专题02 三角形的内角与外角13大题型（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“定理证明-性质应用-综合创新”为主线，系统构建三角形内角与外角解题方法体系，融合几何直观与推理能力，适配新授课知识内化需求。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|题型1-8（8题型）|内角和证明（平行转移角）、角平分线模型（设元列方程）、折叠（对应角相等）|从定理证明到性质直接应用，形成“概念-性质-简单应用”链条| |压轴突破|题型9-13（5题型）|动态问题（旋转/折叠角关系推导）、新定义（友爱三角形/准互余三角形）|综合平行线、外角、方程思想，构建“复杂情境-模型转化-逻辑推理”进阶路径|

专题02 三角形的内角与外角 （题型突破·举一反三） 题型01 三角形内角和定理的证明 题型02 与平行线有关的三角形内角和问题 题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型04 三角形折叠中的角度问题 题型05 三角形内角和定理的应用 题型06 直角三角形的两个锐角互余 题型07 锐角互余的三角形是直角三角形 题型08 三角形的外角定义及性质 题型09 利用三角形内角和定理判断角的关系（压轴） 题型10 三角板中的三角形内角和问题（压轴） 题型11 角的旋转问题（压轴） 题型12 角的折叠问题（压轴） 题型13 三角形内角与外角的新定义问题（压轴） ▌题型01 三角形内角和定理的证明 三角形的内角和定理定理：三角形三个内角和等于180°． 三角形的内角和定理的应用： （1)在三角形中，已知两个内角的度数，可以求出第三个内角的度数； （2)在三角形中，已知三个内角的比例关系，可以求出三个内角的度数； （3)在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以求出另一个锐角的度数. 【典例1】（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·广东揭阳·期中）如图，若，，则： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 【变式3】（25-26七年级下·河南濮阳·期末）【问题探究】 已知，点E，F分别为和上的点，点P是平面内一点．数学兴趣小组的同学们想探究与，的数量关系（，，均为大于且小于的角）． (1)当点P在直线和之间时． ①若点P在线段右侧，如图1，小明和小亮给出了不同的解决方法，请你将两位同学的过程补充完整． 小明：如图2，过点P作． ． （____________________） 小亮：如图3，过点F作交于点N．… ②若点P在线段左侧，如图4，请直接写出与，的数量关系． (2)若，，直接写出的度数． 【方法应用】 (3)上述两位同学都是过某个点作已知直线的平行线，利用平行线的性质来解决问题．请你利用上述方法解决下面的问题． 已知：如图5，三角形． 求证：． ▌题型02与平行线有关的三角形内角和问题 遇三角形内角和题型，优先作一边平行线，利用两直线平行同位角、内错角相等，将三角形三个内角等量转移至同一直线，拼成平角 180°。求角度时结合平行线性质代换角，遇外角则平行转移外角，快速建立角等量关系，理清角位置即可列式求值。 【典例2】（25-26七年级下·天津滨海新区·期末）如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【变式1】（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南长沙·一模）如图，，的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，，则________． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期末）学习了“平行线”和“三角形”内容后，某兴趣小组探索了如下问题：如图，点、在、之间，且位于的两侧，连接、、. (1)如图①，若，，，则________； (2)如图②，若，求证：； (3)如图③，若、相交于点，， （Ⅰ）直接写出、、、满足的关系； （Ⅱ）若，，.平面内存在一点，连接、，使，，直接写出的度数（用含、的式子表示）. ▌题型03与角平分线有关的三角形内角和问题 遇三角形角平分线题型，先利用平分线得等角，结合内角和 180° 拆分角度。遇内外角平分线模型，熟记固定角度结论，多次平分设未知数表示角，列方程求解。搭配平行线、外角定理转换角度，梳理角间数量关系，简化计算快速求未知角。 【典例3】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，． (1)求证：为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·北京大兴·期末）如图，是上一点，，是上的点，，． (1)求证：； (2)若于点，平分，，求的度数． 【变式2】（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【变式3】（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图①，已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)试说明：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与，相交于点，．若，，求的度数． ▌题型04 三角形折叠中的角度问题 折叠核心是折叠前后对应角相等，重合角度数不变。结合三角形内角和、平角、外角定理解题，设未知角列式。若顶点落在边上，利用平角拆分；顶点落在内部，两倍重叠角加周边两角和为 360°；落在外部用外角推导，找准等量关系即可快速计算。 【典例4】（25-26八年级下·宁夏银川·开学考试）如图，在中，点D是上的点，，将沿着翻折得到，则__________． 【变式1】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，、分别是边、上的点，将沿着折叠，得到，当时，的度数是_________________． 【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【变式3】（24-25八年级上·河南漯河·阶段检测）如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． ▌题型05 三角形内角和定理的应用 牢记三角形三内角和为 180°，求未知角直接用减法。遇角平分线、折叠、平行线，先转化等角再代换；出现外角用外角等于不相邻两内角和简化计算。多个未知角可设元列方程，遇多三角形叠加，拆分单个三角形分步求解，理清角等量关系快速列式。 【典例5】（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，河北太行山区的某旅游专线正在施工，这条公路原本设计为东西走向．工程队在路面铺设到点B时，遇到一处需要避让的省级文物保护遗址，不得不临时调整路线．新的施工路线为折线，点O在点B的南偏东方向上，且．若要在点C恢复原设计的东西走向，必须保证的度数为（        ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当旋转一周后停止运动，记（为常数）： ①当时，的值为________； ②当时，的值为________． 【变式2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）图①是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图②是该花窗中的部分图案．已知，，，则____________． 【变式3】（25-26七年级下·广东惠州·期末）【综合与应用】当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．如图①、图②、图③入射光线经过镜子两次镜面反射，分别反射为两条反射光线，且，．设镜子与的夹角． 【问题初探】 (1)如图①，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子后反射，，．若，则的度数是______°． 【拓展应用】 (2)如图②，是一种由两面镜子组成的反光镜，若与平行，求两面镜子的夹角的度数． 【深入探究】 (3)如图③，若，，入射光线的延长线与反射光线的反向延长线的夹角，若三角形为锐角三角形，请求出的取值范围． ▌题型06 直角三角形的两个锐角互余 【典例6】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)当为的角平分线时，若，，求的度数． (2)当为边上的中线时，若，的周长比的周长少5，求的长度． 【变式1】（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，在中，平分交于点，于点，若，，求的度数． 【变式2】（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，则与之间的数量关系是___________． (2)如图2，，，则与之间的数量关系是___________． (3)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的倍少，求这两个角的度数． ▌题型07锐角互余的三角形是直角三角形 【典例7】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【变式1】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【变式2】（25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【变式3】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌题型08 三角形的外角定义及性质 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 【解读】三角形外角性质的常见应用： 1）已知三角形的一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个内角； 2）证明一个角等于另两个角的和； 3）作为中间关系证明两个角相等. 【典例8】（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图，在中，和的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论中，错误的是（） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，，E是平面内一点， 连接，， 的平分线与的平分线交于点F． 若， 则的度数为_____________． 【变式2】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，恰好经过点G，且，，，则______ ． 【变式3】（四川省内江市2025—2026学年度第二学期七年级期末测评数学试题）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； (3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． ▌题型09 利用三角形内角和定理判断角的关系（压轴） 【典例9】（25-26八年级上·全国·期中）如图，，分别是的高和角平分线． (1)求证：； (2)如图，若点为上一点，且于点，试推导与，之间的等量关系； (3)当点在的延长线上时，且于点，其余条件都不变，请直接写出与，之间的等量关系． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）如图1，已知直线，且和，分别相交于，两点，和，分别交于，两点，点在线段上． (1)若，，则　　　； (2)试找出，，之间的等量关系，并说明理由； (3)应用（2）中的结论解答下列问题： 已知，点，在上，点，在上，连接，，，分别是，的平分线． ①如图2，，，求的度数； ②如图3，将线段沿方向平移（交点在，之间），其他条件不变，直接写出的度数与，的关系． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）【提出问题】如图所示，已知P是的平分线的交点，你能找到与的关系吗？ 【分析问题】在解决这个问题时，小明是这样做的：先找一个例子，如，计算出，随后又举了几个例子，并对结论进行了证明，从而找到与的关系：． 在解决问题的过程中，小明运用了“由特例得到猜想，证明得出一般结论”的方法，请你用这种方法解决下面的问题． 【解决问题】 (1)若P是的三等分线的交点，即，则与的关系为 ，请证明你的结论； (2)若P是的四等分线的交点，即，则与的关系为 （直接写出答案，不需证明）； (3)若P是的n等分线的交点，即，，则与的关系为 （直接写出答案，不需证明）． 【变式3】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． ▌题型10 三角板中的三角形内角和问题（压轴） 【典例10】（25-26七年级下·河南开封·期中）如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是______． 【变式1】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）一副直角三角板中， ，现将直角顶点 C 按照如图方式叠放，点E 在直线上方，且（ ，能使三角形 有一条边与平行的所有的度数的和为_____________． 【变式2】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）已知直线，现将一个含的三角板按照如图放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒（）． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，的角平分线与三角板的一条边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）综合与实践 【探索发现】 (1)如图1，，是的直角三角板，是的直角三角板，小颖同学把两个直角三角板和摆在两平行线之间，保证两三角板的锐角顶点A重合，的边与共线，的顶点E在上，且，求证：． (2)如图2，，是∠的直角三角板，是的直角三角板，小颖同学把两个三角板和摆在两平行线之间，保证两三角板的直角顶点重合，且点A在上，点D在上，于点A，把沿方向平移，当点C移到E点时，再把 沿方向平移，在整个平移过程中，请直接写出与的数量关系： ． 【深入探究】 (3)如图3，，和都是直角三角形，，与共线，点E在上，平分，，求证：平分． 【拓展提升】 (4)如图4，，和都是直角三角形，，且A、C、D三点共线，与共线，点A在上，平分，点F是直线上一动点（点F不与点E重合），连接，作的角平分线交于点 H，请直接写出 与的数量关系． ▌题型11 角的旋转问题（压轴） 【典例11】（2026·江西上饶·一模）将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，点在上．现将三角尺（）固定不动，将三角尺（）绕顶点顺时针旋转，则在整个旋转过程中，当直线与三角尺三边所在直线垂直时，的度数为______． 【变式1】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·重庆黔江·期末）已知，在中，是边上一点，连接，过点作，过点作交于点，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，延长交于点，是的角平分线，延长交的延长线于点，求的度数； (3)在（2）的条件下，将绕点以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，当与射线第一次重合时，两个三角形都停止旋转．设旋转时间为，在此旋转过程中，当与．某一边平行时，请直接写出此时的值． 【变式3】（25-26七年级下·四川乐山·期末）已知，直线，点、分别在直线、上，且，若射线绕点逆时针旋转至后立即回转至停止，射线绕点顺时针旋转至停止，两射线旋转后对应的射线分别为、，若射线转动的速度是，射线转动的速度是，、满足，、同时旋转，设旋转时间为．解答下列问题： (1) ， ； (2)如图1，若射线与射线互相垂直，请直接写出的值； (3)如图2，当为何值时？． ▌题型12 角的折叠问题（压轴） 【典例12】（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）【教材呈现】以下是华师版教学七下第92页的部分内容． 如图，在 中． 平分 平分 求 的度数． 解 ∵平分 (已知)， 同理可得 ． ∵ (                )， (等式的性质) = ． （1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式)． 【拓展延伸】 （2）如图1， 在中，、的平分线交于点P， 将 沿折叠，使得点A与点P重合， 若， 求的度数； （3）如图2， 在中， 角平分线、交于点O，， 交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若则 ． 【变式2】（25-26八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 【变式3】（25-26八年级上·山西大同·阶段检测）综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． ▌题型13 三角形内角与外角的新定义问题（压轴） 【典例13】（25-26七年级下·山东淄博·期中）综合与实践：再探索三角形角平分线的定义的应用．问题情境：学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了再探索三角形角平分线的数学活动：前进小组得到了一个结论：已知，如图1，若点P是和的角平分线的交点，则． 证明如下：∵是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴ ∴ 拓展创新： (1)如图2，若点P是外角和的角平分线的交点，前进小组的结论还成立吗?若成立，给出证明：若不成立，写出正确的结论并证明． 应用计算： (2)如图3，已知，点，分别在射线，上移动，是的平分线，的反向延长线与的平分线相交于点．试问的大小是否变化？若不变，请说明理由；若随点A，B的移动发生变化，请求出变化范围． 【变式1】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）阅读理解： 【概念学习】 定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．    （2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”；    【概念应用】 （3）在中，，是的巧妙分割线，直接写出的度数． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． (1)如图1，在中，，点D在边上，且，求的大小； (2)在备用图中分别画出三个顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数； 【变式3】（25-26八年级上·湖北黄石·期中）定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 °； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02三角形的内角与外角 (题型突破·举一反三) 题型01三角形内角和定理的证明 典例精析 【典例1】 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)由平行线的性质得到∠B=∠2，∠A=∠1，然后等量代换证明即可： (2)由平行线的性质得到∠1=∠C,∠2=∠4，∠A=∠4，∠B=∠3，等量代换得到∠A=∠2，然后结合平 角的定义证明即可， 【详解】(1)解：AB∥CE .∠B=∠2，∠A=∠I .∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180° (2)解：，DE‖AC ∴∠1=∠C,∠2=∠4 .EF∥AB .∠A=∠4，∠B=∠3 .∠A=∠2 ∴.∠A+∠B+∠C=∠2+∠3+∠1=180° 举一反三 【变式1】 【答案】D 【变式2】 【答案】B 【变式3】 【答案】(1)①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行： 1/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 小亮：如图，过点F作FN∥PE交AB于点N N E A B (两直线平行，同位角相等) D ∴.∠PEB=∠ENF ∠EPF=∠PFQ(两直线平行，内错角相等) 又：AB∥CD ∴.∠ENF=∠DFg ∴.∠PEB=∠DFQ :∠PFQ=∠PFD+∠DFQ ∴.∠EPF=∠PFD+∠DFQ .∠DFQ=∠PEB ∴.∠EPF=∠PFD+∠PEB ②∠EPF+∠PFD+∠PEB=360° (2)80°或20° (3)证明：过点S作 GR∥HT.∠GSH=∠H,∠RST=∠T .∠GSH+∠HST+∠RST=180° ∴.∠H+∠HST+∠T=180° S G --R H 7 【分析】(1)①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同旁内角互补： (2)根据∠PEB=30°，∠PFD=50°，分类讨论进行求解： (3)两直线平行，内错角相等；三角形内角和为180° 【详解】(1)①略 ②过点P作PM∥AB 2159 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E y B M C F D 图4 ∴.∠EPM+∠PEB=180° CD∥AB,PM∥AB .PM∥CD. .∠FPM+∠PFD=180° ∠EPF+∠PFD+∠PEB=360°： (2)解：∠PEB=30°，∠PFD=50°， 当P到EF的右侧且在AB,CD之间时， M-- E A B D F图1 D .∠EPF=∠PEB+∠PFD=30°+50°=80° 当P到EF的右侧且在AB上方时， :PM∥AB∥CD, .∠FPM=∠PFD=50°，∠PEB=∠EPM=30° ∴.∠EPF=∠FPM-∠EPM=∠PFD-∠PEB=50°-30°=20°： (3)略 题型02与平行线有关的三角形内角和问题 三 典例精析 【典例2】 【答案】()54°： (2)证明：EM平分∠GEF,FG平分∠EFD, ∠FEM=∠GEM=)∠GEF,∠EFG=号∠EFD AB∥CD, ∴.∠FEG+∠EFD=180° 3159 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠FEM+∠EFG=GEF+EFD=(uFEG+∠EFD)=90, .∠EMF=180°-(LFEM+∠EFG)=180°-90°=90°， .EM⊥GF, :NG⊥GF, .EMNG ∴.∠N=∠FEM,∠AGN=∠GEM, .∠AGN=∠N 【分析】(1)根据平行线的性质求出∠DFG,再由角平分线的定义求出∠EFD,最后由平行线的性质即 可求解： (2由角平分线的定义得到∠PEM=∠GEM-号GB,，∠BPG=BFPD,由平行线的性质得到 ∠FEG+∠EFD=180°，因此∠FEM+∠EFG=9O°，从而可推出EM⊥GF,从而得到EM∥NG,因此 ∠N=∠FEM,∠AGN=∠GEM,通过等量代换得证结论. 【详解】(1)解：AB∥CD,∠EGF=27°， ∴.∠DFG=∠EGF=27° :FG平分∠EFD, ∴∠EFD=2∠DFG=2×27°=54， AB∥CD」 ∴.∠AEF=∠EFD=54° (2)略 举一反三 【变式1】 【答案】C 【变式2】 【答案】40°140度 【变式3】 【答案】(1)60° (2) 证明：连接AD交EF于点H, 根据三角形的内角和定理可得∠HAE+∠E=∠F+∠FDA, 4159 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：ABIICD, .∠BAD=∠ADC, :.∠E+∠EAB=∠HAE+∠E+∠BAD=∠F+∠FDA+∠ADC=∠F+∠FDC: -B C 2 4 22 4 3 2B-10 B)(I)∠A+∠B+30°=∠FDC+∠F:(I)3a+10或亏a-10°或亏a+5B+10或亏a 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质： (1)延长AE交CD于点G,根据(1)延长AE交CD于点G,根据平行线的判定和性质解答即可： (2)连接连接AD交EF于点H,即可得到∠BAD=∠ADC,然后根据三角形的内角和定理解答即可： (3)分四种情况作图，根据三角形的内角和和外角解答即可. 【详解】（①）解：延长AE交CD于点G, B E C @ ABl/CD ∴.∠AGC=∠A=60°， 又，∠AEF=∠F, .AGI DF, .LD=∠AGC=60°： (2)略 (3)(I)延长AE交CD于点M, 则∠AM0=180°-∠0-∠A=180°-30°-∠A=150°-∠A, 又：∠F+∠FEM+∠FMD+∠FDC=360°， .∠F+180°-∠AEF+150°-∠A+∠FDC=360°， ∴.∠A+∠AEF+30°=∠FDC+∠F: B .0 C M D 5159 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)解：：∠FDC=60°，∠E=a,∠F=B, ∠A=60°+B-30°-a=30°+B-a, :2PE=写EAB,∠PF=BPD ∴2PAE=530+B-a),∠PrE=P. ①如图，当AP,FP在∠EAO和∠EFD内部时， 根据三角形的内角和定理得∠BP+∠E=∠P+∠BFP即（30+B-a)+a=∠P+兮P, 2 解得∠P=a+10°： D ----.0 D ②如图，当AP在∠EAO的外部，BP在∠EFD内部时，连接PE并延长到点N, 根据三角形的外角可得∠AEF=∠AEN+∠FEN=∠PAE+∠APE+∠FPE+∠EFP=∠PAE+∠APF+∠EFP, 即a-号0+B-a)号+∠4Pr. 42 解得：∠APF=&-B-10: 3 3 E B C ③当AP在∠EAO的内部，BP在∠EFD外部时， 2 2 由②可得∠APF=∠PAE+∠AEF+∠EFP=（30+B-)+5B+a=3B+5a+l10: 3 A B F D ④当AP,BP在∠EAO和∠EFD外部时， 6159 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0得∠EAP+∠APF=∠E+∠EFP即3（30+B-a)+∠APF=a+5P, 4 解得：∠APF=2a-10°： 3 ----0 D 题型03与角平分线有关的三角形内角和问题 典例精析 【典例3】 【答案】(1)证明：：∠ACD=∠B,∠BCD=∠A, .∠ACD+∠BCD=∠B+∠A, :∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°， ,.2(∠ACD+∠BCD)=180°， .∠ACD+∠BCD=90°， ,∠ACB=90°， .△ACB为直角三角形. (2)17° 【分析】(1)根据∠ACD=∠B,∠BCD=∠A,结合三角形内角和定理可得2（∠ACD+∠BCD)=180°，进 而得到∠ACB=90°，即可证明： (2)先求出∠BCD,再根据角平分线的定义求出∠ECB,再根据∠DCE=∠ECB-∠BCD求解. 【详解】(1)略 (2)解：，CD1AB, .∠CDB=90°， .∠BCD=90°-∠B=90°-62°=28°， ,CE平分∠ACB, ÷∠ECB=)∠ACB=459, 2 7159 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠DCE=∠ECB-∠BCD=45°-28°=17° 举一反三 【变式1】 【答案】(1)证明：AF∥EG ∴.∠I=∠EGE .∠1=∠2 ∴.∠2=∠EGF .AB∥CD: (2)55° 【分析】(1)先由平行得到∠I=∠EGF,然后结合已知条件等量代换得到∠2=∠EGF,即可证明 AB∥CD: (2)先证明∠GBF=∠GFB,然后由三角形内角和定理求解∠GBF=∠GFB=35°，再由平行线的性质求解 即可. 【详解】(1)略 (2)解：：BF平分∠ABG, .∴∠ABF=∠GBF ABII CD .∠ABF=∠GFB ∴.∠GBF=∠GFB .∠3=70° ∴.∠FGB=180°-∠3=110° .'∠GBF+∠GFB+∠FGB=180° .∠GBF=∠GFB=35° .EG⊥BF ∴.∠FHG=90° .AF∥EG ∴.∠AFH=∠FHG=90° .∠2=180°-90°-35°=55° 【变式2】 【答案】(1)70° (2)∠C-∠B=2∠F,理由如下： 8159 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AE是边BC上的高， .AE⊥BC,∠AEB=90° .∠BAE=180°-∠B-∠AEB=90°-∠B, .∠BAD=∠BAE-∠DAE=90°-∠B-∠DAE. :AD是∠ABC的平分线， .∠BAC=2∠BAD=180°-2∠B-2∠DAE, .∠C=180°-∠B-∠BAC=∠B+2∠DAE, FG⊥BC,AE⊥BC, FG∥AE, ∴，∠F=∠DAE, ∴.∠C=∠B+2LF,即LC-∠B=2∠F 【分析】(1)由AE⊥BC可得∠AEB=90°，利用三角形内角和定理可得∠BAE=60°，从而得到 ∠BAD=40°，由角平分线的定义可得∠BAC=2∠BAD=80°，最后使用三角形的内角和定理计算出∠C: (2)仿照(1)的解法可得出∠C=∠B+2LDAE,容易判断FG∥AE,则∠F=∠DAE,因此 ∠C-∠B=2∠F 【详解】(1)解：，AE是边BC上的高， ∴∠AEB=90°， ∴.∠BAE=180°-∠B-∠AEB=60°， ∠DAE=20°， ∴.∠BAD=∠BAE-∠DAE=40°， :AD是∠BAC的平分线， ∠BAC=2∠BAD=80°. .∠C=180°-∠B-∠BAC=70°， (2)略 【变式3】 【答案】(1)证明：：∠A+∠A0C+∠C=180°，∠B+∠B0D+∠D=180°，∠B0D=∠A0C, ∠A+∠C=∠B+∠D: (2)110° 【分析】(1)利用三角形内角和即可得答案： (2)根据角平分线的定义得到LCAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP,再由“8字型”得到 ∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,两等式相减得到LC-∠P=∠P-∠B,即 9/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠P=(2C+∠B),最后把∠C-120°：∠B=100代入计算即可。 【详解】(1)略 (2)解：以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP, 以N为交点“8字型”中，有∠P+∠B4P=∠B+∠BDP, .2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP, :AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC, ·∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP, 、2∠P=∠B+∠C ∠B=100°，∠C=120°， ÷∠P=(∠B+∠C)=00°+120)=10° 题型04三角形折叠中的角度问题 E 典例精析 【典例4】 【答案】40° 举一反三 【变式】 【答案】120°或30° 【变式2】 【答案】(1)2∠A=∠ADC+∠AEB,见解析 (2)2∠A=∠AEB-∠ADC 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质， (1)由折叠得到∠AED=∠AED,∠ADE=∠A'DE,根据平角得到∠AEB+2∠AED=180°， ∠ADC+2LADE=180°，再结合三角形内角和得到∠A+∠AED+∠ADE=180°，即可解决问题： (2)由折叠得到∠AED=∠AED,∠ADE=∠A'DE,根据平角得到∠AEB+2∠AED=180°， 2∠LADE-∠ADC=180°，再结合三角形内角和得到∠A+∠AED+∠ADE=180°，即可解决问题. 【详解】(1)解：2∠A=∠ADC+∠AEB 证明：，三角形纸片A'BC沿DE折叠得到△ADE, 10/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴，∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠ADE, .∠AEB+2∠AED=180°，∠ADC+2∠ADE=180°， 又：∠A+∠AED+∠ADE=180°. ∠AEB+2∠AED+∠ADC+2∠ADE=360°=2（∠A+∠AED+∠ADE), .2∠A=∠ADC+∠AEB: (2)解：三角形纸片A'BC沿DE折叠得到△ADE, .∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE, ∴.∠AEB+2∠AED=180°，2∠ADE-∠ADC=180°， 又：∠A+∠AED+∠ADE=180°， .∠AEB+2∠AED+2∠ADE-∠ADC=360°=2(LA+∠AED+∠ADE). 2LA=∠AEB-∠ADC. 【变式3】 【答案】(1)∠1+∠2=2∠C,证明见解析 (2)∠2-∠1=2∠C (3)∠1-∠2=2∠C 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键， (1)由折叠的性质可得∠DEC=∠DEC',∠CDE=∠C"DE,由邻补角的定义可得∠I=180°-2LCDE, L2=180°-2LCED,由三角形内角和定理可得∠CDE+∠CED=180°-∠C,由此计算即可得解； (2)由折叠的性质可得∠DEC=∠DEC,∠CDE=∠C"DE,从而得出∠I=2∠CDE-180°， ∠2=180°-2∠CED,由三角形内角和定理可得∠CDE+∠CED=180°-∠C,由此计算即可得解； (3)由折叠的性质可得∠DEC=∠DEC',∠CDE=∠CDE,从而得出∠I=180°-2LCDE, ∠2=2∠CED-180°，由三角形内角和定理可得∠CDE+∠CED=180°-∠C,由此计算即可得解. 【详解】(1)解：∠1+∠2=2∠C,证明如下： 由折叠的性质可得：∠DEC=∠DEC',∠CDE=∠C'DE, ∠1=180°-2∠CDE,∠2=180°-2∠CED :∠CDE+∠CED+∠C=180°， ,∠CDE+∠CED=180°-∠C, ∠1+∠2=180°-2∠CDE+180°-2∠CED=360°-2（∠CDE+∠CED)=360°-2(180°-∠C)=360°-360°+2∠C 即∠1+∠2=2∠C: 11/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：由折叠的性质可得：∠DEC=∠DEC,∠CDE=∠C"DE, ∴∠1=2∠CDE-180°，∠2=180°-2∠CED :∠CDE+∠CED+∠C=180°， ,∠CDE+∠CED=180°-∠C, ∠2-∠1=180°-2∠CED-(2∠CDE-180)=360°-2（∠CDE+∠CED)=360°-2(180°-∠C)=360°-360°+2∠C=2∠C 即∠2-∠1=2∠C (3)解：由折叠的性质可得：∠DEC=∠DEC',∠CDE=∠C'DE, .∠1=180°-2∠CDE,∠2=2∠CED-180°， :∠CDE+∠CED+∠C=180° .∠CDE+∠CED=180°-∠C, ∠1-∠2=180°-2∠CDE-(2∠CED-180)=360°-2（∠CDE+∠CED)=360°-2180°-∠C)=360°-360°+2∠C=2∠C 即∠1-∠2=2∠C 题型05三角形内角和定理的应用 典例精析 【典例5】 【答案】B 举一反三 【变式1】 【答案】 3 2或2 【分析】①当∠ACE=45°时，分CE在AC左侧和CE在AC右侧两种情况，分别计算出∠BCD和∠ACE 的度数，代入∠BCD=k∠ACE计算k值： ②当CD‖AB,分CE在BC上方和CE在BC下方两种情况，利用平行线的性质求出∠ACD的度数，即可求 出∠BCD与∠ACE的度数，代入∠BCD=kZACE计算k值. 【详解】解：由题可知∠ACB=∠DCE=90° ①当∠ACE=45°时， 12/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE在AC左侧时，如图所示 A E D B ∴∠ACD=∠DCE-∠ACE=45° ∴.∠BCD=∠ACB+∠ACD=135° ∠BCD=k∠ACE, .135°=k45°，解得k=3. CE在AC右侧时，如图所示 D.'∠ACB+∠ACE+∠DCE+∠BCD=360° .∠BCD=360°-∠ACB-∠ACE-∠DCE=360°-90°-45°-90°=135° ·∠BCD=k∠ACE 135°=k45°，解得k=3. ②当CDI‖AB时， CE在BC上方时，如图 B ∴.∠A=∠ACD=30° .∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°，∠ACE=∠DCE-∠ACD=6O° ∠BCD=k∠ACE, ∴120°=k60°，解得k=2, CE在BC下方时，如图 13/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E D :∠ACB=90°∠A=30° ∠B=180°-∠ACB-∠A=60°. CDI‖AB ∴.∠B=∠BCD=60°. .∠ACB+∠ACE+∠DCE+∠BCD=360°， .∠ACE=360°-∠ACB-∠DCE-∠BCD=360°-90°-90°-60°=120° ∠BCD=k∠ACE, 1 .60°=k120°， 解得k= 【变式2】 【答案】120 【变式3】 【答案】(1)40： (2)当EF与GH平行时，a=90° (3)110°<a<135° 【分析】(1)先由三角形内角和定理得到∠2+∠3=180°-∠a=110°，由题意得，∠1=∠2，∠3=∠4，根 据平角的定义得到∠5=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠6=180°-∠3-∠4=180°-2∠3，再由三角形内角和 定理求解即可： (2)根据当EF∥GH,得到∠FEG+∠EGH=180°，然后根据平角的定义得到 ∠1+∠2+∠FEG=180°，∠3+∠4+∠EGH=180°，再由1=∠2，∠3=∠4，以及三角形内角和定理求解即可； (3)由图可得∠MEG=2∠2，∠MGE=2∠3，即得B=2a-180°，再根据锐角三角形的定义列出不等式 组解答即可求解。 【详解】(1)解：如图， 14/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B<a 3 34 :∠a=70° .∠2+∠3=180°-∠a=110° 由题意得，∠1=∠2，∠3=∠4 :∠B=180°-∠5-∠6，∠5=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠6=180°-∠3-∠4=180°-2∠3 .∠f=180°-(180°-2∠2)-(180°-2∠3)=2（∠2+∠3）-180°=220°-180°=40°： (2)解：当EF∥GH时，∠FEG+∠EGH=180°， :∠1+∠2+∠FEG=180°，∠3+∠4+∠EGH=180° .∠1+∠2+∠3+∠4=360°-180°=180° ,∠1=∠2，∠3=∠4， .2∠2+2∠3=180°， ∠2+∠3=90°， ∴a=180°-（∠2+∠3）=90°， 即当EF与GH平行时，两面镜子AB,BC的夹角a=90°： (3)解：由图可得，∠MEB=∠1， ,∠1=∠2， .∠MEG=2∠2， 同理可得，∠MGE=2∠3， :.B=180°-（∠MEG+∠MGE)=180°-2（∠2+∠3） =180°-2(180°-)=2a-180° ,三角形MEG为锐角三角形， 2a-180°>0° 2a-180°<90° ·2180°-a-25)>0°’ 2(180°-a-25）<90° ∴.110°<a<135° 15/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型06直角三角形的两个锐角互余 典例精析 【典例6】 【答案】(1)15 (2)8 【分析】(1)首先利用三角形的内角和求出∠BAC,进而求出∠DAC,然后根据两锐角互余求出∠EAC, 最后利用角的和差关系即可求解： (2)首先中线的性质确定BD=CD,将△ADC的周长比△ABD的周长少5的数量转化成边的数量关系得到 AB-AC=5,可求解， 【详解】(1)解：∠C=54°，∠B=24° ∴.∠BAC=180°-∠C-∠B=180°-54°-24°=102° 又：AD为∠BAC的角平分线， ∠DAC=∠BAC=51 2 :AE为边BC上的高， .∠EAC=90°-∠C=90°-54°=36°. .∠DAE=∠DAC-∠EAC=51°-36°=15° (2)解：AD为边BC上的中线， .BD=CD 又：△ADC的周长比△ABD的周长少5，AB=13, ∴(AD+BD+AB)-（AD+DC+AC)=5, .AB-AC=5. ∴.AC=AB-5=13-5=8 三举一反目 【变式1】 【答案】80° 【分析】先求出∠CBF=20°，即可得出∠ABC=50°，再根据三角形内角和定理得出∠BAC=60°，然后根 据角平分线定义求出∠CAD=30°，最后根据三角形内角和定理得出答案， 16/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：：BF⊥AC, .∠BFC=90°. .∠C=70°， ∠CBF=90°-70°=20° :∠ABF=30°， .∠ABC=∠ABF+∠CBF=50°， :.∠BAC=180°-∠ABC-∠C-180°-50°-70°=60° :AD平分∠BAC, ∠CAD=)∠BAC=x60°=300. 2 2 ∴.∠ADC=180°-∠CAD-∠C=180°-30°-70°=80° 【变式2】· 【答案】(1)∠AEC=110°，∠DAE=20° 2)∠AEC=90°+a- 22，∠DaE=a-B 2 【分析】(1)先利用三角形内角和求出∠BAC,结合角平分线定义得到∠CAE,再用内角和算出∠AEC: 根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出∠DAC,最后作差得到∠DAE: (2)先用三角形内角和表示出∠BAC,结合角平分线得到∠CAE,代入内角和公式化简求出∠AEC;再由 高线推出∠DAC,通过角度相减化简得到∠DAE的代数式. 【详解】(1)解：在△4BC中，由三角形内角和定理得：∠B4C=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°， :AE是△ABC的角平分线， BCAE)2BAC=)×80°=409 在△AEC中，由三角形内角和定理得：∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-30°-40°=110°， AD是△ABC的高， .∠ADC=90°， 在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=90°-30°=60°， ∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=60°-40°=20°： (2)解：在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-a-B, :AE是△ABC的角平分线， ∠CAE=7∠BAC=180°-a-B)=90°_a+里 2 17/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△4EC中，由三角形内角和定理得：∠4EC=180°-∠C-∠CAE=180°-B- 90°a+B 2 =90°+a-B 2 AD是△ABC的高， ∠ADC=90°， 在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=90°-B, ·∠DAE=∠DAC-LCAE=(90°-B)- 90°-+=a- 2 2. 【变式3】 【答案】(1)1=∠2 (2)∠1+∠2-180° (3)20°，20°或55°，125 【分析】(1)根据垂直可得∠EGB=∠EHB=90°，由直角三角形的两锐角互余可得∠1+∠3=90°， ∠2+∠4=90°，再结合对顶角相等等量代换即可得解； (2)根据垂直可得∠EGB=∠EHB=90°，由四边形的内角和列式计算即可得解： (3)设其中一个角的度数为Q,则另一个角的度数为3a-40°，根据这两个角相等或者互补列方程计算即 可 【详解】(I)解：如图所示，设BC与EF的交点为G,AB与DE的交点为H, E 2 4 Q H D 3 G C F :AB⊥DEBC⊥EF ∴∠EGB=∠EHB=90°， ∴.∠1+∠3=90°.∠2+∠4=90°， .∠3=∠4 ∴.∠1=∠2 (2)解：如图所示，设AB与DE的交点为G,BC与EF的交点为H, 18/59 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G 20E H AB⊥DE,BC⊥EF, ∴.∠EGB=∠EHB=90° .∠1+∠2+∠EGB+∠EHB=360°， .∠1+∠2=180° (3)解：设其中一个角的度数为0，则另一个角的度数为3a-40° 根据题意，得a=3a-40°或a+3a-40°=180°， 解得a=20°或a=55° 当a=20°时，3a-40°=20°： 当a=55°时，3a-40°=125°， .这两个角的度数为20°，20°或55°，125°. 题型07锐角互余的三角形是直角三角形 典例精析 【典例7】 【答案】直角 举一反目 【变式1】 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得∠AEF=∠CBF=90°即 可 【详解】证明：AB⊥CD, .∠CBF=90°， '∠A+∠AEF+∠AFE=180°，∠C+∠CFB+∠CBF=180° ∴.∠AEF=180°-∠A-∠AFE,∠CBF=180°-∠C-∠CFB, 19/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠A=∠C,∠AFE=∠CFB, ∴.∠AEF=∠CBF=90°， ∴△CED是直角三角形. 【变式2】 【答案】(1)△ABC是直角三角形 (2)CD⊥AB 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是 解题的关键，(1)证出∠ACB=90°即可得到结论，(2)求出∠CDB=90°，可得出CD⊥AB. 【详解】(1)解：△ABC是直角三角形，理由如下： .∠A=∠2，∠1=∠B, ∴.∠A+∠2+∠1+∠B=180°， ∴∠A+∠B=90°， ∠ACB=90°， ·△ABC是直角三角形. (2)解：CD⊥AB,理由如下： :∠A+∠B=90°，∠A=∠2， ∴.∠2+∠B=90°， .∠CDB=90°， .CD⊥AB 【变式3】 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理及直角三角形的判定.根据每个条件，利用内角和为180°推导角的大 小，判断是否有90°角。 【详解】解：①：∠A=∠B-∠C,且∠A+∠B+∠C=180°， ∴.(LB-∠C)+∠B+∠C=180° ∴.2∠B=180° .∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形. ②：∠A-∠B=90°，且∠A+∠B+∠C=180°， .∠A=∠B+90°， 代入得（∠B+90)+∠B+∠C=180° 20/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴2∠B+∠C=90°， ∠C=90°-2∠B<90°，且∠A>90° △ABC是钝角三角形，不是直角三角形 ③：∠A:∠B:∠C=2:3:5,设∠A=2k,∠B=3k,∠C=5k, 则2k+3k+5=10k=180° ∴k=18°， .∠C=5×18°=90° ∴△ABC是直角三角形 1 ④：∠A=2∠B=3∠C,设LA=x 则∠B=2x,∠C=3x, ∴.x+2x+3x=6x=180° .x=30°， ∠C=3×30°=90°， ∴△ABC是直角三角形. ∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①、③、④，共3个. 故选：C 题型08：三角形的外角定义及性质 典例精析 【典例8】 【答案】B 三举-反目 【变式1】 【答案】50°/50度 【变式2】 【答案】110°110度 【变式3】 【答案】(1)35° 21/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)55 (3)∠0+∠E=180°，理由如下： :PO平分LAPC,CQ平分∠ACP, 0Pc=∠APC,∠Qcp=AcP, 2 ∠Q=180-(QrPc+∠0cr)=180-2aPc+∠AcP), :∠BAC=∠APC+∠ACP, ÷∠Q=180°-)∠BAC, 2 由(4可得：E-aCcD-∠4C)-<BC. ∴∠Q=180°-∠E, .∠Q+∠E=180° 【分折1（④根角平分线得出∠E8C=方C,∠BCD-4CD,则∠E-4CD-∠A8C).根器 ∠ACD-∠ABC=70°，即可求解. (2②根据角平分线得出∠BC=∠ABC,∠D8G=∠D8F,则∠EBG=90,结合（①中∠B=35: 1 即可求解 (3)根据角平分线得出∠QPC-APC,∠0 CP-ACP,则∠Q=180-MPC+∠4CP).结合 ∠BAC=∠APC+∠ACP∠E-BAC,即可解答 2 【详解】(1)解：，BE平分∠ABC,CE平分∠ACD, ∠BBc-iBC.∠ECD-ACD, E=∠BD-∠Eac-4CD-Ac-ac0-AC, ∠A=∠ACD-∠ABC=70°， 1 .E=号∠A=×70°=35°7 2 (2)解：BE平分∠ABC,BG平分∠DBF, &∠EC=ABc,∠D8G=DBF, 2 22/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠EBG=∠EBC+∠DBG=)∠ABC+)∠DBF=(∠ABC+∠DBF)-xI80°=90°， 由(1)知∠E=35°， .∠G=90°-∠E=55°」 (3)略 题型09利用三角形内角和定理判断角的关系（压轴） 三典例精析 【典例9】 【答案】(1)见解析 回∠EDC-∠B),理由见稀折 B∠EFPD(<C-∠B),理由见解折 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高线，垂线的定义，理解三角形的角 平分线和高线，垂线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质是解决问题的关键。 (①由三角形内角和定理得∠BAC=180°-（∠B+∠C),由角平分线定义得 ∠EaC-<B4C=-0<B+∠C.再根搭∠C4D=90-2C即可得出<∠DE-<C-∠D: 2)过点A作AH⊥BC于4：由D得<E=(<C-∠)，再证明EP1AH得∠BFD=∠BAH由此 可得出∠EFD与∠B,∠C的大小关系： B过点A作AK⊥BC于K·由D得∠EK=(<C-∠B.再证男EFIAK得∠BFD=∠EK·由此可 得出∠EFD与∠B,∠C的大小关系. 【详解】(1)证明：在△ABC中，∠BAC=180°-（∠B+∠C), :AE是∠ABC的平分线， ∠EAC=<BAC=90P-(∠B+∠C), :AD是△ABC的高， ∠ADC=90°， 在RtACD中，∠CAD=90°-∠C, 23/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠DAE=∠EAC-∠CAD=90°- (∠B+∠C)-(90-∠C)=(C-∠B): 2)解：∠BFD与∠C,∠B之间的等量关系是：∠EFD=(<C-∠B),理由如下 过点A作AH⊥BC于点H,如图2所示： B EDH C 图2 由D可知：∠B-<C-∠B), :FD⊥BC于点D,AH⊥BC于点H, :FDAH, ∴∠EFD=∠EAH, ∠BFD-ec-<, ()解：∠EFD与∠C,∠B之间的等量关系是：∠EFD-(<C-∠B),理由如下： 过点A作AK⊥BC于点K,如图3所示： B 图3 由0D可知：∠EAK=<C-∠B), :FD⊥BC于点D,AK⊥BC于点K, .FDI川AK, ∠EFD=∠EAK, <En-(<c-c8 24/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反王 【变式1】 【答案】(1)57 (2)∠1+∠2=∠3，理由见解析 )①AEc-53:@∠ABC=90+2a+B) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质，三角形内角和定理等知识： (1)根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出I+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，再根据在△PCD中， ∠3+∠PCD+∠PDC=180°，即可得到∠3=∠1+∠2=57°： (2)根据∥，可得∠I+∠PCD+LPDC+∠2=180°，再根据在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°， 即可得到∠1+∠2=∠3： (3)①利用平行线的定义结合角平分线的定义得出∠ECD以及∠AEF的度数即可得出答案： ②利用平行线的性质结合角平分线的定义得出∠BAE以及∠AEF的度数即可得出答案. 【详解】(1)解：∥1， .∠I+∠PCD+∠PDC+∠2=180°. 在aPCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°， .∠3=∠1+∠2=23°+34°=57°： 故答案为：57°； (2)∠1+∠2=∠3. 理由：∥， .∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180° 在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°， .∠1+∠2=∠3： (3)①过点E作EF∥L, B ay E F-- B -h4∥12 EF∥l, l4, 25/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BCD=La, ∠a=74°， ∠BCD=74°， :CE是∠BCD的角平分线， ∴.∠ECD=2×70°=37°， EF∥l2, .∠FEC=∠ECD=37°， 同理可求∠AEF=16°， .∠AEC=∠AEF+∠CEF=53°： ②过点E作EF∥L, B h F--- C D EF∥h, 4∥42， ∴.∠BCD=∠a, :CE是∠BCD的角平分线， 1 ∠ECD=2O, EF∥l, 1 ∠FEC=∠ECD=2a, .111, .∠BAD+∠p=180°， ∠BAD=180°-阝， AE平分∠BAD, 2B46.20m-月-90-a, EF∥4， 2659 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BAE+∠AEF=180°， ∠EF=180-90-P0+, 1 ∠1BC=90°+2B+2a=90°+2a+B). 【变式2】 【答案】国∠P=120+∠4 a4P=15+4 倒∠Pa-)180°+∠4 之 n 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理及角平分线定义， (1)先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB,根据三等分线求出∠PBC+∠PCB,根据三角形的内角 和定理得出∠BPC=180°-（☑PBC+∠PCB),代入求出即可： (2)同(1)可得出结论： (3)先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB,根据n等分线求出∠PBC+∠PCB,根据三角形的内角 和定理得出∠BPC=I80°-（∠PBC+∠PCB),代入求出即可. 【详解】a解：猎测：P=120+A, 由示例得∠ABC+∠ACB=180°-∠A, :BPCP分别是∠ABC~∠ACB的三等分线：∠PBC=ABC,∠PCB-写∠ACB, ∠PBC+∠PcB=3080-∠A)=60-A, 2P=180-(208c+∠0c8=180P-60+A=120+A, 故答案为：∠P-写A+120。 (2)解：由示例得∠ABC+∠ACB=180°-∠A, :BpCP分别是∠ABC∠ACB的四等分线，∠P9C-4BC∠PC8- ∠ACB, ∠PBc+2PcB=080-A=45-4, 27/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠P=180r-(u08C+0C)=180-45+4A=135°+4， 救答案为：∠P=135+∠A, 4 3)解：∠ABC+乙ACB=180°-∠A BP CP分别是∠iBC~∠AC6的n等分线，∠PBC-∠ABC, n ∠PCB=∠ACB, n :∠PBC+∠PCB=上180°-∠A0, n ∴.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB) =180°-1180°-∠A0 n-180°+1∠A n n P=a-y180+1∠4 n 检答案为：∠P=a-180+∠4 n n 【变式3】 【答案】(1)∠A+∠C=∠B+∠D (2)①∠E=25°：②4∠E=3∠C+∠B,理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的四等分线，对顶角的性质，三角形的内角和定理及应用，灵活 运用三角形内角和定理是解题的关键， (1)根据三角形内角和定理和对顶角相等求解即可： (2)①根据(1)中的结论得∠C+∠CAE=∠E+∠CDEO,∠B+∠BDE=∠E+∠BAE②，将①+②， 结合角平分线定义得出∠C+∠B=2∠E,最后将∠C,∠B代入即可求解：②类比①中的方法求解即可. 【详解】解：(1)∠AOC=∠D0B,∠A+∠C+∠AOC=∠D+∠B+∠DOB=180°， .∠A+∠C=∠B+∠D (2)(i)根据(1)可得∠C+∠CAE=∠E+∠CDE①，∠B+∠BDE=∠E+∠BAE②， 由①+②得∠C+∠CAE+∠B+∠BDE=∠E+∠CDE+∠E+∠BAE, :AE平分∠CAB,DE平分∠BDC, .∠CAE=∠BAE,∠BDE=∠CDE, .∠C+∠B=2∠E, 28/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠C=30°，∠B=20°， ∴.∠E=25 i4∠E=3∠C+∠B.理由如下： 根据(1)可得∠C+∠CAE=∠E+∠CDE,∠E+∠BAE=∠B+∠BDE :∠CAB=}∠CAB,∠CDE=∠BDC, 4 ∠BE-<CMB,<B0E=BC. 4 <C+<C48=∠E+<BDC@.∠B+<CB=∠B+BC0. c-CC-xE+-DcBmDc) ∴.3∠C-∠E=3∠E-∠B. ∴4∠E=3∠C+∠B 1题型10 三角板中的三角形内角和问题（压轴） 典例精析 【典例10】 【答案】①②③④ 举一反三 【变式1】 【答案】345° 【分析】分当ACI‖EB时，当DC‖EB时，当AD‖EB时，3种情况进行讨论求解即可 【详解】解：当AC‖EB时，如图 ∠E=45° 2959 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴，∠E=∠ACE=45°， 当DC川EB时，如下图所示，则∠DCE=∠E=45°， B :∠ACD=90°. .∠ACE=90°+45°=135： 当AD‖EB时，延长AC交BE于点F,如下图所示，则∠AFE=180°-∠A=120°， ∠E=45°， .∠ECF=180°-45°-120°=15° ∠ACE=180°-15°=165°， 综上：所有∠ACE的度数的和为45°+135°+165°=345° 【变式2】 【答案】(1)BAM=30° (2)①1或9：②1或4或7或13 【分析】(1)先利用三角形内角和求出∠BAC,再根据平行线性质得∠BAD,结合角平分线求出∠NAD, 进而求出∠BAN,最后由平角求出∠BAM (2)①分AK在AC右边和左边两种情况，根据旋转性质表示出∠BAF,结合角平分线定义及角的和差关 系列方程求解 30/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②分四种情况：当BH∥EF时，当BHI‖AF，AF在MN下方时，当BH‖AF,AF在MN上方时，当 BH∥AE时，分别画出图形，根据平行线的性质，列出方程，进行求解即可。 【详解】(1)解：在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°， ·.∠BAC=180°-（∠ABC+∠C)=30°， ·AD‖BC, ,∠ABC+∠BAD=180°」 ,∠BAD=180°-∠ABC=180°-90°=90°， ∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-30°=60°， :AD平分∠CAN, ,∠NAD=∠CAD=60° .∠BAN=∠BAD+∠NAD=90°+60°=150 ∴.∠BAM=180°-∠BAW=30°， (2)解：①依题意有以下两种情况： (i)当AK在AC的右边时，如图1所示： E AG)N 图1 由旋转的性质得：∠BAF=(61)°， 由(1)得：∠BAD=90°，∠BAC=30°， ∴.∠DAF=∠BAD+∠BAF=(90+61)°， :AK平分∠DAF, 2D4F) ∠FAK=∠BAF+∠BAC+∠CAK,∠CAK=12°， .45+3t=61+30+12, 解得：t=l: (i)当AK在AC的左边时，如图2所示： 31/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7E F M A(G)N B 图2 同理得：∠FAK=∠DAK=(45+3)°， ∴.∠DAK=∠CAD+∠CAK 由()得：∠CAD=60°， .45+3t=60+12, 解得：t=9, 综上所述：t的值为1或9： ②开始旋转时，如图所示： A(G) M ,∠BAM=30°，MNI‖PQ, .∠ABQ=∠BAM=30°， :BH平分∠ABQ」 248H=∠08H=×30=15 ∠EAF=90°， .∠EAM=90°-30°=60°， ,三角板ABC绕点B以每秒18°的速度逆时针旋转， ∴.AB绕点B以每秒18°的速度逆时针旋转， :BH平分∠ABQ, 六BH绕点B以每秒2×18°=9°的速度逆时针旋转： 32/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠0BH=15°+9°， 当BH∥EF时，如图所示： A(G) D MNI‖Pg, ∴∠HKW=∠QBH=15°+91°， 根据三角形内角和定理可得：∠ELA=180°-∠E-∠EAL=180°-45°-(60°+61)=75°-61°， BH∥EF, .∠ELA=∠HKN, ∴15°+91°=75°-610， 解得：t=4; 当BHI‖AF,AF在MN下方时，如图所示： E A(G) KN H 力 DQ 根据旋转可得：∠MAF=30°-6t°， MN I PO ·∠BKM=∠QBH=15°+9r°， BH‖AF, ∴.∠MAF=∠BKM, .30°-61°=15°+91°， 解得：t=1: 当BH‖AF,AF在MN上方时，如图所示： 3359 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H M (G) B D 根据旋转可得：∠MAF=6t°-30°， ..MN I PO ∴∠BKW=180°-∠QBH=180°-(15°+91)=165°-91°， ..BH AF, ∠MAF=∠BKN, .61°-31°=165°-91°， 解得：t=13: 当BH∥AE时，如图所示： G) N B D 根据旋转可得：∠EAM=60°+61°， ÷MN IPO .∠IHKN=∠QBH=15°+9r°. BH∥AE, .∠HKN+∠EAM=180°， ∴，15°+91°+60°+61°=180°， 解得：t=7: 综上，∠AB0的角平分线BH与三角板EFG的一条边平行时，t的值为1或4或7或13. 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理以及图形的旋转，熟练掌握平 行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）、角平分线的定义（将一个角分成 34/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 两个相等的角)、三角形内角和定理（三角形内角和为180°）以及准确分析图形旋转过程中角的变化关 系是解题的关键， 【变式3】 【答案】(1)见解析 (2)∠ACE=∠FDP或∠ACE+∠FDP=45 (3)见解析 (4)∠BHE-∠ABF=45°或∠BHE+∠ABF=225°或∠ABF-∠BHE=135 【分析】(1)延长ED交P于点T,先根据平角的定义求出∠2的度数，再由平行线的性质求出∠3的度 数，即可得到∠4=∠3，即可证明平行： (2)分两种情况讨论，当点C在EF上，当点C在DE上，分别作出辅助线，利用平行线的性质，结合平 移的性质以及三角形内角和定理求解即可： (3)延长CA交MN于点L,根据三角形内角和定理以及角平分线的定义证明即可： (4)分三种情况讨论，当F在DE延长线上，当点F在AB延长线与直线MN的交点的左侧，当点F在 AB延长线与直线MN的交点的右侧，过点B作平行线，结合平行线的性质以及三角形内角和定理探究即可 【详解】(1)证明：延长ED交PO于点T,如图， B C 在△ABC中，∠4=180°-90°-30°=60°， 在△ADE中，∠5=180°-∠DAE-90°=180°-45°-90°=45° .∠1=75° ∴.∠2=180°-∠1-∠5=60° .·PQ∥MW ∴.∠3=∠2=609 ∴.∠4=∠3=60° .AC∥DE: (2)解：①当点C在EF上时，延长直线a交PQ于点J,如图： 3559 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B寸 4八 E M a⊥MN,PQ∥MN ∴.∠3=∠4=90° 由平移可得，AC∥a ∴.∠ACE=∠I ,∠DFE=90° .∠1=180°-∠2-90°=90°-∠2. .∠FDP=180°-∠2-∠3=180°-∠2-90°=90°-∠2 ∴∠I=∠FDP, ∴.∠ACE=∠FDP； ②当点C在DE上时，过点E向上作EK∥AC,如图： J D Q 4 M N ·AC∥a ∴.AC∥a∥EK ∴∠ACE=∠DEK,∠I=∠FEK .:∠FED=∠DEK+∠FEK=45° ∴.∠1+∠ACE=45° 由上可知∠I=∠FDP, .∠ACE+∠FDP=45°， 综上：∠ACE与∠FDP的数量关系为：∠ACE=∠FDP或∠ACE+∠FDP=45°： (3)证明：延长CA交MN于点L, -o D 4 M 36/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB平分∠CAD, .∠1=∠2， AB⊥AE ∴.∠BAE=90° .∠3=∠BAE-∠2=90°-∠2，∠4=180°-∠1-∠BAE=90°-∠1 .∠3=∠4 PQ∥MN,∠ACB=90° .∠ALE=180°-∠ACB=90° ∴.∠5=180°-∠ALE-∠4=90°-∠4 ∠ADE=90° ∴.∠6=180°-∠ADE-∠3=90°-∠3 ∴.∠5=∠6 .EA平分∠DEM; (4)解：当F在DE延长线上时，过点B作BL∥MN, A -9 B G -----L C H 人5 34 MD E N :AB平分∠CAP,EH平分∠BEF ∴.∠1=∠2，∠3=∠4 设1=2=x,∠3=∠4=y .:PQ∥MW ∴PQ∥MN∥BL ∠5=1+∠2=2x,∠F=∠6，∠7=∠1=x .∠ABF=∠7+∠6， 设∠F=∠6=z ·∠BHE=180°-∠EHF=180°-(180°-∠4-∠F)=y+z,∠ABF=x+z ∠CED=180°-（∠3+∠4）=180°-2y,∠5+∠CED+∠DCE=180°，∠DCE=90° ∴.∠5+∠CED=90° ∴.2x+180°-2y=90° ∴.y-x=450 37/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BHE-∠ABF=(y+z)-(x+z)=y-x=45°： 当点F在AB延长线与直线MN的交点的左侧时，过点B作BL∥MN, B⑧ M D :AB平分∠CAP,EH平分∠BEF ∠1=∠2，∠3=∠4 设∠1=∠2=x,∠3=∠4=y .PQ∥MN :.PQ∥MN∥BL ∴.1=∠2=∠8=x,∠5=∠F,∠7=∠3+∠4=2y,∠6=180°-∠1=180°-x 设∠5=∠F=z, .∠ABF=∠5+∠6=z+180°-x :∠HBE=180°-∠7-∠5=180°-2y-z .∠BHE=180°-∠3-∠HBE=180°-y-(180°-2y-z)=y+z, ,∠ABF-∠BHE=z+180°-x-(y+z)=180°-(x+y) ∠ABC+∠2+∠ACB=180°，∠ACB=90° .∠ABC+∠2=90° ∴.∠7+∠8+∠2=90° .2x+2y=90° x+y=45°， :.∠ABF-∠BHE=180°-(x+y)=135°； 当点F在AB延长线与直线MN的交点的右侧时，过点B作BL∥MN, HA MF D ,AB平分∠CAP,EH平分∠BEF ∴.∠1=∠2，∠3=∠4 38/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设∠1=∠2=x,∠3=∠4=y ·PQ∥MN ∴.PQ∥MW∥BL .∠1=∠2=∠8=x,∠5=∠BFE,∠7=∠3+∠4=2y,∠6=180°-∠1=180°-x 设∠5=∠BFE=z, .∠ABF=360°-（∠5+∠6）=360°-(z+180°-x)=180°-z+x :∠HBE=180°-∠7-∠5=180°-2y-z ∠BHE=180°-∠3-∠HBE=180°-y-(180°-2y-z)=y+z, ∴.∠ABF+∠BHE=180°-z+x+(0+z)=180°+(x+y） ∠ABC+∠2+∠ACB=180°，∠ACB=90° ∴.∠ABC+∠2=90° ·∠7+∠8+∠2=90°， 2xr+2y=90° .x+y=45° ∴∠ABF+∠BHE=180°+(x+y)=225°： 综上：∠BHE与∠ABF的数量关系为：∠BHE-∠ABF=45°或∠BHE+∠ABF=225°或 ∠ABF-∠BHE=135° 题型11角的旋转问题（压轴） 三典例精析 【典例11】 【答案】15°或105°或150° 【分析】根据直角三角形的性质求出∠EDC=60°，∠ACB=45°，分三种情况分析：当直线AC与直线DE 垂直时，根据直角三角形的性质求出∠ACD=30°，即可求出∠BCD=15°，当直线AB与直线DE垂直时， 根据平行线的判定和性质得出LACD=∠EDC=60°，即可求出∠BCD=105°；当直线BC与直线DE垂直 时，根据直角三角形的性质求出∠FCD=30°，即可求出∠BCD=150°。 【详解】解：根据题意可得，∠EDC=90°-E=90°-30°=60°，∠ACB=∠B=45°， 当直线AC与直线DE垂直时，AC与DE的交点为点F,如图所示， 39/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D B 则∠DFC=90°， ∠ACD=90°-∠FDC=90°-60°=30°， ∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=45°-30°=15°； 当直线AB与直线DE垂直时，AB与DE的交点为点F,如图所示， F A D E 则∠DFB=90°， :∠DFB=∠BAC=90°， DF∥AC, ∴∠ACD=LEDC=60°， :.∠BCD=∠ACB+∠ACD=45°+60°=105°： 当直线BC与直线DE垂直时，BC与DE的交点为点F,如图所示， D F B E 则∠DFB=90°， ∴.∠FCD=90°-∠FDC=90°-60°=30°， .∠BCD=180°-∠FCD=180°-30°=150°： 综上所述，∠BCD的度数为15°或105°或150° 举一反目 【变式1】 40/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)45,75(2)36°或60°(3)105° 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和，平角等知识，正确作出图 形是解题的关键 (1)当AB⊥FC时，有∠CAB=∠ECF=90°，则a=∠ACE-∠ACB=45°， 当CA∥EF时，a=∠ACE-∠ACB=120°-45°=75°，即可解答： (2)分类讨论： ①当0<a≤45°时，②当45°<a≤90°时，③当90°<a<180°时，逐一分析，即可解答： (3)令AB与EF的交点为M,AB与CF的交点为N,推导出∠FMA=∠MEA+∠MAE, FNM=∠B+∠BCN=45°+∠BCN,继而推导出∠MEA+∠MAE+45°+∠BCN=150°，即可解答. 【详解】解：(1)当AB⊥FC时，如图，有 B C(D)∠CAB=∠ECF=90°，∠ACB=45°， .a=∠ACE-∠ACB=45° 当CA∥EF时，如图，有 ∠ACE=180°-∠E=180°-60°=120°，∠ACB=45, ∴.a=∠ACE-∠ACB=120°-45°=75°， B 故答案为：45,75. (2)①当0<a≤45°时，如图，有 A B SC(D)∠ACB=45°，∠ECF=90° ∠ECF=∠BCE+∠ACB+∠ACF=90°，∠BCE=4∠ACF=a, 41/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴4∠ACF+45°+∠ACF=90°， 解得∠ACF=9°， .0=4×9°=36° ②当45°<a≤90°时，如图，有 C(D)∠ACB=45°，∠ECF=90°∠BCE=4∠ACF=a E∠BCF=∠ECF-∠BCE=90°-a'∠ACF=a ∴.∠ACB=∠BCF+∠ACF=45°， 即90°-a 40=45°， 解得a=60° ③当90°<<180°时，如图，有 C(D) ∠ACB=45°，∠ECF=90°∠BCE=4∠ACF=a RCE=LBCE-LECF=0-90 Z4CF-1 LACF=∠BCF+∠ACB=a-90°+45°=4a, 1 解得a=60°<90°（不符合题意，舍去）. 综上所述，x的值为36°或60° (3)不变化，理由如下： 令AB与EF的交点为M,AB与CF的交点为N,如图 :∠FMA=180°-∠EMA,∠MEA+∠MAE=180°-∠EMA, ∴.∠FMA=∠MEA+∠MAE, 同理可得：FNM=∠B+∠BCN=45°+∠BCN, .∠FMA+FNM=∠MEA+∠MAE+45°+∠BCN, 42/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠FMA+FNM=180°-∠F=180°-30°=150°， .∠MEA+∠MAE+45°+∠BCN=150°， 解得∠MEA+∠MAE+∠BCN=105° A E NC(D 图3 【变式2】 【答案】(1)56° (2)45° (3)15s 【分析】(1)利用平行线的性质及外角性质可求解： (2)利用平行线的性质及角平分线性质，结合三角形内角和求解即可： (3)过H作HE∥AN,则∠NHE=∠N'=∠ANH=45°，分三种情况讨论：OAN'∥QM' ②AN'∥HM'③A'N'∥Hg,进行解答. 【详解】(1)解：AD‖BC, .∠DAB+∠ABC=180°， ∴∠ABC=180°-∠DAB=180°-75°=105°， ∴.∠MBC=∠ABC-∠1=105°-75°=30° :∠2是△BMC的外角， ∴.∠2=∠MBC+∠C=30°+26°=56° (2)ADI BC .∠AQM=∠MBC=30°， .·HM⊥BM ∴.∠HMQ=90° ∴在RtAHMO中，∠QHM=180°-90°-30°=60°， :HT是△QHM的角平分线， 0n-0M=30 .∠NHA=∠OHT=30° ∴∠BAH=∠ANH+∠NHA 43/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ANH=75°-30°=45°： (3)答：t=15s,理由如下： 由旋转可知：∠A'HA=∠N'HN=10t,∠QHg=∠MHM'=5t, 5t≤180. ∴.t≤36. 过H作HE∥A'N',则∠N"HE=∠N'=∠ANH=45°， N D 、T B ①4N'∥QM'时，HE∥Q'M', ÷∠EH0=∠Q=∠H0M=90°-60°=30°， ∠EHA=∠EHQ+∠QHQ'. ∠EH0=180°-∠AHN'-∠NHE=135°-∠AHN', ∠AHN'=∠AHN+∠NHN', ∠AHN=∠OHT=2OHM=30°， .∠AHW'=30°+10t. .∠EHQ=135°-(30°+100)=105°-10t ∠EH0=105°-10t+5t=105°-5t=30°， t=15: ②AN'∥HM'时，∠ANH+∠MHN'=180°，即∠MHN'=180°-45°=135°， .·∠MHN'=∠MHA+∠AHN' =180°-∠QHM'+30°+10t =180°-（∠QHg+∠Q'HM')+30°+10t =180°-(5t+60)+30°+10t =150°+5t=135°， 解得：t=-3(舍去)： ③4N'∥H0时，∠N'+∠NH0=180°， .∠W'H0='180°-45°=135°. 44/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 '∠N'Hg=∠N'HA+∠Q'HA, =30°+10t+(180°-∠Q'HQ) =30°+10t+(180°-5t) =210°+5t=135°， 解得：t=-15(舍去)， 综上，t的值为15. 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线性质及三角形内角和定理，结合图像角度的和差关系 即可求解。 【变式3】 【答案】(1)a=5,b=1 (2)t=66或t=15: (3)t=45或t=30 【分析】(1)根据绝对值及平方的非负性求解即可： (2)根据题意得出∠ABP=∠BAN=60°，∠MAB=180°-60°=120°，射线AM转动的时间为： 180°+180° 5o 2射线BP运动的时间为：60s分两种情况分析：当射线M在旋转到从的过程 中时，当射线AM在从AN返回的过程中时，结合图形分析求解即可： (3)同(2)分两种情况分析：当射线AM在旋转到AN的过程中时，AM'∥BP',当射线AM在返回的过 程中时，AM'∥BP,利用平行线的性质列出方程求解即可. 【详解】(1)解：a-5+(b-1)2=0, .a-5=0,b-1=0. :.a=5,b=1; (2)解：∠BAN=60°，MIN I P2 、∠ABP=∠BAN=60°，∠MAB=180°-60°=120°， ,射线AM绕点A逆时针旋转至AN后立即回转，射线BP绕点B顺时针旋转至BA停止，射线AM转动的 速度是5°s,射线BP转动的速度是1°S, 180°+180° 60° “肘线AM转动的时间为：5° =72s,射线BP运动的时间为：。=60s, :设旋转时间为($)， 当射线AM在旋转到AN的过程中时， .∠PBP'=t,∠MAM'=5t 45/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ABP'=60°-1，∠MAB=180°-60°-5t=120°-5t, :射线AM'与射线BP互相垂直， .∠ABP'+∠MAB=90°，即60°-t+120°-5i=90°， 解得：t=15: 当射线AM在从AN返回的过程中时， .∠PBP'=6,∠NAM'=5t-180°， .∠BAM'=5t-180°-609 ,射线AM'与射线BP互相垂直， 六.∠ABP'+∠MAB=90°，即60°-1+5t-180°-60°=90°， 解得：t=67.5>60: 此时射线BP'与BA重合，射线AM继续旋转，当AM'⊥AB时，如图所示： M M' B ∠MAB=90° .5t-180°-60°=90°， 解得：t=66 综上可得：t=66或t=15: (3)当射线AM在旋转到AN的过程中时，AM'∥BP',如图所示： M M' B .∠PBP'=t,∠MAM'=5t .∠ABP=60°-t,∠MAB=5t-120°. ,AM'∥BP', ∴.∠ABP'=∠MAB即60°-t=5t-120°， 解得：t=30: 当射线AM在返回的过程中时，AM'∥BP', ∠PBP'=t,∠NAM'=5t-180° 46/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠ABP'=60°-4，∠MAB=60°-(5t-180)=240°-5t. AM'∥BP, .∠ABP'=∠M'AB即60°-t=240°-5t. 解得：t=45: 综上可得：t=45或t=30 题型12角的折叠问题（压轴） 典例精析 【典例12】 【答案】(1)①30°：60°，②△ACD是“友爱三角形”，理由见解析 (2)27°或30°或42°或459 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键 (1)①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明∠B'DC=∠BDC=90° 则可证明∠ACD=2∠A,据此可得结论： (2)由折叠的性质得到∠CBD=∠B=720,∠4CD=∠BCD=2∠4CB则∠AB'D=1O8:再分 ∠AB'D=2∠A,∠AB'D=2∠ADB',∠A=2∠ADB和∠ADB'=2∠A四种情况，讨论求解即可. 【详解】(1)解：①：∠ACB=90°， .∠A+∠B=180°-∠ACB=90°： :∠A与∠B互为“友爱角”(LB>∠A), .∠B=2∠A, .∠A+2∠A=90°， .∠A=30° .∠B=60°： ②△ACD是“友爱三角形”，理由如下： 由折叠的性质可得∠BDC=∠BDC, ,∠B'DC+∠BDC=180°， .∠BDC=∠BDC=90°， .∠ACD=180°-∠A-∠ADC=60°， .∠ACD=2∠A, 47/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,△ACD是“友爱三角形”； (2②解：由折叠的性质可得∠CBD=∠B=72,∠4CD=∠BCD-∠ACB， .∠AB'D=180°-∠CB'D=108°： ,△ADB是“友爱三角形”， .当∠AB'D=2∠A时，则∠A=54°， ∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=54°， ∴.∠ACD=27°； 当∠AB'D=2∠ADB'时，则∠ADB=54, ∠A=180°-54°-108°=18， .∠ACB=180°-∠A-∠B=90° 、∠ACD=45°： 当∠A=2∠ADB时，∠A+∠ADB'=180°-∠AB'D=72°， ∴.2∠ADB'+∠ADB'=72°， ∴，∠ADB'=24°， ∴.∠A=48°， .∠ACB=180°-∠A-∠B=60°. .∠ACD=30°： 当∠ADB'=2∠A时，∠A+∠ADB=180°-∠AB'D=72°， ∴2∠A+∠A=72°， ∴.∠A=24°， ∠ACB=180°-∠A-∠B=84°， .∠ACD=42°： 综上所述，∠ACD的度数为27°或30°或42°或45° 举一反目 【变式1】 【答案】(1)25°，三角形内角和定理，25°，115°；(2)115°；(3)24 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义， (①)根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可： (2)先由折叠的性质和平角的定义得到∠AED+∠ADE=130°，进而求出∠A=50°，同(1)即可得到答案： (3)根据角平分线得到∠ABO=∠OBC,∠FBA=∠FBE,进而可知∠FB0=90°，即可求出∠FOB=66°， 48/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 根据OD⊥OB得到∠DOB=90°，根据三角形内角和即可得解。 【详解】解：(1)：BP平分∠ABC(已知)， .PBC-ADC- ×80°=400 同理可得∠PCB=25° ,∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°（三角形内角和定理）， ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB(等式的性质) =180°-40°-250 =115° 故答案为：25°，三角形内角和定理，25°，115°： (2)由折叠的性质可得∠AED=∠PED,∠ADE=∠PDE, ∠1+∠AEP=180°，∠2+∠ADP=180°，∠1+∠2=100°， 2∠AED+2∠ADE=260°， ,∠AED+∠ADE=130°. ∴∠A=180°-∠AED-∠ADE=50°， ∠A=50°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°， :BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, ∴.∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB, ∴.2∠PBC+2∠PCB=130° 即∠PBC+∠PCB=65°， .∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=115°： (3)BO是∠ABC角平分线，BF是∠ABE角平分线 ∴，∠ABO=∠OBC,∠FBA=∠FBE, ∴.∠FBO=∠FBA+∠ABO=90°， .∠F=249 .∠F0B=180°-90°-24°=66° OD⊥OB .∠DOB=90° .∴∠D0C=180°-90°-66°=24° 故答案为：24 【变式2】 4959 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)115° (2)52 (3)①80°；②见解析 2在花082：P在0之间0- 2:F在D右侧∠Q=Q-卫 2 【分析】(1)根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可： (2)先由角平分线的定义得到∠BAC=2∠BAP,∠CBM=2∠CBP,再由三角形外角的性质得到 ∠CBP=∠BAP+38°，根据三角形内角和定理推出∠P=180°-∠BAP-∠ABP=38°，再由垂线的定义得到 ∠BHP=9O°，据此求解即可： (3)①同(1)求得∠A=40°，由折叠的性质可得∠AED=∠PED,∠ADE=∠PDE,据此计算即可求解： ②证明∠AEP=∠ADP,，同①即可证明∠I=∠2； (4)分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可. 【详解】(1)解：∠A=50°， ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130° ,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, ∴.∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB. .2∠PBC+2∠PCB=130°，即∠PBC+∠PCB=65°， .∠P=180°-∠PBC-∠PCB=115°， 故答案为：115°； (2)解：，AP平分∠BAC,BP平分∠CBM, .∠BAC=2∠BAP,∠CBM=2LCBP, ,∠CBM=∠BAC+∠ACB, .2∠CBP=2∠BAP+∠ACB. ∴.∠CBP=∠BAP+38° ,∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC, .∠ABC=104°-2∠BAP .∠ABP=∠ABC+∠CBP=142°-∠BAP .∠P=180°-∠BAP-∠ABP=38°， BH⊥AP,即∠BHP=90°， ∴，∠PBH=180°-∠P-∠BHP=52°： 故答案为：52°： 50/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：①：BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, .∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB .∠BPC=110°， .∠PBC+∠PCB=180°-110°=70°， :∠ABC+∠ACB=2(∠PBC+∠PCB)=140°， ∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)=40°， .∠AED+∠ADE=180°-∠A=140°， 由折叠的性质可得∠AED=∠PED,∠ADE=∠PDE, ,∠AEP+∠ADP=2(∠AED+∠ADE)=28O°， :∠1=180°-∠AEP,∠2=180°-∠ADP, .I+∠2=360°-（∠AEP+∠ADP)=80°， 故答案为：80°； ②PD=PE, ,∠PED=∠PDE, 由折叠的性质可得∠AED=∠PED,∠ADE=∠PDE, .∠AEP=∠ADP, .∠1=180°-∠AEP,∠2=180°-∠ADP, .∠1=∠2： (4)解：当点F在点E左侧时，如图41所示， Q F B 图4-1 BE∥CD. ∴.∠CBE+∠BCD=180°， ,BO平分∠EBF,CO平分∠DCF, :<E0-BBr-号∠0cr-DcF- 2, 51/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠EBC+∠FCB=180°-∠DCF=180°-B. .∠Q=180°-∠QBC-∠QCB =180°-∠QBE-∠EBC-∠FCB-∠QCF =B-a 2； 当F在D、E之间时，如图42所示： 图4-2 同理可得P∠B0EB8F-号∠0 CF-DCF--号 2, ∠FBC+∠FCB=180°-∠DCF-∠EBF=180°-a-B, ∴.∠Q=180°-∠QBC-∠QCB =180°-∠QBF-∠FBC-∠FCB-∠QCF =a+B 2: 当点F在D点右侧时，如图43所示： B 图4-3 同理可得∠Q=180°-∠QBC-∠QCB =180°-∠QBF-∠FBC-∠DCB-∠QCD=a-E 2 棕上所选，在B左侧<0”，P在60之肉409 :P在D右侧<0=a,P 2 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线 52/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的定义，熟知相关知识是解题的关键， 【变式3】 【答案】(1)∠1+∠2=2∠B,理由见解析： (2)∠1+∠3=72° (3)∠6-（∠1+∠AG0)=2a-2B 【分析】(1)由折叠的性质得出∠BDE=∠ODE,∠BED=∠OED,由平角的定义及三角形内角和定理可 得出答案： (2)由(1)可知∠1+∠2=2∠B,∠3+∠4=2∠C,求出∠2+∠4=180°-∠5°=180°-62°=118°，则可得 出答案： (3)由(2)可知∠1+∠2=2∠B,∠AG0+∠4=2∠C,求出1+∠4G0=180°-2a+B,由周角的定义求 出∠6=180°-B,则可得出答案 【详解】(1)∠1+∠2=2∠B 理由：由折叠得：∠BDE=∠ODE,∠BED=∠OED .·∠ADB+∠BEC=360° ∴∠I+∠2=360°-∠BDE-∠ODE-∠BED-∠OED=360°-2∠BDE-2∠BED, ∴.∠I+∠2=2180°-∠BDE-∠BED)=2∠B (2)由(1)可知∠1+∠2=2∠B,∠3+∠4=2∠C, ∴∠1+∠2+∠3+∠4=2∠B+2∠C, :∠A=85°， .∠1+∠2+∠3+∠4=2180°-85)=190°， ∠5=62°， ∴.∠2+∠4=180°-∠5°=180°-62°=118°， .∠1+∠3=190°-118°=72°： (3)由(2)可知∠1+∠2=2∠B,∠AG0+∠4=2∠C. ∴.∠1+∠AG0=2∠B+2∠C-(∠2+∠4). :∠A=a,∠5=B, ∴.∠1+∠AG0=2180°-a)-(180°-B) =180°-2a+B, 又：∠6=360°-∠D0E-∠5-∠GOF-∠G0H=360°-∠B-∠C-∠5-a =360°-(180°-a)-B-a =180°+a-阝-a 53/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =180°-B, ∴∠6-（∠1+∠AGO)=180°-B-180°-2a+B) =2a-2B 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的 关键。 题型13三角形内角与外角的新定义问题 (压轴) 典例精析 【典例13】 【答案】(1)前进小组的结论不成立，理由见解析 (2)∠ACB的大小不发生变化且始终为45° 【分析】(1)根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论： 2)根据三角形的外角性质可得∠ABY=90°+∠OA1B,根据角的平分线定义可得∠ABE=∠ABY, BAC-ZOAB:推得ABE=45+BAC:根据三角形的外角性质可得BE=ACB+BAC推得 ∠ACB=45°，即可求解. 【详解】(1)解：前进小组的结论不成立，理由如下， ,点P是△ABC两外角平分线的交点， ∠PsC+∠PCB-(∠FBC+∠ECB) F,080°-∠ABC+180°-∠ACB -7360-080-24] 80e+a0. 在APgC中，P=1o-0ew+∠小=0-A 2 (2)解：∠ACB的大小保持不变.理由如下： ∠X0Y=90°， ∴.∠ABY=90°+∠OAB 54/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AC平分∠OAB,BE平分∠ABY, ∠ABE=∠ABY,∠BAC=∠OAB, :24BE=A8Y=o0+∠01B)=45+号<01B, 2 即∠ABE=45°+∠BAC, 又：∠ABE=∠ACB+∠BAC, .∠ACB=45°， 故∠ACB的大小不发生变化且始终为45° 举一反三 【变式1】 【答案】(1)是： (2)证明：在△ABC中，∠A=36°，∠B=48° .∠ACB=180°-∠A-∠B=96°， :CD平分∠ACB, ∠4CD=∠BcD=5ACB=48. ∴.∠ADC=180°-∠A-∠ACD=96,∠B=∠BCD, .∠A=∠A,∠ACD=∠B,∠ADC=∠ACB,DC=DB, ∴△ACD与△ABC是互为“形似三角形”，且△BCD是等腰三角形， ∴CD为△ABC的“巧妙分割线”： (3)105°或112.5 【分析】(1)由题意推出∠BCD=36°，∠ABC=72°，∠BDC=72°，从而得出结论： (2)根据题意，通过计算得出△BCD是等腰三角形，∠A=∠A=36°，∠ACD=∠B=48°， ∠ADC=∠ACB=96°，从而得出结论： (3)根据题意，分为当△ACD是等腰三角形和△BCD是等腰三角形两类，当△ACD是等腰三角形时，再 分为：AC=AD,AD=CD,AC=CD三种情形讨论：同样当△BCD是等腰三角形时，也分为三种情形讨 论，分别计算出∠ACB的度数即可. 【详解】解：(1)在△ABC中，∠A=36°，AB=AC ÷ABc=∠4CB-180,4=72. 2 :CD平分∠ACB, 55/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BCD= 1 2 ∠ACB=36°， .∠BDC=180°-∠BCD-∠B=72°， ∴.∠BCD=∠A,∠B=∠B,∠BDC=∠ACB, ∴△CBD与是互为“形似三角形”， 故答案为：是： (2)略 (3)(I)当△ACD是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图1所示： C B D 图1 当AD=CD时，则∠ACD=∠A=45°， ∴∠BDC=∠A+∠ACD=90°， 此时，△ABC△CBD是“形似三角形”，可知∠BCD=∠A=45°， ∴.∠B=90°-∠BCD=45°=∠A, .∠ACB=90°舍去， ②如图2所示： D B 图2 当AC=AD时，则∠ACD=∠ADC=180°-45 =67.5° 2 此时，△ABC△CBD是“形似三角形”，可知∠BCD=∠A=45°， ∠ACB=45°+67.5°=112.5°： ③当AC=CD时，这种情况不存在： (Ⅱ)当△BCD是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图3所示： 56/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图3 当CD=DB时，∠B=∠BCD=45°，同理可知∠ACB=90°舍去，； ②如图4所示： C D B 图4 当BC=BD时，∠BDC=∠BCD, 此时，△ABC△ACD是“形似三角形”，可知∠ACD=∠B, .∠BCD=∠BDC=∠ACD+∠A=∠ACD+45°， 在△BCD中，由三角形内角和可知∠B+2∠BDC=180°，得∠ACD+2(∠ACD+45)=180°， .∠ACD=30°， .∠ACB=∠ACD+∠BCD=45°+2×30°=105°； ③当CD=CB时，这种情况不存在； 综上所述：∠ACB的度数为105°或112.5° 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的 性质，解决问题的关键是利用分类讨论的思想求解。 【变式2】 【答案】(1)36°： (2)见解析. 【分析】()设∠A=x°，根据等腰三角形的性质可知∠ABC=∠C=2x°，根据三角形内角和定理可得： x°+2x°+2x°=180°，解方程即可求出∠A的度数： (2)根据等腰三角形的定义、三角形的三分线的定义画出图形即可， 【详解】(1)解：设∠A=x°， AD BD, ∠A=∠ABD=x, :∠BDC是△ABD的外角， 57/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠BDC=∠A+∠ABD=2x, BD=BC, ∴.∠BDC=∠C=2x°， 又.AB=AC, .∠ABC=∠C=2x°， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴.x°+2x°+2x°=180°， 解得：x=36, .∠A=36°； (2)解：如下图所示， 45 △ 45 90° 135 Q90 90 45☒ 453 图1 图2 图3 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌 握等腰三角形的判定与性质是解题的关键， 【变式3】 【答案】(1)20° (2①△ABD是“准互余三角形”，理由如下： :AD是∠BAC的角平分线， .∠BAC=2∠BAD ,∠ACB=90°， .∠ADB=∠ACD+∠CAD>90°， .∠BAC+∠B=90°， ∴.2∠BAD+∠B=90° ∴.△ABD是“准互余三角形”； ②123°或114° 【分析】本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时 58/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 渗透了分类讨论的数学思想 (1)根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是180°，∠C>90°，∠A=50°，只能是 ∠A+2∠B=90°： (2)①由题意可得LADB>90°，所以只要证明∠B与∠BAD满足2a+B=90°，即可解答， ②油题意可得∠AEB>90°，所以分两种情况，2∠EAB+∠B=90°或∠EAB+2∠B=90°」 【详解】(1)解：，△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A=50°， ∴.∠A+2∠B=90°， ∠B=20°， 故答案为：20° (2)解：略： ②，点E是边BC上一点，∠ACB=90°， .∠AEB=∠C+∠EAC>90° :△ABE是“准互余三角形”， ∴2LEAB+∠B=90°或∠EAB+2∠B=90°， ,∠B=24°， .∠EAB=33°或∠EAB=42°， 当∠EAB=33°，∠B=24°时，∠AEB=123°， 当∠EAB=42°，∠B=24°时，∠AEB=114°， ∴.∠AEB的度数为：123°或114°. 59/59 专题02 三角形的内角与外角 （题型突破·举一反三） 题型01 三角形内角和定理的证明 题型02 与平行线有关的三角形内角和问题 题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型04 三角形折叠中的角度问题 题型05 三角形内角和定理的应用 题型06 直角三角形的两个锐角互余 题型07 锐角互余的三角形是直角三角形 题型08 三角形的外角定义及性质 题型09 利用三角形内角和定理判断角的关系（压轴） 题型10 三角板中的三角形内角和问题（压轴） 题型11 角的旋转问题（压轴） 题型12 角的折叠问题（压轴） 题型13 三角形内角与外角的新定义问题（压轴） ▌题型01 三角形内角和定理的证明 三角形的内角和定理定理：三角形三个内角和等于180°． 三角形的内角和定理的应用： （1)在三角形中，已知两个内角的度数，可以求出第三个内角的度数； （2)在三角形中，已知三个内角的比例关系，可以求出三个内角的度数； （3)在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以求出另一个锐角的度数. 【典例1】（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质得到，，然后等量代换证明即可； （2）由平行线的性质得到，，，，等量代换得到，然后结合平角的定义证明即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； D、无法证明三角形的内角和为，故本选项符合题意 【变式2】（25-26七年级下·广东揭阳·期中）如图，若，，则： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质和判定定理逐项分析判断①②⑤，结合三角形内角和定理可以判定⑥，结合题意和图形判断③④，即可进行解答． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 故⑤正确， ∵在中，， 又∵，， ∴， 故⑥正确， ∵在中，无法确定， 又∵， ∴无法确定， ∴无法确定平分，故③错误， ∵在中，无法确定，且， ∴无法确定，故④错误； 故选：B． 【变式3】（25-26七年级下·河南濮阳·期末）【问题探究】 已知，点E，F分别为和上的点，点P是平面内一点．数学兴趣小组的同学们想探究与，的数量关系（，，均为大于且小于的角）． (1)当点P在直线和之间时． ①若点P在线段右侧，如图1，小明和小亮给出了不同的解决方法，请你将两位同学的过程补充完整． 小明：如图2，过点P作． ． （____________________） 小亮：如图3，过点F作交于点N．… ②若点P在线段左侧，如图4，请直接写出与，的数量关系． (2)若，，直接写出的度数． 【方法应用】 (3)上述两位同学都是过某个点作已知直线的平行线，利用平行线的性质来解决问题．请你利用上述方法解决下面的问题． 已知：如图5，三角形． 求证：． 【答案】(1)①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 小亮：如图，过点F作交于点N． （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） 又 ② (2)或 (3)证明：过点S作 ， 【分析】（1）①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同旁内角互补； （2）根据，，分类讨论进行求解； （3）两直线平行，内错角相等；三角形内角和为． 【详解】（1）①略 ②过点P作． ， ． ， ； （2）解：，， 当到的右侧且在之间时， ； 当到的右侧且在上方时， ， ， ； （3）略 ▌题型02与平行线有关的三角形内角和问题 遇三角形内角和题型，优先作一边平行线，利用两直线平行同位角、内错角相等，将三角形三个内角等量转移至同一直线，拼成平角 180°。求角度时结合平行线性质代换角，遇外角则平行转移外角，快速建立角等量关系，理清角位置即可列式求值。 【典例2】（25-26七年级下·天津滨海新区·期末）如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明：平分，平分， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ． 【分析】（1）根据平行线的性质求出，再由角平分线的定义求出，最后由平行线的性质即可求解； （2）由角平分线的定义得到，，由平行线的性质得到，因此，从而可推出，从而得到，因此，，通过等量代换得证结论． 【详解】（1）解：∵，， ∵平分， ∴， ∵， ． （2）略 【变式1】（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（2025·湖南长沙·一模）如图，，的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，，则________． 【答案】/40度 【分析】由，可得，利用平行线与角平分线可得，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期末）学习了“平行线”和“三角形”内容后，某兴趣小组探索了如下问题：如图，点、在、之间，且位于的两侧，连接、、. (1)如图①，若，，，则________； (2)如图②，若，求证：； (3)如图③，若、相交于点，， （Ⅰ）直接写出、、、满足的关系； （Ⅱ）若，，.平面内存在一点，连接、，使，，直接写出的度数（用含、的式子表示）. 【答案】(1) (2) 证明：连接交于点H， 根据三角形的内角和定理可得， 又∵， ∴， ∴； (3)（Ⅰ）；（Ⅱ）或或或 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质； （1）延长交于点G，根据（1）延长交于点G，根据平行线的判定和性质解答即可； （2）连接连接交于点H，即可得到，然后根据三角形的内角和定理解答即可； （3）分四种情况作图，根据三角形的内角和和外角解答即可. 【详解】（1）解：延长交于点G， ∵， ∴， 又∵∠AEF=∠F， ∴， ∴； （2）略 （3）（Ⅰ）延长交于点M， 则， 又∵， ∴， ∴； （Ⅱ）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ①如图，当，在和内部时， 根据三角形的内角和定理得，即， 解得； ②如图，当在的外部，在内部时，连接并延长到点N， 根据三角形的外角可得， 即， 解得：； ③当在的内部，在外部时， 由②可得； ④当，在和外部时， 由①得，即， 解得：； ▌题型03与角平分线有关的三角形内角和问题 遇三角形角平分线题型，先利用平分线得等角，结合内角和 180° 拆分角度。遇内外角平分线模型，熟记固定角度结论，多次平分设未知数表示角，列方程求解。搭配平行线、外角定理转换角度，梳理角间数量关系，简化计算快速求未知角。 【典例3】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，． (1)求证：为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． (2) 【分析】（1）根据，，结合三角形内角和定理可得，进而得到，即可证明； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，再根据求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·北京大兴·期末）如图，是上一点，，是上的点，，． (1)求证：； (2)若于点，平分，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）先由平行得到，然后结合已知条件等量代换得到，即可证明； （2）先证明，然后由三角形内角和定理求解，再由平行线的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 【变式2】（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由可得，利用三角形内角和定理可得，从而得到，由角平分线的定义可得，最后使用三角形的内角和定理计算出； （2）仿照（1）的解法可得出，容易判断，则，因此． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）略 【变式3】（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图①，已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)试说明：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与，相交于点，．若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴； (2) 【分析】（1）利用三角形内角和即可得答案； （2）根据角平分线的定义得到，，再由“8字型”得到，，两等式相减得到，即，最后把，代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：以M为交点“8字型”中，有， 以N为交点“8字型”中，有, ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴． ▌题型04 三角形折叠中的角度问题 折叠核心是折叠前后对应角相等，重合角度数不变。结合三角形内角和、平角、外角定理解题，设未知角列式。若顶点落在边上，利用平角拆分；顶点落在内部，两倍重叠角加周边两角和为 360°；落在外部用外角推导，找准等量关系即可快速计算。 【典例4】（25-26八年级下·宁夏银川·开学考试）如图，在中，点D是上的点，，将沿着翻折得到，则__________． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，则可求出的度数，再由折叠的性质求出的度数，据此可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，、分别是边、上的点，将沿着折叠，得到，当时，的度数是_________________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当点在下方时和当点在上方时，利用平行和折叠的性质分别求出，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】中，，， ， 如图，当点在下方时， ， ， 由折叠可知，， ； 如图，当点在上方时， ， ， ， 由折叠可知，， ； 综上可知，的度数是或． 【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·河南漯河·阶段检测）如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，，由邻补角的定义可得，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解； （2）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解； （3）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：，证明如下： 由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即 （3）解：由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． ▌题型05 三角形内角和定理的应用 牢记三角形三内角和为 180°，求未知角直接用减法。遇角平分线、折叠、平行线，先转化等角再代换；出现外角用外角等于不相邻两内角和简化计算。多个未知角可设元列方程，遇多三角形叠加，拆分单个三角形分步求解，理清角等量关系快速列式。 【典例5】（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，河北太行山区的某旅游专线正在施工，这条公路原本设计为东西走向．工程队在路面铺设到点B时，遇到一处需要避让的省级文物保护遗址，不得不临时调整路线．新的施工路线为折线，点O在点B的南偏东方向上，且．若要在点C恢复原设计的东西走向，必须保证的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点E，先求出，再根据三角形的内角和求出，进而由邻补角的定义，得到，继而推导出，即可解答． 【详解】解：延长交于点E，如图 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C恢复原设计的东西走向，即， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当旋转一周后停止运动，记（为常数）： ①当时，的值为________； ②当时，的值为________． 【答案】 3 2或 【分析】①当时， 分在左侧和在右侧两种情况，分别计算出和的度数，代入计算k值； ②当，分在上方和在下方两种情况，利用平行线的性质求出的度数，即可求出与的度数，代入计算k值． 【详解】解：由题可知． ①当时， 在左侧时，如图所示 ． ． ， ，解得． 在右侧时，如图所示 ， ． ， ，解得． ②当时， 在上方时，如图 ． ，． ， ，解得． 在下方时，如图 ，， ． ， ． ， ． ， ，解得． 【变式2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）图①是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图②是该花窗中的部分图案．已知，，，则____________． 【答案】120 【分析】由三角形内角和定理可得，结合平行线的性质可得，最后再由多边形的外角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·广东惠州·期末）【综合与应用】当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．如图①、图②、图③入射光线经过镜子两次镜面反射，分别反射为两条反射光线，且，．设镜子与的夹角． 【问题初探】 (1)如图①，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子后反射，，．若，则的度数是______°． 【拓展应用】 (2)如图②，是一种由两面镜子组成的反光镜，若与平行，求两面镜子的夹角的度数． 【深入探究】 (3)如图③，若，，入射光线的延长线与反射光线的反向延长线的夹角，若三角形为锐角三角形，请求出的取值范围． 【答案】(1)40； (2)当与平行时，． (3)． 【分析】（1）先由三角形内角和定理得到，由题意得，，根据平角的定义得到，，再由三角形内角和定理求解即可； （2）根据当，得到，然后根据平角的定义得到，再由，，以及三角形内角和定理求解即可； （3）由图可得，，即得，再根据锐角三角形的定义列出不等式组解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵ ∴ 由题意得， ∵，， ∴； （2）解：当时，， ∵ ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即当与平行时，两面镜子的夹角； （3）解：由图可得，， ∵， ∴， 同理可得，， ∴ ． ∵三角形为锐角三角形， ∴， ∴ ▌题型06 直角三角形的两个锐角互余 【典例6】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)当为的角平分线时，若，，求的度数． (2)当为边上的中线时，若，的周长比的周长少5，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出，进而求出，然后根据两锐角互余求出，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先中线的性质确定，将的周长比的周长少5的数量转化成边的数量关系得到，可求解． 【详解】（1）解：， ． 又为的角平分线， ． 为边上的高， ， ． （2）解：为边上的中线， ． 又的周长比的周长少5，， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，在中，平分交于点，于点，若，，求的度数． 【答案】 【分析】先求出，即可得出，再根据三角形内角和定理得出，然后根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，结合角平分线定义得到，再用内角和算出；根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出，最后作差得到； （2）先用三角形内角和表示出，结合角平分线得到，代入内角和公式化简求出；再由高线推出，通过角度相减化简得到的代数式． 【详解】（1）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ； （2）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，则与之间的数量关系是___________． (2)如图2，，，则与之间的数量关系是___________． (3)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的倍少，求这两个角的度数． 【答案】(1) (2) (3)，或， 【分析】（1）根据垂直可得，由直角三角形的两锐角互余可得，，再结合对顶角相等等量代换即可得解； （2）根据垂直可得，由四边形的内角和列式计算即可得解； （3）设其中一个角的度数为，则另一个角的度数为，根据这两个角相等或者互补列方程计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，设与的交点为，与的交点为， ，， ， ，， ， ． （2）解：如图所示，设与的交点为，与的交点为， ，， ， ， ． （3）解：设其中一个角的度数为，则另一个角的度数为． 根据题意，得或， 解得或． 当时，； 当时，， 这两个角的度数为，或，． ▌题型07锐角互余的三角形是直角三角形 【典例7】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式1】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【变式2】（25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理及直角三角形的判定．根据每个条件，利用内角和为推导角的大小，判断是否有角． 【详解】解：①，且， ， 是直角三角形． ②，且， ， 代入得 ， ，且， 是钝角三角形，不是直角三角形． ③，设，，， 则 ， ， 是直角三角形． ④，设， 则，， ， ， 是直角三角形． 能确定是直角三角形的条件有①、③、④，共3个． 故选：C． ▌题型08 三角形的外角定义及性质 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 【解读】三角形外角性质的常见应用： 1）已知三角形的一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个内角； 2）证明一个角等于另两个角的和； 3）作为中间关系证明两个角相等. 【典例8】（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图，在中，和的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论中，错误的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线性质及三角形外角性质分别推导、、与的数量关系，并验证选项D的等式即可求解． 【详解】解：平分，平分， ，， ，， ∴， 故A正确； 平分， ， 共线，B，C，F共线， ， 在中， ，故B错误； 分别平分， ，， ，故C正确； 由上可知，，， ，故D正确． 【变式1】（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，，E是平面内一点， 连接，， 的平分线与的平分线交于点F． 若， 则的度数为_____________． 【答案】/50度 【分析】根据平行线的性质得出，设，，利用角平分线的定义表示出和，结合三角形内角和定理与三角形外角的性质建立关于的方程求解即可； 【详解】解：设与交于点， ， ， 设，，则， 平分，平分， ，， 在中，， ，即， 延长交于点， 是的外角， ， 是的外角， ， ， ， ，即， ， 解得：． 【变式2】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，恰好经过点G，且，，，则______ ． 【答案】/度 【分析】延长交于点M，根据平行线的性质和三角形外角的性质，得到，再根据已知条件得到，即可得解． 【详解】解：如图，延长交于点M， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（四川省内江市2025—2026学年度第二学期七年级期末测评数学试题）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； (3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角平分线得出，，则，根据，即可求解． （2）根据角平分线得出，，则，结合（1）中，即可求解． （3）根据角平分线得出，，则，结合，，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由（1）知， ∴． （3）略 ▌题型09 利用三角形内角和定理判断角的关系（压轴） 【典例9】（25-26八年级上·全国·期中）如图，，分别是的高和角平分线． (1)求证：； (2)如图，若点为上一点，且于点，试推导与，之间的等量关系； (3)当点在的延长线上时，且于点，其余条件都不变，请直接写出与，之间的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高线，垂线的定义，理解三角形的角平分线和高线，垂线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质是解决问题的关键． 由三角形内角和定理得，由角平分线定义得，再根据即可得出； 过点作于，由得，再证明得，由此可得出与的大小关系； 过点作于，由得，再证明得，由此可得出与的大小关系． 【详解】（1）证明：在中，， 是的平分线， ， 是的高， ， 在中，， ； （2）解：与之间的等量关系是：，理由如下： 过点作于点，如图所示： 由可知：， 于点于点， ， ， ； （3）解：与之间的等量关系是：，理由如下： 过点作于点，如图所示： 由可知：， 于点于点， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）如图1，已知直线，且和，分别相交于，两点，和，分别交于，两点，点在线段上． (1)若，，则　　　； (2)试找出，，之间的等量关系，并说明理由； (3)应用（2）中的结论解答下列问题： 已知，点，在上，点，在上，连接，，，分别是，的平分线． ①如图2，，，求的度数； ②如图3，将线段沿方向平移（交点在，之间），其他条件不变，直接写出的度数与，的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质，三角形内角和定理等知识； （1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出，再根据在中，，即可得到； （2）根据，可得，再根据在中，，即可得到； （3）①利用平行线的定义结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案； ②利用平行线的性质结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 在中，， ； 故答案为：； （2）， 理由：， ， 在中，， ； （3）①过点作， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， 同理可求， ； ②过点作， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）【提出问题】如图所示，已知P是的平分线的交点，你能找到与的关系吗？ 【分析问题】在解决这个问题时，小明是这样做的：先找一个例子，如，计算出，随后又举了几个例子，并对结论进行了证明，从而找到与的关系：． 在解决问题的过程中，小明运用了“由特例得到猜想，证明得出一般结论”的方法，请你用这种方法解决下面的问题． 【解决问题】 (1)若P是的三等分线的交点，即，则与的关系为 ，请证明你的结论； (2)若P是的四等分线的交点，即，则与的关系为 （直接写出答案，不需证明）； (3)若P是的n等分线的交点，即，，则与的关系为 （直接写出答案，不需证明）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理及角平分线定义． （1）先根据三角形内角和定理求出，根据三等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （2）同（1）可得出结论； （3）先根据三角形内角和定理求出，根据等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可． 【详解】（1）解：猜测：； 由示例得， 、分别是、的三等分线，， ， ， 故答案为：． （2）解：由示例得， 、分别是、的四等分线，， ， ， 故答案为：． （3）解：，、分别是、的等分线，，， ， ． ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的四等分线，对顶角的性质，三角形的内角和定理及应用，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等求解即可； （2）①根据（1）中的结论得①，②，将，结合角平分线定义得出，最后将代入即可求解；②类比①中的方法求解即可． 【详解】解：（1），， （2）（i）根据（1）可得①，②， 由得， 平分，平分， ，， ， ， ． （ii）．理由如下： 根据（1）可得， ，， ，， ③，④， 由③④得， ， ． ▌题型10 三角板中的三角形内角和问题（压轴） 【典例10】（25-26七年级下·河南开封·期中）如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是______． 【答案】①②③④ 【分析】根据平行线的判定与性质、三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义判断求解即可． 【详解】解：如图，交于点， ， ， ， ， ， ， ， 故①符合题意； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②符合题意； ，， ， ， ， ， ， 平分， 故③符合题意； ，， ， 故④符合题意， ∴符合题意的有①②③④． 【变式1】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）一副直角三角板中， ，现将直角顶点 C 按照如图方式叠放，点E 在直线上方，且（ ，能使三角形 有一条边与平行的所有的度数的和为_____________． 【答案】 【分析】分当时，当时，当时，3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：当时，如图 ∵， ∴， 当时，如下图所示，则， ∵， ∴； 当时，延长交于点F，如下图所示，则， ∵， ∴ ∴， 综上：所有 的度数的和为. 【变式2】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）已知直线，现将一个含的三角板按照如图放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒（）． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，的角平分线与三角板的一条边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)①或；②1或4或7或13 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，再根据平行线性质得，结合角平分线求出，进而求出，最后由平角求出． （2）①分在右边和左边两种情况，根据旋转性质表示出，结合角平分线定义及角的和差关系列方程求解． ②分四种情况：当时，当，在下方时，当，在上方时，当时，分别画出图形，根据平行线的性质，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①依题意有以下两种情况： （ⅰ）当在的右边时，如图所示： 由旋转的性质得：， 由（1）得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 解得：； （ⅱ）当在的左边时，如图所示： 同理得：， ∴ 由得：， ∴， 解得：， 综上所述：的值为或； ②开始旋转时，如图所示： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∴绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∵平分， ∴绕点以每秒的速度逆时针旋转； ∴， 当时，如图所示： ∵， ∴， 根据三角形内角和定理可得：， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当，在下方时，如图所示： 根据旋转可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当，在上方时，如图所示： 根据旋转可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上，的角平分线与三角板的一条边平行时，t的值为1或4或7或13． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理以及图形的旋转，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ）、角平分线的定义（将一个角分成两个相等的角 ）、三角形内角和定理（三角形内角和为 ）以及准确分析图形旋转过程中角的变化关系是解题的关键． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）综合与实践 【探索发现】 (1)如图1，，是的直角三角板，是的直角三角板，小颖同学把两个直角三角板和摆在两平行线之间，保证两三角板的锐角顶点A重合，的边与共线，的顶点E在上，且，求证：． (2)如图2，，是∠的直角三角板，是的直角三角板，小颖同学把两个三角板和摆在两平行线之间，保证两三角板的直角顶点重合，且点A在上，点D在上，于点A，把沿方向平移，当点C移到E点时，再把 沿方向平移，在整个平移过程中，请直接写出与的数量关系： ． 【深入探究】 (3)如图3，，和都是直角三角形，，与共线，点E在上，平分，，求证：平分． 【拓展提升】 (4)如图4，，和都是直角三角形，，且A、C、D三点共线，与共线，点A在上，平分，点F是直线上一动点（点F不与点E重合），连接，作的角平分线交于点 H，请直接写出 与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)见解析 (4)或或 【分析】（1）延长交于点，先根据平角的定义求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，即可得到，即可证明平行； （2）分两种情况讨论，当点在上，当点在上，分别作出辅助线，利用平行线的性质，结合平移的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）延长交于点，根据三角形内角和定理以及角平分线的定义证明即可； （4）分三种情况讨论，当在延长线上，当点在延长线与直线的交点的左侧，当点在延长线与直线的交点的右侧，过点作平行线，结合平行线的性质以及三角形内角和定理探究即可． 【详解】（1）证明：延长交于点，如图， 在中，， 在中， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：①当点在上时，延长直线交于点，如图： ∵， ∴ 由平移可得， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∴； ②当点在上时，过点向上作，如图： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 由上可知， ∴， 综上：与的数量关系为：或； （3）证明：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分； （4）解：当在延长线上时，过点作， ∵平分，平分 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ ， ∴， 设 ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴； 当点在延长线与直线的交点的左侧时，过点作， ∵平分，平分 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ 设， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴； 当点在延长线与直线的交点的右侧时，过点作， ∵平分，平分 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ 设 ， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ； 综上：与的数量关系为：或或． ▌题型11 角的旋转问题（压轴） 【典例11】（2026·江西上饶·一模）将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，点在上．现将三角尺（）固定不动，将三角尺（）绕顶点顺时针旋转，则在整个旋转过程中，当直线与三角尺三边所在直线垂直时，的度数为______． 【答案】或或 【分析】根据直角三角形的性质求出，，分三种情况分析：当直线与直线垂直时，根据直角三角形的性质求出，即可求出；当直线与直线垂直时，根据平行线的判定和性质得出，即可求出；当直线与直线垂直时，根据直角三角形的性质求出，即可求出． 【详解】解：根据题意可得，，， 当直线与直线垂直时， 与的交点为点，如图所示， 则， ∴， ∴； 当直线与直线垂直时，与的交点为点，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当直线与直线垂直时，与的交点为点，如图所示， 则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 【变式1】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）45，75（2）或（3） 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和，平角等知识，正确作出图形是解题的关键． （1）当时，有则， 当时，，即可解答； （2）分类讨论： ①当时，②当时，③当时， 逐一分析，即可解答； （3）令与的交点为M， 与的交点为N，推导出，，继而推导出，即可解答． 【详解】解：（1）当时，如图，有 ∴． 当时，如图，有 ∴． 故答案为：45，75． （2）①当时，如图，有 ， ∵，， ∴， 解得， ∴． ②当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 即， 解得． ③当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． （3）不变化，理由如下： 令与的交点为M， 与的交点为N，如图 ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式2】（24-25七年级下·重庆黔江·期末）已知，在中，是边上一点，连接，过点作，过点作交于点，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，延长交于点，是的角平分线，延长交的延长线于点，求的度数； (3)在（2）的条件下，将绕点以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，当与射线第一次重合时，两个三角形都停止旋转．设旋转时间为，在此旋转过程中，当与．某一边平行时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平行线的性质及外角性质可求解； （2）利用平行线的性质及角平分线性质，结合三角形内角和求解即可； （3）过作，则，分三种情况讨论：① ②③，进行解答． 【详解】（1）解：， ， ， 是的外角， （2）， ， 在中，， 是的角平分线， ； （3）答：，理由如下： 由旋转可知：，， ， ， 过作，则， ①时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②时，，即， ， 解得：（舍去）； ③时，， ， ， ， 解得：（舍去）， 综上，的值为15． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线性质及三角形内角和定理，结合图像角度的和差关系即可求解． 【变式3】（25-26七年级下·四川乐山·期末）已知，直线，点、分别在直线、上，且，若射线绕点逆时针旋转至后立即回转至停止，射线绕点顺时针旋转至停止，两射线旋转后对应的射线分别为、，若射线转动的速度是，射线转动的速度是，、满足，、同时旋转，设旋转时间为．解答下列问题： (1) ， ； (2)如图1，若射线与射线互相垂直，请直接写出的值； (3)如图2，当为何值时？． 【答案】(1) (2)或； (3)或 【分析】（1）根据绝对值及平方的非负性求解即可； （2）根据题意得出，，射线转动的时间为：，射线运动的时间为：；分两种情况分析：当射线在旋转到的过程中时，当射线在从返回的过程中时，结合图形分析求解即可； （3）同（2）分两种情况分析：当射线在旋转到的过程中时，，当射线在返回的过程中时，，利用平行线的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵射线绕点逆时针旋转至后立即回转，射线绕点顺时针旋转至停止，射线转动的速度是，射线转动的速度是， ∴射线转动的时间为：，射线运动的时间为：； ∵设旋转时间为， 当射线在旋转到的过程中时， ∴， ∴， ∵射线与射线互相垂直， ∴，即， 解得：； 当射线在从返回的过程中时， ∴， ∴ ∵射线与射线互相垂直， ∴，即， 解得：； 此时射线与重合，射线继续旋转，当时，如图所示： ∴， ∴， 解得： 综上可得：或； （3）当射线在旋转到的过程中时，，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴即， 解得：； 当射线在返回的过程中时，， ∴， ∴， ∵， ∴即， 解得：； 综上可得：或． ▌题型12 角的折叠问题（压轴） 【典例12】（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【答案】(1)①；；②是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明，则可证明，据此可得结论； （2）由折叠的性质得到，则；再分，，和四种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵与互为“友爱角”（）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②是“友爱三角形”，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“友爱三角形”； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴； ∵是“友爱三角形”， ∴当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 【变式1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）【教材呈现】以下是华师版教学七下第92页的部分内容． 如图，在 中． 平分 平分 求 的度数． 解 ∵平分 (已知)， 同理可得 ． ∵ (                )， (等式的性质) = ． （1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式)． 【拓展延伸】 （2）如图1， 在中，、的平分线交于点P， 将 沿折叠，使得点A与点P重合， 若， 求的度数； （3）如图2， 在中， 角平分线、交于点O，， 交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若则 ． 【答案】（1），三角形内角和定理，，；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义. （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解. 【详解】解：（1）∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 故答案为：，三角形内角和定理，，； （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）是角平分线，是角平分线 ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【变式2】（25-26八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①；②见解析 (4)F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，据此求解即可； （3）①同（1）求得，由折叠的性质可得，据此计算即可求解；②证明，同①即可证明； （4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； （3）解：①∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； （4）解：当点F在点E左侧时，如图4-1所示，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ； 当F在D、E之间时，如图4-2所示：    同理可得， ， ∴ ； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示：    同理可得 ； 综上所述，F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·山西大同·阶段检测）综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案； （2）由（1）可知，，求出，则可得出答案； （3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案． 【详解】（1）． 理由：由折叠得：，， ， ， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，， ， ，， ， 又 ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． ▌题型13 三角形内角与外角的新定义问题（压轴） 【典例13】（25-26七年级下·山东淄博·期中）综合与实践：再探索三角形角平分线的定义的应用．问题情境：学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了再探索三角形角平分线的数学活动：前进小组得到了一个结论：已知，如图1，若点P是和的角平分线的交点，则． 证明如下：∵是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴ ∴ 拓展创新： (1)如图2，若点P是外角和的角平分线的交点，前进小组的结论还成立吗?若成立，给出证明：若不成立，写出正确的结论并证明． 应用计算： (2)如图3，已知，点，分别在射线，上移动，是的平分线，的反向延长线与的平分线相交于点．试问的大小是否变化？若不变，请说明理由；若随点A，B的移动发生变化，请求出变化范围． 【答案】(1)前进小组的结论不成立，理由见解析 (2)的大小不发生变化且始终为． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据三角形的外角性质可得，根据角的平分线定义可得，；推得；根据三角形的外角性质可得，推得，即可求解． 【详解】（1）解：前进小组的结论不成立，理由如下， ∵点P是两外角平分线的交点， ∴ ， 在中，； （2）解：的大小保持不变．理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 即， 又∵， ∴， 故的大小不发生变化且始终为． 【变式1】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）阅读理解： 【概念学习】 定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．    （2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”；    【概念应用】 （3）在中，，是的巧妙分割线，直接写出的度数． 【答案】（1）是； （2）证明：∵在中,，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”，且是等腰三角形， ∴为的“巧妙分割线”； （3）或 【分析】（1）由题意推出，，，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论； （3）根据题意，分为当是等腰三角形和是等腰三角形两类，当 是等腰三角形时，再分为：，，三种情形讨论；同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”， 故答案为：是； （2）略 （3）（Ⅰ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图1所示：    当时，则， ， 此时，是“形似三角形”，可知， ∴， ∴舍去， ②如图2所示：    当时，则， 此时，是“形似三角形”，可知， ； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图3所示：    当时，，同理可知舍去，； ②如图4所示：    当时，， 此时，是“形似三角形”，可知， ， 在中，由三角形内角和可知，得， ， ； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：的度数为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决问题的关键是利用分类讨论的思想求解． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． (1)如图1，在中，，点D在边上，且，求的大小； (2)在备用图中分别画出三个顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数； 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】设，根据等腰三角形的性质可知，根据三角形内角和定理可得：，解方程即可求出的度数； 根据等腰三角形的定义、三角形的三分线的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：设， ， ， 是的外角， ， ， ， 又， ， 在中，， ， 解得：， ； （2）解：如下图所示， 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·湖北黄石·期中）定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 °； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”，理由如下； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； （2）①由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答， ②由题意可得，所以分两种情况，或． 【详解】（1）解：∵是“准互余三角形”， ，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：略； ②∵点是边上一点，， ∴， ∵是“准互余三角形”， ∴或， ∵， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $