，当q>0时，qφA>qφB，即EpA>EpB；当q<0时，qφA<qφB，即EpA<EpB，可总结为正电荷在电势高的地方电势能大，而负电荷在电势高的地方电势能小 3.电势 (1)定义：φ＝，在计算时应代入各自的正负号． (2)电势的标量性：电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负之分，电势为正表示比零电势高，电势为负表示比零电势低． (3)电势的相对性：零电势点的选取原则：一般选大地或无限远处为零电势，只有选取了零电势点才能确定某点的电势大小． (4)电势是描述电场性质的物理量，决定于电场本身，与试探电荷无关． (5)电势高低的判断方法： ①电场线法：沿着电场线方向电势逐渐降低(此为主要方法)； ②电势能判断法：利用公式φ＝判断，即在正电荷的电势能越大处，电势越高，负电荷电势能越大处，电势越低． ③场源电荷判断法：离场源正电荷越近的点，电势越高；离场源负电荷越近的点，电势越低。 题型1：电场力做功与电势能变化的关系 【例题1】(多选)如图所示，固定在Q点的正点电荷的电场中有M、N两点，已知<，下列叙述正确的是(　　) A．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则电场力对该电荷做正功，电势能减少 B．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则电场力对该电荷做正功，电势能增加 C．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，则电场力对该电荷做正功，电势能减少 D．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，再从N点沿不同路径移回到M点，则该电荷克服电场力做的功等于电场力对该电荷所做的正功，电势能不变 变式1. (多选)如图所示，实线表示电场线，虚线表示带电粒子在电场中运动的轨迹。若带电粒子仅受静电力作用，运动方向由M到N，以下说法正确的是(　　) A.粒子带负电 B.粒子带正电 C.粒子的电势能增加 D.粒子的电势能减少 变式2.(多选)两个带等量正电的点电荷，固定在图中P、Q两点，MN为PQ连线的中垂线，交PQ于O点，A为MN上的一点。一带负电的试探电荷q，从A点由静止释放，只在静电力作用下运动，取无限远处的电势能为零，则(　　) A.q由A向O的运动是匀加速直线运动 B.q由A向O运动的过程电势能逐渐减小 C.q运动到O点时的动能最大 D.q运动到O点时电势能为零 变式3.(多选)如图所示，在y轴上关于O点对称的A、B两点分别有等量同种电荷＋Q，在x轴上C点有点电荷－Q，且CO＝OD，∠ADO＝60°。下列判断正确的是(　　) A.O点的电场强度为零 B.D点的电场强度为零 C.若将点电荷＋q从O点移向C点，电势能增加 D.若将点电荷－q从O点移向C点，电势能增加 题型2：电势能大小的计算 【例题2】在如图所示的匀强电场中，有A、B、C三点，AB＝5 cm，BC＝12 cm，其中AB沿电场线方向，BC和电场线方向成60°角。一个电荷量为q＝4×10－8 C的正电荷从A移到B，静电力做功为W1＝1.2×10－7 J。求： (1)若规定电荷在A点的电势能为零，求该电荷在B点的电势能； (2)匀强电场的电场强度E的大小； (3)该电荷从B到C，电荷的电势能改变了多少。 变式1. 一个匀强电场的电场强度方向水平向左，如图所示，一个质量为m的带正电的小球以初速度v0从O点出发，在静电力与重力的作用下，恰能沿与电场强度的反方向成θ角的直线运动。求小球运动到最高点时的电势能与在O点时的电势能之差。 变式2. 电荷量为q＝1×10－4 C的带正电的小物块置于粗糙的绝缘水平面上，所在空间存在沿水平方向的匀强电场，场强E与时间t的关系及物块速度v与时间t的关系分别如图甲、乙所示，若重力加速度g取10 m/s2，求： (1)物块的质量m和物块与水平面之间的动摩擦因数； (2)物块运动2 s过程中，其电势能的改变量。 变式3.如图所示，水平绝缘粗糙的轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，半圆形轨道的半径R＝0.4 m，在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场线与轨道所在的平面平行，电场强度E＝1.0×104 N/C。现有一电荷量q＝＋1.0×10－4 C，质量m＝0.1 kg的带电体(可视为质点)，在水平轨道上的P点由静止释放，带电体恰好能通过半圆形轨道的最高点C，然后落至水平轨道上的D点(图中未画出)。取g＝10 m/s2。试求： (1)带电体运动到圆形轨道B点时对圆形轨道的压力大小； (2)D点到B点的距离xDB； (3)带电体在从P开始运动到落至D点的过程中的最大动能(结果保留3位有效数字)。 题型3： 电势能与电势的关系 【例题3】 (多选)如图，∠M是锐角三角形PMN最大的内角，电荷量为q(q>0)的点电荷固定在P点．下列说法正确的是(　　) A．沿MN边，从M点到N点，电场强度的大小逐渐增大 B．沿MN边，从M点到N点，电势先增大后减小 C．正电荷在M点的电势能比其在N点的电势能大 D．将正电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负 变式1. (多选)真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等．一个带负电的试探电荷置于二者连线上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态．过O点作两正电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c和b、d，如图所示．以下说法正确的是(　　) A．a点电势低于O点 B．b点电势低于c点 C．该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能 D．该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能 变式2.(多选)如图所示，四个带电荷量绝对值相等的点电荷分别固定在竖直平面内某一正方形的四个顶点上，A、B、C、D四个点分别为对应的四条边的中点，现有某一带正电的试探电荷在四个电荷产生的电场中运动，下列说法正确的是(　　) A．试探电荷在D点的电势小于在A点的电势 B．试探电荷在D点的电势小于在C点的电势 C．试探电荷仅在电场力作用下从A点沿AC运动到C点，其加速度逐渐增大 D．直线BD所在的水平面一定为一等势面 二、等势面 1.电场中电势相等的点构成的面叫等势面。 2.等势面的特点： (1) 电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面．电场线与在等势面上移动电荷时，静电力不做功． (2)电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面． (3)等势面密的地方，电场强度较强；等势面疏的地方，电场强度较弱． (4)任意两个等势面不相交． 3.常见的等势面 (1)点电荷的等势面：点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面． (2)等量异号点电荷的等势面：等量异号点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，中垂线是一等势线． (3)等量同号点电荷的等势面：等量正点电荷连线的中点电势最低，中垂线上该点的电势最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低．连线上和中垂线上关于中点的对称点等势．等量负点电荷连线的中点电势最高，中垂线上该点的电势最低．从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高，连线上和中垂线上关于中点的对称点等势． (4)匀强电场的等势面：匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面． 说明：等势面密集处电场线也密集．任意两个等势面不会相交． 4.等势面与电场线的关系 (1)已知等势面的情况，可作等势面的垂线来确定电场线，并由“电势降低”的方向确定电场线方向。