精品解析：安徽淮南第二中学2025-2026学年高二下学期7月期末学业质量检测数学试题

淮南第二中学2025-2026学年下学期高二年级期末学业质量检测数学 （试卷总分：150分 考试时间：150分钟） 一、单选题：本题共8小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由排列数与组合数的计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】由排列数与组合数的计算公式，可得， 即且，解得. 故选：B. 2. 已知变量之间具有线性相关关系，根据5对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（　　） A. 18 B. 3.6 C. 2.4 D. 1.2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件求出样本点中心为，再将其代入经验回归方程中即可. 【详解】根据题意可得，，， 则5对样本数据的样本点中心为， 将其代入方程中得，，则. 故选：B. 3. 若直线是曲线的切线，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设出切点坐标，根据切点在切线和曲线上，结合导数的几何意义列方程组求解可得. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由题知，，直线的斜率为1， 所以，解得. 故选：B 4. 已知随机事件，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得，再由条件概率公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，， 则， 则. 故选：A 5. 若随机变量，且，那么（ ） A. 0.7 B. 0.8 C. 0.2 D. 0.3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，结合正态分布的对称性分析求解. 【详解】由题意可知：，且， 所以. 故选：D. 6. 重复进行10次某试验，每次试验的成功率都为p（），则其中前4次都未成功后6次都成功的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，前4次都未成功后6次都成功的概率为. 7. 设集合，则的元素有（ ）个 A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，令，作出函数图象，数形结合即可求解. 【详解】由题意得：，所以， 令，作出函数图象得： 所以与有两个交点， 所以有两个解， 所以有2个元素. 8. 已知数列的前项和为，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先利用和的关系，求得数列的通项公式，由，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为数列的前项和为，满足， 当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又因为，可得，所以， 因为，所以， 所以数列的所有“和谐项”的平方和为： . 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ） A. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量增加0.6个单位 B. 决定系数的值越接近于1，回归模型的拟合效果越好 C. 样本相关系数的绝对值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 D. 在一元线性回归模型的残差图中，残差分布的带状区域的宽度越宽，说明模型拟合效果越好 【答案】BC 【解析】 【分析】根据回归分析相关知识逐一判断即可. 【详解】对于A，在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量减小0.6个单位，故A错误； 对于B，决定系数的值越接近于1，回归模型的拟合效果越好，故B正确； 对于C，样本相关系数的绝对值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱，故C正确； 对于D，在一元线性回归模型的残差图中，残差分布的带状区域的宽度越宽，说明拟合的精度越小，即说明模型拟合效果越差，故D错误； 故选：BC 10. 为促进学校发展，2023年中山市烟洲中学、珠海市斗门一中、江门市新会一中、顺德华侨中学四校组成“和美联盟”.烟洲中学决定派甲、乙、丙、丁四个老师去另外三所学校交流学习，每名老师只能去一个学校，则下列说法正确的是（ ） A. 若三所学校都有人去，则共有36种不同的安排方法 B. 若三所学校都有人去，且甲乙去同一个学校，则共有6种不同的安排方法 C. 若甲不去斗门一中，乙不去新会一中，且每所学校均有人去，则共有12种不同的安排方法 D. 若甲、乙、丙、丁四个老师交流学习完后，烟洲中学计划再追加派遣学习教师名额12个，且每所学校至少再追加分配3个名额，则名额追加分配的方式共有10种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先分组再分配可得；对于B，先排甲乙，再排丙丁，由分步乘法计数原理可得；对于C，分甲乙同组和甲乙不同组两种情况，当甲乙不同组时，先分组再分配即可；对于D，先每个学校分2个名额，然后使用隔板法将6个名额分成3份即可. 【详解】对于A，将4个老师分成3组共有种，再将3组分配到3所学校有种， 所以，共有种不同的安排方法，故A正确； 对于B，先排甲乙有种，再排丙丁有种， 所以，共有不同的安排方法，故B正确； 对于C，当甲乙同组时有种排法； 当甲乙不同组时，将4个老师分成3组共有种， 若甲去新会一中，则有种，若甲不去新会一中，则有1种， 所以甲乙不同组时，共有种. 综上，甲不去斗门一中，乙不去新会一中，且每所学校均有人去，共有种安排，C错误； 对于D，若又计划向这三所学校追加12个交换教师名额，且每校至少3个， 先每个学校分2个名额，然后使用隔板法将6个名额分成3份，且隔板不相邻，不在两端， 则共有种不同的安排方法，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知随机变量（且），设函数，记，则（ ）． A. 对任意恒成立 B. 对任意恒成立 C. 