1.5 二次函数的应用（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的应用，通过面积最值、销售利润、抛物线轨迹三个合作学习探究，从实际情境提取等量关系建立模型，结合课堂总结的通用解题步骤，搭建从具体问题到数学建模的学习支架。 其亮点在于以“问题情境—模型建立—最值求解—实际检验”为主线，培养数学眼光（抽象实际数量关系）、数学思维（推理自变量范围与顶点位置）、数学语言（规范表达函数与解答）。例如面积问题中检验顶点是否符合墙长约束，帮助学生提升应用能力，教师可直接使用结构化案例与易错点解析。

1.5 二次函数的应用 第一章 二次函数 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 能从面积、销售利润、抛物线轨迹等实际情境中提取等量关系，建立对应的二次函数数学模型。 会运用顶点坐标公式求解二次函数的最值，并能结合实际问题确定自变量的取值范围。 能根据自变量取值范围判断顶点横坐标是否可取，正确求出实际问题的最大（小）值，规范写出实际问题的解答结果。 合作学习 探究合作 探究一：面积最值问题（几何类） 用总长 60m 的篱笆围成一个矩形菜园，菜园一边靠墙（墙长 25m），另外三边用篱笆围。求矩形长、宽各为多少时，菜园面积最大，最大面积是多少？ 步骤1：设变量 设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为(60-2x)m 步骤2：确定自变量取值范围 ①边长大于0：60-2x>0→x<30 ②墙限制长度：60-2x≤25→x≥17.5，综上：17.5≤x<30 自变量的取值范围需要根据实际情况进行确定 3 合作学习 探究合作 探究一：面积最值问题（几何类） 用总长 60m 的篱笆围成一个矩形菜园，菜园一边靠墙（墙长 25m），另外三边用篱笆围。求矩形长、宽各为多少时，菜园面积最大，最大面积是多少？ 步骤3：建立函数关系式 面积S=x(60-2x)=-2x2+60x 二次项系数-2<0，抛物线开口向下，顶点处取最大值。 步骤4：求顶点横坐标 顶点公式： 4 合作学习 探究合作 探究一：面积最值问题（几何类） 步骤5：关键检验(易错点) 顶点横坐标x=15，不在取值范围17.5≤x<30内，因此区间内无顶点最大值。 开口向下，在区间x≥17.5上，S随x增大而减小，取区间左端点x=17.5面积最大。 步骤6：计算结果 x=17.5，平行墙边长60-2×17.5=25m Smax=17.5×25=437.5m2 算出顶点x=15，直接代入函数算面积，把顶点处的函数值当作答案。但x=15不符合墙长带来的取值约束，现实里没法围出对应的菜园，这个数学上的顶点最值没有实际意义，直接套用会得出错误答案， 探究小结1(面积题核心) 1.先找等量关系列面积函数； 2.必须结合墙长、边长正数限定自变量范围； 3.顶点不在取值区间时，最值出现在区间端点。 5 合作学习 研究合作 探究二：销售利润最值问题 某文具店笔记本进价 20 元，售价 30 元时每周卖出 200 本；市场调查：售价每上涨 1 元，每周少卖 10 本。物价局规定售价不能超过 40 元，求定价多少时，每周利润最大？最大利润是多少？ 核心公式：单件利润 × 销售量 = 总利润 步骤1：设变量 设售价上涨x元(x≥0)，单件利润：(30+x-20)=(10+x)元 销售量：(200-10x)本 步骤2：自变量范围 1.销量不为负：200-10x≥0→x≤20 2.售价限制：30+x≤40→x≤10综上：0≤x≤10 6 合作学习 研究合作 探究二：销售利润最值问题 某文具店笔记本进价 20 元，售价 30 元时每周卖出 200 本；市场调查：售价每上涨 1 元，每周少卖 10 本。物价局规定售价不能超过 40 元，求定价多少时，每周利润最大？最大利润是多少？ 核心公式：单件利润 × 销售量 = 总利润 步骤3：列函数 总利润y=(10+x)(200-10x)展开化简：y=-10x²+100x+2000 a=-10<0，开口向下，顶点取最大值。 步骤4：求顶点 7 合作学习 研究合作 探究二：销售利润最值问题 某文具店笔记本进价 20 元，售价 30 元时每周卖出 200 本；市场调查：售价每上涨 1 元，每周少卖 10 本。物价局规定售价不能超过 40 元，求定价多少时，每周利润最大？最大利润是多少？ 核心公式：单件利润 × 销售量 = 总利润 步骤5：检验范围 x=5在0≤x≤10内，可取。 定价：30+5=35元 最大利润：y=-10×5²+100×5+2000=2250元 易错点 探究小结2(利润题模板) 1.涨价/降价设为x，分别表示单件利润、销量； 2.销量≥0，售价限制双重约束自变量； 3.顶点在区间内直接用顶点算最值，不在则取端点。 8 合作学习 研究合作 探究三：抛物线运动轨迹问题（抛射、拱桥） 一座拱桥，拱顶离水面 4m，水面宽 8m。以水面中点为原点建立平面直角坐标系，抛物线开口向下。当水面上涨 1m 时，水面宽度是多少？ 步骤1：求抛物线解析式 已知顶点(0，4)，设顶点式y=ax²+4过点(4，0)， 代入：0=a×42+4→16a=-4→a= 解析式=x²+4 9 合作学习 研究合作 探究三：抛物线运动轨迹问题（抛射、拱桥） 一座拱桥，拱顶离水面 4m，水面宽 8m。以水面中点为原点建立平面直角坐标系，抛物线开口向下。当水面上涨 1m 时，水面宽度是多少？ 步骤2：水面上涨1m，此时纵坐标y=1 代入求x: 水面宽度：-(-)=m 探究小结3(抛物线图像题) 1.合理建系，优先用顶点式简化计算； 2.把实际高度、距离转化为坐标代入解析式； 3.根据纵坐标求横坐标，结合左右对称求宽度。 10 课堂总结 总结 解二次函数实际应用通用解题步骤 1.设：设自变量(涨价金额/边长/水平距离); 2.限：根据实际意义写出自变量取值范围； 3.列：根据等量关系写出二次函数解析式； 4.判：看二次项符号，判断开口方向； 5.求：计算顶点横坐标 6.验：顶点横坐标是否在取值区间内； ①在区间内：顶点对应最大/最小值；②不在区间内：最值在区间左右端点； 7.答：回归实际问题，写出完整答案。 11 典例1 学校打算用长16m的篱笆围成一个矩形生物园饲养小兔：如图，生物 园的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙长8m 典例分析 (1)解：设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为(16-2x)m. 由题意，得x·(16-2x)=30，解得x₁=3，x₂=5. 当x=3时，16-2×3=10，10>8，不合题意舍去，当x=5时，16-2×5=6. 答：长为6m、宽为5m. (1)若矩形生物园的面积是30m2，求这个生物园的边长； 典例1 学校打算用长16m的篱笆围成一个矩形生物园饲养小兔：如图，生物 园的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙长8m 典例分析 (2)解：设矩形生物园的面积为ym2，设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为(16-2x)m. ∴y=x(16-2x)=-2x2+16x=-2(x-4)2+32，∵解得：4≤x<8， ∴当x=4时,矩形生物园的面积的最大值为32m2. (2)求矩形生物园的面积的最大值. 练一练 如图，用铁栅栏及一面墙(墙足够长)围成一个矩形场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门(不用铁栅栏)，小明共用铁栅栏40米，设矩形ABCD的边AD长为x米，矩形的面积为S平方米. 典例分析 (1)写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围 (1)解：设矩形ABCD的边AD长为x米，则AD=BC=x，AB=40+2+2-2x=44-2x， ∴矩形的面积S=AD·AB=x(44-2x)=-2x2+44x，x>2由题意可得 ∴2<x<21，∴S与x的函数关系式为S=-2x2+44x(2<x<21)； 练一练 如图，用铁栅栏及一面墙(墙足够长)围成一个矩形场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门(不用铁栅栏)，小明共用铁栅栏40米，设矩形ABCD的边AD长为x米，矩形的面积为S平方米. 典例分析 (2)当x取何值时，S有最大值?并求出最大值. (2)解：∵S=-2x2+44x=-2(x-11)2+242，∵-2<0，2<x<21, ∴当x=11时，S有最大值，最大值为242平方米. 典例分析 某超市销售一款水杯，每个可获利12元，每周可以销售20个 经调研 售价每降低1元，每周可多销售4个 设每个降价x元(0<x≤3),每周总利润为y元. (1)求y与x的函数表达式； (2)当x取何值时，每周的总利润最大?最大总利润是多少? 典例2 (1)解：结合题意，得 y=(12-x)(20+4x)=-4x2+28x+240, 故y与x的函数关系式为 y=-4x2+28x+240(0<x≤3). (2)解:y=-4x2+28x+240=-4(x-)2+289， ∵0<x≤3，抛物线的对称轴为直线x=， 抛物线的开口向下；∴当x=3时，利润最大，其值为-4×(3-)2+289=288元. 典例分析 某门店销售某品牌车载智能充电器、第一次花费7000元购进一批车载智能充电器、全部售完后再次补货，第二次进货时，每件的进价比第一次少5元，花费6000元购进车载智能充电器的数量与第一次相同. (1)求第二次每件车载智能充电器的进价； 练一练 （1）解：设第一次购进车载智能充电器的进价为x元，则第二次购进车载智能充电器的进价为（x-5）元， ，解得，x=35, 经检验，当x=35时，原方程有意义，且符合题意， ∴x-5=35-5=30, ∴第一次购进车载智能充电器的进价为35元，第二次购进车载智能充电器的进价为30元; 典例分析 某门店销售某品牌车载智能充电器、第一次花费7000元购进一批车载智能充电器、全部售完后再次补货，第二次进货时，每件的进价比第一次少5元，花费6000元购进车载智能充电器的数量与第一次相同. (2)第二次购进的车载智能充电器在某段时间内以m元出售(m不小于第二次的进价)可卖出(100-m)件，应如何定价才能使利润最大 练一练 (2)解：设销售利润为w，每件的利润为(m-30)元， ∴w= (m-30)(100-m) = -m2+130m-3000 = - (m-65)2+1225， ∵-1<0， ∴当m=65时，利润为w的值最大，最大值为1225元， 定价为65元时利润最大. 典例分析 如图，嘉嘉同学投掷实心球，出手(点P处)的高度OP是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m,高度是4m. 典例3 (1)解：建立平面直角坐标系如图， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m.，设抛物线解析式为：y=a(x-5)²+4, 把点(0，)代入得25a+4=解得：a=- 抛物线解析式为：y=-x-5)²+4; (1)根据题意，请你建立合适的平面直角坐标系，并求出这段抛物线对应的函数解析式 典例分析 如图，嘉嘉同学投掷实心球，出手(点P处)的高度OP是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m,高度是4m. 典例3 (2)解：当y=0时，-(x-5)²+4=0 解得：x₁=-(舍去)，x₂= 即OM的长为m (2)若实心球落地点为M,求OM的长. 典例分析 某公园雕塑OA的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形。测得雕塑OA的高度为2m，当喷出的水柱与OA的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m。以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图)。 练一练 （1）解：由题可得，点A的坐标为（0，2），该抛物线的顶点为（4，3.6）， 设该抛物线的顶点式为y=a(x-4)2+3.6， 把点A代入得 2=16a+3.6，解得 a= 该抛物线的函数表达式为y= ( x-4 )2+3. 6 (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； 典例分析 某公园雕塑OA的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形。测得雕塑OA的高度为2m，当喷出的水柱与OA的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m。以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图)。 练一练 (2)解：令y=0得-0.1x²+0.8x+2=0， 两边同时乘以-10得x2-8x-20=0，因式分解得(x-10)(x+2)=0，解得x₁=10，x₂=-2, ∴点B的坐标为(10，0), ∴水柱落地点与雕塑OA的水平距离为10m. (2)求水柱落地点与雕塑OA的水平距离. 课堂练习 1.某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分。按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y(cm)与水平距离x(cm)的关系可以表示为y=-0.1x2+6x,则这条鱼此次射出的水流的最大高度是 。 90cm 课堂练习 2.从地面竖直向上射出一小球，小球离地面的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=-5t2+30t，则下列说法中，错误的是( ) A.小球运动时间为1s时的高度是25m B.小球运动时间为2s时的高度和4s时的高度相等 C.小球离地面的最大高度是45m D.小球从射出到落地需要8s 课堂练习 3.如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y=-x2，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为( ） A.8米 B.9米 C.10米 D.11米 课堂练习 4.如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为( ) A.5米 B.7米 C.8米 D.9米 课堂练习 5.某地为庆祝国庆举行焰火表演,表演时礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-t2+20t+5，若这种礼炮点火升空到最高点处引爆，求从点火升空到引爆需要的时间和最高点高度. 解：将h=-t²+20t+2整理成顶点式得h=(t-4)²+45，∵-<0， ∴当t=4s时，取得最大值，此时引爆， ∴从点火升空到引爆需要时间为4s， 最高点高度为h=-(4-4)²+45=45(m) 即从点火升空到引爆需要的时间为4s和最高点高度45m. 课堂练习 6.为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验,其平均单株产量ykg与每平方米种植的株数x(2≤x≤8，且x为整数)构成一种函数关系.每平方米种植2株时，平均单株产量为4kg；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数增加1，单株产量减少0.5kg.每平方米种植多少株时，能获得最大产量?最大产量为多少千克? 解：设每平方米小番茄产量为Wkg, 根据题意,得W=x[4-0.5(x-2)=x(-0.5x+5)=-0.5x2+5x=-0.5(x-5)2+12.5，-0.5<0, ∴当x=5时，W取得最大值为12.5. 故每平方米种植5株时，能获得最大产量，最大产量为12.5kg. $