专题02 与三角形的角有关的必考六类大题（举一反三专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形角的六大必考题型，通过挖空补全、计算推理、关系探究、证明应用及折叠变换，系统构建从基础到综合的解题方法体系，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |挖空题|10题|推理步骤补全训练|以三角形内角和、外角性质为基础，强化定理应用规范性| |计算题|10题|角平分线+高线综合计算|结合角平分线定义、外角定理，提升多条件整合能力| |角关系探究|10题|内外角转化与等量代换|从特殊到一般，构建角关系模型，发展空间观念| |线段位置关系|10题|角关系推导平行/垂直|通过角的数量关系判断位置关系，体现数形结合| |证明题|10题|逻辑推理与依据表述|强化“已知—定理—结论”论证链条，培养推理能力| |折叠问题|10题|轴对称性质与角转化|利用折叠不变性，实现角的等量代换与计算|

专题02 与三角形的角有关的必考六类大题（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 与三角形的角有关的挖空题】 1 【题型2 与三角形的角有关的计算】 11 【题型3 探究与三角形有关的角之间的关系】 24 【题型4 探究与三角形有关的线段之间的位置关系】 40 【题型5 与三角形的角有关的证明】 53 【题型6 与三角形的角有关的折叠问题】 63 【题型1 与三角形的角有关的挖空题】 1．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）将下列推理过程补充完整． 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，．求和的度数． 解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵平分，， ∴ ， ∵（        ），平分， ∴ ， ∴ ． 【答案】；，；，；三角形内角和定理；，；，． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，高线、角平分线的定义，根据三角形的内角和定理，直角三角形的性质，高线、角平分线的定义进行解答即可，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵（三角形内角和定理），平分， ∴， ∴， 故答案为：；，；，；三角形内角和定理；，；，． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如下图，，平分，平分．试说明：． 下面是小明的解答过程，请补充完整． 解：因为（已知）， 所以____________（________________________）． 因为平分，平分（已知）， 所以，（角平分线的定义）， 所以（____________）（等式性质）， 即____________． 因为（________________________）， 所以____________（等式性质）， 所以（____________）． 【答案】；两直线平行，同旁内角互补 ； ； ； 三角形三个内角的和等于；； 垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，垂直的定义，掌握利用平行线性质和角平分线定义推导角的关系，结合三角形内角和定理证明垂直是解题的关键． 先由得到同旁内角互补，再利用角平分线定义将两个角的和转化为，结合三角形内角和定理求出，最后根据垂直定义得出结论． 【详解】解：∵ (已知)， ∴ (两直线平行，同旁内角互补)． ∵平分 , 平分 (已知)， ∴ , ， ∴（等式性质）， 即． ∵ （三角形三个内角的和等于 ∴（等式性质）， ∴ (垂直的定义)． 3．将下面求解的过程补充完整： 如图，在中，，，过点作边上的高，交的延长线于点，平分交于点，求的度数． 解：是的一个外角，且，， ． (三角形的外角等于与它 的和)  又平分， °， 又是的一个外角，且， ． 【答案】，，，不相邻的两个内角，，，，， 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题关键是熟知基础知识能根据图形选择合适的性质进行角的计算和转化． 【详解】解：是的一个外角，且，， (三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)   又平分， ， 又是的一个外角，且， ． 4．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形，点在的延长线上，是的平分线，若，求证： （请把证明过程补充完整） 点在延长线上 ___________ （　　） ___________ ______________________ ___________ 是的平分线 ___________ ___________ （　　） 【答案】见解析 【详解】证明：点在延长线上 （三角形内角和定理） 是的平分线 （同位角相等，两直线平行） 5．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，的两条高线，相交于点O．将下面证明的过程补充完整． 证明：，是的两条高线（已知） （高线的意义） （   ）（   ） （   ） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的高，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质是解题的关键． 根据已有的过程并结合图形进行补充，即可作答． 【详解】证明：，是的两条高线（已知）， （高线的意义）， （直角三角形的两个锐角互余）， ， ． 6．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知在中，点在上，连接，点、分别在、上，连接． (1)求证：．把以下证明过程补充完整：证明： （已知）， 又（___________）， （___________）． （___________）． （___________） (2)如果，平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． （1）根据推理过程结合图形解答即可； （2）根据角平分线的定义结合三角形外角的性质，推出，由（1）知，即可证明． 【详解】（1）证明：（已知）， 又（平角的定义）， （同角的补角相等）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等） （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，于点D，，． 求： (1)的度数（填空，把解答过程补充完整）； (2)的度数（写出解答过程）． 解：（1）∵（已知）， ∴________（垂直的定义）． ∵________________（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和）， ∴________________． 答：的度数为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质： （1）先由垂线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，据此可得答案； （2）根据三角形外角的性质可得，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：（1）∵（已知）， ∴（垂直的定义）． ∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和）， ∴． 答：的度数为． （2）解：∵，， ∴． 8．（24-25八年级上·河南新乡·阶段检测）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将解题过程补充完整． 如图，在中，，点、分别在边、上，，，与交于点，判断与的数量关系． 解：与的数量关系是：______； 理由：设， ______° 又 ____________ ______ 是的外角， __________________， 与的数量关系是______． 【答案】；；；；；；；； 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意和三角形内角和定理得到，，再利用角的和差得到，最后根据三角形外角的性质得到，即可得到． 【详解】解：与的数量关系是： 理由：设， 又 是的外角 与的数量关系是． 故答案为：；；；；；；；；． 9．（24-25八年级上·河南安阳·阶段检测）下面是多媒体上的一道习题，请将过程补充完整． 如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，两角（与）的平分线交于点P，若，求的度数． 解：在中，根据三角形内角和定理可知： ______ 又， ∴经计算：_______ 又平分，平分， ∴_____________ （角平分线认识） ∴______ 又_______（三角形外角的性质） 且_______（平角的性质） ∴_________， ∴________ 【答案】180；110；2；2；220；ACB；180；220；40 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平线的定义，三角形外角等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键．先利用三角形的内角和定理推出度数，然后再利用角平线的定义推出的度数，再利用三角形外角和平角的性质推出的度数，进而即可得解． 【详解】解：在中，根据三角形内角和定理可知： ， 又， ∴经计算：， 又平分，平分， ∴ （角平分线认识） ∴ 又（三角形外角的性质） 且（平角的性质） ∴， ∴， 故答案为：180；110；2；2；220；ACB；180；220；40． 10．如图，在中，平分，点在射线上，过点作于点，交边于点；交边于点，试说明：.请补充下面的说明过程，并在括号内写出相应的根据. 证明： 是的外角（已知） ，（    ） 同理，， ， 又 于点， ，（    ） 平分，（已知） ，（角平分线定义） ________，（等角的余角相等） 而（对顶角相等） ，（等量代换） 即________________， . 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质，直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握三角形的外角性质．根据三角形的外角性质可得，，进而得到，由于点，可得，结合角平分线的定义可推出，进而得到，即可求解． 【详解】证明 是的外角（已知） ，（三角形的外角性质） 同理，， ， 又 于点， ，（直角三角形两个锐角互余） 平分，（已知） ，（角平分线定义） ，（等角的余角相等） 而（对顶角相等） ，（等量代换） 即， ． 【题型2 与三角形的角有关的计算】 11．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图，在中，平分，是延长线上一点，于点，若，，求的度数． 【答案】 【分析】由，可得，可得，由三角形的外角可得，由平分，可得，再利用三角形内角和，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，进而求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， 平分， ， ，        平分， ， ． 13．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，为中的角平分线，，，延长至F，连接． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵，， ∴， ∵为中的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，得到，由三角形内角和定理得到，则，即可得到答案； （2）证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为中的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 14．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E． (1)若，，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：平分， ． ， ． ， ． 【分析】（1）先根据角平分线定义求出，再根据三角形外角性质求解即可； （2）先根据角平分线定义得到，再根据三角形外角性质进行角的代换即可证明结论． 【详解】（1）解：，是的外角的角平分线， ， 又， ； （2）略 15．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，交于点，且． (1)判断与的位置关系，说明理由； (2)若平分，且分别交，于点，．求证：． 【答案】(1)解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据，，结合，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，结合，利用三角形外角的性质得到，即可证明结论． 16．（25-26七年级下·四川乐山·期末）解决下列问题： (1)如图1，在中，，的平分线与外角的平分线交于点，求的度数； (2)如图2，已知四边形中，，的平分线与四边形的外角的平分线相交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线得出，再由外角的定义得出，，然后求解即可； （2）根据四边形内角和为360度推出，由平角的定义和角平分线的性质得到，再根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵的平分线与外角的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形中，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴． 17．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【分析】（1）先利用三角形内角和与角平分线求出，再用外角性质求，最后在直角三角形中计算； （2）先利用外角和角平分线，把用、表示，再结合直角三角形内角和，化简得到与、的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 18．如图，与的角平分线交于点P． (1)若，求的度数； (2)探究 的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，令相交于点O， 与的角平分线交于点P， ， ，，， ， ， ， ，， ， ． （2）解：，理由如下， 与的角平分线交于点P， ， ，，， ， ， ，， ， ，即． 19．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）在中，，点是边上一点，将沿直线翻折得到，与交于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，连接，的平分线交直线于点，且，若，请说明； (3)在（2）的条件下，若，在平面内将绕点逆时针方向旋转一个角度得到．在旋转的过程中，直线与的一边所在直线相交于点．当为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）根据三角和的内角等于可以得出，再根据平行线的性质即可得出答案． （2）设，由得，因，结合三角形内角和得，由折叠可知，，，进而得，在中利用内角和得，由角平分线知，最后在中用内角和算出，故． （3）已知，由（2）得、，旋转后利用对应角相等及三角形内角和、外角性质，算出旋转角． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是由沿直线翻折得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， 则，， ∴， ∵的平分线交直线于点， ∴， 在中，， ， ， ， ∴． （3）解：∵在（2）的条件下，， ∴，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 则， ∴， 即旋转角的度数为． 【点睛】题目主要考查三角形的内角和等于和平行线的性质，折叠的性质、角平分线的性质，旋转的性质、三角形内角和定理及外角性质，熟练掌握旋转前后对应角相等的性质，以及灵活运用三角形内角和与外角定理进行角度计算和转化是解题的关键． 20．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动．将三角尺角的顶点B放在直线上，直线与直线相交于点E． 【操作探究】 （1）聪聪同学将三角尺按图1所示放置，若，求的度数； （2）明明同学将三角尺绕点B旋转至图2位置时，与有什么数量关系，猜想并证明； 【深入探究】 （3）如图3，如果直线不动，慧慧同学加大了平行线与之间的距离，使平行线之间的距离大于．绕点B旋转三角尺，点A始终在平行线之间，请直接写出与所有可能的数量关系． 【答案】（1） ；（2） ，证明见解析；（3）或或 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）延长交于，由平行线的性质可得，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）延长交于，由平行线的性质结合对顶角相等可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （3）分三种情况：根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴； （2），证明如下： 如图，延长交于， ∵，， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，当的延长线与交于点时，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当的延长线交于，点在上方时，延长交于， ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图：当的延长线交于，点在下方时，令交于， ∵， ∴， ∵ ∴， 综上所述，与所有可能的数量关系为或或． 【题型3 探究与三角形有关的角之间的关系】 21．和相交于点，和相交于点，探究与、、的关系． 小明是这样做的： 解：如图（2）以点为端点作射线， 是的外角，， 同理， ， 即， 小英的思路是：如图延长交于点． (1)按小英的思路完成这一结论． (2)如图（4），中，、分别是与的角平分线，且、相交于点猜想与有怎样的关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)与的关系：；证明见解析 【分析】本题考查了三角形外角性质的运用，三角形内角和定理应用，角平分线性质，解题时注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （1）依据三角形外角性质，即可得到，，进而得出； （2）依据、分别是与的角平分线，即可得出，，再根据三角形内角和定理，即可得到． 【详解】（1）证明：如图（3），延长交于， 是的外角， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：与的关系：， 证明：、分别是与的角平分线， ，， ∴ ． 22．若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系． （1）如图1，∠A与∠B的等量关系是　 　；如图2，∠A与∠B的等量关系是　 　；对于上面两种情况，请用文字语言叙述：　 　． （2）请选择图1或图2其中的一种进行证明． 【答案】（1），如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补；（2）见解析 【分析】（1）根据对顶角相等，等角的余角相等即可求得，连接，根据三角形内角和定理即可证明；根据结论即可用文字语言叙述； （2）方法同（1）． 【详解】（1）如图1， ， 如图2，连接 ， 即 文字语言叙述：如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补； 故答案为：，如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补； （2）选择图1，证明如下， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，同位角相等，等角的余角相等，掌握以上知识是解题的关键． 23．阅读并填空．将三角尺（，）放置在上（点P在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系． (1)特例探索：若，则______度；______度； (2)类比探索：求，，的关系，并说明理由； (3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在外，三角尺的两边、仍恰好经过点B和点C，求，，的关系，并说明理由． 【答案】(1)90；40 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用． （1）利用三角形内角和定理即可解决问题． （2）结论：．利用三角形内角和定理即可证明． （3）结论：．利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：90，40； （2）解：结论：， 证明：， ， ， ． 故答案为：； （3）解：结论：， 理由是：设交于，如图    ， ，即， ， 故答案为：． 24．综合与实践： 问题情境：数学课上，同学们探索三角形中角之间的关系．如图，在中，点E是边AC上一点，． 特例分析： (1)如图1，作的平分线交CB、BE于D、F两点．若，，求和． 类比猜想： (2)奋斗小组在（1）的基础上，改变的大小，经过探究，他们发现与之间存在特定的等量关系，请直接写出这一等量关系． 拓展探究： (3)如图2，作的外角的平分线，交CB的延长线于点D，延长BE、DA交于点F，请在图2中画出符合题意的图形，并探究（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出结论并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)成立，理由见解析 【分析】（1）利用三角形内角和定理先求得，利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质即可求解； （2）同（1）的方法即可求解； （3）根据角平分线的定义推出，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， 又∵， ∴； （3）解：成立． 理由如下：画出符合题意的图形，如图， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 25．已知，中，，平分，是上一点，于， （1）当与重合时，如图1， ①若，，求的度数； ②问与，之间有何关系？请证明你的结论； （2）如图2，是延长线上一点，若，于点，试探究与的关系． 【答案】（1）①；②，证明见解析；（2） 【分析】（1）①首先根据三角形内角和求出∠BAC的度数，然后根据角平分线的性质求出∠CAE的度数，然后根据直角三角形中两锐角互余求出∠CAN的度数，即可求出∠EAN的度数；②首先根据角平分线的性质得到∠BAE=，然后根据三角形内角和得到∠BAC=180°-∠B-∠C，然后根据∠AEC=∠B+∠BAE，最后根据∠CMN+∠AEN=90°通过角度之间的等量代换即可表示出与，之间的关键． （2）根据直角三角形CMN和CDF得到∠CMN=∠D，然后根据外角的性质和即可得出与的关系． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②． 证明：∵平分，∴， ∵ ∴ ∴ ； （2）∵于点， ∴∠CFD=90°， 又∵∠MNC=90°，∠MCN=∠DCF， ∴∠CMN=∠D， 又∵∠ACB=∠D+∠CAD，∠D=∠CAD， ∴∠ACB=2∠D， ∴∠ACB=2∠CMN，即∠CMN=∠ACB． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的性质． 26．（25-26八年级上·江西宜春·期中）中，，点，分别是的边，上的两个定点，点是平面内一动点，令． (1)如图（1），若点在线段上运动， ①当时，___________． ②写出，，之间的关系：___________． (2)若点运动到边的延长线上，交于，如图（2），则，，之间有何关系？并说明理由． 【答案】(1)， (2)结论：，理由见解析 【分析】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）①如图1中，连接．证明即可． ②利用①中结论解决问题． （2）利用三角形的外角的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：①如图1中，连接． ∵，， ∴， ∵，， ∴． ②由①可知，， 故答案为：，． （2）解：结论：． 理由：如图2中， ∵，， ∴． 27．（24-25七年级下·西藏·期中）已知直线，和分别交于C，D两点，点A，B分别在线上，且位于的右侧，点P在直线上，且不和点C，D重合． (1)如图1，有一动点P在线段之间运动时，试确定之间的关系，并给出证明． (2)如图2，当动点P在射线上运动时，上述的结论是否成立？若不成立，请写出图2中的关系并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)不成立；，证明见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． （1）过点P作，根据可知，故可得出，．再由即可得出结论； （2）设与交于点F，根据可知．在中，根据是的一个外角即可得出结论． 【详解】（1）解：．证明如下： 如图，过点P作． ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：上述结论不成立，新的结论：．证明如下： 如图，设与交于点F， ∵， ∴． 在中，∵是的一个外角， ∴， ∴． 28．已知是的平分线，是的平分线，且与相交于点E．请你利用所学知识成下列问题： (1)如图①，若，，求的大小： (2)如图②，求证： ； (3)如图③，请直接写出与、之间等量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质： （1）先利用外角说明、、、、、、之间关系，再利用等式的性质求出的度数； （2）先利用外角说明，，再代入即可求解； （3）仿（2）的过程即可求解； 熟练掌握：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”是解题的关键． 【详解】（1）解：是的平分线，是的平分线， ，， ，， ， 即， ． （2）证明：延长交于点，如图： ，， ， 即：， ， 即：， 把代入,得：， ， 即：． （3）与之间等量关系：， 延长交于点，如图： ，， ， 即， ， 即：， 把代入, 得：， ， 即：． 29．在中，，点，分别是边，上的点（不与，，重合），点是平面内一动点（与，不在同一直线上），设，，． (1)若点在边上运动（不与点和点重合），且，如图（1）所示，则 ； (2)若点在的外部，如图（2）所示，则，，之间有何关系？写出你的结论，并说明理由． (3)当点在边的延长线上运动时，请你通过画出图形进行探究，然后直接写出，，之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查三角形的外角，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形的外角性质，三角形的内角和定理，四边形内角和，即可． （1）根据，，即可得到的角度； （2）根据三角形的外角，则，即可； （3）分类讨论，根据三角形的外角的性质，即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，，， ∴． 故答案为：． （2），理由，如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． （3）， 证明如下： ∵，，， ∴， ∴； ， 证明如下： ∵，，， ∴， ∴． 30．已知，为所在平面上一点，平分，平分． (1)若点是中边上一点，如图1所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． (2)若点是中边上一点，如图2所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． (3)若点是外任一点，如图3所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)结论：，证明见解析 (2)结论：，证明见解析 (3)结论：，证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，再由三角形内角和定理进行计算即可得出答案； （2）由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，，即可得出，从而得出答案； （3）由角平分线的定义可得：，，再由，即可得出答案． 【详解】（1）解：结论：， 证明： 平分，平分， ，， ， ； （2）解：结论：， 证明： 平分， ， 是的外角，是的外角， ，， ， ； （3）解：结论：， 证明： 平分，平分， ，， ，， ． 【题型4 探究与三角形有关的线段之间的位置关系】 31．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知，，，试猜想与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】由两直线平行内错角相等可得，，进而可得，，由三角形外角的性质可得，由三角形的内角和定理可得，于是可得，根据垂线的定义即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ， ，， ，， ，， ， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查了两直线平行内错角相等，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，垂线的定义等知识点，利用各项已知条件推出是解题的关键． 32．如图，在四边形中，，． (1)______度；（用含，的代数式表示） (2)若，平分与相邻的外角，平分交于点，交于点，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 解：，理由如下： ， ． ． 平分，平分， ，． ． ， ． ． 【分析】本题主要考查了四边形内角和问题，角平分线的定义，三角形外角的定义以及性质等知识． （1）由四边形内角和为即可解题． （2）由平角的定义得出，由（1）可得出，可得出，由角平分线的定义可得出，由三角形外角的定义以及性质可得出，，即可得出，则 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：． （2）略 33．如图所示，在中，，分别是及外角的平分线，且交于点E，交于点M． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键； （1）先证明，，结合邻补角的性质可得结论； （2）先求解，可得，再结合平行线的性质可得答案． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵，分别是及外角的平分线， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． （2）∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 34．如图1，线段于点A，平分，M为射线上一点，，垂足为E，的平分线交直线于点F． (1)如图1，当M为线段上一点，你能判断、的位置关系吗？请说明理由； (2)如图2，M为线段延长线上一点，你能判断、的位置关系吗？请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）利用平行线的判定即可证明； （2）利用各角之间的关系，证明所在的直线与的夹角为即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， ， ； （2）延长，交于点G， 在和中，，， ， 又、分别为和的平分线， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定以及垂线的判定，角平分线的概念，熟练掌握平行线的判定以及垂线的判定是解题的关键． 35．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂直定义， 对于（1），先根据“两直线平行，内错角相等”得，进而得出，再根据“同位角相等，两直线平行”得出答案； 对于（2），先根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再根据角平分线定义得，然后根据垂直定义得，最后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案． 【详解】（1）证明：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 36．（24-25七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点， ，． (1)与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析； (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行，即可判定； （2）由，可得，，接着证明，得到，然后在中，求得，最后求得的度数，利用对顶角相等，即可得到答案． 【详解】（1）解：平行，理由如下： ， ； （2）解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 37．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点、、． (1)若，，则________． (2)猜想与的关系，并说明理由． (3)在线段上取一点，使得，连接，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的判定， 对于（1），根据三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出答案； 对于（2），根据三角形内角和定理可得答案； 对于（3），根据三角形内角和定理可得，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：； （2）解：． 理由如下： ∵，， ∴， 即； （3）解：． 理由如下： ∵， ∴， ∴． 38．如图，已知点O在直线上，射线平分，过点O作，G是射线上一点，连接，满足． (1)求证：； (2)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题考查了余角，平行线的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题关键． （1）根据同角的余角相等即可证明； （2）由，，得到，即，而，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 39．已知，四边形中，． (1)如图1，若平分，平分的邻补角，判断与的位置关系； (2)如图2，若、分别平分、的邻补角，判断与的位置关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设交于点，证明．可得．即可得，则可证得； （2）连接，证明，得出，进而得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：．证明如下：设交于点， ，， ． ， ． 、分别平分、， ， ， ． ，，， ， ； （2）．证明如下： 如图，连接， 、分别平分、 ， ， ，， ， ． ， ， ， 即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解题的关键． 40．中，，是角平分线，F是上的一个动点，交于点E，平分，    (1)如图1，当点E在线段上时，交于点G，判断与的位置关系是 ； (2)如图2，当点E在线段 上时，交于点G，(1)中结论是否成立？请证明你的结论； (3)如图3，当点E在线段 延长线上时，交于点G，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)平行； (2)成立，证明见解析； (3)垂直，证明见解析． 【分析】（1）设，根据条件可推出，据此可求解； （2）根据（1）的推理过程即可求证 ； （3）延长交与点H，根据条件可推出 ，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵平分 设 则 ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：平行 （2）解：成立，理由如下： ∵ ∴ ∵平分 设 则 ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ （3）解：垂直，理由如下： 延长交与点H，如图所示：    ∵ ∴ ∵平分 设 则 ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题以平面内两直线的位置关系为背景，考查了平行线的判定、角平分线的定义等相关知识点．明确推理过程是解题关键． 【题型5 与三角形的角有关的证明】 41．如图，在中，，是边上的中线，于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后用三角形内角和定理得到，等量代换即可得到． 【详解】（1）∵，是边上的中线， ∴是边上的高线， ∴； （2）如图所示，设与交于点F， ∵，是边上的中线， ∴是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 42．如图，点D，E，F分别是三角形的边，上的点，且．    (1)求证：； (2)若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和，关键是根据平行线的性质和三角形的内角和定理进行解答． （1）由平行线的性质进行证明即可； （2）由三角形内角和定理证明即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）证明：， ， 即， 解得：， ， ． 43．如图，已知：．    (1)求证：． (2)若， ①求证：． ②若，，则的度数为_______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据已知和邻补角得出，，根据等量代换得出，再根据同位角相等，两直线平行即可得证； （2）①根据（1）可知，再根据两直线平行内错角相等得出，然后根据等量代换得出，最后根据同位角相等，两直线平行即可得证；②根据三角形内角和得出，再根据两直线平行，同位角相等即可得出答案． 【详解】（1） ， （2）①由（1）可知， ； ②在中，，， 由①知， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、三角形内角和为，熟练掌握性质定理是解题的关键． 44．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D、E分别在边、上． (1)若，求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见详解 【分析】本题考查了三角形的外角性质；熟练掌握三角形的外角性质是解决问题． （1）先整理得，根据三角形外角的性质得出，整理得，即可得出结论； （2）先根据三角形外角的性质得出，，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴ 是的外角， ， 即：， ∴ 即 （2）解：，， ． ， ， 又∵， 45．（24-25八年级上·全国·暑假作业）（1）如图，和交于交于点O，求证： ． （2）如图，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了三角形外角和定理的综合运用． 根据三角形外角的性质，即可得到，，即可得到． 延长线段交线段与点E，求得，，即可解答． 【详解】解：（1）如图，在中，是一个外角，由外角的性质可得：， 同理，在中，， 所以． （2）如图，延长线段交线段与点E， 在中，①； 在中， ②， 将①代入②得，. 46．如图，在四边形中，，，G是上一点，平分交的延长线于点E． (1)求证： (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角： （1），得到，进而推出，即可得证； （2）根据平行结合角平分线，得到，利用三角形的外角，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 47．（25-26七年级下·四川绵阳·期中） 如图①，点E在直线之间，点A为上一点，且，． (1)求证：； (2)如图②，直线交于平，平分．求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长交于F，先证，再根据线线平行的判定证明即可； （2）由角平分线的性质可得，再由可得，进而得到． 【详解】（1）证明：如图，延长交于F， ∵， ∴， 根据三角形的外角性质，， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 48．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图①，在中，，是上一点，且． (1)求证：． (2)如图②，若的平分线分别交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角的等量代换，以及三角形外角、等角的补角相等． （）先利用直角三角形，得到，再结合已知，替换后得出；最后根据三角形内角和，推出，证明； （）先根据角平分线定义，得到；再根据三角形外角性质，结合已知，得，根据等角的补角相等即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 又∵，， ∵， ∴， ∴， ∴． 49．（24-25七年级下·上海·阶段检测）在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查了三角形内角和定理及对顶角相等，理解题意是解题关键． （1）根据对顶角相等及三角形内角和定理即可证明； （2）根据角平分线得出，再由题意结合图形确定，，求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意得， ∵， ∴； （2）∵和的平分线交于点， ∴， ∴①， 由（1）得， 即②， 得：， ∴． 50．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在中，，点在边的延长线上，点在边的延长线上．连接，使． (1)如图1，求证： (2)如图2，、的延长线交于点，作的角平分线交于点，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，，上有一点，连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理以及垂直的判定，角平分线的性质、三角形外角性质以及直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是通过角度之间的等量代换证明角度关系． （1）根据角度相等，求解由此可证明垂直； （2）由垂直可得，再由角平分线可得，根据角度的等量代换证明即可； （3）根据与，可得，由此可得，由（2）中结论可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知：， ∴，且， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， 又， ∴． 【题型6 与三角形的角有关的折叠问题】 51．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的内角和是解决问题的关键． （1）直接利用三角形的内角和求得答案即可； （2）根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得． ，然后利用平角等于列式计算即可得解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 由题意，得， ． 52．（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 根据折叠的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可； 【详解】解：由题意知：， ， ， ． 53．（24-25六年级下·山东济南·期末）如图，中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点B落到点处，恰有，求的度数． 【答案】． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，根据三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，，则由平行线的性质得到，进而得到，则，再由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 54．（24-25七年级下·全国·课后作业）在中，，说明． (1)如图①，小明以“折叠”为思路说明：将沿折叠，使点落在边的点处，然后可以说明，请尝试写出小明的思路； (2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图②中通过尺规作图，设计一种不同于小明的折叠方法并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了翻折变换、三角形外角定义，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． （1）将沿折叠，使点落在边的点处，利用折叠得到对应角相等，利用三角形外角定义得出，等量代换得出结论； （2）将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，利用折叠得到对应角相等，利用三角形外角定义得出，等量代换得出结论． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， 为的外角， ， ， 即． （2）证明：作的角平分线，将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，如图所示： 由折叠的性质得：， 为的外角， ， ， 即． 55．（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，将纸片沿折叠使点落在点处，且平分，平分，若，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查三角形的内角和定理、折叠的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识．连接．首先求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵平分，平分，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， 由折叠可知：，， ∴． 56．如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与相交于点． (1)填空：________； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的特点得出，再根据三角形一个外角等于它不相邻两个内角之和，即可得出答案； （2）根据已知求出的值，再根据沿折叠得到，得出，最后根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：沿折叠得到， ， ， ； （2）解：，， ∴． 沿折叠得到， ， ∴， ∴． 57．（25-26八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得即可求得结果； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，整理可得结论； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理即可得到答案． 【详解】（1）解： 沿直线折叠，且， 点落在上，如图（1）， ∴， ； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ， 又， ； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ∴ ， ． 58．已知点A，B分别是锐角（）的边，上的点，先将沿着折叠，折叠后点P的对应点为Q， (1)如图1，若折叠后点Q落到的内部，且，与相等吗？若相等说明理由？ (2)如图2，若折叠后，试说明； (3)在（2）的条件下，过点Q作交于点C，当时，求度数？ 【答案】(1)；理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，即可得出结论； （2）根据三角形内角和得出，根据三角形外角的性质得出，根据折叠得出，即可得出结论； （3）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据，求出，根据折叠得出，即可得出，从而求出结果． 【详解】（1）解：；理由如下： ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握折叠的性质． 59．（24-25七年级下·河北保定·期末）发现与探索综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 如图：操作一：若折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；操作二：若折叠三角形纸片，得到折痕，使点在一条直线上．完成以上操作后把纸片展平，判断是的______（从中线、角平分线、高线中选填），______． (2)深入探究 操作三：过点折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，如图，判断和是否相等？并说明理由． (3)结论应用 已知，则______． 【答案】(1)角平分线，； (2)相等，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据折叠的性质作答即可； （2）设与交于点G，由折叠的性质可知，即，得到，进而得到，即可证明； （3）由三角形内角和得到，再根据三角形外角的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕， ∴，即是的角平分线； ∵折叠三角形纸片，得到折痕，使点在一条直线上， ∴， 故答案为：角平分线，； （2）相等，理由如下： 如图，设与交于点G， ∵过点折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴； （3）∵， ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 60．如图①，在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿的平分线折叠，点与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称是的好玩角． 小马展示了确定是的好玩角的两种情形． 情形一：如图②，沿等腰三角形顶角的平分线折叠，点B与点C重合； 情形二：如图③，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，此时点与点C重合．    探究发现： (1)在中，，，经过两次折叠，是的好玩角，求的度数． (2)小马经过三次折叠发现了是的好玩角，请探究与（不妨设）之间的等量关系为________．根据以上内容猜想：若经过n次折叠是的好玩角，则与（不妨设）之间的等量关系为________． 应用提升： (3)小马找到一个三角形，三个角分别为，，，发现和的两个角都是此三角形的好玩角．请你完成，如果一个三角形的最小角是，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好玩角． 【答案】(1) (2)； (3)和或和 【分析】（1）设，根据好玩角的定义可得，再由三角形外角的性质，可得，即可求解； （2）根据好玩角的定义以及三角形外角的性质，即可求解； （3）由题意可设另外两个的度数分别为和，其中m，n为正整数，根据三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图③，设， ∵经过两次折叠，是的好玩角， ∴， 又∵是的外角， ∴， 由题意， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，    ∵经过三次折叠是的好玩角， ∴第三次折叠的， ∵，， ∴， 由此可猜想经过n次折叠是的好玩角，则； 故答案为：；； （3）解：由题意可设另外两个的度数分别为和，其中m，n为正整数，根据题意： ， ∴， ∴m，n均为正整数， ∴有两种情况： ①，， 此时三角形的另外两个角的度数分别为：和； ②，， 此时三角形的另外两个角的度数分别为：和； 综上所述：三角形另外两个角的度数和或和． 【点睛】本题主要考查了折叠问题的综合题，涉及了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，图形类规律题，根据题意得到规律是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 与三角形的角有关的必考六类大题（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 与三角形的角有关的挖空题】 1 【题型2 与三角形的角有关的计算】 7 【题型3 探究与三角形有关的角之间的关系】 10 【题型4 探究与三角形有关的线段之间的位置关系】 14 【题型5 与三角形的角有关的证明】 17 【题型6 与三角形的角有关的折叠问题】 20 【题型1 与三角形的角有关的挖空题】 1．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）将下列推理过程补充完整． 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，．求和的度数． 解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵平分，， ∴ ， ∵（        ），平分， ∴ ， ∴ ． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如下图，，平分，平分．试说明：． 下面是小明的解答过程，请补充完整． 解：因为（已知）， 所以____________（________________________）． 因为平分，平分（已知）， 所以，（角平分线的定义）， 所以（____________）（等式性质）， 即____________． 因为（________________________）， 所以____________（等式性质）， 所以（____________）． 3．将下面求解的过程补充完整： 如图，在中，，，过点作边上的高，交的延长线于点，平分交于点，求的度数． 解：是的一个外角，且，， ． (三角形的外角等于与它 的和)  又平分， °， 又是的一个外角，且， ． 4．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形，点在的延长线上，是的平分线，若，求证： （请把证明过程补充完整） 点在延长线上 ___________ （　　） ___________ ______________________ ___________ 是的平分线 ___________ ___________ （　　） 5．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，的两条高线，相交于点O．将下面证明的过程补充完整． 证明：，是的两条高线（已知） （高线的意义） （   ）（   ） （   ） 6．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知在中，点在上，连接，点、分别在、上，连接． (1)求证：．把以下证明过程补充完整：证明： （已知）， 又（___________）， （___________）． （___________）． （___________） (2)如果，平分，求证：． 7．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，于点D，，． 求： (1)的度数（填空，把解答过程补充完整）； (2)的度数（写出解答过程）． 解：（1）∵（已知）， ∴________（垂直的定义）． ∵________________（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和）， ∴________________． 答：的度数为________． 8．（24-25八年级上·河南新乡·阶段检测）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将解题过程补充完整． 如图，在中，，点、分别在边、上，，，与交于点，判断与的数量关系． 解：与的数量关系是：______； 理由：设， ______° 又 ____________ ______ 是的外角， __________________， 与的数量关系是______． 9．（24-25八年级上·河南安阳·阶段检测）下面是多媒体上的一道习题，请将过程补充完整． 如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，两角（与）的平分线交于点P，若，求的度数． 解：在中，根据三角形内角和定理可知： ______ 又， ∴经计算：_______ 又平分，平分， ∴_____________ （角平分线认识） ∴______ 又_______（三角形外角的性质） 且_______（平角的性质） ∴_________， ∴________ 10．如图，在中，平分，点在射线上，过点作于点，交边于点；交边于点，试说明：.请补充下面的说明过程，并在括号内写出相应的根据. 证明： 是的外角（已知） ，（    ） 同理，， ， 又 于点， ，（    ） 平分，（已知） ，（角平分线定义） ________，（等角的余角相等） 而（对顶角相等） ，（等量代换） 即________________， . 【题型2 与三角形的角有关的计算】 11．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图，在中，平分，是延长线上一点，于点，若，，求的度数． 12．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 13．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，为中的角平分线，，，延长至F，连接． (1)求的度数； (2)若，求证：． 14．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E． (1)若，，求的大小； (2)求证：． 15．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，交于点，且． (1)判断与的位置关系，说明理由； (2)若平分，且分别交，于点，．求证：． 16．（25-26七年级下·四川乐山·期末）解决下列问题： (1)如图1，在中，，的平分线与外角的平分线交于点，求的度数； (2)如图2，已知四边形中，，的平分线与四边形的外角的平分线相交于点，求的度数． 17．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 18．如图，与的角平分线交于点P． (1)若，求的度数； (2)探究 的数量关系并说明理由． 19．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）在中，，点是边上一点，将沿直线翻折得到，与交于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，连接，的平分线交直线于点，且，若，请说明； (3)在（2）的条件下，若，在平面内将绕点逆时针方向旋转一个角度得到．在旋转的过程中，直线与的一边所在直线相交于点．当为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 20．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动．将三角尺角的顶点B放在直线上，直线与直线相交于点E． 【操作探究】 （1）聪聪同学将三角尺按图1所示放置，若，求的度数； （2）明明同学将三角尺绕点B旋转至图2位置时，与有什么数量关系，猜想并证明； 【深入探究】 （3）如图3，如果直线不动，慧慧同学加大了平行线与之间的距离，使平行线之间的距离大于．绕点B旋转三角尺，点A始终在平行线之间，请直接写出与所有可能的数量关系． 【题型3 探究与三角形有关的角之间的关系】 21．和相交于点，和相交于点，探究与、、的关系． 小明是这样做的： 解：如图（2）以点为端点作射线， 是的外角，， 同理， ， 即， 小英的思路是：如图延长交于点． (1)按小英的思路完成这一结论． (2)如图（4），中，、分别是与的角平分线，且、相交于点猜想与有怎样的关系，并加以证明． 22．若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系． （1）如图1，∠A与∠B的等量关系是　 　；如图2，∠A与∠B的等量关系是　 　；对于上面两种情况，请用文字语言叙述：　 　． （2）请选择图1或图2其中的一种进行证明． 23．阅读并填空．将三角尺（，）放置在上（点P在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系． (1)特例探索：若，则______度；______度； (2)类比探索：求，，的关系，并说明理由； (3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在外，三角尺的两边、仍恰好经过点B和点C，求，，的关系，并说明理由． 24．综合与实践： 问题情境：数学课上，同学们探索三角形中角之间的关系．如图，在中，点E是边AC上一点，． 特例分析： (1)如图1，作的平分线交CB、BE于D、F两点．若，，求和． 类比猜想： (2)奋斗小组在（1）的基础上，改变的大小，经过探究，他们发现与之间存在特定的等量关系，请直接写出这一等量关系． 拓展探究： (3)如图2，作的外角的平分线，交CB的延长线于点D，延长BE、DA交于点F，请在图2中画出符合题意的图形，并探究（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出结论并说明理由． 25．已知，中，，平分，是上一点，于， （1）当与重合时，如图1， ①若，，求的度数； ②问与，之间有何关系？请证明你的结论； （2）如图2，是延长线上一点，若，于点，试探究与的关系． 26．（25-26八年级上·江西宜春·期中）中，，点，分别是的边，上的两个定点，点是平面内一动点，令． (1)如图（1），若点在线段上运动， ①当时，___________． ②写出，，之间的关系：___________． (2)若点运动到边的延长线上，交于，如图（2），则，，之间有何关系？并说明理由． 27．（24-25七年级下·西藏·期中）已知直线，和分别交于C，D两点，点A，B分别在线上，且位于的右侧，点P在直线上，且不和点C，D重合． (1)如图1，有一动点P在线段之间运动时，试确定之间的关系，并给出证明． (2)如图2，当动点P在射线上运动时，上述的结论是否成立？若不成立，请写出图2中的关系并证明． 28．已知是的平分线，是的平分线，且与相交于点E．请你利用所学知识成下列问题： (1)如图①，若，，求的大小： (2)如图②，求证： ； (3)如图③，请直接写出与、之间等量关系． 29．在中，，点，分别是边，上的点（不与，，重合），点是平面内一动点（与，不在同一直线上），设，，． (1)若点在边上运动（不与点和点重合），且，如图（1）所示，则 ； (2)若点在的外部，如图（2）所示，则，，之间有何关系？写出你的结论，并说明理由． (3)当点在边的延长线上运动时，请你通过画出图形进行探究，然后直接写出，，之间的关系． 30．已知，为所在平面上一点，平分，平分． (1)若点是中边上一点，如图1所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． (2)若点是中边上一点，如图2所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． (3)若点是外任一点，如图3所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． 【题型4 探究与三角形有关的线段之间的位置关系】 31．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知，，，试猜想与的位置关系，并证明你的结论． 32．如图，在四边形中，，． (1)______度；（用含，的代数式表示） (2)若，平分与相邻的外角，平分交于点，交于点，判断与的位置关系，并说明理由． 33．如图所示，在中，，分别是及外角的平分线，且交于点E，交于点M． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 34．如图1，线段于点A，平分，M为射线上一点，，垂足为E，的平分线交直线于点F． (1)如图1，当M为线段上一点，你能判断、的位置关系吗？请说明理由； (2)如图2，M为线段延长线上一点，你能判断、的位置关系吗？请说明理由． 35．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，，求的度数． 36．（24-25七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点， ，． (1)与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若，，求的度数． 37．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点、、． (1)若，，则________． (2)猜想与的关系，并说明理由． (3)在线段上取一点，使得，连接，判断与的位置关系，并说明理由． 38．如图，已知点O在直线上，射线平分，过点O作，G是射线上一点，连接，满足． (1)求证：； (2)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 39．已知，四边形中，． (1)如图1，若平分，平分的邻补角，判断与的位置关系； (2)如图2，若、分别平分、的邻补角，判断与的位置关系． 40．中，，是角平分线，F是上的一个动点，交于点E，平分，    (1)如图1，当点E在线段上时，交于点G，判断与的位置关系是 ； (2)如图2，当点E在线段 上时，交于点G，(1)中结论是否成立？请证明你的结论； (3)如图3，当点E在线段 延长线上时，交于点G，判断与的位置关系，并说明理由． 【题型5 与三角形的角有关的证明】 41．如图，在中，，是边上的中线，于点． (1)求证：； (2)求证：． 42．如图，点D，E，F分别是三角形的边，上的点，且．    (1)求证：； (2)若，，求证：． 43．如图，已知：．    (1)求证：． (2)若， ①求证：． ②若，，则的度数为_______． 44．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D、E分别在边、上． (1)若，求证：； (2)若，求证：． 45．（24-25八年级上·全国·暑假作业）（1）如图，和交于交于点O，求证： ． （2）如图，求证：． 46．如图，在四边形中，，，G是上一点，平分交的延长线于点E． (1)求证： (2)求证： 47．（25-26七年级下·四川绵阳·期中） 如图①，点E在直线之间，点A为上一点，且，． (1)求证：； (2)如图②，直线交于平，平分．求证： 48．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图①，在中，，是上一点，且． (1)求证：． (2)如图②，若的平分线分别交于点，求证：． 49．（24-25七年级下·上海·阶段检测）在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 50．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在中，，点在边的延长线上，点在边的延长线上．连接，使． (1)如图1，求证： (2)如图2，、的延长线交于点，作的角平分线交于点，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，，上有一点，连接，，求证：． 【题型6 与三角形的角有关的折叠问题】 51．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 52．（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数． 53．（24-25六年级下·山东济南·期末）如图，中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点B落到点处，恰有，求的度数． 54．（24-25七年级下·全国·课后作业）在中，，说明． (1)如图①，小明以“折叠”为思路说明：将沿折叠，使点落在边的点处，然后可以说明，请尝试写出小明的思路； (2)在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图②中通过尺规作图，设计一种不同于小明的折叠方法并说明理由． 55．（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，将纸片沿折叠使点落在点处，且平分，平分，若，求的度数． 56．如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与相交于点． (1)填空：________； (2)求的度数． 57．（25-26八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 58．已知点A，B分别是锐角（）的边，上的点，先将沿着折叠，折叠后点P的对应点为Q， (1)如图1，若折叠后点Q落到的内部，且，与相等吗？若相等说明理由？ (2)如图2，若折叠后，试说明； (3)在（2）的条件下，过点Q作交于点C，当时，求度数？ 59．（24-25七年级下·河北保定·期末）发现与探索综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 如图：操作一：若折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；操作二：若折叠三角形纸片，得到折痕，使点在一条直线上．完成以上操作后把纸片展平，判断是的______（从中线、角平分线、高线中选填），______． (2)深入探究 操作三：过点折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，如图，判断和是否相等？并说明理由． (3)结论应用 已知，则______． 60．如图①，在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿的平分线折叠，点与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称是的好玩角． 小马展示了确定是的好玩角的两种情形． 情形一：如图②，沿等腰三角形顶角的平分线折叠，点B与点C重合； 情形二：如图③，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，此时点与点C重合．    探究发现： (1)在中，，，经过两次折叠，是的好玩角，求的度数． (2)小马经过三次折叠发现了是的好玩角，请探究与（不妨设）之间的等量关系为________．根据以上内容猜想：若经过n次折叠是的好玩角，则与（不妨设）之间的等量关系为________． 应用提升： (3)小马找到一个三角形，三个角分别为，，，发现和的两个角都是此三角形的好玩角．请你完成，如果一个三角形的最小角是，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好玩角． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $