精品解析：山东省淄博市桓台县2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

2025-2026学年下学期桓台县初三期末测试 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，不是最简二次根式，A错误； 满足最简二次根式的两个条件，B正确； ，不是最简二次根式，C错误； ，不是最简二次根式，D错误． 2. 菱形具有且矩形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相平分 D. 对称轴互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形和矩形的性质逐一判断选项即可求解． 【详解】解：、菱形的四条边都相等，矩形的四条边不一定都相等，该选项符合题意； 、矩形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角，该选项不符合题意； 、菱形和矩形的对角线都互相平分，该选项不符合题意； 、菱形和矩形的对称轴都互相垂直，该选项不符合题意． 3. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 4. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数 ∴本题中 移项得 系数化为1得 5. 已知一元二次方程的两根为、，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 6. 如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分为四边形，其对角线，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质，可得，四边形是平行四边形，过点D作于点E，过点B作于点F，证明，可得，四边形是菱形，设，连接，由勾股定理可得，，求解即可; 【详解】解：∵两张宽度均为的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分为四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 过点D作于点E，过点B作于点F，， 根据题意可得， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∴四边形是菱形； ∴， 设， 连接，则， ∴， 根据勾股定理得， ∴， 整理得， 故， 解得， 故． 7. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 8. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（        ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 10. 如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 二、填空题：本大题共5个小题．每小题4分，共20分． 11. 当__________时，二次根式的值是0． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的值为0，可知被开方数为0，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， 两边平方，得． 移项，得， 系数化为1，得， 故答案为：． 12. 关于的方程有两个不相等的实数根，则正整数的值可以是__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于，解不等式得到的取值范围，结合是正整数即可写出符合条件的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， ， 整理得，解得， 是正整数， 的值可以是或或． 13. 如图，在矩形中，，分别以B，C两点为圆心，以的长为半径作弧，两弧在矩形内部交于点P，则点P到所在直线的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过作，延长交于点，如图，根据题意可得，，可得为线段的中点，根据勾股定理求得的长度，即可求解． 【详解】解：连接，过作，延长交于点，如图， 由题意可得，四边形为矩形，， 则，为线段的中点，即， 线段的长为点P到所在直线的距离， 由勾股定理可得，， ∴， 则点P到所在直线的距离为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，点到直线的距离，解题的关键是理解题意，作出辅助线，构造出直角三角形． 14. 如图，在菱形中，对角线相交于点是线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出边长，再根据线段垂直平分线的性质得出，从而将的周长转化为进行计算 【详解】解：四边形是菱形，    在中， 由勾股定理得    是线段的垂直平分线    的周长为： ． 15. 如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出. 在上取点，使，构造出，得，再根据两点之间线段最短得出即当在上时，取最小值. 【详解】解：在上取点，使， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当在上时，取最小值，为. 故答案为. 三、解答题：本大题共8个小题．共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用公式法求解比较简便； （2）利用因式分解法求解比较简便 【小问1详解】 解：， 这里，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 ， ， ， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的公式法、因式分解法是解题的关键． 17. 李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． （1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】（1）电视背景墙的周长为 （2）整个电视背景墙需要花费元 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【小问1详解】 解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为． 【小问2详解】 解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）． 答：整个电视背景墙需要花费元． 18. 如图，在正方形中，点E、F分别为边上的点，，，交于点H． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）证明，利用垂直的定义证明即可； （2）根据勾股定理，得，继而求得，故解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． （1）小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． （2）小球从开始到滚动21米用了多少秒？ （3）小球在最后一秒滚动了多少米？ 【答案】（1）2， （2）秒 （3）米 【解析】 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动21米用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． （3）根据（1）中结论得出小球滚动距离，再代入和作差即可解答． 【小问1详解】 解：小球的滚动速度平均每秒减少， 从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， 【小问2详解】 解：设小球滚动21米用了秒，此时小球的末速度为  米/秒， 根据题意，得    整理得   解得 ， 当  时， ，不符合实际，舍去 因此  答：小球从开始到滚动21米用了3秒． 【小问3详解】 解：∵小球的滚动速度平均每秒减少，从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， ∴小球滚动距离， 当时，， ∴小球滚动25米后停止， 当时，， 故小球在最后一秒滚动了米． 20. 阅读下面材料： 将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： （1）当，时，______，______； （2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； （3）当，时，令，，，…，，且，求T的值． 【答案】（1）， （2） 猜想结论： 证明： ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可； （2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可； （3）结合题意利用（2）中结论求解即可． 【小问1详解】 解： 当，时， 原式； 当，时， 原式； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键． 21. 如图①，点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角） （1）求证：是等边三角形； （2）如图②，将图①中的平面镜绕点顺时针旋转到位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上． ①_________°； ②若厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号） 【答案】（1） 证明：， ∴根据光的反射定律可知． ． ∵， ． 是等边三角形； （2）①75 ②的长为厘米 【解析】 【分析】(1)首先根据光的反射原理得到，然后，再由平角的定义得，再由平行线的性质得即可证的结论； (2)①首先根据题意及光的反射原理得到，再根据平角的定义得到； ②过点P作于F，首先，根据已知条件得到，然后，再证得，(厘米)，进而证得是等腰直角三角形，得，再由的余弦值得到的长，最后，由可得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：∵，平面镜绕点顺时针旋转到位置， ∴根据光的反射定律可知， ∴； ②解：如图②，过点P作于F， 由(1)知，由①知， ∴． 由(1)知是等边三角形，又知厘米， ∴(厘米)， 又∵， ∴，(厘米)， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴(厘米)， ∴(厘米)，即光点向下移动的距离的长为厘米． 22. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以2的速度向点终点运动，同时点从点出发沿以1的速度向点终点运动，它们到达终点后停止运动. （1）几秒后，点、的距离是点、的距离的2倍； （2）几秒后，的面积是24. 【答案】（1）3秒后，点、的距离是点、的距离的2倍；（2） 【解析】 【分析】（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，根据勾股定理可得PD2=4 PQ2，然后再代入相应数据可得方程82+（2t）2=4[（10-2t）2+t2]，再解即可； （2）设x秒后△DPQ的面积是24cm2，利用矩形面积-△DPQ的面积=周围三个三角形面积和列方程即可． 【详解】解：（1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵时， ∴； 答：3秒后，点、的距离是点、的距离的2倍. （2）设秒后的面积是24 ， 则， 整理得：， 解得：； ∴4秒后，的面积是24. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 23. 在中，，． 【观察与发现】 （1）如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：． 【思考与探究】 （2）如图，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： 根据旋转可得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）；理由如下： ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）连接，证明为等边三角形，得出，，再证明，即可得出结论； （2）证明，得出，，证明，得出，，得到，再根据勾股定理，得到，即可得出答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期桓台县初三期末测试 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 菱形具有且矩形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相平分 D. 对称轴互相垂直 3. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一元二次方程的两根为、，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分为四边形，其对角线，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（        ） A. B. C. D. 9. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 10. 如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5个小题．每小题4分，共20分． 11. 当__________时，二次根式的值是0． 12. 关于的方程有两个不相等的实数根，则正整数的值可以是__________．（写出一个即可） 13. 如图，在矩形中，，分别以B，C两点为圆心，以的长为半径作弧，两弧在矩形内部交于点P，则点P到所在直线的距离为_____． 14. 如图，在菱形中，对角线相交于点是线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，则的周长为________． 15. 如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______． 三、解答题：本大题共8个小题．共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． （1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 18. 如图，在正方形中，点E、F分别为边上的点，，，交于点H． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． （1）小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． （2）小球从开始到滚动21米用了多少秒？ （3）小球在最后一秒滚动了多少米？ 20. 阅读下面材料： 将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： （1）当，时，______，______； （2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； （3）当，时，令，，，…，，且，求T的值． 21. 如图①，点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角） （1）求证：是等边三角形； （2）如图②，将图①中的平面镜绕点顺时针旋转到位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上． ①_________°； ②若厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号） 22. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以2的速度向点终点运动，同时点从点出发沿以1的速度向点终点运动，它们到达终点后停止运动. （1）几秒后，点、的距离是点、的距离的2倍； （2）几秒后，的面积是24. 23. 在中，，． 【观察与发现】 （1）如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：． 【思考与探究】 （2）如图，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $