陕西汉中市南郑区2025-2026学年度第二学期期末考试七年级数学试题卷

**基本信息** 2025-2026学年汉中市南郑区七年级数学期末试卷，以“二十四节气”邮票、冰雹救援物资配送等真实情境为载体，融合轴对称、全等三角形、函数图像等核心知识，通过基础巩固与创新探究的梯度设计，考查数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）及语言（模型意识）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|轴对称（第1题）、科学记数法（第3题）、全等判定（第5题）|结合美术字、测量实践考查空间观念与应用能力| |填空题|6/18|等腰三角形内角（第10题）、概率（第12题）、角平分线性质（第13题）|设置开放条件（第11题），培养发散思维| |解答题|12/78|尺规作图（第15题）、函数关系（第20题）、综合探究（第25题）|以折叠凳设计（第23题）、路径最短问题（第25题）考查建模与创新应用|

2025-2026学年度汉中市南郑区第二学期期末考试 七年级数学试题（卷） 一、选择题(共8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项符合题意) 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( ) A.真 B.抓 C.实 D.干 2. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 3. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 4. 将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（ ） A.10° B.15° C.20° D.25° 5. 如图，为测量池塘两端AB的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长.则其依据是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 6. 4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送.已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示，根据图中的信息，下列说法正确的是( ) A.物资车往返总路程为120km B.物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度快于出发后第1个小时内的速度 C.物资车中途卸货停留0.5小时 D.物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 7. 如图，在△ABC中，BC＞BA，在BC上截取BD=BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC，若△ABC的面积为4，则△BPC的面积为（ ） A. 0.5 B.1 C. 1.5 D. 2 8. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=125°，∠D=∠B=90°，点M、N分别是CD、BC上两个动点。当△AMN的周长最小时，∠AMN和∠ANM的度数为（ ） A.130° B.110° C.100° D.90° 二、填空题(共6小题.每小题3分.计18分) 9. 已知，则 10. 已知等腰三角形的一个内角等于65°，则顶角等于 . 11. 如图，∠ABC=∠DCB，添加一个条件 ，使△ABC≌△DCB.(不添加辅助线和点) 12. “二十四节气”是中国古代农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国 第五大发明”。小明购买了4张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有2张，“雨水”和“惊蛰”各1张，从中随机抽取1张恰好抽到“夏至”的概率是 . 13. 如图，OP平分∠AOB，点Q在OP上，QM⊥OA于M，QM=8，点N是射线OB上的动点，则QN的最小值为 14. 如图，在△ABC中，∠BAC=45°，以BC为边向外作等腰直角△BCD，∠CBD=90°，连接AD，若AC=6，则 3、 解答题(共12小题，计78分。解答应写出过程) 15. (每题3分，共6分)计算: （1） （2）(利用乘法公式计算). 16. (5分)先化简，再求值:，其中x=10，y=. 17. (5分)尺规作图:如图，已知△ABC，请在AC边上找一点D，使△ABD的周长等于AB+AC.(保留作图痕迹，不写作法) 18. (5分)如图，已知∠EFC=∠ABC，∠BEF+∠A=180°.求证:AD//BE: 19. (5分)在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球。其中红球3个，白球5个，黑球7个。 (1)求任意摸出一个球是黑球的概率；(2分) (2)小明从盒子里取出m个白球(其他颜色球的数量没有改变)，使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出m的值。(3分) 20. (5分)已知:如图，AB//CD，且AB=BD，点E在BD边上，连接AE，∠C=∠AEB. 求证:BC=AE。 21. (6分)已知三角形的三边长分别为2cm，a cm和7cm。 (1)求a的取值范围；(2分) (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长。（4分） 22. (7分)如图所示，在一个边长为10cm的正方形的四个角上，都剪去大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积随之发生变化。 (1) 在这个变化中，自变量、因变量各是什么?(2分) (2) 写出阴影部分的面积y()与小正方形边长x(cm)之间的关系式。(3分) (3) 当小正方形边长由1cm增加到5cm时，阴影部分的面积是怎样变化的?(2分) 23. (7分)如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，E是BC上一点，BD=DE，且EF垂直平分AC，交AC于点F，连接AE。 (1) 若∠BAE=40°，求∠C的度数；(3分) (2) 若△ABC的周长为20，AC=8，求DC的长。(4分) 24. (7分)2025年9月3日，某校组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育，该校为师生配备如图1所示的折叠坐凳便于集中观看。 (1) 这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的 性；（3分） (2) 图2是折叠凳撑开后的示意图(材料宽度忽略不计)，其中凳腿AC和BD的长相等，O是它们的中点、为使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得BC的长度也为30cm，请说明AD=BC的理由。(4分) 25. （8分）对于任意数a，b，c，d，我们规定（a，b）☆（c，d）=。 （1） 计算（1，2）☆（3，-2）的结果为 ；（2分） （2） 对于数x，y，若x+y=8，(x，x)☆(y，y)=46. ①求xy的值;(3分) ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式放置，点E在边CD上，连接BD，BF.若AB=2x，AD=x，EF=2y，FG=y，求图中阴影部分的面积。(3分) 26. (12分)问题探究 (1) 如图①，在直线l的异侧有A，B两点，其距离为4.点P为直线l上的动点，则AP+BP的最小值为 ;(3分) (2) 如图②，已知△ABC边AC上有一点D，且满足AD=CB，过点A作AE∥BC，并截取AE=AC，连接ED，求证:ED=AB；(4分) 问题解决 (3)某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏。等腰三角形空地为如图③所示的△ABC，其中CD为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路BE和AF，其中点E，点F分别在AC，CD上，且满足AE=CF，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即BE+AF最小。已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=55°，CD⊥AB，垂足为点D.那么这样的设计要求能否达到?若能，求出当BE+AF最小时，∠AFD的度数；若不能，请说明理由。(5分) 参考答案 一、选择题(共8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项符合题意) 16. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( D ) A.真 B.抓 C.实 D.干 17. 下列计算正确的是( D ) A. B. C. D. 18. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为( C ) A. B. C. D. 19. 将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（A） A.10° B.15° C.20° D.25° 20. 如图，为测量池塘两端AB的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长.则其依据是( C ) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 21. 4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送.已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示，根据图中的信息，下列说法正确的是( C ) A.物资车往返总路程为120km B.物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度快于出发后第1个小时内的速度 C.物资车中途卸货停留0.5小时 D.物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 22. 如图，在△ABC中，BC＞BA，在BC上截取BD=BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC，若△ABC的面积为4，则△BPC的面积为（D） A. 0.5 B.1 C. 1.5 D. 2 23. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=125°，∠D=∠B=90°，点M、N分别是CD、BC上两个动点。当△AMN的周长最小时，∠AMN和∠ANM的度数为（B） A.130° B.110° C.100° D.90° 二、填空题(共6小题.每小题3分.计18分) 24. 已知，则 1 25. 已知等腰三角形的一个内角等于65°，则顶角等于 50°或65°. 26. 如图，∠ABC=∠DCB，添加一个条件 ∠ACB=∠DBC或∠A=∠B或AB=DC ，使△ABC≌△DCB.(不添加辅助线和点) 27. “二十四节气”是中国古代农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国 第五大发明”。小明购买了4张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有2张，“雨水”和“惊蛰”各1张，从中随机抽取1张恰好抽到“夏至”的概率是 . 28. 如图，OP平分∠AOB，点Q在OP上，QM⊥OA于M，QM=8，点N是射线OB上的动点，则QN的最小值为 8 29. 如图，在△ABC中，∠BAC=45°，以BC为边向外作等腰直角△BCD，∠CBD=90°，连接AD，若AC=6，则 18 4、 解答题(共12小题，计78分。解答应写出过程) 30. (每题3分，共6分)计算: （1） （2）(利用乘法公式计算). 解： 解： 22. (5分)先化简，再求值:，其中x=10，y=. 解： 23. (5分)尺规作图:如图，已知△ABC，请在AC边上找一点D，使△ABD的周长等于AB+AC.(保留作图痕迹，不写作法) 解：如图所示，点D就是所求做图形。 24. (5分)如图，已知∠EFC=∠ABC，∠BEF+∠A=180°.求证:AD//BE: 证明:∵∠EFC=∠ABC， ∴AB// EF ， ∴∠BEF=∠ ABE （ 两直线平行，内错角相等 ） ∵∠BEF+A=180°， ∴∠ ABE +∠A=180°， ∴AD//BE（ 同旁内角互补，两直线平行 ） 25. (5分)在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球。其中红球3个，白球5个，黑球7个。 (1)求任意摸出一个球是黑球的概率；(2分) (2)小明从盒子里取出m个白球(其他颜色球的数量没有改变)，使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出m的值。(3分) 解： 26. (5分)已知:如图，AB//CD，且AB=BD，点E在BD边上，连接AE，∠C=∠AEB. 求证:BC=AE。 27. (6分)已知三角形的三边长分别为2cm，a cm和7cm。 (1)求a的取值范围；(2分) (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长。（4分） 27. (7分)如图所示，在一个边长为10cm的正方形的四个角上，都剪去大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积随之发生变化。 (4) 在这个变化中，自变量、因变量各是什么?(2分) (5) 写出阴影部分的面积y()与小正方形边长x(cm)之间的关系式。(3分) (6) 当小正方形边长由1cm增加到5cm时，阴影部分的面积是怎样变化的?(2分) 28. (7分)如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，E是BC上一点，BD=DE，且EF垂直平分AC，交AC于点F，连接AE。 (3) 若∠BAE=40°，求∠C的度数；(3分) (4) 若△ABC的周长为20，AC=8，求DC的长。(4分) 29. (7分)2025年9月3日，某校组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育，该校为师生配备如图1所示的折叠坐凳便于集中观看。 (3) 这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的 性；（3分） (4) 图2是折叠凳撑开后的示意图(材料宽度忽略不计)，其中凳腿AC和BD的长相等，O是它们的中点、为使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得BC的长度也为30cm，请说明AD=BC的理由。(4分) 30. （8分）对于任意数a，b，c，d，我们规定（a，b）☆（c，d）=。 （3） 计算（1，2）☆（3，-2）的结果为 ；（2分） （4） 对于数x，y，若x+y=8，(x，x)☆(y，y)=46. ①求xy的值;(3分) ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式放置，点E在边CD上，连接BD，BF.若AB=2x，AD=x，EF=2y，FG=y，求图中阴影部分的面积。(3分) 31. (12分)问题探究 (3) 如图①，在直线l的异侧有A，B两点，其距离为4.点P为直线l上的动点，则AP+BP的最小值为 ;(3分) (4) 如图②，已知△ABC边AC上有一点D，且满足AD=CB，过点A作AE∥BC，并截取AE=AC，连接ED，求证:ED=AB；(4分) 问题解决 (3)某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏。等腰三角形空地为如图③所示的△ABC，其中CD为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路BE和AF，其中点E，点F分别在AC，CD上，且满足AE=CF，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即BE+AF最小。已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=55°，CD⊥AB，垂足为点D.那么这样的设计要求能否达到?若能，求出当BE+AF最小时，∠AFD的度数；若不能，请说明理由。(5分) 学科网（北京）股份有限公司 $