存在，使得方程在区间内有解 D. 存在，使得函数在区间内单调 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，得到，且，，构造函数，，以及，利用导数求得函数的单调性与最值，逐项计算，即可求解. 【详解】因为，所以， 代入可得， 由二项式定理可得， 则， 代入可得， 又因为二项分布的数学期望，所以恒成立，故A正确； 由，可得， 代入可得， 因为二项分布的方差， 若恒成立，则恒成立， 因为且，等式两边同除以可得，化简可得， 此等式不可能对任意满足且的恒成立，故B错误； 令，取，则，此时，代入，可得， 可得，且函数连续，存在使得， 即存在使得在区间内有解，故C正确； 由可得， 取，此时， 当时，恒成立，此时导函数恒小于零， 函数在区间内单调递减，满足题意，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，， 即展开式中的系数为. 故答案为： 13. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，问题转化为有两个不等实根，分离参数后转化为求新函数的极值、单调性、变化趋势，从而得参数范围． 【详解】，由题意有两个不等的实根， 即有两个不等的实根， 设，是， 时，，递减，时，，递增， 所以， 又时，，且时，，， 所以，方程有两个不等的实根，且都是变号的根，即有两个极值点． 故答案为：． 14. 已知集合，集合，从的所有函数中随机抽取一个函数，满足有两个解的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的定义，以及古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由集合，， 根据函数的定义，可得从的函数的个数为个， 其中满足有两个解的函数的个数为个， 所以概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某校组织了“AI人工智能”知识竞赛，从该校随机抽取300名参赛学生的成绩，统计成绩情况如下表： 竞赛成绩及格 竞赛成绩未及格 合计 男 90 60 150 女 100 50 150 合计 190 110 300 （1）记该校竞赛成绩未及格者是女生的概率为p，求出p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为竞赛成绩是否及格与性别有关联？ 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）学生的竞赛成绩与性别无关联 【解析】 【分析】（1）根据列联表以及古典概型的概率计算公式即可求解； （2）先进行零假设，然后计算出卡方值，根据独立性检验的思想判断即可. 【小问1详解】 记该校竞赛成绩未及格者是女生的概率为p，则p的估计值为； 【小问2详解】 零假设为：学生的竞赛成绩与性别无关联. ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 即认为学生的竞赛成绩与性别无关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 16. 设等差数列的前项和为，若， （1）求数列的通项公式； （2）设，求的前项和为. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质可知，即可求出，因而可求出公差，故可求得通项公式； （2）由的形式可知，采用裂项相消法求出数列{bn}的前n项和． 【详解】（1）设公差为， ① ② 由①、②解得： ∴； （2）， ∴. 【点睛】本题主要考查利用等差数列的性质求通项公式以及裂项相消法求和的应用，意在考查学生的数学计算能力，属于基础题． 17. 在2026马年春晚武术节目《武BOT》中，宇树科技机器人展示了醉拳、双节棍、弹射空翻等高难度动作，向全世界人民展示了我国机器人高动态、高协同的集群控制技术.已知机器人做一个空翻动作需要三类部件，分别是接收动作指令部件，翻译动作指令部件，实行动作指令部件，记为甲、乙、丙部件，完成空翻动作需要这三类部件同时正常运行，在节目开始前需要对这三类部件进行检测，若发现异常则需要调适.已知部件甲，乙，丙需要调整的概率分别为0.1，0.3，0.4，且各部件的状态相互独立． （1）求设备在检测过程中，部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率； （2）记设备在检测过程中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1）0.37 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式求解即可. （2）先确定X的所有可能取值为0，1，2，3 ，然后求出对应的概率，进而得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 用A，B，C分别表示事件：“设备在检测过程中，部件甲，乙，丙需要调整”， 则，， 用D表示事件：“设备在检测过程中，部件甲，乙中至少有1个需要调整”则 所以部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率为0.37 【小问2详解】 X的所有可能取值为0，1，2，3 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.378 0.456 0.154 0.012 故X的数学期望为. 18. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1） （2）当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）代入得到具体函数后，确定定义域，求导找到极值点，根据导数正负判断单调性，进而求得最小值； （2）先求的导函数，对参数分类讨论，根据导函数在定义域上的符号变化，判断的单调性； （3）将不等式变形分离参数，把恒成立问题转化为小于新函数最小值的问题，通过求导得到新函数最小值的范围，进而得到整数的最大值. 【小问1详解】 当时，，定义域为，， 令得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为； 【小问2详解】 定义域为，​， 若，则恒成立，所以恒成立，故在上单调递减； 若，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问3详解】 即， 整理得， 因，即，两边除以得， 令，则， 令，则，在单调递增， 因为，，故存在唯一零点，满足， 当时，，则，单调递减； 当时，，则，单调递增； 因此的最小值为， 因为，所以，因为，且，所以的最大值为. 19. 给定两个函数．若，且或的概率均为．记的概率为． （1）求，． （2）求． （3）令，证明：． 【答案】（1），． （2） （3）证明：由，得． 前两项和为． 当时，，故， 因此：， 故． 【解析】 【分析】（1）分别计算取两个可能值时是否满足小于，结合满足的情况数可求；再对的两种取值分别计算，结合满足的情况，结合每次选函数的概率可求； （2）设为的概率，建立递推关系，结合全概率公式求解． （3）先根据的通项求出的表达式，再对进行放缩，求解前项和即可证明. 【小问1详解】 由，当时，或， 其中，，故． 当时，若，则或，均小于； 若，则或，仅， 故． 【小问2详解】 设为的概率， 当时，时， 时，故． 由全概率公式，， 代入，得递推关系． 由，可设：，解得，即. 将原式两边同时减去：， 所以， 当为偶数时：，已知，则, 代入得：. 当为奇数时：，，则， 代入得：. 故当为偶数时，项为正：，当为奇数时，项为负：， 所以，即. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮南第二中学2025-2026学年下学期高二年级期末学业质量检测数学 （试卷总分：150分 考试时间：150分钟） 一、单选题：本题共8小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知变量之间具有线性相关关系，根据5对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（　　） A. 18 B. 3.6 C. 2.4 D. 1.2 3. 若直线是曲线的切线，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 4. 已知随机事件，，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若随机变量，且，那么（ ） A. 0.7 B. 0.8 C. 0.2 D. 0.3 6. 重复进行10次某试验，每次试验的成功率都为p（），则其中前4次都未成功后6次都成功的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设集合，则的元素有（ ）个 A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 8. 已知数列的前项和为，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ） A. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量增加0.6个单位 B. 决定系数的值越接近于1，回归模型的拟合效果越好 C. 样本相关系数的绝对值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 D. 在一元线性回归模型的残差图中，残差分布的带状区域的宽度越宽，说明模型拟合效果越好 10. 为促进学校发展，2023年中山市烟洲中学、珠海市斗门一中、江门市新会一中、顺德华侨中学四校组成“和美联盟”.烟洲中学决定派甲、乙、丙、丁四个老师去另外三所学校交流学习，每名老师只能去一个学校，则下列说法正确的是（ ） A. 若三所学校都有人去，则共有36种不同的安排方法 B. 若三所学校都有人去，且甲乙去同一个学校，则共有6种不同的安排方法 C. 若甲不去斗门一中，乙不去新会一中，且每所学校均有人去，则共有12种不同的安排方法 D. 若甲、乙、丙、丁四个老师交流学习完后，烟洲中学计划再追加派遣学习教师名额12个，且每所学校至少再追加分配3个名额，则名额追加分配的方式共有10种 11. 已知随机变量（且），设函数，记，则（ ）． A. 对任意恒成立 B. 对任意恒成立 C. 存在，使得方程在区间内有解 D. 存在，使得函数在区间内单调 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，项的系数为________． 13. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是___________. 14. 已知集合，集合，从的所有函数中随机抽取一个函数，满足有两个解的概率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某校组织了“AI人工智能”知识竞赛，从该校随机抽取300名参赛学生的成绩，统计成绩情况如下表： 竞赛成绩及格 竞赛成绩未及格 合计 男 90 60 150 女 100 50 150 合计 190 110 300 （1）记该校竞赛成绩未及格者是女生的概率为p，求出p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为竞赛成绩是否及格与性别有关联？ 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 设等差数列的前项和为，若， （1）求数列的通项公式； （2）设，求的前项和为. 17. 在2026马年春晚武术节目《武BOT》中，宇树科技机器人展示了醉拳、双节棍、弹射空翻等高难度动作，向全世界人民展示了我国机器人高动态、高协同的集群控制技术.已知机器人做一个空翻动作需要三类部件，分别是接收动作指令部件，翻译动作指令部件，实行动作指令部件，记为甲、乙、丙部件，完成空翻动作需要这三类部件同时正常运行，在节目开始前需要对这三类部件进行检测，若发现异常则需要调适.已知部件甲，乙，丙需要调整的概率分别为0.1，0.3，0.4，且各部件的状态相互独立． （1）求设备在检测过程中，部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率； （2）记设备在检测过程中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望． 18. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 19. 给定两个函数．若，且或的概率均为．记的概率为． （1）求，． （2）求． （3）令，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $