1.2反比例函数的图象与性质（八大题型提分练）数学湘教版九年级上册

1.2反比例函数的图象与性质（八大题型提分练） 题型一 判断（画）反比例函数图象 1.如图所示，该函数表达式可能是（　　） A．y＝3x2 B． C． D．y＝3x 2．关于x的函数y＝k（x﹣2）和y＝（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3.（2022秋•莲池区校级期末）如图，是三个反比例函数y＝，y＝，y＝在x轴上方的图象，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为（　　） A．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2 C．k2＞k3＞k1 D．k3＞k2＞k1 题型二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 1.若反比例函数的图象经过点，则下列各点在该函数图象上的为（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（    ）    A．5 B．12 C． D． 3.如图，当反比例函数的图象将矩形的内部（不含边界）的横、纵坐标都为整数的点分成数量相等的两部分，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.已知反比例函数（k为常数，且）的图象经过点． (1)求这个函数的表达式． (2)判断点是否在这个函数的图上，并说明理由． (3)上述函数图象的两个分支是否成中心对称？若是，请指出对称中心，并写出两对对称点的坐标． 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（　　） A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 2．如果正比例函数y＝ax（a≠0）与反比例函数y＝（b≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣3，﹣2），那么另一个交点的坐标为（　　） A．（2，3） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（3，2） 3.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为．    (1)求出点B的坐标． (2)请根据图象直接写出不等式的解集． 题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 1．已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知反比例函数图象经过一、三象限． (1)若函数过点，求当时的函数值y， (2)若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系，并说明理由； (3)设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是，求x为何值时， ． 题型五 判断反比例函数的增减性 1.已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B．是轴对称图形，也是中心对称图形 C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D．图象分别位于第二、四象限内 2.若正比例函数过第二象限，则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而 （选填“增大”或“减小”） 3.如果当时，反比例函数的函数值随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 题型六 判断反比例函数图象所在象限 1.关于反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A．它的图象分布在一、三象限 B．当时， C．此函数图象关于直线对称 D．若点在它的图象上，则点也在图象上 2.关于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限； B．图象与坐标轴有交点； C．若图象经过点，则必经过点； D．图象上有两点，，若，则． 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 1.若反比例函数的图象在每个象限内随着的增大而增大，则的值为 ． 2.已知点在反比例函数的图象上，当时，，则的取值范围是 ． 3.反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 4.已知反比例函数（为常数）． (1)若函数图象经过点，求的值； (2)若时，随的增大而减小，求的取值范围． 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 1.已知，是反比例函数（a为常数，）图像上的两点，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若点，，都在反比例函数的图象上，则，与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3.已知点，，在反比例函数的图象上，，有下面三个结论：①若，则；②若，则；③若，则．所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 1.关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象是中心对称图形 B．当时，随的增大而增大 C．图象经过点 D．若，则 2.若点是反比例函数图像上一点，则下列说法正确的是(   ) A．图像分别位于一、三象限 B．点在函数图像上 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 3.已知反比例函数（m为常数，）图象的两个分支分布在第二、四象限，则m的取值范围是 ． 4.已知点，，在反比例函数（a为常数）的图象上，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5.在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，且整式是完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ． 6.已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． (1)求的值； (2)若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当时，求的取值范围． 7.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点A作轴于点B，的面积为5． (1)求k和m的值； (2)当时，求函数值y的取值范围． 8.【思路点拨】：如图1，点是点关于直线的对称点，分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．可以利用轴对称图形的性质证明，从而由点的坐标可求点的坐标． 【应用拓展】：如图2，若点横坐标为，且在函数的图象上．    (1)求点关于直线的对称点的坐标． (2)若点的坐标为，点是直线．上的任意一点，连结，，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2反比例函数的图象与性质（八大题型提分练） 题型一 判断（画）反比例函数图象 1.（2023秋•岳阳楼区期末）如图所示，该函数表达式可能是（　　） A．y＝3x2 B． C． D．y＝3x 【答案】C 【解答】解：由图象可得， 该函数图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，且是双曲线， 故选：C． 2．关于x的函数y＝k（x﹣2）和y＝（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y＝kx﹣2k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴．故本选项不符合题意； B、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0．所以一次函数y＝kx﹣2k的图象经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴．故本选项不符合题意； C、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y＝kx﹣2k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴．故本选项符合题意； D、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0．所以一次函数y＝kx﹣2k的图象经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴．故本选项不符合题意； 故选：C． 3.（2022秋•莲池区校级期末）如图，是三个反比例函数y＝，y＝，y＝在x轴上方的图象，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为（　　） A．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2 C．k2＞k3＞k1 D．k3＞k2＞k1 【答案】C 【解答】解：读图可知：三个反比例函数y＝的图象在第二象限；故k1＜0； y＝，y＝在第一象限；且y＝的图象距原点较远，故有：k3＜k2； 综合可得：k2＞k3＞k1． 故选：C． 题型二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 1.若反比例函数的图象经过点，则下列各点在该函数图象上的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求得的值，即可求得的解析式，然后找到四个选项中横纵坐标乘积等于的，即可求解 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴， 即， ∵只有点中， ∴只有选项B中的点在函数上， 故选：B 2．反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（    ）    A．5 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据图象，当时，，则；当时，，则，所以，即可求解． 【详解】解：由图可知：当时，，即，则， 当时，，即，则， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象性质，关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质． 3.如图，当反比例函数的图象将矩形的内部（不含边界）的横、纵坐标都为整数的点分成数量相等的两部分，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图像，整数点的问题，解题的关键是要找到临界状态． 先找出矩形内部整数点共8个，然后找到两个临界位置，求出对应的比例系数k，即可求出取值范围． 【详解】解：矩形内的整数点有， ∴当反比例函数图像经过点时，此时， 当反比例函数图像经过点时，此时， ∴时，图像下方有点，图像上方有， 故选：D． 4.已知反比例函数（k为常数，且）的图象经过点． (1)求这个函数的表达式． (2)判断点是否在这个函数的图上，并说明理由． (3)上述函数图象的两个分支是否成中心对称？若是，请指出对称中心，并写出两对对称点的坐标． 【答案】(1) (2)点B不在这个函数的图象上，点C在这个函数的图象上 (3)成中心对称，对称中心是原点，两对对称点坐标为和，和 【分析】（1）把点代入解析式，即可求解； （2）分别把点B，C的坐标代入，即可求解； （3）根据反比例函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， 把点代入解析式，得， 解得． ∴这个函数解析式为； （2）解：分别把点B，C的坐标代入，得： ，， ∴点B的不在坐标不满足函数解析式，点C的坐标满足函数解析式， ∴点B不在这个函数的图象上，点C在这个函数的图象上． （3）解：图象的两个分支成中心对称，对称中心是原点，两对对称点坐标为和，和． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（　　） A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 【答案】B 【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（1，﹣2）， ∴另一个交点的坐标是（﹣1，2）． 故选：B． 2．如果正比例函数y＝ax（a≠0）与反比例函数y＝（b≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣3，﹣2），那么另一个交点的坐标为（　　） A．（2，3） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（3，2） 【答案】D 【解答】解：由题设知，﹣2＝a•（﹣3），（﹣3）•（﹣2）＝b， 解得a＝，b＝6， 联立方程组得， 解得，， 所以另一个交点的坐标为（3，2）． 或：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）． 故选：D． 3.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为．    (1)求出点B的坐标． (2)请根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数与反比例函数的性质是解题关键． （1）根据正比例函数与反比例函数的性质求解即可得； （2）找出正比例函数的图象位于反比例函数的图象的上方即可得． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于两点， 点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． （2）解：不等式表示的是正比例函数的图象位于反比例函数的图象的上方， 所以不等式的解集为或． 题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 1．已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数图象的两支分布在第二、四象限， ∴， ∴， 故选：D． 2.已知反比例函数图象经过一、三象限． (1)若函数过点，求当时的函数值y， (2)若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系，并说明理由； (3)设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是，求x为何值时， ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)8 【分析】（1）把代入解得，得到，把代入得到函数值； （2）由反比例函数图象经过一、三象限，则，在每个象限内，y随着x的增大而减小，可判断出点，是第一象限内的点，则，，，即可得到，，，则； （3）由反比例函数图象经过一、三象限．得到，在每个象限内，y随着x的增大而减小，则反比例函数位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，根据已知条件得到当时，；当时，，则，，得到，解得：（不合题意，舍去）或，得到，则，，由得到，即可求得x的值； 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， 当时，， 即当时的函数值； （2），理由如下： ∵反比例函数图象经过一、三象限． ∴，在每个象限内，y随着x的增大而减小， ∵点，是反比例函数图象上的两点， ∴点，是第一象限内的点， ∴，，， ∴，，， ∴； （3）∵反比例函数图象经过一、三象限． ∴，在每个象限内，y随着x的增大而减小， 反比例函数位于第二、四象限， 在每一象限内随的增大而增大， 又∵，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是， 当时，；当时，， ∴，， ，， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴， ∴，， 由得到， 解得， 经检验，是原方程的根， 当时，． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，对于反比例函数，当时，反比例函数图象分别位于一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小；当时，反比例函数图象分别位于二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大．熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 题型五 判断反比例函数的增减性 1.已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B．是轴对称图形，也是中心对称图形 C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D．图象分别位于第二、四象限内 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大，故A选项正确； B、反比例函数图象，是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确； C、过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点，故C选项错误； D、图象分别位于第二、四象限内，故D选项正确 故选：C． 2.若正比例函数过第二象限，则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而 （选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质，由题意得出，从而推出，最后由反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数过第二象限， ∴， ∴， ∴则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而减小， 故答案为：减小． 3.如果当时，反比例函数的函数值随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象性质：与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①的图象在一、二、三象限；②的图象在一、三、四象限；③的图象在一、二、四象限；④的图象在二、三、四象限．反比例函数的图象性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．由反比例函数的性质可判断k的符号，再根据一次函数的性质即可判断一次函数的图象经过的象限． 【详解】解：由题意得：， ，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：B． 题型六 判断反比例函数图象所在象限 1.关于反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A．它的图象分布在一、三象限 B．当时， C．此函数图象关于直线对称 D．若点在它的图象上，则点也在图象上 【答案】B 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴该函数的图象在第一、三象限，故选项A正确，不符合题意； 当时，，当时，，故选项B错误，符合题意； 函数的图象关于直线对称，故选项C正确，不符合题意； 若点在它的图象上，则，则也在图象上，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 2.关于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限； B．图象与坐标轴有交点； C．若图象经过点，则必经过点； D．图象上有两点，，若，则． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 根据反比例函数的性质，对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：根据反比例函数图象可得： 当时，反比例函数图象位于二、四象限，选项错误； 反比例函数图象与坐标轴无交点，选项错误； 由反比例函数表达式可得，，选项正确； 当时，，随着的增大而增大，即若，则； ，随着的增大而增大，即若，则， 但时，，选项错误． 故选：． 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 1.若反比例函数的图象在每个象限内随着的增大而增大，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意得出关于m的不等式及方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内随着x的增大而增大， ∴且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质及反比例函数的图象与系数的关系，根据题意得出关于m的不等式及方程是解题的关键． 2.已知点在反比例函数的图象上，当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据题意得到该函数在第三象限时，y随x的增大而减小，进而求解即可． 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∵当时，， ∴该函数在第三象限时，y随x的增大而减小， ∴． 故答案为：． 3.反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据，进而根据当时，函数的最大值和最小值之差为4，列出方程，即可求解． 【详解】解： ∴反比例函数的图象在每个象限内随的增大而增大， 当时，函数的最大值和最小值之差为4， ， 解得：． 故选：D 4.已知反比例函数（为常数）． (1)若函数图象经过点，求的值； (2)若时，随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征． （1）将点A的坐标代入即可求得m的值； （2）根据增减性确定的符号，从而确定m的取值范围． 【详解】（1）∵函数图象经过点， ∴， 解得：， ∴m的值是2； （2）∵若时，y随x的增大而减小， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 1.已知，是反比例函数（a为常数，）图像上的两点，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了比较反比例函数值的大小，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质．由于，反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断． 【详解】解： 由于，当时，反比例函数的图象在第一象限，，且y随x到增大而减小． 若，则． 故选：A． 2．若点，，都在反比例函数的图象上，则，与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据已知点C的坐标求出反比例函数解析式，利用解析式求出，最后进行比较即可． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴点在第四象限，， 在第二象限，， ∴， 故选：C． 3.已知点，，在反比例函数的图象上，，有下面三个结论：①若，则；②若，则；③若，则．所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】 本题主要考查了反比例函数的图象的性质．根据题意可得该函数图象位于第一、三象限内，且在每一象限内，y随x的增大而减小，再根据反比例函数的图象的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴该函数图象位于第一、三象限内，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵，， ∴， ∴点，位于第一象限内， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴点位于第一象限内，，位于第三象限内， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴或， ∵， 当时，， ∴； 当时，， ∴；故③错误； 故选：A 1.关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象是中心对称图形 B．当时，随的增大而增大 C．图象经过点 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由反比例函数的图象对称性可知，反比例函数的图象是关于原点对称，图象是中心对称图，本题说法正确，故该选项不符合题意； B．因为，所以当时在每个象限内，y随着x的增大而增大，本题说法正确，故该选项不符合题意； C．当时，，所以函数图象过点，本题说法正确，故该选项不符合题意； D．因为，函数图象位于第二、四象限，在每个象限内y随着x的增大而增大，当时，，所以当，则，本题说法不正确，故该选项符合题意； 故选：D． 2.若点是反比例函数图像上一点，则下列说法正确的是(   ) A．图像分别位于一、三象限 B．点在函数图像上 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，先求出，然后由反比例函数的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴； ∴图象位于第二、四象限；故A错误； 点不在该函数图象上；故B错误； 当时，y随x的增大而增大，故C正确； 当时，或；故D错误； 故选：C 3.已知反比例函数（m为常数，）图象的两个分支分布在第二、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据的k值小于0，反比例函数在第二、四象限，据此即可作答． 【详解】解∶∵反比例函数（m为常数，）图象的两个分支分布在第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为： ． 4.已知点，，在反比例函数（a为常数）的图象上，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方的非负性，反比例函数的图像分布与性质，根据可得反比例函数的图象在一、三象限，在各象限，y随x的增大而减小，进而可得答案．准确判定图像的分布，活用反比例函数的性质比较大小是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在一、三象限，在各象限，y随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴， 故选：D． 5.在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，且整式是完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】 本题考查反比例函数的图象与性质、完全平方式，先根据反比例函数的性质得到，再根据完全平方式的特点求得，进而求得即可求解，熟知完全平方式的结构是解答的关键． 【详解】 解：∵在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大， ∴， ∴ ∵整式是完全平方式， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴该反比例函数的解析式为； 故答案为：． 6.已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． (1)求的值； (2)若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)3 (2)①；② 【分析】（1）根据反比例函数图象与性质，利用待定系数法列方程求解即可得到答案； （2）①利用反比例函数图象与性质，结合题意求出，利用待定系数法列方程求解即可得到答案；②利用反比例函数图象与性质，利用待定系数法求出，列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数，点都在该反比例函数图象上， ，解得， ； （2）解：点都在该反比例函数图象上，且点和点关于原点中心对称， ， ，则，解得， ， 将代入得，解得， ； ②，则， ， ， ， ． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，涉及待定系数法确定、点的对称性质、解不等式等知识，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 7.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点A作轴于点B，的面积为5． (1)求k和m的值； (2)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，函数值y的取值范围为． 【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入，可求出k的值； （2）求出时，y的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 解得， ∴点A的坐标为． 把代入， 得； （2）由（1），得， ∴当时，． ∵当时，反比例函数的的图象在第三象限，函数值y随自变量x的增大而减小， ∴当时，函数值y的取值范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 8.【思路点拨】：如图1，点是点关于直线的对称点，分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．可以利用轴对称图形的性质证明，从而由点的坐标可求点的坐标． 【应用拓展】：如图2，若点横坐标为，且在函数的图象上．    (1)求点关于直线的对称点的坐标． (2)若点的坐标为，点是直线．上的任意一点，连结，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．设交直线于点，作轴于点，由轴对称的性质得，，则，根据等腰直角三角形的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，求得点的坐标，即可求解； （2）连结，交直线于点，连结，此时为最小值，分别过点，作轴的垂线，垂足为，，过点作的垂线，垂足为．根据矩形的判定可得四边形是矩形，推得，，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，． 设交直线于点．作轴于点，如图1：    ∵点，关于直线对称， ∴直线是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵点的横坐标为，且点在函数的图象上， 故将代入，解得：， ∴点坐标为， ∴，． ∴点坐标为． （2）解：如图2，连结，交直线于点，连结，此时为最小值，分别过点，作轴的垂线，垂足为，，过点作的垂线，垂足为．    ∵由（1）知点坐标为， ∴，． ∵点的坐标为， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴，， ∴． 即的最小值为． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及轴对称的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 学科网（北京）股份有限公司 $$