由电场线的疏密确定电场强度大小。 (2)已知电场线时，可作电场线的垂线来确定等势面，并由“沿电场线方向电势降低”确定等势面的电势高低。 题型1：等势面 【例题4】(多选)小明在学习了静电场的内容后，来到实验室研究如图所示的电场，实线和虚线分别表示该电场的电场线和若干条相邻等势线，若A、B两点所处的等势线电势为0，相邻等势线间的电势差为5 V，则(　　) A.A处电场强度的大小大于B处电场强度的大小 B.C、B两点间的电势差大于C、A两点间的电势差 C.电子在C处具有的电势能为50 eV D.若将一电子在D处由静止释放，则运动至C点对应等势线时，具有的动能为5 eV 变式1.(多选)位于A、B处的两个带有不等量负电荷的点电荷在平面内的等势线分布如图所示，图中实线表示等势线，则(　　) A.a点和b点的电场强度相同 B.正电荷从c点移到d点，静电力做正功 C.负电荷从a点移到c点，静电力做正功 D.正电荷从e点沿图中虚线移到f点，电势能先减小后增大 变式2.用电场线能直观、方便地比较电场中各点场强的强弱和电势的高低。图甲是等量异种点电荷形成电场的电场线，图乙是场中的一些点：是两点电荷连线的中点，、是连线中垂线上相对于点对称的两点，B、C和A、D也相对于点对称。则下列说法正确的是(　　) A．A、D两点的场强相同 B．B、C两点的电势相等 C．B、O、C三点比较，O点场强最强 D．E、O、F三点比较，O点电势最高 题型2：电场线、等势面及运动轨迹问题 1.带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法 （1）判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便． （2）判断电场力的方向：仅受电场力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受电场力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断电场力方向． 若已知电场线和轨迹，所受电场力的方向与电场线(或切线)共线； 若已知等势线和轨迹，所受电场力的方向与等势线垂直． （3）判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力方向与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力方向与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加． 【例题5】如图所示，虚线是某静电场的一簇等势线，边上标有电势的值，一带电粒子只在电场力作用下恰能沿图中的实线从A经过B运动到C，下列判断正确的是(　　) A．粒子一定带负电 B．A处场强大于C处场强 C．粒子在A处电势能大于在C处电势能 D．粒子从A到B电场力所做的功大于从B到C电场力所做的功 变式1.如图，实线PQ为一个带正电的点电荷仅在电场力作用下的运动轨迹，虚线a、b、c为电场中的三条电场线。下列说法正确的是(　　) A.点电荷一定从Q点向P点运动 B.点电荷在Q点的电势能大于在P点的电势能 C.Q点的电势低于P点的电势 D.点电荷在Q点的加速度比在P点的加速度大 变式2.(多选)两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹如图中实线所示，若粒子只受电场力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是(　　) A．带正电 B．速度先增大后减小 C．电势能先增大后减小 D．经过b点和d点时的速度大小相同 三、电势差 1．电场中两点间电势差的计算公式：UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，UAB＝－UBA. 2．电势差是标量，有正负，电势差的正负表示电势的高低．UAB＞0，表示A点电势比B点电势高． 3.静电力做功与电势差的关系：WAB＝qUAB或UAB＝. 4.电势与电势差的比较 概念 比较内容　　　 电势φ 电势差U 区别 定义 电势能与电荷量的比值φ＝ 电场力做的功与电荷量的比值UAB＝ 决定因素 由电场和在电场中的位置决定，与q、Ep无关 由电场和场内两点位置决定，与q、WAB无关 相对性 与零电势点的选取有关 与零电势点的选取无关 联系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，φA＝UAB 单位 相同，国际单位制中均是伏特(V) 标矢性 都是标量，但均有正负 5.利用公式UAB＝计算电势差的两种方法 (1)各物理量均带正、负号运算，但代表的意义不同。WAB的正、负号表示正、负功；q的正、负号表示电性；UAB的正、负号反映φA、φB的高低。计算时W与U的角标要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。 (2)绝对值代入法。WAB、q、UAB均代入绝对值，然后再结合题意判断电势的高低。 6.静电力做功的四种求法 方法 表达式 注意问题 功的定义 W＝Fd＝qEd (1)适用于匀强电场 (2)d表示沿电场线方向的距离 功能关系 WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp (1)既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场 (2)既适用于只受电场力的情况，也适用于受多种力的情况 电势差法 WAB＝qUAB 动能定理 W静电力＋W其他力＝ΔEk 【例题6】有一个带电荷量q＝－3×10－6 C的点电荷，从某电场中的A点移到B点，电荷克服静电力做6×10－4 J的功，从B点移到C点，静电力对电荷做9×10－4 J的功，问： (1)AB、BC、CA间电势差各为多少？ (2)如以B点电势为零，则A、C两点的电势各为多少？电荷在A、C两点的电势能各为多少？ 变式1.如图，光滑绝缘的细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为，其中g为重力加速度，求： (1)小球由A到B的过程中静电力做的功； (2)A、C两点间的电势差UAC。 变式2.如图所示，C为固定的、电荷量为Q的正点电荷，A、B两点在C的正上方，它们与C的距离分别为4h和0.25h。将另一质量为m、电荷量未知的正点电荷D从A点由静止释放，运动到B点时速度正好又变为零。已知重力加速度大小为g，点电荷D在B点处的加速度大小为3g，静电力常量为k，求： (1)点电荷D所带的电荷量q； (2)点电荷D在A点的加速度大小及方向； (3)点电荷D从A点下落到B点的过程中速度最大的位置离C点电荷的竖直距离； (4)求A、B两点间的电势差的大小，并比较A、B两点电势高低。 【例题7】(多选)在某点电荷产生的电场中，一带正电小球(视为质点)在外力的作用下从A点匀速运动到B点，在同一水平线上的A、两点的电场强度方向如图所示，下列说法正确的是(　　) A．A点的电场强度大于点的电场强度 B．A点的电势低于点的电势 C．小球从A点运动到点的过程中，电势能先增大后减小 D．小球从A点运动到点的过程中，外力一直做正功 变式1. 如图1所示，一质量为m、电荷量为q的正电荷从a点由静止释放，仅在电场力的作用下沿直线abc运动，其v-t图像如图2所示。已知正电荷在b点处速率为，斜率最大，最大值为k，在c点处的速率为v，斜率为0，则下列说法正确的是（    ） A．该正电荷在从a到c的运动过程中，电势能先减小后增大 B．b点的电场强度大小为，方向由b指向c C．ab之间的电势差 D．从a到c电势逐渐升高，c点的电势最大 变式2.如图，在处于真空环境下的匀强电场中有一半径为 的圆（匀强电场与圆共面），圆心为O，圆弧上有A、B、C三点，是圆的水平直径， 间的距离为R。将一电荷量C的正电荷从电场中的A点沿直径移到B点，电场力做了J的功，再从B点沿圆弧移到C点，克服电场力做了J的功。若规定B点的电势为零，重力不计，求： (1)A点和C点的电势； (2)该匀强电场的电场强度的大小，并在图中画出过B点的电场线方向。 四、电势差与场强关系 1．公式U＝Ed只适用于匀强电场，其中d为A、B两点沿电场方向的距离． 2．电场中A、B两点的电势差UAB跟电荷移动的路径无关，由电场强度E及A、B两点沿电场方向的距离d决定． 3．公式E＝说明电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势． 4．两个重要推论： 结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。 结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，同理有UAC＝UBD，如图乙所示。 题型1:匀强电场中电场强度与电势差的关系 【例题8】一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V．下列说法正确的是(　　) A．电场强度的大小为2.5 V/cm B．坐标原点处的电势为1 V C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV 变式1．如图，在匀强电场中有一长方形区域ABCD，边长AB＝0.3 m、BC＝0.4 m，匀强电场方向与ABCD所在平面平行，A、B、C三点的电势φA＝55 V，φB＝19 V，φC＝－45 V，则匀强电场的电场强度大小和方向为(　　) A．120 V/m，沿AB方向 B．200 V/m，沿AC方向 C．160 V/m，沿AD方向 D．300 V/m，沿BD方向 变式2．(多选)如图所示,a、b、c、d是某匀强电场中的四个点,它们是一个四边形的四个顶点,ab∥cd,ab⊥bc,2ab=cd=bc=2l,电场线与四边形所在平面平行。已知a点电势为24 V,b点电势为28 V,d点电势为12 V。一个质子(不计重力)经过b点的速度大小为v0,方向与bc成45°角,一段时间后经过c点,则下列说法正确的是(　　)。 A.c点电势为20 V B.质子从b运动到c所用的时间为 C.电场强度的方向由a指向c D.质子从b运动到c电场力做功为8 eV 【例题9】(多选)有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd、cb 分别垂直于x轴、y轴，其中a、b、c三点电势分别为：4 V、8 V、10 V，使一电荷量为q=-2×10-5 C的负点电荷由a点开始沿abcd路线运动，则下列判断正确的是(　　) A．坐标原点O的电势为6 V B．电场强度的大小为V/m C．该点电荷在c点的电势能为2×10-5 J D．该点电荷从a点移到d点过程中，电场力做功为 8×10-5 J 变式1．匀强电场中有一与电场方向平行的扇形AOB区域，如图所示，圆心角=120°，半径R=1m，其中C、D、F将圆弧AB四等分。已知=9V，=0，=3V，以下说法正确的是(　　) A．电场场强的大小为6V/m B． C．电子在D点的电势能比在F点高3eV D．电场方向沿AB连线方向 题型2；非匀强电场中电场强度与电势差的关系 【例题10】如图是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，电场线的方向如图所示，M、N、Q是以直电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN，以下说法正确的是(　　) A．O点电势与Q点电势相等 B．将一正电荷由M点移到Q点，电荷的电势能减少 C．MO间的电势差等于ON间的电势差 D．在Q点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿与OQ垂直的方向竖直向上 变式1．如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝－10 V，则C点的电势(　　) A．φC＝10 V B．φC>10 V C．φC<10 V D．上述选项都不正确 变式2．(多选)如图所示，a、b、c为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c为ab中点。a、b电势分别为φa＝5 V，φb＝3 V，下列叙述正确的是(　　) A.该电场在c点处的电势一定为4 V B.a点处的场强Ea一定大于b点处的场强Eb C.一正电荷从c点运动到b点，电势能一定减少 D.一正电荷运动到c点时受到的电场力由a指向c 课后作业 1．如图所示为等量异号电荷电场的电场线和等势线，关于图中A、B和C三点的电场强度和电势的说法正确的是(　　) A．A、C两点的电场强度最大且大小相等 B．A、C两点的电场强度最小且完全相同 C．A、C两点的电势最高且相等 D．A、B和C三点的电势越来越低 2．如图所示，等腰三角形位于匀强电场中，电场方向平行于平面，a、b、c三点的电势分别为，边长度为，边的长度为。下列说法正确的是(　　) A．若电子从a点运动到b点，电场力做功 B．若电子从a点运动到c点，电势能减小 C．电场沿方向 D．匀强电场的场强大小为 3．如图1所示，是匀强电场中的四个点，它们正好是边长为的菱形的四个顶点，且。电场方向平行于菱形所在平面。以为坐标原点，规定为x轴正方向，为轴正方向，沿着两方向的电势变化如图2所示，下列说法错误的是(　　) A．沿方向的场强大小为 B．沿方向的场强大小为 C．匀强电场的场强大小为 D．匀强电场的方向从由指向 4．（多选）在匀强电场中有A、B、C三点，A点的电势为零，B点的电势为，C、B两点的电势差为，如图所示。将一电荷量为的负电荷从A点移动到B点，再从B点移动到C点。则(　　) A．A、B两点的电势差为3V B．C点的电势为6V C．该负电荷从B点运动到C点的过程中，电场力做的功为 D．该负电荷从A点运动到C点的过程中，电场力做的功为 5．（多选）如图所示，a、b、c、d为匀强电场中的等势面，一个质量为m，电荷量为q的质子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两个点。已知该粒子在A点的速度大小为v1，且方向与等势面平行，在B点的速度大小为v2，A、B连线长为L，连线与等势面间的夹角为θ，不计粒子受到的重力，则(　　) A．粒子的速度v2一定大于v1 B．等势面b的电势比等势面c的电势低 C．粒子从A点运动到B点所用的时间为 D．匀强电场的电场强度大小为 6．微波器件的核心之一是反射式速调管，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其振荡原理可简化为静电场模型。已知静电场的方向平行于x轴，其电势随x的分布如图所示。一质量为、电荷量为的带负电粒子从点由静止释放，仅在电场力作用下沿x轴做往复运动，求： (1)在区域内电场强度的大小和方向； (2)该粒子运动过中的最大速度； (3)该粒子运动的周期。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 电势、电势能和电势差 【学习目标】　 1.知道静电力做功的特点，理解静电力做功与电势能变化的关系 2.理解电势能和电势的概念及其物理意义，知道电势能和电势的相对性。 3.了解电势差，掌握电势差的表达公式，知道电势差与零电势点的选择无关。 4.知道静电力做功与电势差的关系，会进行相关问题的计算。 5.知道等势面的定义，明确电场线一定与等势面垂直。 6.知道匀强电场中电势差与电场强度的关系，掌握表达两者关系的公式。 一、电势能与电势 1.电场力做功的特点 （1）电场力做功：在匀强电场中，电场力做功W＝qExcos α。其中α为静电力与位移方向之间的夹角。 （2）特点：在静电场中，电场力做功只与移动电荷的电荷量以及起点和终点的位置有关，而与路径无关。 2.电势能 （1）电势能是电荷在电场中具备一种能量，为电荷与电场共同所有。 （2）类似重力势能，电势能具有相对性．一般取无穷远处为零势能 （3）电场力做功是电势能变化的量度，用公式表示为WAB＝EpA－EpB，即电场力做正功，电荷的电势能减少，电场力做负功，电荷的电势能增加． （4）电势能大小的比较 判断角度 判断方法 依据静电力做功 无论正、负电荷，电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大 依据电场线方向 正电荷沿着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大 负电荷沿着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小 依据公式Ep＝qφ 设φA>φB，当q>0时，qφA>qφB，即EpA>EpB；当q<0时，qφA<qφB，即EpA<EpB，可总结为正电荷在电势高的地方电势能大，而负电荷在电势高的地方电势能小 3.电势 (1)定义：φ＝，在计算时应代入各自的正负号． (2)电势的标量性：电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负之分，电势为正表示比零电势高，电势为负表示比零电势低． (3)电势的相对性：零电势点的选取原则：一般选大地或无限远处为零电势，只有选取了零电势点才能确定某点的电势大小． (4)电势是描述电场性质的物理量，决定于电场本身，与试探电荷无关． (5)电势高低的判断方法： ①电场线法：沿着电场线方向电势逐渐降低(此为主要方法)； ②电势能判断法：利用公式φ＝判断，即在正电荷的电势能越大处，电势越高，负电荷电势能越大处，电势越低． ③场源电荷判断法：离场源正电荷越近的点，电势越高；离场源负电荷越近的点，电势越低。 题型1：电场力做功与电势能变化的关系 【例题1】(多选)如图所示，固定在Q点的正点电荷的电场中有M、N两点，已知<，下列叙述正确的是(　　) A．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则电场力对该电荷做正功，电势能减少 B．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则电场力对该电荷做正功，电势能增加 C．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，则电场力对该电荷做正功，电势能减少 D．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，再从N点沿不同路径移回到M点，则该电荷克服电场力做的功等于电场力对该电荷所做的正功，电势能不变 答案　AD 解析　由正点电荷形成的电场可知，把一正的点电荷从M点移到N点，电场力对该电荷做正功，电势能减少，A选项正确，B选项错误；若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，电场力对该电荷做负功，电势能增加，C选项错误；电场力做功的特点是只与电荷所处的始、末位置有关，而与其通过的路径无关，两过程电荷克服电场力做功等于电场力对该电荷所做的正功，D选项正确． 变式1. (多选)如图所示，实线表示电场线，虚线表示带电粒子在电场中运动的轨迹。若带电粒子仅受静电力作用，运动方向由M到N，以下说法正确的是(　　) A.粒子带负电 B.粒子带正电 C.粒子的电势能增加 D.粒子的电势能减少 答案　BD 解析　根据运动轨迹与受力关系，带电粒子受到的静电力与电场方向一致，故粒子带正电，A错误，B正确；粒子运动过程中，静电力方向与速度的夹角小于90°，所以静电力做正功，粒子的电势能减少，C错误，D正确。 变式2.(多选)两个带等量正电的点电荷，固定在图中P、Q两点，MN为PQ连线的中垂线，交PQ于O点，A为MN上的一点。一带负电的试探电荷q，从A点由静止释放，只在静电力作用下运动，取无限远处的电势能为零，则(　　) A.q由A向O的运动是匀加速直线运动 B.q由A向O运动的过程电势能逐渐减小 C.q运动到O点时的动能最大 D.q运动到O点时电势能为零 答案　BC 解析　q由A向O运动的过程中，静电力的方向始终由A指向O，但力的大小变化，所以电荷q做变加速直线运动，静电力做正功，q通过O点后在静电力的作用下做变减速运动，所以q到O点时速度最大，动能最大，电势能最小，因无限远处的电势能为零，若把电荷q由无限远处移到O点，静电力做正功，电势能减小，所以q在O点时的电势能不为零，故选项B、C正确，A、D错误。 变式3.(多选)如图所示，在y轴上关于O点对称的A、B两点分别有等量同种电荷＋Q，在x轴上C点有点电荷－Q，且CO＝OD，∠ADO＝60°。下列判断正确的是(　　) A.O点的电场强度为零 B.D点的电场强度为零 C.若将点电荷＋q从O点移向C点，电势能增加 D.若将点电荷－q从O点移向C点，电势能增加 答案　BD 解析　A、B两点电荷在O点产生的合场强为0，而C点电荷在O点产生的场强方向向左，故O点的合场强方向向左，A错误；同理可知，D点的合场强为0，B正确；OC间各点的合场强方向向左，若将点电荷＋q从O点移向C点，静电力做正功，电势能减少，C错误；若将点电荷－q从O点移向C点，静电力做负功，电势能增加，D正确。 题型2：电势能大小的计算 【例题2】在如图所示的匀强电场中，有A、B、C三点，AB＝5 cm，BC＝12 cm，其中AB沿电场线方向，BC和电场线方向成60°角。一个电荷量为q＝4×10－8 C的正电荷从A移到B，静电力做功为W1＝1.2×10－7 J。求： (1)若规定电荷在A点的电势能为零，求该电荷在B点的电势能； (2)匀强电场的电场强度E的大小； (3)该电荷从B到C，电荷的电势能改变了多少。 答案　(1)－1.2×10－7 J　(2)60 N/C　(3)减少了1.44×10－7 J 解析　(1)静电力做功与电势能变化的关系为 W1＝EpA－EpB 由题意知EpA＝0，则EpB＝－W1＝－1.2×10－7 J。 (2)由W1＝qE·AB得，该电场的电场强度大小为 E＝＝ N/C＝60 N/C。 (3)该电荷从B到C，静电力做功为 W2＝F·BC·cos 60°＝qE·BC·cos 60° ＝4×10－8×60×12×10－2×0.5 J＝1.44×10－7 J 所以，该过程电荷的电势能减少了1.44×10－7 J。 变式1. 一个匀强电场的电场强度方向水平向左，如图所示，一个质量为m的带正电的小球以初速度v0从O点出发，在静电力与重力的作用下，恰能沿与电场强度的反方向成θ角的直线运动。求小球运动到最高点时的电势能与在O点时的电势能之差。 答案　mvcos2θ 解析　设电场强度为E，小球带电荷量为q，因小球做直线运动，它所受的静电力qE和重力mg的合力必沿此直线，如图所示，有qE＝，F合＝ 小球做匀减速运动的加速度大小为 a＝ 设从O点到最高点的位移为x，则 v＝2ax 运动的水平距离为L＝xcos θ 两点的电势能之差ΔEp＝qEL 由以上各式得ΔEp＝mvcos2θ。 变式2. 电荷量为q＝1×10－4 C的带正电的小物块置于粗糙的绝缘水平面上，所在空间存在沿水平方向的匀强电场，场强E与时间t的关系及物块速度v与时间t的关系分别如图甲、乙所示，若重力加速度g取10 m/s2，求： (1)物块的质量m和物块与水平面之间的动摩擦因数； (2)物块运动2 s过程中，其电势能的改变量。 答案　(1)0.5 kg　0.4 (2)电势能减少了7 J 解析　(1)由题图可知 E1＝3×104 N/C，E2＝2×104 N/C a1＝2 m/s2 E1q－μmg＝ma1① E2q－μmg＝0② 联立①②代入数据得m＝0.5 kg，μ＝0.4。 (2)ΔEp＝－E1ql1－E2ql2＝－(3×104×1×10－4××2×1＋2×104×1×10－4×2×1) J＝－7 J 电势能减少了7 J。 变式3.如图所示，水平绝缘粗糙的轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，半圆形轨道的半径R＝0.4 m，在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场线与轨道所在的平面平行，电场强度E＝1.0×104 N/C。现有一电荷量q＝＋1.0×10－4 C，质量m＝0.1 kg的带电体(可视为质点)，在水平轨道上的P点由静止释放，带电体恰好能通过半圆形轨道的最高点C，然后落至水平轨道上的D点(图中未画出)。取g＝10 m/s2。试求： (1)带电体运动到圆形轨道B点时对圆形轨道的压力大小； (2)D点到B点的距离xDB； (3)带电体在从P开始运动到落至D点的过程中的最大动能(结果保留3位有效数字)。 解析：(1)设带电体通过C点时的速度为vC，依据牛顿第二定律有mg＝m， 解得vC＝2.0 m/s。 设带电体通过B点时的速度为vB，设轨道对带电体的支持力大小为FB，带电体在B点时，根据牛顿第二定律有 FB－mg＝m。 带电体从B运动到C的过程中，根据动能定理有 －mg×2R＝mvC2－mvB2 联立解得FB＝6.0 N， 根据牛顿第三定律，带电体对轨道的压力FB′＝6.0 N。 (2)设带电体从最高点C落至水平轨道上的D点经历的时间为t，根据运动的分解有2R＝gt2， xDB＝vCt－t2 联立解得xDB＝0。 (3)由P到B带电体做加速运动，故最大速度一定出现在从B经C到D的过程中，在此过程中只有重力和电场力做功，这两个力大小相等，其合力与重力方向成45°夹角斜向右下方，故最大速度必出现在B点右侧对应圆心角为45°处。 设带电体的最大动能为Ekm，根据动能定理有 qERsin 45°－mgR(1－cos 45°)＝Ekm－mvB2， 代入数据解得Ekm≈1.17 J。 答案：(1)6.0 N　(2)0　(3)1.17 J 题型3： 电势能与电势的关系 【例题3】 (多选)如图，∠M是锐角三角形PMN最大的内角，电荷量为q(q>0)的点电荷固定在P点．下列说法正确的是(　　) A．沿MN边，从M点到N点，电场强度的大小逐渐增大 B．沿MN边，从M点到N点，电势先增大后减小 C．正电荷在M点的电势能比其在N点的电势能大 D．将正电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负 答案　BC 解析　该点电荷形成的电场过M、N两点的等势面如图所示． 距P越近，电场强度越大，沿MN边，从M点到N点，与P点的距离先变小后变大，电场强度先增大后减小，故A错误；沿电场线方向电势降低，沿MN边，从M点到N点，电势先增大后减小，故B正确；由图可知，M点电势高于N点电势，根据Ep＝qφ知，正电荷在M点的电势能大于在N点的电势能，故C正确；将正电荷从M点移动到N点，即从高电势移动到低电势，电场力所做的总功为正，故D错误． 变式1. (多选)真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等．一个带负电的试探电荷置于二者连线上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态．过O点作两正电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c和b、d，如图所示．以下说法正确的是(　　) A．a点电势低于O点 B．b点电势低于c点 C．该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能 D．该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能 答案　BD 解析　作出两个固定点电荷分别在O点附近的电场线，由题意知，O点的场强EO＝0，则两点电荷分别在O点处产生电场的电场线疏密相同，进而推知O点左侧的电场方向向右，O点右侧的电场方向向左．可以判定：a点电势高于O点，b点电势低于c点，故A错误，B正确；由Ep＝φq可知，a点的电势高于b点，试探电荷(带负电)在a点的电势能比b点小，故C错误；c点电势高于d点，试探电荷(带负电)在c点的电势能小于d点，故D正确． 变式2.(多选)如图所示，四个带电荷量绝对值相等的点电荷分别固定在竖直平面内某一正方形的四个顶点上，A、B、C、D四个点分别为对应的四条边的中点，现有某一带正电的试探电荷在四个电荷产生的电场中运动，下列说法正确的是(　　) A．试探电荷在D点的电势小于在A点的电势 B．试探电荷在D点的电势小于在C点的电势 C．试探电荷仅在电场力作用下从A点沿AC运动到C点，其加速度逐渐增大 D．直线BD所在的水平面一定为一等势面 答案　AD 解析　取无穷远处为零电势点，A点在两个正电荷电场中电势为2φ1，在两个负电荷电场中电势为－2φ2，因φ1>φ2，故A点的电势为(2φ1－2φ2)>0；同理C点的电势为(－2φ1＋2φ2)<0.D点在左上正电荷、左下负电荷的电场中电势为0，同理，在右上正电荷、右下负电荷的电场中电势也为0，故D点电势为零，φA>φD，φD>φC，A正确，B错误．由场强叠加原理可知，A、C两点的场强相同，故试探电荷在这两点的加速度也相同，所以试探电荷仅在电场力作用下从A点沿AC运动到C点，加速度并不是一直增大，故C错误；B、D所在的水平面上任意一点的场强方向均竖直向下，故在这个水平面内移动电荷时，电场力不做功，所以此面一定为等势面，故D正确． 二、等势面 1.电场中电势相等的点构成的面叫等势面。 2.等势面的特点： (1) 电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面．电场线与在等势面上移动电荷时，静电力不做功． (2)电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面． (3)等势面密的地方，电场强度较强；等势面疏的地方，电场强度较弱． (4)任意两个等势面不相交． 3.常见的等势面 (1)点电荷的等势面：点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面． (2)等量异号点电荷的等势面：等量异号点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，中垂线是一等势线． (3)等量同号点电荷的等势面：等量正点电荷连线的中点电势最低，中垂线上该点的电势最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低．连线上和中垂线上关于中点的对称点等势．等量负点电荷连线的中点电势最高，中垂线上该点的电势最低．从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高，连线上和中垂线上关于中点的对称点等势． (4)匀强电场的等势面：匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面． 说明：等势面密集处电场线也密集．任意两个等势面不会相交． 4.等势面与电场线的关系 (1)已知等势面的情况，可作等势面的垂线来确定电场线，并由“电势降低”的方向确定电场线方向。由电场线的疏密确定电场强度大小。 (2)已知电场线时，可作电场线的垂线来确定等势面，并由“沿电场线方向电势降低”确定等势面的电势高低。 题型1：等势面 【例题4】(多选)小明在学习了静电场的内容后，来到实验室研究如图所示的电场，实线和虚线分别表示该电场的电场线和若干条相邻等势线，若A、B两点所处的等势线电势为0，相邻等势线间的电势差为5 V，则(　　) A.A处电场强度的大小大于B处电场强度的大小 B.C、B两点间的电势差大于C、A两点间的电势差 C.电子在C处具有的电势能为50 eV D.若将一电子在D处由静止释放，则运动至C点对应等势线时，具有的动能为5 eV 答案　AD 解析　电场线越密集的地方电场强度越大，所以A处电场强度的大小大于B处电场强度的大小，故A正确；由于A、B两点处于同一等势线，所以C、B两点间的电势差等于C、A两点间的电势差，故B错误；由于A、B两点所处的等势线电势为0，相邻等势线间的电势差为5 V，则C点的电势为50 V，所以电子在C处具有的电势能为－50 eV，故C错误；将一电子在D处由静止释放，则运动至C点对应等势线时，电场力做功5 eV，电势能减小5 eV，则动能增加为5 eV，故D正确。 变式1.(多选)位于A、B处的两个带有不等量负电荷的点电荷在平面内的等势线分布如图所示，图中实线表示等势线，则(　　) A.a点和b点的电场强度相同 B.正电荷从c点移到d点，静电力做正功 C.负电荷从a点移到c点，静电力做正功 D.正电荷从e点沿图中虚线移到f点，电势能先减小后增大 答案　CD 解析　a、b两处电场强度的方向不同，因为场强是矢量，所以a点和b点的电场强度不同，故A错误；因为场源电荷是负电荷，所以φd>φc，正电荷从c点移到d点的过程中，电势能增大，静电力做负功，同理φa<φc，负电荷从a点移到c点的过程中，电势能减小，静电力做正功，故C正确，B错误；正电荷从e点沿图中虚线移到f点的过程中电势先减小后增大，故电势能先减小后增大，故D正确。 变式2.(2022·浙江台州·高一期末)用电场线能直观、方便地比较电场中各点场强的强弱和电势的高低。图甲是等量异种点电荷形成电场的电场线，图乙是场中的一些点：是两点电荷连线的中点，、是连线中垂线上相对于点对称的两点，B、C和A、D也相对于点对称。则下列说法正确的是(　　) A．A、D两点的场强相同 B．B、C两点的电势相等 C．B、O、C三点比较，O点场强最强 D．E、O、F三点比较，O点电势最高 【答案】A 【解析】A．根据对称性可知，A、D两点的场强大小相等，而且方向相同，A正确； B．沿着电场线，电势逐渐降低，可知C点电势比B点电势低，B错误； C．电场线的疏密反应了场强的大小，B、O、C三点比较，O点场强最弱，C错误； D．等势面与电场线垂直，E、O、F三点所在的直线为等势线，电势相等，D错误。 故选A。 题型2：电场线、等势面及运动轨迹问题 1.带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法 （1）判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便． （2）判断电场力的方向：仅受电场力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受电场力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断电场力方向． 若已知电场线和轨迹，所受电场力的方向与电场线(或切线)共线； 若已知等势线和轨迹，所受电场力的方向与等势线垂直． （3）判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力方向与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力方向与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加． 【例题5】如图所示，虚线是某静电场的一簇等势线，边上标有电势的值，一带电粒子只在电场力作用下恰能沿图中的实线从A经过B运动到C，下列判断正确的是(　　) A．粒子一定带负电 B．A处场强大于C处场强 C．粒子在A处电势能大于在C处电势能 D．粒子从A到B电场力所做的功大于从B到C电场力所做的功 答案　B 解析　根据电场线与等势面垂直且由高电势指向低电势，可知电场线方向大致向左，根据粒子轨迹的弯曲方向可知，粒子所受的电场力方向大致向左，则知粒子一定带正电，A错误；等差等势面的疏密反映电场强度的大小，A处场强大于C处场强，B正确；粒子从A点运动到C点，电场力方向与速度方向的夹角为钝角，电场力做负功，电势能增大，C错误；由于电势差相同，根据W＝Uq知，电场力做功相同，D错误． 变式1.如图，实线PQ为一个带正电的点电荷仅在电场力作用下的运动轨迹，虚线a、b、c为电场中的三条电场线。下列说法正确的是(　　) A.点电荷一定从Q点向P点运动 B.点电荷在Q点的电势能大于在P点的电势能 C.Q点的电势低于P点的电势 D.点电荷在Q点的加速度比在P点的加速度大 答案　B 解析　根据题意可知，点电荷运动方向不明确，故A错误；若点电荷从P点向Q点运动，电场力做负功，Q点的电势能大于P点的电势能，若点电荷从Q点向P点运动，电场力做正功，仍然满足Q点的电势能大于P点的电势能，故B正确；点电荷带正电，由φ＝可知，P点的电势低于Q点的电势，故C错误；Q点的电场线较P点稀疏，可知Q点的场强较小，则点电荷在Q点的加速度小于在P点的加速度，故D错误。 变式2.(多选)两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹如图中实线所示，若粒子只受电场力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是(　　) A．带正电 B．速度先增大后减小 C．电势能先增大后减小 D．经过b点和d点时的速度大小相同 答案　CD 解析　根据粒子的运动轨迹及等势面分布可知，粒子带负电，选项A错误；粒子从a到c再到e的过程中电场力先做负功后做正功，速度先减小后增大，电势能先增大后减小，选项B错误，C正确；因为b、d两点在同一等势面上，所以粒子在b、d两点的电势能相同，所以粒子经过b点和d点时的速度大小相同，选项D正确． 三、电势差 1．电场中两点间电势差的计算公式：UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，UAB＝－UBA. 2．电势差是标量，有正负，电势差的正负表示电势的高低．UAB＞0，表示A点电势比B点电势高． 3.静电力做功与电势差的关系：WAB＝qUAB或UAB＝. 4.电势与电势差的比较 概念 比较内容　　　 电势φ 电势差U 区别 定义 电势能与电荷量的比值φ＝ 电场力做的功与电荷量的比值UAB＝ 决定因素 由电场和在电场中的位置决定，与q、Ep无关 由电场和场内两点位置决定，与q、WAB无关 相对性 与零电势点的选取有关 与零电势点的选取无关 联系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，φA＝UAB 单位 相同，国际单位制中均是伏特(V) 标矢性 都是标量，但均有正负 5.利用公式UAB＝计算电势差的两种方法 (1)各物理量均带正、负号运算，但代表的意义不同。WAB的正、负号表示正、负功；q的正、负号表示电性；UAB的正、负号反映φA、φB的高低。计算时W与U的角标要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。 (2)绝对值代入法。WAB、q、UAB均代入绝对值，然后再结合题意判断电势的高低。 6.静电力做功的四种求法 方法 表达式 注意问题 功的定义 W＝Fd＝qEd (1)适用于匀强电场 (2)d表示沿电场线方向的距离 功能关系 WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp (1)既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场 (2)既适用于只受电场力的情况，也适用于受多种力的情况 电势差法 WAB＝qUAB 动能定理 W静电力＋W其他力＝ΔEk 【例题6】有一个带电荷量q＝－3×10－6 C的点电荷，从某电场中的A点移到B点，电荷克服静电力做6×10－4 J的功，从B点移到C点，静电力对电荷做9×10－4 J的功，问： (1)AB、BC、CA间电势差各为多少？ (2)如以B点电势为零，则A、C两点的电势各为多少？电荷在A、C两点的电势能各为多少？ 答案　(1) 200 V　－300 V　100 V (2) 200 V　300 V　－6×10－4 J　－9×10－4 J 解析　(1)电荷由A移向B克服静电力做功即静电力做负功，WAB＝－6×10－4 J UAB＝＝ V＝200 V UBC＝ ＝ V＝－300 V UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋(－UAB)＝300 V－200 V＝100 V。 (2)若φB＝0，由UAB＝φA－φB 得φA＝UAB＝200 V 由UBC＝φB－φC 得φC＝φB－UBC＝0－(－300) V＝300 V 电荷在A点的电势能 EpA＝qφA＝－3×10－6×200 J＝－6×10－4 J 电荷在C点的电势能 EpC＝qφC＝－3×10－6×300 J＝－9×10－4 J。 变式1.如图，光滑绝缘的细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为，其中g为重力加速度，求： (1)小球由A到B的过程中静电力做的功； (2)A、C两点间的电势差UAC。 答案　(1)mgh　(2)－ 解析　(1)因为杆是光滑的，所以小球从A到B的过程中只有两个力做功，即静电力做功WAB和重力做功mgh， 由动能定理得WAB＋mgh＝mv 代入已知条件vB＝得 WAB＝m·3gh－mgh＝mgh (2)因为B、C在同一等势面上，所以φB＝φC 即UAC＝UAB＝＝－。 变式2.如图所示，C为固定的、电荷量为Q的正点电荷，A、B两点在C的正上方，它们与C的距离分别为4h和0.25h。将另一质量为m、电荷量未知的正点电荷D从A点由静止释放，运动到B点时速度正好又变为零。已知重力加速度大小为g，点电荷D在B点处的加速度大小为3g，静电力常量为k，求： (1)点电荷D所带的电荷量q； (2)点电荷D在A点的加速度大小及方向； (3)点电荷D从A点下落到B点的过程中速度最大的位置离C点电荷的竖直距离； (4)求A、B两点间的电势差的大小，并比较A、B两点电势高低。 【答案】(1)；(2)，竖直向下；(3)；(4)， 【解析】 【详解】 (1)对点电荷D在B点时受力分析，根据牛顿第二定律有 又 解得 (2)在A点静止释放，点电荷向下移动，则加速度竖直向下； 由牛顿第二定律得 解得 (3)当点电荷D所受合外力为0时，速度最大，有 解得 (4)点电荷D从A点到B点的过程，根据动能定理有 又 解得 则 【例题7】(多选)在某点电荷产生的电场中，一带正电小球(视为质点)在外力的作用下从A点匀速运动到B点，在同一水平线上的A、两点的电场强度方向如图所示，下列说法正确的是(　　) A．A点的电场强度大于点的电场强度 B．A点的电势低于点的电势 C．小球从A点运动到点的过程中，电势能先增大后减小 D．小球从A点运动到点的过程中，外力一直做正功 【答案】BC 【解析】A．反向延长图示电场强度方向，交点为正点电荷的位置 由点电荷场强公式可知A点电场强度小于B点电场强度，故A错误； B．由上图可知，图示圆圈为等势面，电场线方向与电场强度方向相同，又因为沿电场线方向电势降低，所以A点所在等势面的电势小于B点所在等势面的电势，故B正确； C．由图可知，小球从A点运动到B点的过程中，小球先靠近正点电荷，后远离正点电荷，即电场力先做负功，后做正功，所以电势能先增大后减小，故C正确； D．因为小球匀速从A点运动到B点，所以外力与电场力等大反向，即外力先做正功，后做负功，故D错误。 故选BC。 变式1. 如图1所示，一质量为m、电荷量为q的正电荷从a点由静止释放，仅在电场力的作用下沿直线abc运动，其v-t图像如图2所示。已知正电荷在b点处速率为，斜率最大，最大值为k，在c点处的速率为v，斜率为0，则下列说法正确的是（    ） A．该正电荷在从a到c的运动过程中，电势能先减小后增大 B．b点的电场强度大小为，方向由b指向c C．ab之间的电势差 D．从a到c电势逐渐升高，c点的电势最大 【答案】B 【详解】A．该正电荷由到的过程中，物块速度逐渐增大，电场力对物块做正功，物块的电势能逐渐减小，故A错误； B．由题图2可知物块在点时加速度为 所以点的电场强度大小为 电场力方向由指向，正电荷的电场强度方向跟电场力方向相同，点的电场强度方向由指向，故B正确； C．对正电荷从到的过程，根据动能定理有 解得 故C错误； D．沿着电场线的方向电势逐渐降低，从到电势逐渐降低，故D错误。 故选B。 变式2.如图，在处于真空环境下的匀强电场中有一半径为 的圆（匀强电场与圆共面），圆心为O，圆弧上有A、B、C三点，是圆的水平直径， 间的距离为R。将一电荷量C的正电荷从电场中的A点沿直径移到B点，电场力做了J的功，再从B点沿圆弧移到C点，克服电场力做了J的功。若规定B点的电势为零，重力不计，求： (1)A点和C点的电势； (2)该匀强电场的电场强度的大小，并在图中画出过B点的电场线方向。 【答案】(1)4V，2V (2)，见解析 【详解】（1）电荷从A移到B点，根据电场力做功与电势差的关系 电荷从B移到C点，根据电场力做功与电势差的关系有 题给条件有，代入数据解得 （2）因 所以C点电势与圆心O的电势相等，连接CO，CO为该匀强电场中的等势线，过B点作CO的垂线相交于D点，则电场强度的方向为与AB成30°角斜向右上方，如图所示 由几何关系得 电场强度大小为 代入数据解得 四、电势差与场强关系 1．公式U＝Ed只适用于匀强电场，其中d为A、B两点沿电场方向的距离． 2．电场中A、B两点的电势差UAB跟电荷移动的路径无关，由电场强度E及A、B两点沿电场方向的距离d决定． 3．公式E＝说明电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势． 4．两个重要推论： 结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。 结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，同理有UAC＝UBD，如图乙所示。 题型1:匀强电场中电场强度与电势差的关系 【例题8】一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V．下列说法正确的是(　　) A．电场强度的大小为2.5 V/cm B．坐标原点处的电势为1 V C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV 答案　ABD 解析　如图所示， 设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则＝＝，所以d点的坐标为(3.5 cm,6 cm)，过c点作等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势．由几何关系可得，cf的长度为3.6 cm，电场强度的大小E＝＝＝2.5 V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb，可知坐标原点O处的电势为1 V，故选项B正确；a点电势比b点电势低7 V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9 V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV，故选项D正确． 变式1．如图，在匀强电场中有一长方形区域ABCD，边长AB＝0.3 m、BC＝0.4 m，匀强电场方向与ABCD所在平面平行，A、B、C三点的电势φA＝55 V，φB＝19 V，φC＝－45 V，则匀强电场的电场强度大小和方向为(　　) A．120 V/m，沿AB方向 B．200 V/m，沿AC方向 C．160 V/m，沿AD方向 D．300 V/m，沿BD方向 答案　B 解析　连接AC，过B点作BB′⊥AC，由几何关系知，AB′＝0.18 m，B′C＝0.32 m，AC＝0.5 m，据题知UAC＝100 V，因为AC线上电势均匀降落，由比例关系可知φB′＝19 V，所以B′与B电势相等，BB′为等势线；利用等势线与场强垂直确定场强方向，可知匀强电场的电场强度方向沿AC方向，UAB′＝φA－φB′＝36 V，匀强电场的电场强度大小E＝＝ V/m＝200 V/m，故B正确． 变式2．(多选)如图甲所示,a、b、c、d是某匀强电场中的四个点,它们是一个四边形的四个顶点,ab∥cd,ab⊥bc,2ab=cd=bc=2l,电场线与四边形所在平面平行。已知a点电势为24 V,b点电势为28 V,d点电势为12 V。一个质子(不计重力)经过b点的速度大小为v0,方向与bc成45°角,一段时间后经过c点,则下列说法正确的是(　　)。 甲 A.c点电势为20 V B.质子从b运动到c所用的时间为 C.电场强度的方向由a指向c D.质子从b运动到c电场力做功为8 eV 【解析】如图乙所示,由匀强电场中电场分布与电势差间的关系有φb-φa=φa-φe,得φe=20 V,又φb-φe=φc-φd,得φc=20 V,A项正确。ec连线为等势面,则电场方向由b指向d,C项错误。质子做类平抛运动,则有2lcos 45°=v0t,得t=,B项正确。质子从b运动到c电场力做功W=qUbc=8 eV,D项正确。 乙 【答案】ABD 【例题9】(多选)(2021·浙江·效实中学高一期中)有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd、cb 分别垂直于x轴、y轴，其中a、b、c三点电势分别为：4 V、8 V、10 V，使一电荷量为q=-2×10-5 C的负点电荷由a点开始沿abcd路线运动，则下列判断正确的是(　　) A．坐标原点O的电势为6 V B．电场强度的大小为V/m C．该点电荷在c点的电势能为2×10-5 J D．该点电荷从a点移到d点过程中，电场力做功为 8×10-5 J 【答案】AD 【解析】A．由于是匀强电场，所以沿同一方向前进相同距离电势的变化量相等，所以 代入数据解得=6V 选项A正确； B．分析可知ab中点e的电势为φe=6V 连接Oe，则直线Oe为等势线，如图所示： 由几何关系可知，ab垂直于Oe，则ab为一条电场线，且方向由b指向a，电场强度大小为 选项B错误； C．该点电荷在c点的电势能为 选项C错误； D．由题意结合几何知识可知b、d在同一等势线上，该点电荷从a点移动到d点电场力做功为 选项D正确。故选AD。 变式1．(2022·浙江·温州市英才学校模拟预测)匀强电场中有一与电场方向平行的扇形AOB区域，如图所示，圆心角=120°，半径R=1m，其中C、D、F将圆弧AB四等分。已知=9V，=0，=3V，以下说法正确的是(　　) A．电场场强的大小为6V/m B． C．电子在D点的电势能比在F点高3eV D．电场方向沿AB连线方向 【答案】A 【解析】连接AB、OC、OD、OE，交点分别为I、H、G，为等边三角形，、为等腰三角形，如图所示 由几何关系可得AI=IG=GB 即I、G为AB的三等分点，由于匀强电场电势均匀变化，可得， 故OF为电势3V的等势面，由几何关系可得DI连线垂直于OA，与OF平行，为电势6V的等势面，即 ， 所以，根据 可知电子在D点的电势能比在F点低3eV；根据电场方向垂直于等势面且指向电势较低一侧，所以场强方向沿AO连线方向，场强大小为 故选A。 题型2；非匀强电场中电场强度与电势差的关系 【例题10】如图是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，电场线的方向如图所示，M、N、Q是以直电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN，以下说法正确的是(　　) A．O点电势与Q点电势相等 B．将一正电荷由M点移到Q点，电荷的电势能减少 C．MO间的电势差等于ON间的电势差 D．在Q点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿与OQ垂直的方向竖直向上 答案　B 解析　过O点和Q点作电场的等势面，如图： 由图可知，O、Q两点的电势不相等，故A错误；将一正电荷由M点移到Q点，电场力对电荷做正功，故电荷的电势能减少，故B正确；MO与ON相等，但由于电场不是匀强电场，且MO间的平均场强大于ON间的平均场强，因此由U＝Ed可推得，MO间的电势差大于ON间的电势差，故C错误；在Q点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿Q点电场线的切线方向斜向上，故D错误． 变式1．如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝－10 V，则C点的电势(　　) A．φC＝10 V B．φC>10 V C．φC<10 V D．上述选项都不正确 解析：选C　由于AC之间的电场线比CB之间的电场线密，相等距离之间的电势差较大，即UAC>UCB，所以φA－φC>φC－φB，可得φC<，即φC<10 V，选项C正确。 变式2．(多选)如图所示，a、b、c为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c为ab中点。a、b电势分别为φa＝5 V，φb＝3 V，下列叙述正确的是(　　) A.该电场在c点处的电势一定为4 V B.a点处的场强Ea一定大于b点处的场强Eb C.一正电荷从c点运动到b点，电势能一定减少 D.一正电荷运动到c点时受到的电场力由a指向c 答案　CD 解析　该电场不一定是匀强电场，无法比较a、b两点的电场强度大小，c点的电势也不一定为4 V，但电场方向由a→b，正电荷在c点所受电场力方向一定由a指向c，正电荷由c运动到b的过程中，电场力做正功，电势能一定减少，故C、D正确，A、B错误。 课后作业 1．(2022春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末)如图所示为等量异号电荷电场的电场线和等势线，关于图中A、B和C三点的电场强度和电势的说法正确的是(　　)    A．A、C两点的电场强度最大且大小相等 B．A、C两点的电场强度最小且完全相同 C．A、C两点的电势最高且相等 D．A、B和C三点的电势越来越低 【答案】D 【详解】A．根据电场线越密集，电场强度越大可知B点的电场强度最大，故A错误； B．A、C两点的电场强度最小，方向相反，故B错误； CD．沿着电场线方向，电势逐渐降低，所以A、B和C三点的电势越来越低，故C错误，D正确。 故选D。 2．(2023·贵州贵阳·校联考三模)如图所示，等腰三角形位于匀强电场中，电场方向平行于平面，a、b、c三点的电势分别为，边长度为，边的长度为。下列说法正确的是(　　)    A．若电子从a点运动到b点，电场力做功 B．若电子从a点运动到c点，电势能减小 C．电场沿方向 D．匀强电场的场强大小为 【答案】D 【详解】A．根据题意，由公式可知，若电子从a点运动到b点，电场力做功为 故A错误； B．根据题意，由公式可知，若电子从a点运动到c点，电场力做功为 则电子的电势能增加，故B错误； CD．根据题意，由可知，ac的中点电势为6V，与b点电势相等，由电场线和等势线关系可得电场沿ac方向，则有 故C错误，D正确。 故选D。 3．(2023·全国·模拟预测)如图1所示，是匀强电场中的四个点，它们正好是边长为的菱形的四个顶点，且。电场方向平行于菱形所在平面。以为坐标原点，规定为x轴正方向，为轴正方向，沿着两方向的电势变化如图2所示，下列说法错误的是(　　)    A．沿方向的场强大小为 B．沿方向的场强大小为 C．匀强电场的场强大小为 D．匀强电场的方向从由指向 【答案】C 【详解】AB．根据图像中，图像的斜率表示电场强度，由图2可知，沿方向的场强大小为 沿方向的场强大小为 故AB正确； CD．根据题意，由图2可知 ，， 匀强电场中 则有 解得 连接为等势线，连接，由于正好是边长为的菱形的四个顶点，则垂直，为电场线，由沿电场方向电势降低，则匀强电场的方向从由指向，匀强电场的场强大小为 故C错误，D正确。 本题选错误的，故选C。 4．（多选）(2023春·青海西宁·高二校考阶段练习)在匀强电场中有A、B、C三点，A点的电势为零，B点的电势为，C、B两点的电势差为，如图所示。将一电荷量为的负电荷从A点移动到B点，再从B点移动到C点。则(　　) A．A、B两点的电势差为3V B．C点的电势为6V C．该负电荷从B点运动到C点的过程中，电场力做的功为 D．该负电荷从A点运动到C点的过程中，电场力做的功为 【答案】AD 【详解】A．A、B两点的电势差 A正确； B．C、B两点的电势差为，则有 解得 B错误； C．该负电荷从B点运动到C点的过程中，电场力做的功 C错误； D．该负电荷从A点运动到C点的过程中，电场力做的功为 D正确。 故选AD。 5．（多选）(2023·天津·模拟预测)如图所示，a、b、c、d为匀强电场中的等势面，一个质量为m，电荷量为q的质子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两个点。已知该粒子在A点的速度大小为v1，且方向与等势面平行，在B点的速度大小为v2，A、B连线长为L，连线与等势面间的夹角为θ，不计粒子受到的重力，则(　　) A．粒子的速度v2一定大于v1 B．等势面b的电势比等势面c的电势低 C．粒子从A点运动到B点所用的时间为 D．匀强电场的电场强度大小为 【答案】AC 【详解】A．该电场为匀强电场，等势面沿水平方向，则电场方向沿竖直方向，粒子的轨迹向下弯曲，所以粒子受到的电场力竖直向下，从A到B的过程中电场力对粒子做正功，粒子的速度增大，所以粒子的速度v2一定大于v1，故A正确； B．粒子带正电，则知电场方向竖直向下，等势面b的电势比等势面c的电势高，故B错误； C．粒子在A点的速度大小为v1，粒子在沿等势面方向做匀速直线运动，所以粒子运动的时间 故C正确； D．A、B两点沿电场线方向的距离为 由动能定理有 联立解得 故D错误； 故选AC。 6．(2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)微波器件的核心之一是反射式速调管，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其振荡原理可简化为静电场模型。已知静电场的方向平行于x轴，其电势随x的分布如图所示。一质量为、电荷量为的带负电粒子从点由静止释放，仅在电场力作用下沿x轴做往复运动，求： (1)在区域内电场强度的大小和方向； (2)该粒子运动过中的最大速度； (3)该粒子运动的周期。 【答案】(1)，沿x轴负方向；(2)；(3) 【详解】(1)由图像的物理意义可知，在x轴正、负半轴分布着方向相反的匀强电场，在区域内电场强度大小 方向沿x轴负方向 (2)粒子经过处时速度最大，由动能定理可得 代入数值可得 (3)在范围电场强度大小 设粒子从处运动至处用时，从处运动至处用时，则有 解得 , 运动周期 , 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $