精品解析： 山东省淄博市桓台县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷（五四制）

山东省淄博市桓台县八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则代数式的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式求值的方法是解题的关键．首先将变形为，然后将代入求值即可． 【详解】解：∵， ， 故选：B． 2. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线的性质，由菱形的性质可得，由三角形中位线的性质可得，故可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E是的中点，， ∴， 故选：D． 3. 有2、3、6三个数，再选取一个数，使得这四个数成比例，这个数不能是（ ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例，根据比例的定义进行即可． 【详解】解：，，，而12则不能与这3个数组成比例； 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根及立方根，熟练掌握求一个数的算术平方根及立方根是解题的关键．分别根据算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不合题意； B、，故本选项不合题意； C、，正确，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 已知一等腰三角形的周长为，其中一边长，则这个等腰三角形的腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，三角形的三边关系，等腰三角形的性质．熟练掌握二次根式的加减运算，三角形的三边关系，等腰三角形的性质是解题的关键． 由题意知，分一边长为腰，一边长为底边两种情况求解，然后对两种情况进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，分一边长为腰，一边长为底边两种情况求解； ①当一边长为腰时，则底边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，舍去； ②当一边长为底边时，则腰长为； 综上所述，腰长为， 故选：B． 6. 下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，根据相似多边形的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意； B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点F作交AC于点G,可证．同理，可得，，；由,得，于是；设，则，，，从而得． 【详解】解：过点F作交AC于点G, ∴ ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵, ∴． ∴． 设，则， ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． 故选：A 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理；由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键． 8. 定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 9. 如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　） A. 8 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，首先证明△ABC是等边三角形，再证明△BGH∽△CAG，推出，由此构建方程即可解决问题． 【详解】解：连接AC． ∵菱形ABCD∽菱形AEFG， ∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， 设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3， ∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG，∠AGH＝∠ACG＝60°， ∴∠BGH＝∠CAG， ∵∠B＝∠ACG， ∴△BGH∽△CAG， ∴， ∴， ∴a2﹣10a+9＝0， ∴a＝9或1（舍去）， ∴AB＝9， 故选：B． 【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，连接AC证明△ABC是等边三角形是解题的关键． 10. 如图，正方形中，，点E，F分别为边，上一点，且满足，，相交于点G．连接，点H为的中点，连接，则的最小值是（）． A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过正方形的性质证得，得到，推出，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，确定，作点B关于的对称点M，连接，，，则，即的长为的最短长度，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点H为的中点， ∴， ∴， 作点B关于的对称点M，连接，，， ∴， ∴， 即的长为的最短长度． ∴， ∴在中，， ∴的最小值为， ∴的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，轴对称图形，最短距离等，熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的性质和判定是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a=_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解． 【详解】∵二次根式与是同类二次根式， ∴3a-5=a+3，解得a=4． 故答案是：4. 【点睛】考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 12. 两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质．根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方计算． 【详解】解：两个相似多边形的周长之比为， 它们的相似比为， 则它们的面积之比为， 故答案为：． 13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，，与相交于点．测得，，，则树高______． 【答案】3.5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的性质列比例求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：3.5． 14. 已知线段a，b，c满足a：b：=3：2：4且，将线段b按黄金分割比例分为两条线段，则较长线段的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例，黄金分割比；引入参数，按三条线段的比例关系与，求出线段b的长度，再按黄金分割比求出分割后的较长线段． 【详解】解：：b：＝3：2：4， 令，，， ， ， 解得：， ， 将线段b按黄金分割比例分为两条线段，则较长线段的长度=． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，D为的中点，E是上一动点，将四边形沿折叠，使点A落在点F处，点O落在点G处，当线段的延长线恰好经过的中点H时，点F的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与翻折问题，一次函数的应用，利用一次函数求解是解题关键． 连接交于M，连接，根据矩形的性质得出A、C的坐标，从而得到D、H的坐标，求出的解析式，根据求出G点坐标，然后求出的中点坐标，从而得到的解析式，求出E点坐标，根据，，求出、的解析式，联立即可求得F点坐标． 【详解】解：连接交于M，连接，如图： 四边形为矩形，， ，， 是中点，H是中点， ，， 设直线DH的解析式为：， ， ，， 直线的解析式为：， 设， 由翻折的性质可知，， M是的中点， ， 解得：或舍， ， ， 设直线的解析式为：， ， 解得：，， 直线的解析式为：， 为和交点， 的纵坐标为，且满足， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则，解得：， 直线的解析式为：， ， 设直线的解析式为， 将点代入得， 直线的解析式为：， 联立，解得：， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，已知点是坐标原点，小方格的边长为1，，，都在格点上，边与轴交于点． （1）以点为位似中心，在轴的上方将放大到原图的2倍，（即新图与原图的相似比为），画出对应的（顶点用实心黑点标记一下）； （2）直接写出四边形的面积：______． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）利用割补法计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形的面积为 故答案为：． 17. 已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，，，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长． 【小问1详解】 解：设，，， ∴，即， 解得：， ∴，，； 【小问2详解】 由（1）知，，又因为m是a，b的比例中项， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 18. 为了保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在、的延长线上取点D、E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为75米．已知于点F，请你根据提供的数据 帮助他们计算桥的长度． 【答案】100米 【解析】 【分析】过作于，依据，即可得出，依据，即可得到，进而得出的长． 【详解】解：如图所示，过作于， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， 解得：， 桥的长度为100米． 【点睛】本题主要考查了利用相似三角形的实际应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 19. 如图，在中，两锐角的角平分线，相交于点O，于点F，于点G．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：如图，作与H点，     ∵，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】作与H点，首先根据三个角是直角的四边形是矩形证明出四边形是矩形，然后根据角平分线的性质得到，进而证明出四边形是正方形． 【详解】略 【点睛】本题考查了正方形的判定，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的范围； （2）设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解， （1）根据方程的根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围；（2）根据一元二次方程的解，可得出，，将其代入，可得出，再结合（1）中的取值范围即可得到的取值范围； 解题的关键：（1）利用根的判别式可确定的取值范围；（2）利用一元二次方程的解得出，． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程即有两个实数根， ∴， ∴解得：， ∴的范围是； 【小问2详解】 ∵，是方程的两个实数根 ∴，， ∴ ∵， ∴． 21. 已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G和点H，BD=12，EF=8． 求：（1）的值； （2）线段GH的长. 【答案】(1)DF:AB=1:3,(2)GH=6. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据EF∥BD，则CF:CD=EF:BD，再利用平行四边形的性质即可得出DF:AB的值； （2）利用DF∥AB，则FH:AH=DF:AB=1:3，进而得出GH:EF=AH:AF=3:4，求出GH即可． 试题解析：（1）∵EF∥BD， ∴CF:CD=EF:BD， ∵BD=12，EF=8， ∴CF:CD=2:3， ∴DF:CD=1:3， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD， ∴DF:AB=1:3； （2）∵DF∥AB， ∴FH:AH=DF:AB=1:3， ∴AH:AF=3:4， ∵EF∥BD， ∴GH:EF=AH:AF=3:4， ∴GH:8=3:4， ∴GH=6． 考点：1.平行线分线段成比例；2.平行四边形的性质． 22. 某商家以每件75元的价格购进一批服装，每件定价120元进行售卖． （1）经统计，7月份该服装销售量为256件，9月份服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率； （2）天气渐渐变凉，为了在10月份扩大销量减少库存，商家决定对该批服装进行降价促销．经过调研，在9月份销售数量的基础上每降价5元，销售量增加15件，商家将服装的售价每件定为多少元，才能获得13350元的利润？ 【答案】（1）该服装销售量的月平均增长率为 （2）商家将服装的售价每件定为105元，才能获得13350元的利润 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该服装销售量的月平均增长率为x，根据7月份该服装销售量为256件，9月份服装销售量为400件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设商家将每件服装降价y元时，才能获得13350元的利润，则售价为元，根据题意可知销量增加，由此表示出利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该服装销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：该服装销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 设商家将服装每件降价y元时，才能获得13350元的利润，则售价为元， 由题意得： 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：商家将服装的售价每件定为105元，才能获得13350元的利润． 23. 【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系． （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】（1） （2） 解：成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点E在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省淄博市桓台县八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则代数式的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 3. 有2、3、6三个数，再选取一个数，使得这四个数成比例，这个数不能是（ ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 12 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一等腰三角形的周长为，其中一边长，则这个等腰三角形的腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 6. 下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　） A. 8 B. 9 C. D. 10. 如图，正方形中，，点E，F分别为边，上一点，且满足，，相交于点G．连接，点H为的中点，连接，则的最小值是（）． A. 3 B. 4 C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a=_____． 12. 两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为______． 13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，，与相交于点．测得，，，则树高______． 14. 已知线段a，b，c满足a：b：=3：2：4且，将线段b按黄金分割比例分为两条线段，则较长线段的长度为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，D为的中点，E是上一动点，将四边形沿折叠，使点A落在点F处，点O落在点G处，当线段的延长线恰好经过的中点H时，点F的坐标为______． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，已知点是坐标原点，小方格的边长为1，，，都在格点上，边与轴交于点． （1）以点为位似中心，在轴的上方将放大到原图的2倍，（即新图与原图的相似比为），画出对应的（顶点用实心黑点标记一下）； （2）直接写出四边形的面积：______． 17. 已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 18. 为了保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在、的延长线上取点D、E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为75米．已知于点F，请你根据提供的数据 帮助他们计算桥的长度． 19. 如图，在中，两锐角的角平分线，相交于点O，于点F，于点G．求证：四边形是正方形． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的范围； （2）设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围． 21. 已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G和点H，BD=12，EF=8． 求：（1）的值； （2）线段GH的长. 22. 某商家以每件75元的价格购进一批服装，每件定价120元进行售卖． （1）经统计，7月份该服装销售量为256件，9月份服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率； （2）天气渐渐变凉，为了在10月份扩大销量减少库存，商家决定对该批服装进行降价促销．经过调研，在9月份销售数量的基础上每降价5元，销售量增加15件，商家将服装的售价每件定为多少元，才能获得13350元的利润？ 23. 【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系． （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $