第四周 第4天 函数的概念（二） 暑假自学配套同步分层练习 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 2026年新高一暑假自学同步分层练习（函数的概念二），通过青铜、黄金、王者三级分层，实现从基础概念到综合应用再到创新拓展的知识巩固路径，适配不同水平学生自主学习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|函数定义域、值域、同一函数判断|基础选择/填空/解答题，夯实概念理解，培养抽象能力| |黄金局|同一函数综合判断、分段函数、定义域值域综合|多选+解答题，强化推理能力，促进知识融会贯通| |王者局|“孪生函数”概念、参数定义域值域问题|创新情境题，提升创新意识，挑战高阶思维|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第四周 第 4天 函数的概念（二） 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.函数f(x)=2x+1，x∈[0，1]的值域是(　　) A.[1，3] B.(1，3) C.[2，3] D.[0，2] 答案　A 解析　由f(x)=2x+1的图象(图略)知，图象整体是上升的， 当x∈[0，1]时，f(0)=1，f(1)=3， 所以值域为[1，3]. 2.(多选)下列各组函数为同一个函数的是(　　) A.f(x)=x，g(x)= B.f(x)=1，g(x)=(x-1)0 C.f(x)=g(x)= D.f(t)=g(t)=t+4(t≠4) 答案　CD 解析　对于A，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于B，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于C，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数； 对于D，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数. 3.已知函数f(x)的定义域为[-1，2]，则f(3-2x)的定义域为(　　) A. B.[-1，2] C.[-1，5] D. 答案　A 解析　由于函数f(x)的定义域为[-1，2]， 故-1≤3-2x≤2，解得≤x≤2， 即函数f(3-2x)的定义域为. 4.若集合A={y|y=x2-1}，B={y|y=-x2-2x}，则A∩B等于(　　) A.(-1，1) B.[-1，1] C.(-1，1] D.[-1，1) 答案　B 解析　集合A={y|y=x2-1}={y|y≥-1}， B={y|y=-x2-2x}={y|y=-(x+1)2+1}={y|y≤1}， 则A∩B=[-1，1]. 5.函数y=(x≥0)的值域为(　　) A.[-1，1) B.[-1，1] C.[-1，+∞) D.[0，+∞) 答案　A 解析　y==1+. ∵x≥0，∴x+1≥1，∴0<≤1， ∴-2≤<0， ∴-1≤1+<1. ∴函数y=(x≥0)的值域为[-1，1). 6.已知函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1，2]，则y=f(x)的定义域是(　　) A. B.[-3，3] C.[-1，5] D. 答案　B 解析　∵y=f(-2x+1)的定义域为[-1，2]，即-1≤x≤2， ∴-3≤-2x+1≤3， ∴y=f(x)的定义域为[-3，3]. 7.(多选)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”.下列函数是“[0，1]交汇函数”的是(　　) A.y= B.y=2-x C.y= D.y=-|x| 答案　AB 解析　由“[a，b]交汇函数”的定义可知，“[0，1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为[0，1]. 对于选项A，y=的定义域A=(-∞，1]，值域B=[0，+∞)，则A∩B=[0，1]，A正确； 对于选项B，y=2-x的定义域A=[0，+∞)，令t=≥0，则x=t2，y=2t-t2=-(t-1)2+1≤1，即函数的值域B=(-∞，1]，则A∩B=[0，1]，B正确； 对于选项C，y= ∵(x-1)2≥0，∴(x-1)2+1≥1， ∴0<≤1，∴函数的定义域A=R，值域B=(0，1]，则A∩B=(0，1]，C错误； 对于选项D，y=-|x|的定义域A=[-1，1]，y2=1-x2+x2-2|x|=1-2 ∵-1≤x≤1，∴0≤x2(1-x2)≤则0≤y2≤1，∴-1≤y≤1，即值域B=[-1，1]，则A∩B=[-1，1]，D错误. 8.(5分)若函数y=f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)=的定义域是　　　　. 答案　[0，1) 解析　因为函数f(x)的定义域是[0，2]， 所以0≤2x≤2且x≠1，故g(x)的定义域是[0，1). 9.(5分)函数y=x-2的值域为　　　　　　　　　　　　. 答案　[0，+∞) 解析　令t=(t≥0)，则x=t2+1， y=t2+1-2t=(t-1)2， ∵t≥0，∴y=(t-1)2≥0， ∴函数的值域为[0，+∞). 10.(10分)(1)已知函数f(x)=求函数f(x+1)的定义域；(5分) (2)已知函数f(3x+1)的定义域为(-1，6]，求f(2x-5)的定义域.(5分) 解　(1)f(x)= 得解得-3≤x≤1， ∴函数f(x)=的定义域为[-3，1]， 由-3≤x+1≤1，得-4≤x≤0，即函数f(x+1)的定义域为[-4，0]. (2)∵函数f(3x+1)的定义域为(-1，6]， ∴-1<x≤6，则-2<3x+1≤19，即函数f(x)的定义域为(-2，19]， 由-2<2x-5≤19，得<x≤12，∴f(2x-5)的定义域为. 黄金局 提能力·融会贯通 11.(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A.f(x)=与g(x)=x B.f(x)=x与g(x)= C.f(x)=x0与g(x)= D.f(x)=3x2+4x-2与g(t)=3t2+4t-2 答案　CD 解析　对于A，两个函数的定义域均为{x|x≤0}，但f(x)==|x|=-x与g(x)=x的对应关系不同，故不是同一个函数；对于B，g(x)==|x|与f(x)=x的定义域均为R，但对应关系不同，故不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域都是{x|x≠0}，且f(x)=x0=1，g(x)==1，两个函数的对应关系也相同，故是同一个函数；对于D，f(x)=3x2+4x-2与g(t)=3t2+4t-2的定义域都是R，对应关系也相同，故是同一个函数. 12.(多选)函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，当-≤x≤时，下列函数中，其值域与f(x)的值域相同的函数为(　　) A.y=x，x∈{-1，0，1，2，3} B.y=2x，x∈ C.y=x∈ D.y=x2-1，x∈{0，12} 答案　ABD 解析　当x∈时，f(x)=-1， 当x∈[0，1)时，f(x)=0， 当x∈[1，2)时，f(x)=1， 当x∈[2，3)时，f(x)=2， 当x∈时，f(x)=3， 所以当x∈时，f(x)的值域为{-1，0，1，2，3}， y=x，x∈{-1，0，1，2，3}，该函数的值域为{-1，0，1，2，3}，故A正确； y=2x，x∈该函数的值域为{-1，0，1，2，3}，故B正确； y=x∈该函数的值域为{-1，1，2，3，4}，故C错误； y=x2-1，x∈{0，12}，该函数的值域为{-1，0，1，2，3}，故D正确. 13.(5分)若A={y|y=x2-2x+2}，且a∈A，则的取值范围是　　　　. 答案　 解析　因为A={y|y=x2-2x+2}={y|y=(x-1)2+1}={y|y≥1}， 又a∈A，则a≥1， 所以a+2≥3，所以0<. 14.(10分)已知函数f(x)=x2-x+是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 解　存在.理由如下： f(x)=x2-x+(x-1)2+1图象的对称轴为x=1，顶点为(1，1)且开口向上. ∵m>1， ∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有m2-m+=m， 即m2-4m+3=0，∴m=3或m=1(舍)， ∴存在实数m=3满足条件. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y=2x2+1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y=2x2+1，x∈{-2}；②y=2x2+1，x∈{2}；③y=2x2+1，x∈{-2，2}.那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{1，5}的“孪生函数”共有(　　) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 答案　C 解析　由2x2+1=1解得x=0； 由2x2+1=5解得x=± 所以值域为{1，5}的自变量集合有{0，-}，{0}，{0，-}， 所以值域为{1，5}的“孪生函数”共有3个：y=2x2+1，x∈{0，-}；y=2x2+1，x∈{0}；y=2x2+1，x∈{0，-}. 16.(11分)已知使函数f(x)=的定义域为R的实数m的取值集合为A，使得函数f(x)的值域为[0，+∞)的实数m的取值集合为B.求集合A，B. 解　∵f(x)=的定义域为R， ∴关于x的不等式(m2-1)x2+(1-m)x+1≥0的解集为R， ∴当m=1时，不等式为 1≥0，解集为R，符合题意； 当m=-1时， 不等式为2x+1>0，解集不为R，不符合题意； 当 m≠±1 时，要使不等式(m2-1)x2+(1-m)x+1≥0的解集为R， 则 解得m≤- 或 m>1， 综上所述，实数m的取值范围是∪[1，+∞)， ∴A=. ∵f(x)=的值域为[0，+∞)， 设 f(x)=(u≥0)，值域为[0，+∞)， 则u=(m2-1)x2+(1-m)x+1 的值域能取到[0，+∞)，即umin≤0. 当m2-1>0时，m>1或m<-1且Δ=(1-m)2-4(m2-1)≥0，解得-≤m<-1； 当 m=-1 时，u=(m2-1)x2+(1-m)x+1=2x+1，其值域能取到[0，+∞)，故 m=-1成立； 当m=1或m2-1<0时，不符合题意， 综上，-≤m≤-1， 即B=. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第四周 第 4天 函数的概念（二） 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.函数f(x)=2x+1，x∈[0，1]的值域是(　　) A.[1，3] B.(1，3) C.[2，3] D.[0，2] 2.(多选)下列各组函数为同一个函数的是(　　) A.f(x)=x，g(x)= B.f(x)=1，g(x)=(x-1)0 C.f(x)=g(x)= D.f(t)=g(t)=t+4(t≠4) 3.已知函数f(x)的定义域为[-1，2]，则f(3-2x)的定义域为(　　) A. B.[-1，2] C.[-1，5] D. 4.若集合A={y|y=x2-1}，B={y|y=-x2-2x}，则A∩B等于(　　) A.(-1，1) B.[-1，1] C.(-1，1] D.[-1，1) 5.函数y=(x≥0)的值域为(　　) A.[-1，1) B.[-1，1] C.[-1，+∞) D.[0，+∞) 6.已知函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1，2]，则y=f(x)的定义域是(　　) A. B.[-3，3] C.[-1，5] D. 7.(多选)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”.下列函数是“[0，1]交汇函数”的是(　　) A.y= B.y=2-x C.y= D.y=-|x| 8.(5分)若函数y=f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)=的定义域是　　　　. 9.(5分)函数y=x-2的值域为　　　　　　　　　　　　. 10.(10分)(1)已知函数f(x)=求函数f(x+1)的定义域；(5分) (2)已知函数f(3x+1)的定义域为(-1，6]，求f(2x-5)的定义域.(5分) 黄金局 提能力·融会贯通 11.(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A.f(x)=与g(x)=x B.f(x)=x与g(x)= C.f(x)=x0与g(x)= D.f(x)=3x2+4x-2与g(t)=3t2+4t-2 12.(多选)函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，当-≤x≤时，下列函数中，其值域与f(x)的值域相同的函数为(　　) A.y=x，x∈{-1，0，1，2，3} B.y=2x，x∈ C.y=x∈ D.y=x2-1，x∈{0，12} 13.(5分)若A={y|y=x2-2x+2}，且a∈A，则的取值范围是　　　　. 14.(10分)已知函数f(x)=x2-x+是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y=2x2+1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y=2x2+1，x∈{-2}；②y=2x2+1，x∈{2}；③y=2x2+1，x∈{-2，2}.那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{1，5}的“孪生函数”共有(　　) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 16.(11分)已知使函数f(x)=的定义域为R的实数m的取值集合为A，使得函数f(x)的值域为[0，+∞)的实数m的取值集合为B.求集合A，B. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $